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1 如果一个角的余角比它的补角的$\frac{1}{3}$还少$20°$，那么这个角的度数是
75°
。答案
1. 75°
解析
【分析】
解决本题可采用方程思想，首先设这个角的度数为未知数，再根据余角、补角的定义，用含未知数的式子分别表示出该角的余角和补角，然后结合题目给出的“余角比补角的$\frac{1}{3}$还少$20°$”的等量关系列方程，最后解方程即可得到答案。
【解析】
设这个角的度数为$x°$，根据余角、补角的定义可知：
它的余角为$(90 - x)°$，它的补角为$(180 - x)°$。
根据题意列方程：
$90 - x = \frac{1}{3}(180 - x) - 20$
解方程：
$90 - x = 60 - \frac{1}{3}x - 20$
$90 - x = 40 - \frac{1}{3}x$
$-x + \frac{1}{3}x = 40 - 90$
$-\frac{2}{3}x = -50$
$x = 75$
【答案】
$75°$
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题核心是对余角、补角概念的考查，解题的关键是准确理解题意，找准等量关系，合理运用方程思想求解角度。
【难度系数】
0.7
解决本题可采用方程思想，首先设这个角的度数为未知数，再根据余角、补角的定义，用含未知数的式子分别表示出该角的余角和补角，然后结合题目给出的“余角比补角的$\frac{1}{3}$还少$20°$”的等量关系列方程，最后解方程即可得到答案。
【解析】
设这个角的度数为$x°$，根据余角、补角的定义可知：
它的余角为$(90 - x)°$，它的补角为$(180 - x)°$。
根据题意列方程：
$90 - x = \frac{1}{3}(180 - x) - 20$
解方程：
$90 - x = 60 - \frac{1}{3}x - 20$
$90 - x = 40 - \frac{1}{3}x$
$-x + \frac{1}{3}x = 40 - 90$
$-\frac{2}{3}x = -50$
$x = 75$
【答案】
$75°$
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题核心是对余角、补角概念的考查，解题的关键是准确理解题意，找准等量关系，合理运用方程思想求解角度。
【难度系数】
0.7
2 如图，C，D是线段AB上的两点，CD=1 cm，M是AD的中点，N是BC的中点，且MN=3.5 cm，则AB=
8
cm. 答案
2. 8
解析
【分析】
解题时首先观察图形，结合已知的中点条件，想到利用线段中点分线段为相等的两部分的性质。我们可以通过设参数表示中点分割出的等长线段，再将MN用参数和已知的CD表示，求出参数的和，最后将AB用参数和已知线段表示，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵M是AD的中点，
∴AM=MD，
∵N是BC的中点，
∴CN=NB。
设AM=MD=x cm，CN=NB=y cm，
则MC = MD - CD = (x - 1) cm，DN = CN - CD = (y - 1) cm。
∵MN = MC + CD + DN = 3.5 cm，
代入得：(x - 1) + 1 + (y - 1) = 3.5，
化简得x + y - 1 = 3.5，即x + y = 4.5。
又
∵AB = AM + MN + NB = x + 3.5 + y = (x + y) + 3.5，
将x + y = 4.5代入得：AB = 4.5 + 3.5 = 8 (cm)。
【答案】
8
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题关键是灵活运用线段中点的性质，通过设参数的方式将未知线段关联起来，避免直接求单段线段长度的麻烦，同时要注意区分线段重叠部分，避免重复计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，结合已知的中点条件，想到利用线段中点分线段为相等的两部分的性质。我们可以通过设参数表示中点分割出的等长线段，再将MN用参数和已知的CD表示，求出参数的和，最后将AB用参数和已知线段表示，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵M是AD的中点，
∴AM=MD，
∵N是BC的中点，
∴CN=NB。
设AM=MD=x cm，CN=NB=y cm，
则MC = MD - CD = (x - 1) cm，DN = CN - CD = (y - 1) cm。
∵MN = MC + CD + DN = 3.5 cm，
代入得：(x - 1) + 1 + (y - 1) = 3.5，
化简得x + y - 1 = 3.5，即x + y = 4.5。
又
∵AB = AM + MN + NB = x + 3.5 + y = (x + y) + 3.5，
将x + y = 4.5代入得：AB = 4.5 + 3.5 = 8 (cm)。
【答案】
8
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题关键是灵活运用线段中点的性质，通过设参数的方式将未知线段关联起来，避免直接求单段线段长度的麻烦，同时要注意区分线段重叠部分，避免重复计算。
【难度系数】
0.7
3 如图，O是直线AD上一点，且$∠ BOC = \frac{1}{3}∠ AOC = \frac{2}{3}∠ COD$. 求$∠ BOC$的度数.
答案
设$∠BOC$的度数为$x$.因为$∠BOC=\frac{1}{3}∠AOC=\frac{2}{3}∠COD$，所以$∠AOC=3x$，$∠COD=\frac{3}{2}x$.因为$∠AOC+∠COD=180°$，所以$3x+\frac{3}{2}x=180°$,解得$x=40°$.所以$∠BOC$的度数为$40°$
解析
【分析】
首先观察图形可知A、O、D三点共线，因此∠AOC与∠COD组成平角，和为180°，这是本题的核心等量关系。题目给出了∠BOC与∠AOC、∠COD的比例关系，适合采用方程思想求解：先设∠BOC的度数为x，再根据比例关系将∠AOC和∠COD都用含x的代数式表示，最后代入∠AOC+∠COD=180°的等式，解出x即可得到∠BOC的度数。
【解析】
设$∠BOC$的度数为$x$。
因为$∠BOC=\frac{1}{3}∠AOC=\frac{2}{3}∠COD$，
所以$∠AOC=3x$，$∠COD=\frac{3}{2}x$。
因为O是直线AD上的点，根据平角的定义，$∠AOC+∠COD=180°$，
将∠AOC和∠COD代入等式得：$3x+\frac{3}{2}x=180°$，
合并同类项得$\frac{9}{2}x=180°$，
解得$x=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
平角的定义，角的和差计算，方程思想求角度
【点评】
本题是角度计算的常见基础题型，解题关键是准确识别图形中的平角，找到角度和的等量关系，结合已知的角度比例关系设未知数列方程求解，掌握该方法可高效解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.75
首先观察图形可知A、O、D三点共线，因此∠AOC与∠COD组成平角，和为180°，这是本题的核心等量关系。题目给出了∠BOC与∠AOC、∠COD的比例关系，适合采用方程思想求解：先设∠BOC的度数为x，再根据比例关系将∠AOC和∠COD都用含x的代数式表示，最后代入∠AOC+∠COD=180°的等式，解出x即可得到∠BOC的度数。
【解析】
设$∠BOC$的度数为$x$。
因为$∠BOC=\frac{1}{3}∠AOC=\frac{2}{3}∠COD$，
所以$∠AOC=3x$，$∠COD=\frac{3}{2}x$。
因为O是直线AD上的点，根据平角的定义，$∠AOC+∠COD=180°$，
将∠AOC和∠COD代入等式得：$3x+\frac{3}{2}x=180°$，
合并同类项得$\frac{9}{2}x=180°$，
解得$x=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
平角的定义，角的和差计算，方程思想求角度
【点评】
本题是角度计算的常见基础题型，解题关键是准确识别图形中的平角，找到角度和的等量关系，结合已知的角度比例关系设未知数列方程求解，掌握该方法可高效解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.75
4 如图，B，C 两点把线段 AD 分成 2：5：3 的三部分（BC＞CD＞AB），M 为 AD 的中点，BM＝6 cm，求 CM 和 AD 的长。
（第4题）
（第4题）答案
由题意,可设$AB=2x$ cm,$BC=5x$ cm,$CD=3x$ cm,所以$AD=AB+BC+CD=10x$ cm.因为 M 是 AD 的中点,所以$AM=MD=\frac{1}{2}AD=5x$ cm.所以$BM=AM-AB=5x-2x=3x$(cm).因为$BM=6$ cm,所以$3x=6$,解得$x=2$.所以$BC=10$ cm,$AD=20$ cm.所以$CM=BC-BM=4$ cm
解析
【分析】
本题给出线段AD被B、C分成三部分的比例关系，同时给出AD中点M以及BM的长度，可通过方程思想求解：首先根据三段线段的比例关系，设每份长度为x，将AB、BC、CD用含x的代数式表示，得到AD的总长度表达式；再利用线段中点的性质，表示出AM的长度；结合线段和差关系推出BM与x的等量关系，代入已知BM的长度即可求出x的值，最后代入计算得到CM和AD的长度。
【解析】
解：根据B、C把AD分成2:5:3的三部分，设$AB=2x\ \mathrm{cm}$，$BC=5x\ \mathrm{cm}$，$CD=3x\ \mathrm{cm}$。
则$AD=AB+BC+CD=2x+5x+3x=10x\ \mathrm{cm}$。
∵M是AD的中点，
∴$AM=MD=\frac{1}{2}AD=5x\ \mathrm{cm}$。
由线段和差关系可得：$BM=AM-AB=5x-2x=3x\ \mathrm{cm}$。
已知$BM=6\ \mathrm{cm}$，因此$3x=6$，解得$x=2$。
则$AD=10x=10×2=20\ \mathrm{cm}$，$BC=5x=5×2=10\ \mathrm{cm}$，
$CM=BC-BM=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$CM=4\ \mathrm{cm}$，$AD=20\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段的和差，线段中点的性质，比例线段计算
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，核心是运用方程思想，结合线段比例、中点性质和和差关系建立等量关系求解，熟练掌握线段的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
本题给出线段AD被B、C分成三部分的比例关系，同时给出AD中点M以及BM的长度，可通过方程思想求解：首先根据三段线段的比例关系，设每份长度为x，将AB、BC、CD用含x的代数式表示，得到AD的总长度表达式；再利用线段中点的性质，表示出AM的长度；结合线段和差关系推出BM与x的等量关系，代入已知BM的长度即可求出x的值，最后代入计算得到CM和AD的长度。
【解析】
解：根据B、C把AD分成2:5:3的三部分，设$AB=2x\ \mathrm{cm}$，$BC=5x\ \mathrm{cm}$，$CD=3x\ \mathrm{cm}$。
则$AD=AB+BC+CD=2x+5x+3x=10x\ \mathrm{cm}$。
∵M是AD的中点，
∴$AM=MD=\frac{1}{2}AD=5x\ \mathrm{cm}$。
由线段和差关系可得：$BM=AM-AB=5x-2x=3x\ \mathrm{cm}$。
已知$BM=6\ \mathrm{cm}$，因此$3x=6$，解得$x=2$。
则$AD=10x=10×2=20\ \mathrm{cm}$，$BC=5x=5×2=10\ \mathrm{cm}$，
$CM=BC-BM=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$CM=4\ \mathrm{cm}$，$AD=20\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段的和差，线段中点的性质，比例线段计算
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，核心是运用方程思想，结合线段比例、中点性质和和差关系建立等量关系求解，熟练掌握线段的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
5 如图，$∠ AOB = n°$，平面内有一射线OM，且$∠ AOM = 2∠ BOM$。若ON平分$∠ BOM$，则$∠ AON =$
$\frac{5}{6}n°或\frac{3}{2}n°$
（用含n的代数式表示）。答案
5. $\frac{5}{6}n°或\frac{3}{2}n°$
解析
【分析】
本题需考虑射线OM的位置存在两种可能，需分类讨论求解：①OM在∠AOB内部；②OM在∠AOB外部。先结合已知∠AOM=2∠BOM和∠AOB的度数求出∠BOM的度数，再根据角平分线的性质得到∠BON的度数，最后通过角的和差关系计算∠AON即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当射线OM在∠AOB内部时：
∵$∠ AOM=2∠ BOM$，且$∠ AOM+∠ BOM=∠ AOB=n°$，
∴$2∠ BOM+∠ BOM=n°$，即$3∠ BOM=n°$，解得$∠ BOM=\frac{1}{3}n°$。
∵ON平分$∠ BOM$，
∴$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOM=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}n°=\frac{1}{6}n°$，
∴$∠ AON=∠ AOB-∠ BON=n°-\frac{1}{6}n°=\frac{5}{6}n°$。
2. 当射线OM在∠AOB外部时：
∵$∠ AOM=2∠ BOM$，且$∠ AOM-∠ BOM=∠ AOB=n°$，
∴$2∠ BOM-∠ BOM=n°$，解得$∠ BOM=n°$。
∵ON平分$∠ BOM$，
∴$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOM=\frac{1}{2}n°$，
∴$∠ AON=∠ AOB+∠ BON=n°+\frac{1}{2}n°=\frac{3}{2}n°$。
【答案】
$\frac{5}{6}n°$或$\frac{3}{2}n°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线OM的位置不唯一，仅计算其中一种情况导致漏解，解题时遇到未明确射线位置的角计算问题，要注意分类讨论，考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.65
本题需考虑射线OM的位置存在两种可能，需分类讨论求解：①OM在∠AOB内部；②OM在∠AOB外部。先结合已知∠AOM=2∠BOM和∠AOB的度数求出∠BOM的度数，再根据角平分线的性质得到∠BON的度数，最后通过角的和差关系计算∠AON即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当射线OM在∠AOB内部时：
∵$∠ AOM=2∠ BOM$，且$∠ AOM+∠ BOM=∠ AOB=n°$，
∴$2∠ BOM+∠ BOM=n°$，即$3∠ BOM=n°$，解得$∠ BOM=\frac{1}{3}n°$。
∵ON平分$∠ BOM$，
∴$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOM=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}n°=\frac{1}{6}n°$，
∴$∠ AON=∠ AOB-∠ BON=n°-\frac{1}{6}n°=\frac{5}{6}n°$。
2. 当射线OM在∠AOB外部时：
∵$∠ AOM=2∠ BOM$，且$∠ AOM-∠ BOM=∠ AOB=n°$，
∴$2∠ BOM-∠ BOM=n°$，解得$∠ BOM=n°$。
∵ON平分$∠ BOM$，
∴$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOM=\frac{1}{2}n°$，
∴$∠ AON=∠ AOB+∠ BON=n°+\frac{1}{2}n°=\frac{3}{2}n°$。
【答案】
$\frac{5}{6}n°$或$\frac{3}{2}n°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线OM的位置不唯一，仅计算其中一种情况导致漏解，解题时遇到未明确射线位置的角计算问题，要注意分类讨论，考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.65
6 如图，M为线段AC的中点，点B在线段AC上，N为直线AC上的一点.若$\frac{CN}{BN}=\frac{1}{2}$，AC = 10，BC = 4，则线段MN 的长为
$\frac{11}{3}或9$
.答案
6. $\frac{11}{3}或9$
解析
【分析】
解题时先利用线段中点的性质求出MC的长度，再计算出MB的长度；由于N是直线AC上的点，位置不唯一，因此需要分类讨论：①N在线段BC上，②N在点C的右侧；结合已知的$\frac{CN}{BN}=\frac{1}{2}$的比例关系，分别求出两种情况下CN的长度，最后通过线段的和差计算MN的长度即可。
【解析】
已知$AC=10$，M是线段AC的中点，因此：
$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$
又$BC=4$，因此$MB=MC-BC=5-4=1$。
由$\frac{CN}{BN}=\frac{1}{2}$可得$BN=2CN$，分两种情况讨论：
1. 当N在线段BC上时：
此时$BN+CN=BC=4$，将$BN=2CN$代入得：
$2CN+CN=4$，解得$CN=\frac{4}{3}$
因此$MN=MC-CN=5-\frac{4}{3}=\frac{11}{3}$
2. 当N在点C的右侧时：
此时$BN=BC+CN=4+CN$，将$BN=2CN$代入得：
$4+CN=2CN$，解得$CN=4$
因此$MN=MC+CN=5+4=9$
综上，线段MN的长为$\frac{11}{3}$或9。
【答案】
$\frac{11}{3}$或9
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题的关键是注意“N在直线AC上”这一条件，直线上的点位置不唯一，若忽略分类讨论很容易出现漏解的错误，结合线段比例关系判断所有可能的点的位置是解题的核心。
【难度系数】
0.6
解题时先利用线段中点的性质求出MC的长度，再计算出MB的长度；由于N是直线AC上的点，位置不唯一，因此需要分类讨论：①N在线段BC上，②N在点C的右侧；结合已知的$\frac{CN}{BN}=\frac{1}{2}$的比例关系，分别求出两种情况下CN的长度，最后通过线段的和差计算MN的长度即可。
【解析】
已知$AC=10$，M是线段AC的中点，因此：
$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$
又$BC=4$，因此$MB=MC-BC=5-4=1$。
由$\frac{CN}{BN}=\frac{1}{2}$可得$BN=2CN$，分两种情况讨论：
1. 当N在线段BC上时：
此时$BN+CN=BC=4$，将$BN=2CN$代入得：
$2CN+CN=4$，解得$CN=\frac{4}{3}$
因此$MN=MC-CN=5-\frac{4}{3}=\frac{11}{3}$
2. 当N在点C的右侧时：
此时$BN=BC+CN=4+CN$，将$BN=2CN$代入得：
$4+CN=2CN$，解得$CN=4$
因此$MN=MC+CN=5+4=9$
综上，线段MN的长为$\frac{11}{3}$或9。
【答案】
$\frac{11}{3}$或9
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题的关键是注意“N在直线AC上”这一条件，直线上的点位置不唯一，若忽略分类讨论很容易出现漏解的错误，结合线段比例关系判断所有可能的点的位置是解题的核心。
【难度系数】
0.6
7 已知线段$AB=12$，在$AB$上有$C,D,M,N$四点，且$AC:CD:DB=1:2:3$，$AM=\frac{1}{2}AC$，$DN=\frac{1}{4}DB$.求线段$MN$的长.
答案
因为$AB=12$,$AC:CD:DB=1:2:3$,所以$AC=\frac{1}{6}×12=2$,$CD=\frac{2}{6}×12=4$,$DB=\frac{3}{6}×12=6$.所以$AM=\frac{1}{2}AC=1$,$DN=\frac{1}{4}DB=\frac{3}{2}$. ① 如图①,当点 N 在点 D 右侧时,$MN=MC+CD+DN=2-1+4+\frac{3}{2}=\frac{13}{2}$;② 如图②,当点 N 在点 D 左侧时,$MN=MC+CD-DN=2-1+4-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$.综上所述,线段 MN 的长为$\frac{13}{2}或\frac{7}{2}$
解析
【分析】
解题时首先根据线段AB的总长度和AC、CD、DB的比例关系，求出这三段的长度；再结合AM、DN的数量关系求出MC、DN的长度；最后注意点N的位置没有明确说明，存在两种可能（在点D右侧或左侧），需分类讨论结合线段的和差关系计算MN的长度。
【解析】
解：已知$AB=12$，$AC:CD:DB=1:2:3$，三段总份数为$1+2+3=6$，因此：
$AC=\frac{1}{6}×12=2$，$CD=\frac{2}{6}×12=4$，$DB=\frac{3}{6}×12=6$。
由$AM=\frac{1}{2}AC$，可得$AM=\frac{1}{2}×2=1$，因此$MC=AC-AM=2-1=1$；
由$DN=\frac{1}{4}DB$，可得$DN=\frac{1}{4}×6=\frac{3}{2}$。
分两种情况计算MN的长度：
① 如图①，当点N在点D右侧时：
$MN=MC+CD+DN=1+4+\frac{3}{2}=\frac{13}{2}$；
② 如图②，当点N在点D左侧时：
$MN=MC+CD-DN=1+4-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$。
【答案】
线段MN的长为$\frac{13}{2}$或$\frac{7}{2}$
【知识点】
线段和差计算，比例线段，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查线段的比例运算与和差计算，解题的关键是明确未指明点的位置时，需结合图形分类讨论所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据线段AB的总长度和AC、CD、DB的比例关系，求出这三段的长度；再结合AM、DN的数量关系求出MC、DN的长度；最后注意点N的位置没有明确说明，存在两种可能（在点D右侧或左侧），需分类讨论结合线段的和差关系计算MN的长度。
【解析】
解：已知$AB=12$，$AC:CD:DB=1:2:3$，三段总份数为$1+2+3=6$，因此：
$AC=\frac{1}{6}×12=2$，$CD=\frac{2}{6}×12=4$，$DB=\frac{3}{6}×12=6$。
由$AM=\frac{1}{2}AC$，可得$AM=\frac{1}{2}×2=1$，因此$MC=AC-AM=2-1=1$；
由$DN=\frac{1}{4}DB$，可得$DN=\frac{1}{4}×6=\frac{3}{2}$。
分两种情况计算MN的长度：
① 如图①，当点N在点D右侧时：
$MN=MC+CD+DN=1+4+\frac{3}{2}=\frac{13}{2}$；
② 如图②，当点N在点D左侧时：
$MN=MC+CD-DN=1+4-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$。
【答案】
线段MN的长为$\frac{13}{2}$或$\frac{7}{2}$
【知识点】
线段和差计算，比例线段，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查线段的比例运算与和差计算，解题的关键是明确未指明点的位置时，需结合图形分类讨论所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
8 已知$∠ AOB=α(30°＜α＜45°)$，$∠ AOB$的余角为$∠ AOC$，$∠ AOB$的补角为$∠ BOD$，$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOD$。
(1) 如图，当$α=40°$，且射线$OM$在$∠ AOB$的外部时，用直尺、量角器画出射线$OD$，$ON$的准确位置；
(2) 求(1)中$∠ MON$的度数，要求写出计算过程；
(3) 当射线$OM$在$∠ AOB$的内部时，用含$α$的式子表示$∠ MON$的度数(直接写出结果)。
(1) 如图，当$α=40°$，且射线$OM$在$∠ AOB$的外部时，用直尺、量角器画出射线$OD$，$ON$的准确位置；
(2) 求(1)中$∠ MON$的度数，要求写出计算过程；
(3) 当射线$OM$在$∠ AOB$的内部时，用含$α$的式子表示$∠ MON$的度数(直接写出结果)。
答案
(1) 如图①②所示
(2) 因为$∠AOB=40°$,$∠AOB$ 的余角为$∠AOC$,$∠AOB$ 的补角为$∠BOD$,所以$∠AOC = 90°-∠AOB=50°$,$∠BOD=180°-∠AOB=140°$.因为 OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOD$,所以$∠MOA = \frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}×50°=25°$,$∠BON = \frac{1}{2}∠BOD = \frac{1}{2}×140°=70°$. ① 如图①,$∠MON=∠MOA+∠AOB+∠BON=25°+40°+70°=135°$.② 如图②,$∠MON=∠BON-∠MOA-∠AOB=70°-25°-40°=5°$.所以$∠MON$ 的度数为 $135°或5°$
(3) 如图③④,$∠MON=α+45°或135°-2α$
解析
【分析】
(1) 首先根据余角、补角的定义计算∠AOC和∠BOD的度数，由于射线OD存在两种不同位置（分别在OB的两侧），结合角平分线的定义确定ON的位置，即可准确画出射线OD、ON。
(2) 计算∠MON时，先通过余角、补角的定义求出∠AOC、∠BOD的度数，再利用角平分线的性质得到∠MOA和∠BON的度数，最后结合两种图形的位置特征，通过角的和差关系分别计算∠MON的度数即可。
(3) 当OM在∠AOB内部时，同样分两种OD的位置情况，将α作为已知量代入角的和差关系化简，即可得到对应的表达式。
【解析】
(1) 计算得∠AOC=90°-40°=50°，∠BOD=180°-40°=140°，分两种位置画出OD，再作∠BOD的角平分线ON，所得图形如图①②所示。
(2) 已知∠AOB=40°：
① 根据余角定义，两个角和为90°互为余角，得∠AOC = 90°-∠AOB = 90°-40°=50°；
根据补角定义，两个角和为180°互为补角，得∠BOD = 180°-∠AOB = 180°-40°=140°。
② 因为OM平分∠AOC，所以∠MOA = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×50°=25°；
因为ON平分∠BOD，所以∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×140°=70°。
③ 分两种情况计算：
情况1：如图①，∠MON由三个角相加得到，即∠MON=∠MOA+∠AOB+∠BON=25°+40°+70°=135°；
情况2：如图②，∠MON由大角减小角得到，即∠MON=∠BON-∠MOA-∠AOB=70°-25°-40°=5°。
(3) 当射线OM在∠AOB内部时，同理分两种情况计算，代入含α的量化简可得对应表达式。
【答案】
(1) 如图①②所示
(2) $∠MON$ 的度数为 $135°$或$5°$
(3) $∠MON=α+45°$或$135°-2α$
【知识点】
余角补角定义，角平分线的性质，角的和差计算
【点评】
本题考查角的相关运算，需要结合射线的不同位置分类讨论，解题时要注意全面考虑所有可能的位置情况，避免漏解，对分类讨论思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据余角、补角的定义计算∠AOC和∠BOD的度数，由于射线OD存在两种不同位置（分别在OB的两侧），结合角平分线的定义确定ON的位置，即可准确画出射线OD、ON。
(2) 计算∠MON时，先通过余角、补角的定义求出∠AOC、∠BOD的度数，再利用角平分线的性质得到∠MOA和∠BON的度数，最后结合两种图形的位置特征，通过角的和差关系分别计算∠MON的度数即可。
(3) 当OM在∠AOB内部时，同样分两种OD的位置情况，将α作为已知量代入角的和差关系化简，即可得到对应的表达式。
【解析】
(1) 计算得∠AOC=90°-40°=50°，∠BOD=180°-40°=140°，分两种位置画出OD，再作∠BOD的角平分线ON，所得图形如图①②所示。
(2) 已知∠AOB=40°：
① 根据余角定义，两个角和为90°互为余角，得∠AOC = 90°-∠AOB = 90°-40°=50°；
根据补角定义，两个角和为180°互为补角，得∠BOD = 180°-∠AOB = 180°-40°=140°。
② 因为OM平分∠AOC，所以∠MOA = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×50°=25°；
因为ON平分∠BOD，所以∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×140°=70°。
③ 分两种情况计算：
情况1：如图①，∠MON由三个角相加得到，即∠MON=∠MOA+∠AOB+∠BON=25°+40°+70°=135°；
情况2：如图②，∠MON由大角减小角得到，即∠MON=∠BON-∠MOA-∠AOB=70°-25°-40°=5°。
(3) 当射线OM在∠AOB内部时，同理分两种情况计算，代入含α的量化简可得对应表达式。
【答案】
(1) 如图①②所示
(2) $∠MON$ 的度数为 $135°$或$5°$
(3) $∠MON=α+45°$或$135°-2α$
【知识点】
余角补角定义，角平分线的性质，角的和差计算
【点评】
本题考查角的相关运算，需要结合射线的不同位置分类讨论，解题时要注意全面考虑所有可能的位置情况，避免漏解，对分类讨论思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.6
