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7 [2024东营]已知四边形ABCD是平行四边形，从①$AC=BD$，②$AC⊥ BD$，③$AB=BC$这三个条件中任意选取两个，则能使$□ ABCD$是正方形的概率为（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{5}{6}$
A
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{5}{6}$
答案
A
解析
【分析】
解题可分三步推进：第一步，先列举从3个条件中任选2个的所有等可能情况；第二步，结合特殊平行四边形的判定规则，判断每种选法能否让平行四边形ABCD变为正方形（正方形需要同时满足矩形和菱形的判定条件）；第三步，根据概率公式，用符合要求的情况数除以总情况数得到最终概率。
【解析】
首先列举从3个条件中任选2个的所有等可能组合，共3种：①②、①③、②③，逐个判断：
1. 选①②：平行四边形ABCD中，对角线相等（$AC=BD$）可判定为矩形，对角线垂直（$AC⊥BD$）可判定为菱形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，符合要求；
2. 选①③：平行四边形ABCD中，对角线相等（$AC=BD$）可判定为矩形，邻边相等（$AB=BC$）可判定为菱形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，符合要求；
3. 选②③：平行四边形ABCD中，对角线垂直（$AC⊥BD$）可判定为菱形，邻边相等（$AB=BC$）也可判定为菱形，仅能得到菱形，无法判定为矩形，因此不能得到正方形，不符合要求。
综上，符合条件的情况有2种，总共有3种等可能的情况，因此所求概率为$\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
概率计算、正方形的判定、特殊平行四边形的性质
【点评】
本题将概率计算与特殊四边形的判定相结合，既考查了用枚举法求概率的基础方法，也考查了对矩形、菱形、正方形判定条件的区分掌握，需要同学们准确识记不同特殊平行四边形的判定规则，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
解题可分三步推进：第一步，先列举从3个条件中任选2个的所有等可能情况；第二步，结合特殊平行四边形的判定规则，判断每种选法能否让平行四边形ABCD变为正方形（正方形需要同时满足矩形和菱形的判定条件）；第三步，根据概率公式，用符合要求的情况数除以总情况数得到最终概率。
【解析】
首先列举从3个条件中任选2个的所有等可能组合，共3种：①②、①③、②③，逐个判断：
1. 选①②：平行四边形ABCD中，对角线相等（$AC=BD$）可判定为矩形，对角线垂直（$AC⊥BD$）可判定为菱形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，符合要求；
2. 选①③：平行四边形ABCD中，对角线相等（$AC=BD$）可判定为矩形，邻边相等（$AB=BC$）可判定为菱形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，符合要求；
3. 选②③：平行四边形ABCD中，对角线垂直（$AC⊥BD$）可判定为菱形，邻边相等（$AB=BC$）也可判定为菱形，仅能得到菱形，无法判定为矩形，因此不能得到正方形，不符合要求。
综上，符合条件的情况有2种，总共有3种等可能的情况，因此所求概率为$\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
概率计算、正方形的判定、特殊平行四边形的性质
【点评】
本题将概率计算与特殊四边形的判定相结合，既考查了用枚举法求概率的基础方法，也考查了对矩形、菱形、正方形判定条件的区分掌握，需要同学们准确识记不同特殊平行四边形的判定规则，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
8 [2025潍坊]如图，小莹对三个相连的方格进行涂色.在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
C
解析
【分析】
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确每个方格有2种涂色选择，我们需要先求出所有等可能的涂色结果总数，再找出满足“相邻两个方格所涂颜色不同”的结果数，最后根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。列举所有结果时可采用九年级所学的树状图或列表法，做到不重不漏。
【解析】
我们通过树状图列举所有等可能的涂色情况：
1. 第一个方格有2种选择：红、蓝；
2. 对应第一个方格的每种选择，第二个方格均有2种选择：红、蓝；
3. 对应第二个方格的每种选择，第三个方格均有2种选择：红、蓝。
最终得到所有8种等可能的结果：红红红、红红蓝、红蓝红、红蓝蓝、蓝红红、蓝红蓝、蓝蓝红、蓝蓝蓝。
其中满足“相邻两个方格颜色不同”的结果有2种：红蓝红、蓝红蓝。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}$，可得相邻两个方格所涂颜色不同的概率为：$P=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题考查概率的基础计算，核心是用树状图或列表法完整列举所有等可能事件，再筛选出符合要求的事件代入公式计算，解题时要注意不要重复或遗漏列举的结果。
【难度系数】
0.7
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确每个方格有2种涂色选择，我们需要先求出所有等可能的涂色结果总数，再找出满足“相邻两个方格所涂颜色不同”的结果数，最后根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。列举所有结果时可采用九年级所学的树状图或列表法，做到不重不漏。
【解析】
我们通过树状图列举所有等可能的涂色情况：
1. 第一个方格有2种选择：红、蓝；
2. 对应第一个方格的每种选择，第二个方格均有2种选择：红、蓝；
3. 对应第二个方格的每种选择，第三个方格均有2种选择：红、蓝。
最终得到所有8种等可能的结果：红红红、红红蓝、红蓝红、红蓝蓝、蓝红红、蓝红蓝、蓝蓝红、蓝蓝蓝。
其中满足“相邻两个方格颜色不同”的结果有2种：红蓝红、蓝红蓝。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}$，可得相邻两个方格所涂颜色不同的概率为：$P=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题考查概率的基础计算，核心是用树状图或列表法完整列举所有等可能事件，再筛选出符合要求的事件代入公式计算，解题时要注意不要重复或遗漏列举的结果。
【难度系数】
0.7
9 新情境 学科融合 [2025 绵阳]水是生命之源。
水分子的化学式为 $\ce{H_{2}O}$，即1个水分子 $\ce{H_{2}O}$ 由2个氢原子 $\ce{H}$ 和1个氧原子 $\ce{O}$ 组成。现有形状大小完全相同的4张卡片，分别写有 $\ce{H}$，$\ce{H}$，$\ce{O}$，$\ce{O}$，小明从打乱的这4张卡片中随机选取3张，则这3张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是
水分子的化学式为 $\ce{H_{2}O}$，即1个水分子 $\ce{H_{2}O}$ 由2个氢原子 $\ce{H}$ 和1个氧原子 $\ce{O}$ 组成。现有形状大小完全相同的4张卡片，分别写有 $\ce{H}$，$\ce{H}$，$\ce{O}$，$\ce{O}$，小明从打乱的这4张卡片中随机选取3张，则这3张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是
$\frac{1}{2}$
。答案
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要计算抽取3张卡片能组成水分子化学式的概率，遵循“先算总等可能结果数，再算符合条件的结果数，最后用概率公式计算”的思路即可。首先明确组成$\ce{H_{2}O}$需要2个$\ce{H}$原子和1个$\ce{O}$原子，因此我们需要找出抽取的3张卡片中含2个$\ce{H}$、1个$\ce{O}$的情况数。由于两张$\ce{H}$、两张$\ce{O}$卡片外观完全相同，为了不重不漏地列举所有等可能结果，可先对相同卡片做标记区分，再列举所有抽取3张的情况，最后代入概率公式求解。
【解析】
将两张$\ce{H}$卡片分别标记为$\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$，两张$\ce{O}$卡片分别标记为$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$。
从4张卡片中随机抽取3张，所有等可能的结果如下：
1. $\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$
2. $\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{2}}$
3. $\ce{H_{1}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$
4. $\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$
共4种等可能的结果。
其中能组成$\ce{H_{2}O}$的情况需要满足含2个$\ce{H}$和1个$\ce{O}$，符合要求的是第1、2种，共2种结果。
根据概率公式$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
概率公式、列举法求概率、简单组合
【点评】
本题结合化学水分子的构成考查概率计算，情境新颖融合性强，解题核心是准确识别组成水分子的元素数量要求，正确列举所有等可能的抽取结果，避免因相同元素未做标记导致计数错误。
【难度系数】
0.7
要计算抽取3张卡片能组成水分子化学式的概率，遵循“先算总等可能结果数，再算符合条件的结果数，最后用概率公式计算”的思路即可。首先明确组成$\ce{H_{2}O}$需要2个$\ce{H}$原子和1个$\ce{O}$原子，因此我们需要找出抽取的3张卡片中含2个$\ce{H}$、1个$\ce{O}$的情况数。由于两张$\ce{H}$、两张$\ce{O}$卡片外观完全相同，为了不重不漏地列举所有等可能结果，可先对相同卡片做标记区分，再列举所有抽取3张的情况，最后代入概率公式求解。
【解析】
将两张$\ce{H}$卡片分别标记为$\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$，两张$\ce{O}$卡片分别标记为$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$。
从4张卡片中随机抽取3张，所有等可能的结果如下：
1. $\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$
2. $\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{2}}$
3. $\ce{H_{1}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$
4. $\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$
共4种等可能的结果。
其中能组成$\ce{H_{2}O}$的情况需要满足含2个$\ce{H}$和1个$\ce{O}$，符合要求的是第1、2种，共2种结果。
根据概率公式$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
概率公式、列举法求概率、简单组合
【点评】
本题结合化学水分子的构成考查概率计算，情境新颖融合性强，解题核心是准确识别组成水分子的元素数量要求，正确列举所有等可能的抽取结果，避免因相同元素未做标记导致计数错误。
【难度系数】
0.7
10 新情境 学科融合 [2025 河南]甲骨文是我国已发现最早的成熟文字,代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是
$\frac{1}{6}$
.答案
$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确抽取规则是从4张卡片中随机不放回抽取2张，所有抽取结果出现的可能性相等；接下来我们可以通过枚举法不重不漏地列出所有抽取两张卡片的等可能结果，再统计出其中恰好是“丽”和“山”的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可得到答案。
【解析】
将四张卡片分别记为：美、丽、山、河。
从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果为：{美，丽}、{美，山}、{美，河}、{丽，山}、{丽，河}、{山，河}，共6种。
其中两张卡片恰好是“丽”和“山”的结果有1种。
根据概率公式可得：
$P(抽到丽和山)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列举法求概率、概率计算公式
【点评】
本题结合甲骨文的传统文化背景设计题目，考查基础的概率计算能力，解题的核心是正确列举出所有等可能的抽取结果，避免出现重复或遗漏的情况。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确抽取规则是从4张卡片中随机不放回抽取2张，所有抽取结果出现的可能性相等；接下来我们可以通过枚举法不重不漏地列出所有抽取两张卡片的等可能结果，再统计出其中恰好是“丽”和“山”的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可得到答案。
【解析】
将四张卡片分别记为：美、丽、山、河。
从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果为：{美，丽}、{美，山}、{美，河}、{丽，山}、{丽，河}、{山，河}，共6种。
其中两张卡片恰好是“丽”和“山”的结果有1种。
根据概率公式可得：
$P(抽到丽和山)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列举法求概率、概率计算公式
【点评】
本题结合甲骨文的传统文化背景设计题目，考查基础的概率计算能力，解题的核心是正确列举出所有等可能的抽取结果，避免出现重复或遗漏的情况。
【难度系数】
0.8
11 [2025宿迁]某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动.某一周末有两个项目供学生选择，A:文明交通劝导志愿行，B:乡村教育关爱行，每名学生只能任意选择其中一个项目.
（1）甲同学选择A项目的概率为
（2）请用画树状图的方法，求甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的概率.
（1）甲同学选择A项目的概率为
$\frac{1}{2}$
；（2）请用画树状图的方法，求甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的概率.
答案
(1) $\frac{1}{2}$
(2) 画树状图如图所示.
由图可知,共有8种等可能的结果,其中甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的结果有2种,∴甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
解析
【分析】
（1）每名同学选择项目时，仅有A、B两种等可能的结果，选择A项目是其中1种结果，直接根据等可能事件的概率公式计算即可；
（2）求解三名同学的选择情况时，可通过树状图分步罗列所有可能：第一步列出甲的2种选择，第二步对应甲的每一种选择列出乙的2种选择，第三步对应乙的每一种选择列出丙的2种选择，得到所有等可能的总结果数，再从中找出三人恰好选择同一个项目的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
（1）选择项目时共有A、B2种等可能的结果，其中选择A项目的结果有1种，
因此甲同学选择A项目的概率为$\frac{1}{2}$。
（2）绘制树状图如下：
由树状图可得，总共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的结果有2种，即三人都选A、三人都选B，
因此甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) 画树状图如图所示. 由图可知,共有8种等可能的结果,其中甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的结果有2种,
∴甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率，树状图求概率，概率计算公式
【点评】
本题属于概率基础题型，第一问直接考查单个随机事件的概率计算，第二问侧重考查树状图的绘制方法，要求学生能够不重不漏地列举出所有等可能的结果，再结合概率公式求解，是对概率基础方法的常规考查。
【难度系数】
0.8
（1）每名同学选择项目时，仅有A、B两种等可能的结果，选择A项目是其中1种结果，直接根据等可能事件的概率公式计算即可；
（2）求解三名同学的选择情况时，可通过树状图分步罗列所有可能：第一步列出甲的2种选择，第二步对应甲的每一种选择列出乙的2种选择，第三步对应乙的每一种选择列出丙的2种选择，得到所有等可能的总结果数，再从中找出三人恰好选择同一个项目的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
（1）选择项目时共有A、B2种等可能的结果，其中选择A项目的结果有1种，
因此甲同学选择A项目的概率为$\frac{1}{2}$。
（2）绘制树状图如下：
由树状图可得，总共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的结果有2种，即三人都选A、三人都选B，
因此甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) 画树状图如图所示.
由图可知,共有8种等可能的结果,其中甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的结果有2种,∴甲、乙、丙三名同学恰好选择同一个项目的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率，树状图求概率，概率计算公式
【点评】
本题属于概率基础题型，第一问直接考查单个随机事件的概率计算，第二问侧重考查树状图的绘制方法，要求学生能够不重不漏地列举出所有等可能的结果，再结合概率公式求解，是对概率基础方法的常规考查。
【难度系数】
0.8
12 [2025 徐州]如图,甲、乙为两个可以自由转动的转盘,它们分别被分成了4等份与3等份,每份内均标有字母,转盘停止转动后,若指针落在两个区域的交线上,则重转一次.
（1）转动甲转盘,待其停止转动后,指针落在A区域的概率为
（2）转动甲、乙两个转盘,用列表或画树状图的方法,求转盘停止转动后,甲转盘的指针落在C区域且乙转盘的指针未落在Q区域的概率.
（1）转动甲转盘,待其停止转动后,指针落在A区域的概率为
$\frac{1}{4}$
;（2）转动甲、乙两个转盘,用列表或画树状图的方法,求转盘停止转动后,甲转盘的指针落在C区域且乙转盘的指针未落在Q区域的概率.
答案
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如图所示.
由图可知,共有12种等可能的结果,其中转盘停止转动后,甲转盘的指针落在C区域且乙转盘的指针未落在Q区域的结果有2种,∴转盘停止转动后,甲转盘的指针落在C区域且乙转盘的指针未落在Q区域的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
解析
【分析】
（1）第一小问是单转盘的简单概率问题，转动甲转盘时共有4种等可能的结果，指针落在A区域的结果仅1种，根据等可能事件的概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”即可直接计算。
（2）第二小问是两个独立转盘的组合概率问题，我们可以通过画树状图的方法，先列出甲转盘的所有可能结果，再对应列出每个甲结果下乙转盘的所有可能结果，得到全部等可能的总结果数，再筛选出“甲落在C区域、乙未落在Q区域”的符合条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
（1）甲转盘被平均分成4等份，转动停止后指针落在每个区域的可能性相等，总共有4种等可能的结果，其中落在A区域的结果有1种，因此$P(\mathrm{指针落在A区域})=\frac{1}{4}$。
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，总共有12种等可能的结果，其中满足“甲转盘指针落在C区域且乙转盘指针未落在Q区域”的结果有(C,P)、(C,R)共2种，因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如图所示. 由图可知,共有12种等可能的结果,其中转盘停止转动后,甲转盘的指针落在C区域且乙转盘的指针未落在Q区域的结果有2种,
∴转盘停止转动后,甲转盘的指针落在C区域且乙转盘的指针未落在Q区域的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
【知识点】
简单概率计算、树状图法求概率、等可能事件
【点评】
本题属于概率部分的基础题，第一问考查单场景的简单概率计算，第二问考查多场景组合概率的求解，核心是理解等可能事件的概率逻辑，熟练掌握用树状图列举所有可能结果的方法，解题时注意筛选符合条件的结果时不要漏数或多算。
【难度系数】
0.75
（1）第一小问是单转盘的简单概率问题，转动甲转盘时共有4种等可能的结果，指针落在A区域的结果仅1种，根据等可能事件的概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”即可直接计算。
（2）第二小问是两个独立转盘的组合概率问题，我们可以通过画树状图的方法，先列出甲转盘的所有可能结果，再对应列出每个甲结果下乙转盘的所有可能结果，得到全部等可能的总结果数，再筛选出“甲落在C区域、乙未落在Q区域”的符合条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
（1）甲转盘被平均分成4等份，转动停止后指针落在每个区域的可能性相等，总共有4种等可能的结果，其中落在A区域的结果有1种，因此$P(\mathrm{指针落在A区域})=\frac{1}{4}$。
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，总共有12种等可能的结果，其中满足“甲转盘指针落在C区域且乙转盘指针未落在Q区域”的结果有(C,P)、(C,R)共2种，因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如图所示.
由图可知,共有12种等可能的结果,其中转盘停止转动后,甲转盘的指针落在C区域且乙转盘的指针未落在Q区域的结果有2种,∴转盘停止转动后,甲转盘的指针落在C区域且乙转盘的指针未落在Q区域的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
【知识点】
简单概率计算、树状图法求概率、等可能事件
【点评】
本题属于概率部分的基础题，第一问考查单场景的简单概率计算，第二问考查多场景组合概率的求解，核心是理解等可能事件的概率逻辑，熟练掌握用树状图列举所有可能结果的方法，解题时注意筛选符合条件的结果时不要漏数或多算。
【难度系数】
0.75
