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1 已知$∠α = 42°12'$，则与$∠α$互余的角的度数是（
A.$132°12'$
B.$137°48'$
C.$57°48'$
D.$47°48'$
D
）A.$132°12'$
B.$137°48'$
C.$57°48'$
D.$47°48'$
答案
1. D
解析
【分析】
解决本题首先要明确余角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角。因此求与∠α互余的角，只需用90°减去∠α的度数即可。计算时要注意度分秒是60进制，1°=60′，所以需要先把90°转化为89°60′，再分别对度和分做减法运算，最后对照选项选出正确答案。
【解析】
根据余角的定义，与∠α互余的角的度数为：
$90° - ∠α$
已知$∠α = 42°12'$，将90°换算为$89°60'$（因为$1°=60'$），代入计算：
$90° - 42°12' = 89°60' - 42°12' = 47°48'$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；度分秒的换算
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对余角概念的掌握和度分秒的运算能力，计算时需注意度分秒的进制为60进制，借位换算时不要按照10进制计算，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确余角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角。因此求与∠α互余的角，只需用90°减去∠α的度数即可。计算时要注意度分秒是60进制，1°=60′，所以需要先把90°转化为89°60′，再分别对度和分做减法运算，最后对照选项选出正确答案。
【解析】
根据余角的定义，与∠α互余的角的度数为：
$90° - ∠α$
已知$∠α = 42°12'$，将90°换算为$89°60'$（因为$1°=60'$），代入计算：
$90° - 42°12' = 89°60' - 42°12' = 47°48'$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；度分秒的换算
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对余角概念的掌握和度分秒的运算能力，计算时需注意度分秒的进制为60进制，借位换算时不要按照10进制计算，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
2 已知∠A=55°,则∠A 的补角的度数是(
A.25°
B.35°
C.65°
D.125°
D
)A.25°
B.35°
C.65°
D.125°
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先回忆补角的基本定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。要求∠A的补角，只需要用180°减去∠A的度数，代入已知数值计算即可得到结果，解题逻辑简单直接。
【解析】
根据补角的定义可知，互为补角的两个角度数之和为180°。
已知∠A=55°，因此∠A的补角的度数为：
$180° - 55° = 125°$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，直接考查补角定义的应用，牢记互为补角的两个角和为180°即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆补角的基本定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。要求∠A的补角，只需要用180°减去∠A的度数，代入已知数值计算即可得到结果，解题逻辑简单直接。
【解析】
根据补角的定义可知，互为补角的两个角度数之和为180°。
已知∠A=55°，因此∠A的补角的度数为：
$180° - 55° = 125°$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，直接考查补角定义的应用，牢记互为补角的两个角和为180°即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3 方程思想 如果一个角的度数比它补角的2倍多$30°$，那么这个角的度数是
$130°$
.答案
3. $130°$
解析
【分析】
首先明确补角的定义：两个角的和为180°时，这两个角互为补角。本题给出了所求角和它补角的数量关系，适合用方程思想求解：第一步设所求角的度数为未知数，第二步用未知数表示出它的补角，第三步根据题干的等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
设这个角的度数为$ x° $，则它的补角为$ (180-x)° $。
根据题意“这个角的度数比它补角的2倍多$ 30° $”，列方程：
$ x=2(180-x)+30 $
展开计算右侧：$ x=360-2x+30 $
移项合并同类项：$ 3x=390 $
系数化为1：$ x=130 $
【答案】
$ 130° $
【知识点】
补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题关键是熟练掌握补角的性质，准确提取题干中的等量关系建立方程，计算时注意移项的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
首先明确补角的定义：两个角的和为180°时，这两个角互为补角。本题给出了所求角和它补角的数量关系，适合用方程思想求解：第一步设所求角的度数为未知数，第二步用未知数表示出它的补角，第三步根据题干的等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
设这个角的度数为$ x° $，则它的补角为$ (180-x)° $。
根据题意“这个角的度数比它补角的2倍多$ 30° $”，列方程：
$ x=2(180-x)+30 $
展开计算右侧：$ x=360-2x+30 $
移项合并同类项：$ 3x=390 $
系数化为1：$ x=130 $
【答案】
$ 130° $
【知识点】
补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题关键是熟练掌握补角的性质，准确提取题干中的等量关系建立方程，计算时注意移项的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
4 一题多解 若一个角的补角的度数是 $128°16'26''$，则它的余角的度数为
$38°16'26''$
.答案
4. $38°16'26''$
【解析】解法一:因为这个角的补角的度数是$128°16'26''$,所以这个角的度数为 $180°-128°16'26''=51°43'34''$.所以这个角的余角的度数是 $90°-51°43'34''=38°16'26''$. 解法二:因为这个角的补角的度数是 $128°16'26''$,根据“一个锐角的补角比这个角的余角大 $90°$”求解,所以这个角的余角的度数是$128°16'26''-90°=38°16'26''$.
【解析】解法一:因为这个角的补角的度数是$128°16'26''$,所以这个角的度数为 $180°-128°16'26''=51°43'34''$.所以这个角的余角的度数是 $90°-51°43'34''=38°16'26''$. 解法二:因为这个角的补角的度数是 $128°16'26''$,根据“一个锐角的补角比这个角的余角大 $90°$”求解,所以这个角的余角的度数是$128°16'26''-90°=38°16'26''$.
解析
【分析】
解题可采用两种思路：思路1：按照定义分步计算，先根据补角的定义（和为180°的两个角互为补角），用180°减去已知补角的度数得到该角本身的度数，再根据余角的定义（和为90°的两个角互为余角），用90°减去该角的度数即可得到它的余角；思路2：利用同一锐角的补角比它的余角大90°的性质，直接用补角度数减去90°，一步求出余角，计算更简便。
【解析】
解法一：
因为互为补角的两个角度数之和为180°，已知该角的补角为$128°16'26''$，
所以这个角的度数为：$180°-128°16'26''=51°43'34''$
又因为互为余角的两个角度数之和为90°，
所以这个角的余角度数为：$90°-51°43'34''=38°16'26''$
解法二：
根据性质：同一个锐角的补角比它的余角大$90°$，
所以这个角的余角度数 = 补角度数$-90°=128°16'26''-90°=38°16'26''$
【答案】
$38°16'26''$
【知识点】
补角的定义，余角的定义，度分秒的运算
【点评】
本题考查余角、补角的基础计算，两种解法均符合要求，熟练掌握余角和补角的性质可简化计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题可采用两种思路：思路1：按照定义分步计算，先根据补角的定义（和为180°的两个角互为补角），用180°减去已知补角的度数得到该角本身的度数，再根据余角的定义（和为90°的两个角互为余角），用90°减去该角的度数即可得到它的余角；思路2：利用同一锐角的补角比它的余角大90°的性质，直接用补角度数减去90°，一步求出余角，计算更简便。
【解析】
解法一：
因为互为补角的两个角度数之和为180°，已知该角的补角为$128°16'26''$，
所以这个角的度数为：$180°-128°16'26''=51°43'34''$
又因为互为余角的两个角度数之和为90°，
所以这个角的余角度数为：$90°-51°43'34''=38°16'26''$
解法二：
根据性质：同一个锐角的补角比它的余角大$90°$，
所以这个角的余角度数 = 补角度数$-90°=128°16'26''-90°=38°16'26''$
【答案】
$38°16'26''$
【知识点】
补角的定义，余角的定义，度分秒的运算
【点评】
本题考查余角、补角的基础计算，两种解法均符合要求，熟练掌握余角和补角的性质可简化计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
5 已知$∠1=72°$.若$∠1$与$∠2$互补,则$∠2=$
$108°$
;若$∠3=∠1$,则$∠3$的补角的度数为$108°$
,依据是等角的补角相等
.答案
5. $108°$ $108°$ 等角的补角相等
解析
【分析】
解题时首先明确补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。第一个空已知∠1与∠2互补，可直接利用补角定义计算∠2的度数；第二个空已知∠3=∠1，既可以先确定∠3的度数再计算其补角，也可以利用补角的性质直接推导；第三个空对应推导过程用到的补角性质即可。
【解析】
1. 计算∠2的度数：
根据补角的定义，互为补角的两个角之和为180°，已知∠1与∠2互补，因此∠1+∠2=180°。
代入∠1=72°，可得∠2=180°-72°=108°。
2. 计算∠3的补角的度数：
已知∠3=∠1=72°，根据补角定义，∠3的补角=180°-72°=108°；也可根据补角性质推导：因为∠3=∠1，两个相等的角的补角也相等，∠1的补角为108°，因此∠3的补角也为108°。
3. 上述推导的依据为等角的补角相等。
【答案】
$108°$；$108°$；等角的补角相等
【知识点】
补角的定义；等角的补角相等
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查补角的定义与性质，熟练掌握相关基础概念和性质即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。第一个空已知∠1与∠2互补，可直接利用补角定义计算∠2的度数；第二个空已知∠3=∠1，既可以先确定∠3的度数再计算其补角，也可以利用补角的性质直接推导；第三个空对应推导过程用到的补角性质即可。
【解析】
1. 计算∠2的度数：
根据补角的定义，互为补角的两个角之和为180°，已知∠1与∠2互补，因此∠1+∠2=180°。
代入∠1=72°，可得∠2=180°-72°=108°。
2. 计算∠3的补角的度数：
已知∠3=∠1=72°，根据补角定义，∠3的补角=180°-72°=108°；也可根据补角性质推导：因为∠3=∠1，两个相等的角的补角也相等，∠1的补角为108°，因此∠3的补角也为108°。
3. 上述推导的依据为等角的补角相等。
【答案】
$108°$；$108°$；等角的补角相等
【知识点】
补角的定义；等角的补角相等
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查补角的定义与性质，熟练掌握相关基础概念和性质即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9
6 将两块三角尺按如图所示的方式摆放. 已知∠α=36°,则∠β=
$36°$
.答案
6. $36°$
解析
【分析】
首先观察图形可知，两块三角尺的直角顶点重合，两个直角都包含一个公共的重叠角。∠α与这个公共角相加等于三角尺的直角90°，∠β与这个公共角相加也等于90°，由此可知∠α和∠β是同一个角的余角，根据余角的性质即可推出∠β的度数。
【解析】
设两个直角重叠的公共角为∠γ。
由三角尺的特征可知，两个三角尺的该角均为直角，即90°，因此：
$∠α + ∠\gamma = 90°$
$∠β + ∠\gamma = 90°$
根据“同角的余角相等”，可得$∠β = ∠α$。
已知$∠α=36°$，因此$∠β=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
直角的定义，同角的余角相等
【点评】
本题考查余角性质的应用，解题的关键是找到两个角与公共角的数量关系，利用余角性质无需复杂计算即可直接得到答案，是余角相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知，两块三角尺的直角顶点重合，两个直角都包含一个公共的重叠角。∠α与这个公共角相加等于三角尺的直角90°，∠β与这个公共角相加也等于90°，由此可知∠α和∠β是同一个角的余角，根据余角的性质即可推出∠β的度数。
【解析】
设两个直角重叠的公共角为∠γ。
由三角尺的特征可知，两个三角尺的该角均为直角，即90°，因此：
$∠α + ∠\gamma = 90°$
$∠β + ∠\gamma = 90°$
根据“同角的余角相等”，可得$∠β = ∠α$。
已知$∠α=36°$，因此$∠β=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
直角的定义，同角的余角相等
【点评】
本题考查余角性质的应用，解题的关键是找到两个角与公共角的数量关系，利用余角性质无需复杂计算即可直接得到答案，是余角相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
7 将一副三角尺按下列方式进行摆放，$∠ 1,∠ 2$不互补的是 （
D
）答案
7. D
解析
【分析】
解题首先要明确补角的定义：若两个角的度数之和为180°，则这两个角互为补角。首先回忆一副三角尺的各角度数分别为90°、60°、30°和90°、45°、45°，再结合图形特征，逐一分析四个选项中∠1和∠2的度数和是否为180°，即可选出两角不互补的选项。
【解析】
根据补角的定义：两个角的和为180°时，两角互为补角，对各选项逐一判断：
1. 选项A：结合图形可得∠1+∠2=180°，两角互补，不符合题意；
2. 选项B：∠1与它的对顶角相等，且该对顶角与∠2的和为180°，因此∠1+∠2=180°，两角互补，不符合题意；
3. 选项C：∠1=90°，∠2=90°，∠1+∠2=180°，两角互补，不符合题意；
4. 选项D：结合三角尺的角度特征，可得∠1+∠2=90°≠180°，两角不互补，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 补角的定义
2. 对顶角的性质
3. 三角尺角度特征
【点评】
本题是基础类题目，重点考查补角概念的应用，解题时需要结合三角尺的角度特点和简单的角度运算，逐一排查即可得到答案，能够帮助学生巩固补角的相关概念。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确补角的定义：若两个角的度数之和为180°，则这两个角互为补角。首先回忆一副三角尺的各角度数分别为90°、60°、30°和90°、45°、45°，再结合图形特征，逐一分析四个选项中∠1和∠2的度数和是否为180°，即可选出两角不互补的选项。
【解析】
根据补角的定义：两个角的和为180°时，两角互为补角，对各选项逐一判断：
1. 选项A：结合图形可得∠1+∠2=180°，两角互补，不符合题意；
2. 选项B：∠1与它的对顶角相等，且该对顶角与∠2的和为180°，因此∠1+∠2=180°，两角互补，不符合题意；
3. 选项C：∠1=90°，∠2=90°，∠1+∠2=180°，两角互补，不符合题意；
4. 选项D：结合三角尺的角度特征，可得∠1+∠2=90°≠180°，两角不互补，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 补角的定义
2. 对顶角的性质
3. 三角尺角度特征
【点评】
本题是基础类题目，重点考查补角概念的应用，解题时需要结合三角尺的角度特点和简单的角度运算，逐一排查即可得到答案，能够帮助学生巩固补角的相关概念。
【难度系数】
0.7
8 若$∠ 1$与$∠ 2$互为余角，$∠ 1$与$∠ 3$互为补角，则下列结论错误的是（
A.$∠ 3 - ∠ 2 = 90°$
B.$∠ 3 + ∠ 2 + 2∠ 1 = 270°$
C.$∠ 3 - ∠ 1 = 2∠ 2$
D.$∠ 3 - ∠ 2 = 2∠ 1$
D
）A.$∠ 3 - ∠ 2 = 90°$
B.$∠ 3 + ∠ 2 + 2∠ 1 = 270°$
C.$∠ 3 - ∠ 1 = 2∠ 2$
D.$∠ 3 - ∠ 2 = 2∠ 1$
答案
8. D
解析
【分析】
首先根据余角和补角的定义，先将题目中的角的关系转化为等式：互为余角的两个角和为90°，可得∠1+∠2=90°；互为补角的两个角和为180°，可得∠1+∠3=180°。接下来可以通过两个等式的加减变形，或者给∠1赋一个具体的度数，分别算出∠2和∠3的度数，再逐个验证四个选项是否正确，找出错误的选项即可。
【解析】
根据余角、补角的定义可得：
∵ ∠1与∠2互为余角，
∴ ∠1 + ∠2 = 90° ①
∵ ∠1与∠3互为补角，
∴ ∠1 + ∠3 = 180° ②
我们逐一验证选项：
选项A：用②式减去①式，得(∠1+∠3) - (∠1+∠2) = 180° - 90°，化简得∠3 - ∠2 = 90°，结论正确，不符合题意。
选项B：用①式加上②式，得(∠1+∠2) + (∠1+∠3) = 90° + 180°，化简得∠3 + ∠2 + 2∠1 = 270°，结论正确，不符合题意。
选项C：由①式得∠2 = 90° - ∠1，故2∠2 = 180° - 2∠1；由②式得∠3 = 180° - ∠1，故∠3 - ∠1 = 180° - ∠1 - ∠1 = 180° - 2∠1，所以∠3 - ∠1 = 2∠2，结论正确，不符合题意。
选项D：由选项A可知∠3 - ∠2 = 90°，只有当∠1=45°时才有2∠1=90°，∠1为任意余角时该等式不恒成立，结论错误，符合题意。
也可通过赋值法验证：设∠1=30°，则∠2=60°，∠3=150°，代入D选项得左边=150°-60°=90°，右边=2×30°=60°，左右不相等，D错误。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义、补角的定义、等式的性质
【点评】
本题属于基础类题型，核心是熟练掌握余角、补角对应的角度和的数量关系，既可以通过等式变形推导结论，也可以用赋值法快速验证选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
首先根据余角和补角的定义，先将题目中的角的关系转化为等式：互为余角的两个角和为90°，可得∠1+∠2=90°；互为补角的两个角和为180°，可得∠1+∠3=180°。接下来可以通过两个等式的加减变形，或者给∠1赋一个具体的度数，分别算出∠2和∠3的度数，再逐个验证四个选项是否正确，找出错误的选项即可。
【解析】
根据余角、补角的定义可得：
∵ ∠1与∠2互为余角，
∴ ∠1 + ∠2 = 90° ①
∵ ∠1与∠3互为补角，
∴ ∠1 + ∠3 = 180° ②
我们逐一验证选项：
选项A：用②式减去①式，得(∠1+∠3) - (∠1+∠2) = 180° - 90°，化简得∠3 - ∠2 = 90°，结论正确，不符合题意。
选项B：用①式加上②式，得(∠1+∠2) + (∠1+∠3) = 90° + 180°，化简得∠3 + ∠2 + 2∠1 = 270°，结论正确，不符合题意。
选项C：由①式得∠2 = 90° - ∠1，故2∠2 = 180° - 2∠1；由②式得∠3 = 180° - ∠1，故∠3 - ∠1 = 180° - ∠1 - ∠1 = 180° - 2∠1，所以∠3 - ∠1 = 2∠2，结论正确，不符合题意。
选项D：由选项A可知∠3 - ∠2 = 90°，只有当∠1=45°时才有2∠1=90°，∠1为任意余角时该等式不恒成立，结论错误，符合题意。
也可通过赋值法验证：设∠1=30°，则∠2=60°，∠3=150°，代入D选项得左边=150°-60°=90°，右边=2×30°=60°，左右不相等，D错误。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义、补角的定义、等式的性质
【点评】
本题属于基础类题型，核心是熟练掌握余角、补角对应的角度和的数量关系，既可以通过等式变形推导结论，也可以用赋值法快速验证选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
9（1）将一副三角尺按如图①所示的方式叠放，使直角顶点重合于点O，则∠AOB + ∠DOC=
$180°$
；（2）将一副三角尺按如图②所示的方式叠放，则∠CDE与∠ADC之间的数量关系是$∠ CDE+∠ ADC=180°$
。答案
9. (1) $180°$ (2) $∠ CDE+∠ ADC=180°$
解析
【分析】
（1）第一问先明确叠放的两个三角尺的直角均为90°，即∠AOC=∠BOD=90°，将∠AOB拆分为∠AOC与∠COB的和，代入∠AOB+∠DOC后，可发现∠COB与∠DOC的和恰好是∠BOD，代入两个直角的度数即可求出结果。
（2）第二问先观察角度关系，利用“同角的余角相等”得到∠CDF=∠EDB，再结合平角为180°、三角尺的直角为90°，将∠CDE和∠ADC分别用含相同角的式子表示，相加后抵消公共角即可得到两者的数量关系。
【解析】
（1）由三角尺的特征可知，∠AOC=90°，∠DOB=90°。
∵ ∠AOB = ∠AOC + ∠COB，
∴ ∠AOB + ∠DOC = ∠AOC + ∠COB + ∠DOC = ∠AOC + (∠COB + ∠DOC) = ∠AOC + ∠DOB = 90° + 90° = 180°。
（2）由三角尺的特征可知，∠EDF=90°，∠ACB=90°。
∵ ∠EDB + ∠BDF = ∠EDF = 90°，∠CDF + ∠BDF = ∠ACB = 90°，
∴ ∠EDB = ∠CDF（同角的余角相等）。
∵ ∠ADC + ∠BDC = 180°，∠BDC = ∠EDB + ∠EDF = ∠EDB + 90°，
∴ ∠ADC = 180° - (∠EDB + 90°) = 90° - ∠EDB。
又
∵ ∠CDE = ∠EDF + ∠CDF = 90° + ∠CDF，且∠CDF=∠EDB，
∴ ∠CDE + ∠ADC = 90° + ∠CDF + 90° - ∠EDB = 180°。
【答案】
（1）$\boxed{180°}$；（2）$\boxed{∠ CDE + ∠ ADC = 180°}$
【知识点】
角的和差计算，余角的性质，补角的定义
【点评】
本题结合三角尺叠放的常见情境考查角度的运算，解题的核心是熟练掌握角的和差关系、余角和补角的基本性质，能结合图形拆分或合并角度，是对基础几何运算能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
（1）第一问先明确叠放的两个三角尺的直角均为90°，即∠AOC=∠BOD=90°，将∠AOB拆分为∠AOC与∠COB的和，代入∠AOB+∠DOC后，可发现∠COB与∠DOC的和恰好是∠BOD，代入两个直角的度数即可求出结果。
（2）第二问先观察角度关系，利用“同角的余角相等”得到∠CDF=∠EDB，再结合平角为180°、三角尺的直角为90°，将∠CDE和∠ADC分别用含相同角的式子表示，相加后抵消公共角即可得到两者的数量关系。
【解析】
（1）由三角尺的特征可知，∠AOC=90°，∠DOB=90°。
∵ ∠AOB = ∠AOC + ∠COB，
∴ ∠AOB + ∠DOC = ∠AOC + ∠COB + ∠DOC = ∠AOC + (∠COB + ∠DOC) = ∠AOC + ∠DOB = 90° + 90° = 180°。
（2）由三角尺的特征可知，∠EDF=90°，∠ACB=90°。
∵ ∠EDB + ∠BDF = ∠EDF = 90°，∠CDF + ∠BDF = ∠ACB = 90°，
∴ ∠EDB = ∠CDF（同角的余角相等）。
∵ ∠ADC + ∠BDC = 180°，∠BDC = ∠EDB + ∠EDF = ∠EDB + 90°，
∴ ∠ADC = 180° - (∠EDB + 90°) = 90° - ∠EDB。
又
∵ ∠CDE = ∠EDF + ∠CDF = 90° + ∠CDF，且∠CDF=∠EDB，
∴ ∠CDE + ∠ADC = 90° + ∠CDF + 90° - ∠EDB = 180°。
【答案】
（1）$\boxed{180°}$；（2）$\boxed{∠ CDE + ∠ ADC = 180°}$
【知识点】
角的和差计算，余角的性质，补角的定义
【点评】
本题结合三角尺叠放的常见情境考查角度的运算，解题的核心是熟练掌握角的和差关系、余角和补角的基本性质，能结合图形拆分或合并角度，是对基础几何运算能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
10 方程思想 如图，$∠ AOB$ 和 $∠ AOD$ 分别是$∠ AOC$ 的余角和补角，且 $OC$ 是$∠ BOD$ 的平分线.求$∠ AOC$ 的度数.
答案
10. 由题意,得$∠ AOB+∠ AOC=90°,∠ AOD+∠ AOC=180°$.
可设$∠ AOC=x°$,则$∠ AOB=(90-x)°,∠ AOD=(180-x)°$.
因为 OC 是$∠ BOD$ 的平分线,所以 $∠ DOC=∠ BOC$. 所以$∠ AOD-∠ AOC=∠ AOC-∠ AOB$. 所以 $180-x-x=x-(90-x)$,解得 $x=67.5$. 所以$∠ AOC=67.5°$
可设$∠ AOC=x°$,则$∠ AOB=(90-x)°,∠ AOD=(180-x)°$.
因为 OC 是$∠ BOD$ 的平分线,所以 $∠ DOC=∠ BOC$. 所以$∠ AOD-∠ AOC=∠ AOC-∠ AOB$. 所以 $180-x-x=x-(90-x)$,解得 $x=67.5$. 所以$∠ AOC=67.5°$
解析
【分析】
解题时首先利用余角和补角的定义，梳理出∠AOB与∠AOC、∠AOD与∠AOC的数量关系；再设∠AOC的度数为未知数，用含未知数的式子表示出∠AOB和∠AOD；接着结合角平分线的性质得到∠DOC=∠BOC，将这两个角转化为已知角的和差形式，即可列出方程求解未知数，得到∠AOC的度数。
【解析】
解：根据余角和补角的定义，可得：
$∠ AOB + ∠ AOC = 90°$，$∠ AOD + ∠ AOC = 180°$
设$∠ AOC = x°$，则$∠ AOB = (90-x)°$，$∠ AOD = (180-x)°$
∵ OC是$∠ BOD$的平分线
∴ $∠ DOC = ∠ BOC$
又
∵ $∠ DOC = ∠ AOD - ∠ AOC$，$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB$
∴ $∠ AOD - ∠ AOC = ∠ AOC - ∠ AOB$
代入表达式得：
$180 - x - x = x - (90 - x)$
解方程：
$180 - 2x = 2x - 90$
$4x = 270$
$x = 67.5$
【答案】
$∠ AOC=67.5°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角平分线的定义
【点评】
本题是典型的角度计算类题目，将余角、补角的性质与角平分线的性质结合，通过设未知数列方程的方式求解，解题关键是准确梳理各角度之间的和差关系，找到等量关系列方程。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用余角和补角的定义，梳理出∠AOB与∠AOC、∠AOD与∠AOC的数量关系；再设∠AOC的度数为未知数，用含未知数的式子表示出∠AOB和∠AOD；接着结合角平分线的性质得到∠DOC=∠BOC，将这两个角转化为已知角的和差形式，即可列出方程求解未知数，得到∠AOC的度数。
【解析】
解：根据余角和补角的定义，可得：
$∠ AOB + ∠ AOC = 90°$，$∠ AOD + ∠ AOC = 180°$
设$∠ AOC = x°$，则$∠ AOB = (90-x)°$，$∠ AOD = (180-x)°$
∵ OC是$∠ BOD$的平分线
∴ $∠ DOC = ∠ BOC$
又
∵ $∠ DOC = ∠ AOD - ∠ AOC$，$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB$
∴ $∠ AOD - ∠ AOC = ∠ AOC - ∠ AOB$
代入表达式得：
$180 - x - x = x - (90 - x)$
解方程：
$180 - 2x = 2x - 90$
$4x = 270$
$x = 67.5$
【答案】
$∠ AOC=67.5°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角平分线的定义
【点评】
本题是典型的角度计算类题目，将余角、补角的性质与角平分线的性质结合，通过设未知数列方程的方式求解，解题关键是准确梳理各角度之间的和差关系，找到等量关系列方程。
【难度系数】
0.7
