8 已知点 P 在$∠ MAN$的内部,有下列等式:
① $∠ PAN = ∠ MAP$;② $∠ PAN = \frac{1}{2}∠ MAN$;
③ $∠ MAP = \frac{1}{2}∠ MAN$; ④ $∠ MAN = 2∠ MAP$.其中,能表示射线 AP 是$∠ MAN$的平分线的共有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

8. D

【分析】
解题前先明确两个关键点：一是角平分线的定义：从角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；二是题目给出的前提“点P在∠MAN的内部”，说明射线AP一定在∠MAN的内部，不存在AP在角外的情况。我们只需结合定义逐一验证4个等式是否满足“AP把∠MAN分成两个相等的小角”即可。
【解析】
已知点P在∠MAN内部，因此射线AP在∠MAN的内部。
根据角平分线的定义：若射线AP是∠MAN的平分线，则满足∠MAP=∠PAN=½∠MAN，也可推导为∠MAN=2∠MAP=2∠PAN。
逐一验证：
①∠PAN=∠MAP，直接满足两个小角相等，可说明AP是∠MAN的平分线；
②∠PAN=½∠MAN，结合∠MAP=∠MAN-∠PAN，可得∠MAP=½∠MAN，即∠PAN=∠MAP，可说明AP是角平分线；
③∠MAP=½∠MAN，同理可得∠PAN=½∠MAN，即∠PAN=∠MAP，可说明AP是角平分线；
④∠MAN=2∠MAP，可变形为∠MAP=½∠MAN，同理可得∠PAN=½∠MAN，即∠PAN=∠MAP，可说明AP是角平分线。
综上，4个等式都能表示AP是∠MAN的平分线。
【答案】
D
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的倍分运算
【点评】
本题核心是对角平分线定义的理解，解题时要特别注意题干给出的“点P在角内部”的前提条件，若缺少该前提，仅靠②③④式无法确定AP在角内，就不能判定AP是角平分线，审题时需抓住这类限定条件。
【难度系数】
0.8

9 如图，OE平分$∠ BOC$，OD平分$∠ AOC$。若$∠ AOB=130°$，$∠ BOE=40°$，则$∠ AOD$的度数为
（）


A.$25°$
B.$30°$
C.$24°$
D.$35°$

9. A

【分析】
解题时先结合角平分线的性质推导已知角对应的整角大小，再通过角的和差关系求出未知角的大小，具体步骤为：①根据OE是∠BOC的角平分线，结合∠BOE的度数求出∠BOC的度数；②用∠AOB的度数减去∠BOC的度数得到∠AOC的度数；③根据OD是∠AOC的角平分线，求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵OE平分∠BOC，∠BOE=40°
∴∠BOC=2∠BOE=2×40°=80°
∵∠AOB=130°
∴∠AOC=∠AOB - ∠BOC=130° - 80°=50°
又
∵OD平分∠AOC
∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×50°=25°
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础典型题，需要熟练掌握角平分线的定义，结合图形理清各个角之间的数量关系，按逻辑逐步推导即可求解，是角的运算章节的常考题型。
【难度系数】
0.8

10 教材P188复习题T11变式 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点$A'$，$B'$，$E$在同一直线上。若$∠ AEN=35°$，则$∠ MEB'$的度数为（）


A.$65°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$35°$

10. C

【分析】
解题时先利用折叠的性质确定折痕对应的相等角，再结合平角为180°的特征，推导已知角和所求角的数量关系，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据折叠的性质可知：
$∠ AEN=∠ A'EN$，$∠ BEM=∠ B'EM$
∵点$A$、$E$、$B$在同一直线上，$∠ AEB=180°$
∴$∠ AEN+∠ A'EN+∠ BEM+∠ B'EM=180°$
代入相等的角可得：$2∠ AEN + 2∠ MEB'=180°$
化简得：$∠ AEN + ∠ MEB'=90°$
已知$∠ AEN=35°$，则$∠ MEB'=90°-35°=55°$
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角度计算
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，结合折叠变换考查角的相关性质，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特征，结合平角的度数建立角度关系即可求解，思路清晰易掌握。
【难度系数】
0.8

11 如图,点 C,O,D 在同一条直线上,∠AOC=40°,∠BOD=50°,OM,ON 分别是∠AOC,∠BOD 的平分线,则∠MON=。（第11题）

11. $135°$ 【解析】因为$∠AOC=40°,∠BOD=50°$,所以$∠AOB=90°$.因为OM,ON 分别是$∠AOC,∠BOD$的平分线，所以$∠MOA=\frac{1}{2}∠AOC=20°,∠NOB=\frac{1}{2}∠BOD=25°$.所以$∠MON=∠MOA+∠AOB+∠NOB=135°$.

【分析】
解题时首先利用平角的性质：点C、O、D共线说明∠COD=180°，用180°减去已知的∠AOC和∠BOD就能得到中间∠AOB的度数；再根据角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个相等的小角，分别算出∠MOA和∠NOB的度数；最后观察图形可知∠MON由∠MOA、∠AOB、∠NOB三个角组成，将三个角的度数相加即可得到结果。
【解析】
∵点C，O，D在同一条直线上，
∴∠COD=180°，
已知∠AOC=40°，∠BOD=50°，
∴∠AOB=∠COD - ∠AOC - ∠BOD=180°-40°-50°=90°，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴$∠ MOA=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
∵ON是∠BOD的平分线，
∴$∠ NOB=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×50°=25°$，
∴∠MON=∠MOA + ∠AOB + ∠NOB=20°+90°+25°=135°。
【答案】
$135°$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是理清图中各角的和差关系，结合角平分线的性质逐步计算即可，计算时注意不要出现角度加减的低级错误。
【难度系数】
0.85

12 分类讨论思想 已知$∠ AOB=70°,∠ BOC=50°,OD$是$∠ AOC$的平分线,则$∠ BOD$的度数为.

12. $10°或60°$

【分析】
题目未明确射线OC的位置，因此需分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部；②OC在∠AOB外部。首先分别计算两种情况下∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出对应角的度数，最后利用角的和差关系计算∠BOD的度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当OC在∠AOB内部时：
∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 70° - 50° = 20°
∵OD是∠AOC的平分线
∴∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×20° = 10°
∴∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 50° + 10° = 60°
2. 当OC在∠AOB外部时：
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 70° + 50° = 120°
∵OD是∠AOC的平分线
∴∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×120° = 60°
∴∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 70° - 60° = 10°
综上，∠BOD的度数为10°或60°。
【答案】
10°或60°
【知识点】
角的和差运算、角平分线的定义、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略射线OC的位置不确定性，遗漏其中一种情况，解题时要结合图形全面分析，再利用角平分线性质和角的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.6

13 如图，BD平分∠ABC，BE把∠ABC分成2：5的两部分（∠ABE ＜ ∠CBE），∠DBE=18°. 求∠ABC的度数. （第13题）

13. 因为 BE 把$∠ABC$ 分成 2:5 的两部分，所以可设$∠ABE=2x,∠CBE=5x$.所以$∠ABC=∠ABE+∠CBE=7x$.因为 BD 平分$∠ABC$,所以$∠ABD=∠CBD$.因为$∠DBE=18°$,所以$∠ABD=∠ABE+∠DBE=2x+18°$,$∠CBD=∠CBE-∠DBE=5x-18°$.所以$2x+18°=5x-18°$,解得$x=12°$.所以$∠ABC=7x=84°$

【分析】
遇到已知角的比例关系的角度计算问题，可采用设未知数的方法简化计算：首先根据BE分∠ABC为2:5的比例关系，设每份角度为x，用含x的式子表示出∠ABE和∠CBE；再结合角平分线的定义，可知BD平分∠ABC得到的两个角相等，结合∠DBE=18°，分别用含x的式子表示出被BD平分的两个角，建立方程求解x的取值，最后计算∠ABC的总度数即可。
【解析】
因为BE把∠ABC分成2:5的两部分，且∠ABE＜∠CBE，所以设∠ABE=2x，∠CBE=5x，则∠ABC=∠ABE+∠CBE=2x+5x=7x。
因为BD平分∠ABC，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD。
已知∠DBE=18°，所以∠ABD=∠ABE+∠DBE=2x+18°，∠CBD=∠CBE-∠DBE=5x-18°。
列方程得：$2x+18°=5x-18°$
移项合并同类项得：$3x=36°$
解得：$x=12°$
因此$∠ ABC=7x=7×12°=84°$
【答案】
$84°$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，方程思想求角度
【点评】
本题是角度计算的常规基础题，将角的比例关系与角平分线性质结合考查，解题核心是通过设未知数建立等量关系，掌握方程思想在几何计算中的应用可以快速解决这类题型。
【难度系数】
0.7

14 如图，$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=30°$，$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$.
(1) 求$∠ MON$的度数；
(2) 若将题目中的“$∠ AOB=90°$”改为“$∠ AOB=α$”，其他条件不变，求$∠ MON$的度数；
(3) 若将题目中的“$∠ BOC=30°$”改为“$∠ BOC=β$（$β$为锐角）”，其他条件不变，求$∠ MON$的度数；
(4) 探究：从(1)(2)(3)中，你发现了什么规律？

14.（1）因为$∠AOB=90°,∠BOC=30°$,所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°$. 因为 OM 平分$∠AOC$, ON 平分$∠BOC$,所以$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC=60°$,$∠CON=\frac{1}{2}∠BOC=15°$.所以$∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°$
（2）因为$∠AOB=α,∠BOC=30°$,所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+30°$.因为 OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOC$,所以$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(α+30°)$,$∠CON=\frac{1}{2}∠BOC=15°$. 所以$∠MON=∠COM-∠CON=\frac{1}{2}(α+30°)-15°=\frac{1}{2}α$
（3）因为$∠AOB=90°,∠BOC=β$,所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+β$.因为 OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOC$,所以$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(90°+β)$,$∠CON=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}β$. 所以$∠MON=∠COM-∠CON=\frac{1}{2}(90°+β)-\frac{1}{2}β=45°$
（4）$∠MON=\frac{1}{2}∠AOB$,$∠MON$ 的度数与$∠BOC$ 的度数无关

【分析】
本题解题核心是利用角平分线的定义将未知角用已知角表示。要求∠MON，观察图形可知∠MON=∠COM-∠CON，因此先求出∠AOC的度数，再根据角平分线性质分别求出∠COM、∠CON的度数，作差即可得到结果；(2)(3)问为含字母的角度推导，沿用相同思路，把数值替换为对应字母化简即可；最后对比三问结果总结规律即可。
【解析】
(1) 已知$∠AOB=90°$，$∠BOC=30°$，因此$∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°$。
因为OM平分$∠AOC$，ON平分$∠BOC$，根据角平分线的定义可得：
$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×120°=60°$，$∠CON=\frac{1}{}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×30°=15°$，
所以$∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°$。
(2) 若$∠AOB=α$，$∠BOC=30°$，则$∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+30°$。
因为OM平分$∠AOC$，ON平分$∠BOC$，可得：
$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(α+30°)$，$∠CON=\frac{1}{2}∠BOC=15°$，
所以$∠MON=∠COM-∠CON=\frac{1}{2}(α+30°)-15°=\frac{1}{2}α$。
(3) 若$∠BOC=β$（$β$为锐角），$∠AOB=90°$，则$∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+β$。
因为OM平分$∠AOC$，ON平分$∠BOC$，可得：
$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(90°+β)$，$∠CON=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}β$，
所以$∠MON=∠COM-∠CON=\frac{1}{2}(90°+β)-\frac{1}{2}β=45°$。
(4) 对比(1)(2)(3)的结果可发现规律：$∠MON=\frac{1}{2}∠AOB$，$∠MON$的度数与$∠BOC$的度数无关。
【答案】
(1) $45°$
(2) $\frac{1}{2}α$
(3) $45°$
(4) $∠MON=\frac{1}{2}∠AOB$，$∠MON$的度数与$∠BOC$的度数无关
【知识点】
角平分线的定义、角的和差运算、规律探究
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究思路，重点考察角平分线性质的应用，解题关键是准确找到待求角与已知角之间的和差关系，得出的规律可帮助快速解决同类型角度计算问题。
【难度系数】
0.75