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8 教材P53例4变式 观察下列各组数：
① -1,2,-4,8,-16,32,…；
② 0,3,-3,9,-15,33,…；
③ -2,4,-8,16,-32,64,….
(1) 第①组数是按什么规律排列的？
(2) 第②③组数分别与第①组数有什么数量关系？
(3) 取每组数的第8个数，计算这三个数的和.
① -1,2,-4,8,-16,32,…；
② 0,3,-3,9,-15,33,…；
③ -2,4,-8,16,-32,64,….
(1) 第①组数是按什么规律排列的？
(2) 第②③组数分别与第①组数有什么数量关系？
(3) 取每组数的第8个数，计算这三个数的和.
答案
8.(1) 相邻的两个数中,后面一个数与前面一个数相除的商是−2
(2) 对比①②③三组中对应位置的数,第②组数比第①组对应位置的数大1,第③组数是第①组对应位置的数的2倍
(3) 由(2),得这三个数的和为$2^7+(2^7+1)+(2^7×2)=513$
(2) 对比①②③三组中对应位置的数,第②组数比第①组对应位置的数大1,第③组数是第①组对应位置的数的2倍
(3) 由(2),得这三个数的和为$2^7+(2^7+1)+(2^7×2)=513$
解析
【分析】
(1) 探究第①组数的规律时，先观察数列的符号变化，再对比相邻数的绝对值关系，也可直接计算相邻两数的商，判断是否为固定值，即可总结出排列规律。
(2) 分析第②③组数和第①组数的关系时，将三组数对应位置的数逐一对比，通过做差、做乘法验证，就能得出对应数的数量关系。
(3) 先根据第①组的规律求出第8个数，再结合第②③组和第①组的关系，分别求出另外两组的第8个数，最后相加计算总和即可。
【解析】
(1) 对第①组数相邻两数做除法运算：$2÷(-1)=-2$，$-4÷2=-2$，$8÷(-4)=-2$，$-16÷8=-2$，$32÷(-16)=-2$，可得规律：相邻的两个数中，后面一个数与前面一个数相除的商是$-2$。
(2) 对比三组数对应位置的数：
第1位：①$-1$，②$0=-1+1$，③$-2=-1×2$；
第2位：①$2$，②$3=2+1$，③$4=2×2$；
第3位：①$-4$，②$-3=-4+1$，③$-8=-4×2$；
……
由此可得：第②组数比第①组对应位置的数大1，第③组数是第①组对应位置的数的2倍。
(3) 由第①组的规律可知，第n个数为$(-1)^n·2^{n-1}$，则第8个数为$(-1)^8×2^{8-1}=2^7=128$；
第②组第8个数为$128+1=129$，第③组第8个数为$128×2=256$；
三个数的和为$128+129+256=513$。
【答案】
(1) 相邻的两个数中,后面一个数与前面一个数相除的商是−2
(2) 第②组数比第①组对应位置的数大1,第③组数是第①组对应位置的数的2倍
(3) 513
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是先从已知数列中找到排列规则，再利用规律推导未知项，同时考查了有理数的运算能力，找准三组数列的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 探究第①组数的规律时，先观察数列的符号变化，再对比相邻数的绝对值关系，也可直接计算相邻两数的商，判断是否为固定值，即可总结出排列规律。
(2) 分析第②③组数和第①组数的关系时，将三组数对应位置的数逐一对比，通过做差、做乘法验证，就能得出对应数的数量关系。
(3) 先根据第①组的规律求出第8个数，再结合第②③组和第①组的关系，分别求出另外两组的第8个数，最后相加计算总和即可。
【解析】
(1) 对第①组数相邻两数做除法运算：$2÷(-1)=-2$，$-4÷2=-2$，$8÷(-4)=-2$，$-16÷8=-2$，$32÷(-16)=-2$，可得规律：相邻的两个数中，后面一个数与前面一个数相除的商是$-2$。
(2) 对比三组数对应位置的数：
第1位：①$-1$，②$0=-1+1$，③$-2=-1×2$；
第2位：①$2$，②$3=2+1$，③$4=2×2$；
第3位：①$-4$，②$-3=-4+1$，③$-8=-4×2$；
……
由此可得：第②组数比第①组对应位置的数大1，第③组数是第①组对应位置的数的2倍。
(3) 由第①组的规律可知，第n个数为$(-1)^n·2^{n-1}$，则第8个数为$(-1)^8×2^{8-1}=2^7=128$；
第②组第8个数为$128+1=129$，第③组第8个数为$128×2=256$；
三个数的和为$128+129+256=513$。
【答案】
(1) 相邻的两个数中,后面一个数与前面一个数相除的商是−2
(2) 第②组数比第①组对应位置的数大1,第③组数是第①组对应位置的数的2倍
(3) 513
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是先从已知数列中找到排列规则，再利用规律推导未知项，同时考查了有理数的运算能力，找准三组数列的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9【概念学习】
现规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫作除方,比如$2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等,类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2$写作$2^{③}$,读作“2的圈3次方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$写作$(-3)^{④}$,读作“(-3)的圈4次方”,一般地,把$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}(a≠0)$写作$a^{ⓝ}$,读作“a的圈n次方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$2^{③}=$
$(-\frac{1}{2})^{③}=$
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
例如:$2^{④}=2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^{2}$.
(2)试一试:仿照上面的算式,把下面的除方运算直接写成幂的形式:
$(-3)^{⑥}=$
(3)算一算:$12^{2}÷(-\frac{1}{3})^{④}×(-2)^{⑥}-(-\frac{1}{3})^{⑥}÷3^{3}$.
现规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫作除方,比如$2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等,类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2$写作$2^{③}$,读作“2的圈3次方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$写作$(-3)^{④}$,读作“(-3)的圈4次方”,一般地,把$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}(a≠0)$写作$a^{ⓝ}$,读作“a的圈n次方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$2^{③}=$
$\dfrac{1}{2}$
;$(-\frac{1}{2})^{③}=$
$-2$
.【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
例如:$2^{④}=2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^{2}$.
(2)试一试:仿照上面的算式,把下面的除方运算直接写成幂的形式:
$(-3)^{⑥}=$
$(-\dfrac{1}{3})^4$
,$(\frac{1}{5})^{⑥}=$$5^4$
.(3)算一算:$12^{2}÷(-\frac{1}{3})^{④}×(-2)^{⑥}-(-\frac{1}{3})^{⑥}÷3^{3}$.
答案
9.(1) $\dfrac{1}{2}$ $-2$ (2) $(-\dfrac{1}{3})^4$ $5^4$ (3) 原式$=144÷(-3)^2×(-\dfrac{1}{2})^4-(-3)^4÷27=144÷9×\dfrac{1}{16}-81÷27=1-3=-2$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是先准确理解“除方”的定义：a的圈n次方是n个非零a连续相除。解题思路如下：1. 解决(1)问时，直接按照除方的定义，写出连续除法算式计算即可；2. 解决(2)问时，参照给出的示例把除方的除法转化为乘法，可归纳规律：a的圈n次方（a≠0，n≥2）可以转化为$(\frac{1}{a})$的(n-2)次方，再套用规律转化为幂的形式；3. 解决(3)问时，先把算式中所有的除方运算转化为普通乘方运算，再按照有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，逐步计算即可。
【解析】
(1) 根据除方的定义计算：
$2^{③}=2÷2÷2=1÷2=\frac{1}{2}$；
$(-\frac{1}{2})^{③}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=1÷(-\frac{1}{2})=-2$。
(2) 仿照示例转化为幂的形式：
$(-3)^{⑥}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-\frac{1}{3})^{4}$；
$(\frac{1}{5})^{⑥}=\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}=5^{4}$。
(3) 先将除方转化为乘方，再按运算顺序计算：
原式$=12^2÷(-3)^2×(-\frac{1}{2})^4-(-3)^4÷3^3$
$=144÷9×\frac{1}{16}-81÷27$
$=16×\frac{1}{16}-3$
$=1-3=-2$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；$-2$
(2) $(-\frac{1}{3})^4$；$5^4$
(3) $-2$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、乘方运算
【点评】
本题以新定义“除方”为载体，既考查学生对新概念的理解和迁移能力，也考查有理数混合运算的计算能力，解题的关键是先将陌生的除方运算转化为熟悉的乘方运算，再按照常规运算规则计算即可。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题目，解题核心是先准确理解“除方”的定义：a的圈n次方是n个非零a连续相除。解题思路如下：1. 解决(1)问时，直接按照除方的定义，写出连续除法算式计算即可；2. 解决(2)问时，参照给出的示例把除方的除法转化为乘法，可归纳规律：a的圈n次方（a≠0，n≥2）可以转化为$(\frac{1}{a})$的(n-2)次方，再套用规律转化为幂的形式；3. 解决(3)问时，先把算式中所有的除方运算转化为普通乘方运算，再按照有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，逐步计算即可。
【解析】
(1) 根据除方的定义计算：
$2^{③}=2÷2÷2=1÷2=\frac{1}{2}$；
$(-\frac{1}{2})^{③}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=1÷(-\frac{1}{2})=-2$。
(2) 仿照示例转化为幂的形式：
$(-3)^{⑥}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-\frac{1}{3})^{4}$；
$(\frac{1}{5})^{⑥}=\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}=5^{4}$。
(3) 先将除方转化为乘方，再按运算顺序计算：
原式$=12^2÷(-3)^2×(-\frac{1}{2})^4-(-3)^4÷3^3$
$=144÷9×\frac{1}{16}-81÷27$
$=16×\frac{1}{16}-3$
$=1-3=-2$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；$-2$
(2) $(-\frac{1}{3})^4$；$5^4$
(3) $-2$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、乘方运算
【点评】
本题以新定义“除方”为载体，既考查学生对新概念的理解和迁移能力，也考查有理数混合运算的计算能力，解题的关键是先将陌生的除方运算转化为熟悉的乘方运算，再按照常规运算规则计算即可。
【难度系数】
0.7
10 类比思想 观察下面的解题过程,并解决问题.
计算:$1+2+2^{2}+2^{3}+··· +2^{15}+2^{16}$.
解:设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+··· +2^{15}+2^{16}$①,
则$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{16}+2^{17}$②.由②$-$①,得$S=2^{17}-1$.
根据以上方法,计算:
(1)$1+2+2^{2}+2^{3}+··· +2^{2024}+2^{2025}$(写出过程,结果用含幂的式子表示);
(2)$1+5+5^{2}+5^{3}+··· +5^{49}+5^{50}=$
计算:$1+2+2^{2}+2^{3}+··· +2^{15}+2^{16}$.
解:设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+··· +2^{15}+2^{16}$①,
则$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{16}+2^{17}$②.由②$-$①,得$S=2^{17}-1$.
根据以上方法,计算:
(1)$1+2+2^{2}+2^{3}+··· +2^{2024}+2^{2025}$(写出过程,结果用含幂的式子表示);
(2)$1+5+5^{2}+5^{3}+··· +5^{49}+5^{50}=$
$\dfrac{5^{51}-1}{4}$
(结果用含幂的式子表示).答案
10.(1) 设$S=1+2+2^2+2^3+…+2^{2024}+2^{2025}$①,则$2S=2+2^2+2^3+2^4+…+2^{2025}+2^{2026}$②. 由②−①,得$S=2^{2026}-1$
(2) $\dfrac{5^{51}-1}{4}$
(2) $\dfrac{5^{51}-1}{4}$
解析
【分析】
这道题运用类比思想，参考给出的错位相减求和方法解题：①对于公比为2的求和式，仿照示例先设总和为S，再将等式两边同时乘公比2得到新的等式，两式作差即可消去中间重复的项，直接求出S的值；②对于公比为5的求和式，同理设总和为S后两边乘公比5，作差后得到带系数的S，再系数化1即可得到结果。
【解析】
(1) 设$ S=1+2+2^2+2^3+···+2^{2024}+2^{2025} $ ①，
则$ 2S=2+2^2+2^3+2^4+···+2^{2025}+2^{2026} $ ②，
用②减去①，等号右边中间相同的项全部抵消，可得：
$ 2S - S = 2^{2026} - 1 $，即$ S=2^{2026}-1 $。
(2) 设$ S=1+5+5^2+5^3+···+5^{49}+5^{50} $ ①，
则$ 5S=5+5^2+5^3+5^4+···+5^{50}+5^{51} $ ②，
用②减去①，消去中间重复项可得：
$ 5S - S = 5^{51} - 1 $，即$ 4S=5^{51}-1 $，
解得$ S=\frac{5^{51}-1}{4} $。
【答案】
(1) $ 2^{2026}-1 $
(2) $ \dfrac{5^{51}-1}{4} $
【知识点】
乘方运算、类比推理、有理数巧算
【点评】
本题是典型的类比探究类题型，核心是掌握错位相减法求等比数列和的思路，解题时要先明确求和式的公比，作差时注意消去重复项，同时不要遗漏最后系数化1的步骤，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这道题运用类比思想，参考给出的错位相减求和方法解题：①对于公比为2的求和式，仿照示例先设总和为S，再将等式两边同时乘公比2得到新的等式，两式作差即可消去中间重复的项，直接求出S的值；②对于公比为5的求和式，同理设总和为S后两边乘公比5，作差后得到带系数的S，再系数化1即可得到结果。
【解析】
(1) 设$ S=1+2+2^2+2^3+···+2^{2024}+2^{2025} $ ①，
则$ 2S=2+2^2+2^3+2^4+···+2^{2025}+2^{2026} $ ②，
用②减去①，等号右边中间相同的项全部抵消，可得：
$ 2S - S = 2^{2026} - 1 $，即$ S=2^{2026}-1 $。
(2) 设$ S=1+5+5^2+5^3+···+5^{49}+5^{50} $ ①，
则$ 5S=5+5^2+5^3+5^4+···+5^{50}+5^{51} $ ②，
用②减去①，消去中间重复项可得：
$ 5S - S = 5^{51} - 1 $，即$ 4S=5^{51}-1 $，
解得$ S=\frac{5^{51}-1}{4} $。
【答案】
(1) $ 2^{2026}-1 $
(2) $ \dfrac{5^{51}-1}{4} $
【知识点】
乘方运算、类比推理、有理数巧算
【点评】
本题是典型的类比探究类题型，核心是掌握错位相减法求等比数列和的思路，解题时要先明确求和式的公比，作差时注意消去重复项，同时不要遗漏最后系数化1的步骤，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
