9 如图，C，D 是线段 AB 上的任意两点，E 是 AC 的中点，F 是 BD 的中点。如果 $ EF = m $，$ CD = n $，那么线段 AB 的长度为（）


A.$ m + n $
B.$ 2m + n $
C.$ 2m - n $
D.$ 3m - 2n $

9. C

【分析】
解题时先利用线段中点的性质，得到EC与AC、DF与BD的数量关系；再观察线段EF的组成，它由EC、CD、DF三部分组成，结合已知的EF和CD的长度，可求出EC与DF的和；最后将AB拆分为AC、CD、BD三部分，把AC和BD用EC、DF表示后代入计算，即可得到AB的长度。
【解析】
∵ E是AC的中点，
∴ $EC = \frac{1}{2}AC$，即 $AC=2EC$
∵ F是BD的中点，
∴ $DF = \frac{1}{2}BD$，即 $BD=2DF$
由图可知，$EF = EC + CD + DF$
已知$EF=m$，$CD=n$，代入得：
$EC + DF = EF - CD = m - n$
又
∵ 线段$AB = AC + CD + BD$
将$AC=2EC$，$BD=2DF$代入得：
$AB = 2EC + CD + 2DF = 2(EC + DF) + CD$
把$EC+DF=m-n$，$CD=n$代入上式：
$AB = 2(m-n) + n = 2m - 2n + n = 2m - n$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，核心是通过中点性质将未知线段长度转化为已知线段的表达式，解题时要注意观察线段的组成，合理拆分线段，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

10 如图,在长方形纸片ABCD中,M为边AD的中点.将纸片沿BM,CM折叠,使点A落在点$A_1$处,点D落在点$D_1$处.若$∠ 1=30°$,则$∠ BMC$的度数为.

10. 105°

【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，因此可得∠AMB=∠A₁MB，∠DMC=∠D₁MC。其次，AD是直线，平角为180°，即AD边上所有以M为顶点的角之和为180°，结合已知∠1=30°，可先求出∠A₁MB与∠D₁MC的和，最后加上∠1的度数即可得到∠BMC的度数。
【解析】
根据折叠的性质可得：$∠ AMB = ∠ A_1MB$，$∠ DMC = ∠ D_1MC$。
∵点A、M、D在同一直线上，$∠ AMD = 180°$，
∴$∠ AMB + ∠ A_1MB + ∠ 1 + ∠ DMC + ∠ D_1MC = 180°$，
将$∠ 1=30°$代入得：
$2∠ A_1MB + 2∠ D_1MC = 180° - 30° = 150°$，
∴$∠ A_1MB + ∠ D_1MC = 75°$，
∴$∠ BMC = ∠ A_1MB + ∠ D_1MC + ∠ 1 = 75° + 30° = 105°$。
【答案】
$105°$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题解题的核心是利用折叠前后对应角相等的性质，理清各个角之间的数量关系，结合平角的性质进行角的运算，属于基础的角度计算题型。
【难度系数】
0.7

11 如图，C，D 是线段 AB 上的两点，已知 AB=10 cm，CD=3 cm，则以 A，C，D，B 为端点的所有线段长度之和为 cm.

11. 33

【分析】
首先先确定以A、C、D、B为端点的所有线段，共有6条，分别是AC、AD、AB、CD、CB、DB。解题时不需要单独计算每条未知线段的长度，可利用线段的和差关系，把这些线段的和转化为已知长度的AB和CD的组合，用整体代换的方法计算总和，简化计算过程。
【解析】
解：以A，C，D，B为端点的所有线段分别为：AC、AD、AB、CD、CB、DB。
它们的长度之和为：
$\begin{aligned}&\phantom{=}AC+AD+AB+CD+CB+DB\\&=(AC+CB)+(AD+DB)+AB+CD\\&=AB+AB+AB+CD\\&=3AB+CD\end{aligned}$
已知$AB=10\mathrm{cm}$，$CD=3\mathrm{cm}$，代入得：
$3×10 +3=33(\mathrm{cm})$
【答案】
33
【知识点】
线段的计数；线段的和差计算；整体代换思想
【点评】
本题考查线段和的计算，解题的核心是准确数出所有线段，再利用线段和差关系将所求总和转化为已知线段的组合，借助整体代换思想简化计算，避免逐个求解未知线段长度。
【难度系数】
0.7

12 如图，$∠ AOB$ 是平角，$OM$，$ON$ 分别是$∠ AOC$，$∠ BOD$ 的平分线.
（1）当$∠ MON=140°$时，求$∠ COD$ 的度数；
（2）当$∠ COD=α$时，求$∠ MON$ 的度数.

(1) 因为$∠AOB$是平角,所以$∠AOB=180°$.因为 OM,ON分别是$∠AOC,∠BOD$ 的平分线,所以$∠AOC=2∠AOM$,$∠BOD=2∠BON$.所以$∠COD=180°-(∠AOC+∠BOD)=180°-2(∠AOM+∠BON)=180°-2(180°-∠MON)=2∠MON-180°=2×140°-180°=100°$
(2) $∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON = \frac{1}{2}∠AOC + \frac{1}{2}∠BOD + ∠COD=\frac{1}{2}(180°-∠COD)+∠COD=90°+\frac{1}{2}∠COD=90°+\frac{1}{2}α$

【分析】
（1）首先明确平角∠AOB度数为180°，结合角平分线的性质，可将∠AOC、∠BOD分别转化为2倍的∠AOM、∠BON。先通过∠MON的度数求出∠AOM与∠BON的和，再利用平角的定义，用180°减去∠AOC与∠BOD的和即可得到∠COD的度数。
（2）已知∠COD=α时，先求出∠AOC与∠BOD的和为180°-α，再根据角平分线的性质得到∠MOC与∠DON的和等于∠AOC、∠BOD之和的一半，最后将∠MOC+∠DON与∠COD相加，就能求出∠MON的度数，解题时可运用整体思想简化计算。
【解析】
（1）
∵∠AOB是平角，
∴∠AOB=180°。
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON。
∴∠AOM+∠BON=180°-∠MON=180°-140°=40°，
则∠AOC+∠BOD=2(∠AOM+∠BON)=2×40°=80°，
∴∠COD=∠AOB-(∠AOC+∠BOD)=180°-80°=100°。
（2）当∠COD=α时，∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=180°-α，
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠MOC+∠DON=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)=$\frac{1}{2}$(180°-α)，
则∠MON=∠MOC+∠DON+∠COD=$\frac{1}{2}$(180°-α)+α=90°+$\frac{1}{2}$α。
【答案】
（1）$\boxed{100°}$；（2）$\boxed{90°+\dfrac{1}{2}α}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的性质，角的和差计算
【点评】
本题主要考查角的运算，解题核心是利用角平分线的性质转化角的倍数关系，结合平角的定义梳理各个角之间的和差关系，运用整体思想处理角的运算可有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7

13 已知O是直线AB上的一点，$∠ COD=90°$，OE平分$∠ BOC$.
(1) 如图①，若$∠ AOC=40°$，则$∠ DOE=$.
(2) 如图①，若$∠ AOC=α$，求$∠ DOE$的度数(用含$α$的式子表示).
(3) 将图①中的$∠ COD$绕顶点O按顺时针方向旋转至如图②所示的位置，其他条件不变，那么(2)中所求得的结论是否仍然成立？请说明理由.

(1) $20°$
(2) 因为$∠AOC=α$,所以$∠BOC=180°-α$.因为OE平分$∠BOC$,所以$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=90°-\frac{1}{2}α$.又因为$∠COD = 90°$,所以$∠DOE = ∠COD - ∠COE = 90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$
(3) 结论仍然成立 理由:因为$∠AOC=α$,所以$∠BOC=180°-α$.因为 OE 平分$∠BOC$,所以$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=90°-\frac{1}{2}α$.又因为$∠COD=90°$,所以$∠DOE=∠COD-∠COE=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$

【分析】
解决本题首先抓住题中不变的核心条件：①O在直线AB上，故∠AOB为平角，度数是180°；②OE平分∠BOC，故∠COE等于∠BOC的一半；③∠COD=90°。
(1)先根据平角定义求出∠BOC的度数，再结合角平分线的性质求出∠COE，最后用∠COD减去∠COE即可得到∠DOE的度数；
(2)将(1)中∠AOC的具体数值替换为α，按照和(1)相同的逻辑推导，就能得到用α表示∠DOE的式子；
(3)∠COD旋转后图形位置发生变化，但上述三个核心条件没有改变，沿(2)的推导过程重新验证，即可判断结论是否成立。
【解析】
(1) 因为O是直线AB上的点，所以∠AOB=180°，已知∠AOC=40°，因此$∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-40°=140°$。
因为OE平分∠BOC，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$。
又因为$∠ COD=90°$，所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-70°=20°$。
(2) 已知$∠ AOC=α$，由平角定义可得$∠ BOC=180°-α$。
因为OE平分∠BOC，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$。
又因为$∠ COD=90°$，所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$。
(3) 结论仍然成立，理由如下：
因为$∠ AOC=α$，所以$∠ BOC=180°-α$。
因为OE平分∠BOC，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=90°-\frac{1}{2}α$。
又因为$∠ COD=90°$，所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$，和(2)的结论一致，故结论仍然成立。
【答案】
(1) $20°$
(2) $\frac{1}{2}α$
(3) 结论仍然成立，理由见解析
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题重点考查角的运算能力，需要熟练掌握平角、角平分线的性质，面对动态旋转类问题时，要学会排除图形位置变化的干扰，抓住不变的数量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7