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1 [2024牡丹江]某校八(3)班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
A
）A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
A
解析
【分析】
要计算甲、乙同时被选中的概率，需依据等可能事件的概率计算逻辑：概率等于符合要求的情况数除以所有等可能的总情况数。首先我们要先完整列举出从4名同学中选2名的所有等可能结果，再从中筛选出甲、乙同时被选中的结果数，最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】
首先列举从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2名的所有等可能结果（不考虑选择的先后顺序）：
（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁），共计6种等可能的结果。
其中甲、乙两名同学同时被选中的结果仅有1种，
根据概率公式可得，甲、乙同时被选中的概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率；等可能事件概率公式
【点评】
本题是概率类基础题，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的情况，再结合概率公式计算即可，掌握基础的概率计算方法就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
要计算甲、乙同时被选中的概率，需依据等可能事件的概率计算逻辑：概率等于符合要求的情况数除以所有等可能的总情况数。首先我们要先完整列举出从4名同学中选2名的所有等可能结果，再从中筛选出甲、乙同时被选中的结果数，最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】
首先列举从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2名的所有等可能结果（不考虑选择的先后顺序）：
（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁），共计6种等可能的结果。
其中甲、乙两名同学同时被选中的结果仅有1种，
根据概率公式可得，甲、乙同时被选中的概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率；等可能事件概率公式
【点评】
本题是概率类基础题，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的情况，再结合概率公式计算即可，掌握基础的概率计算方法就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
2 [2025 德州]把英文单词“PEOPLE”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中1个字母，然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，则恰好是字母相同的2张卡片的概率是
$\frac{2}{15}$
。答案
$\frac{2}{15}$
解析
【分析】
首先明确单词“PEOPLE”的6个字母构成：包含2个P、2个E，O、L各1个。本题是不放回抽取2张卡片的古典概型问题，解题思路为：根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}$，先通过列举法求出从6张卡片中随机抽取2张的所有等可能结果总数，再找出两张卡片字母相同的结果数，代入公式计算即可得到所求概率。
【解析】
解：将6张卡片编号为：1号（P）、2号（P）、3号（E）、4号（E）、5号（O）、6号（L）。
从6张卡片中不放回随机抽取2张，不考虑抽取顺序，所有等可能的结果为：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6)，共15种。
其中两张卡片字母相同的结果为(1,2)、(3,4)，共2种。
根据概率公式，可得恰好抽到2张字母相同的卡片的概率为$\frac{2}{15}$。
【答案】
$\frac{2}{15}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率
【点评】
本题考查概率的基本计算，解题核心是准确梳理相同字母的数量，完整列举所有等可能的试验结果，避免重复或遗漏计数，注意抽取卡片为不放回试验，计数时不要重复计算同组卡片。
【难度系数】
0.6
首先明确单词“PEOPLE”的6个字母构成：包含2个P、2个E，O、L各1个。本题是不放回抽取2张卡片的古典概型问题，解题思路为：根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}$，先通过列举法求出从6张卡片中随机抽取2张的所有等可能结果总数，再找出两张卡片字母相同的结果数，代入公式计算即可得到所求概率。
【解析】
解：将6张卡片编号为：1号（P）、2号（P）、3号（E）、4号（E）、5号（O）、6号（L）。
从6张卡片中不放回随机抽取2张，不考虑抽取顺序，所有等可能的结果为：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6)，共15种。
其中两张卡片字母相同的结果为(1,2)、(3,4)，共2种。
根据概率公式，可得恰好抽到2张字母相同的卡片的概率为$\frac{2}{15}$。
【答案】
$\frac{2}{15}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率
【点评】
本题考查概率的基本计算，解题核心是准确梳理相同字母的数量，完整列举所有等可能的试验结果，避免重复或遗漏计数，注意抽取卡片为不放回试验，计数时不要重复计算同组卡片。
【难度系数】
0.6
3 教材变式题 小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致.完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，则每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先通过有序列举法求出所有盖笔帽的等可能总结果数，再从中筛选出“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。解题时可先给不同颜色的笔和笔帽做标记，避免列举时重复或遗漏。
【解析】
我们将笔芯为红色、黄色、蓝色的彩笔分别简记为红笔、黄笔、蓝笔，对应的同色笔帽记为红帽、黄帽、蓝帽。
有序列举所有笔帽和笔匹配的等可能情况，共6种：
1. 红笔配红帽，黄笔配黄帽，蓝笔配蓝帽；
2. 红笔配红帽，黄笔配蓝帽，蓝笔配黄帽；
3. 红笔配黄帽，黄笔配红帽，蓝笔配蓝帽；
4. 红笔配黄帽，黄笔配蓝帽，蓝笔配红帽；
5. 红笔配蓝帽，黄笔配红帽，蓝笔配黄帽；
6. 红笔配蓝帽，黄笔配黄帽，蓝笔配红帽。
其中满足“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的情况共2种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{每个笔帽和笔芯颜色都不匹配})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算公式，列举法求概率，古典概型
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是要有序列举所有等可能的结果，做到不重不漏，避免因列举混乱导致计数错误。
【难度系数】
0.7
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先通过有序列举法求出所有盖笔帽的等可能总结果数，再从中筛选出“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。解题时可先给不同颜色的笔和笔帽做标记，避免列举时重复或遗漏。
【解析】
我们将笔芯为红色、黄色、蓝色的彩笔分别简记为红笔、黄笔、蓝笔，对应的同色笔帽记为红帽、黄帽、蓝帽。
有序列举所有笔帽和笔匹配的等可能情况，共6种：
1. 红笔配红帽，黄笔配黄帽，蓝笔配蓝帽；
2. 红笔配红帽，黄笔配蓝帽，蓝笔配黄帽；
3. 红笔配黄帽，黄笔配红帽，蓝笔配蓝帽；
4. 红笔配黄帽，黄笔配蓝帽，蓝笔配红帽；
5. 红笔配蓝帽，黄笔配红帽，蓝笔配黄帽；
6. 红笔配蓝帽，黄笔配黄帽，蓝笔配红帽。
其中满足“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的情况共2种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{每个笔帽和笔芯颜色都不匹配})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算公式，列举法求概率，古典概型
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是要有序列举所有等可能的结果，做到不重不漏，避免因列举混乱导致计数错误。
【难度系数】
0.7
4 [2025 连云港]一个不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同.
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球. 用列表的方法，求2次都摸到白球的概率.
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是
$\frac{1}{4}$
.（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球. 用列表的方法，求2次都摸到白球的概率.
答案
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 将3个白球分别记作白₁,白₂,白₃.列表如下：
| 第1次\第2次 | 红 | 白₁ | 白₂ | 白₃ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,白₁) | (红,白₂) | (红,白₃) |
| 白₁ | (白₁,红) | (白₁,白₁) | (白₁,白₂) | (白₁,白₃) |
| 白₂ | (白₂,红) | (白₂,白₁) | (白₂,白₂) | (白₂,白₃) |
| 白₃ | (白₃,红) | (白₃,白₁) | (白₃,白₂) | (白₃,白₃) |
由表可知,共有16种等可能的结果,其中2次都摸到白球的结果有9种,
∴2次都摸到白球的概率为$\frac{9}{16}$
(2) 将3个白球分别记作白₁,白₂,白₃.列表如下：
| 第1次\第2次 | 红 | 白₁ | 白₂ | 白₃ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,白₁) | (红,白₂) | (红,白₃) |
| 白₁ | (白₁,红) | (白₁,白₁) | (白₁,白₂) | (白₁,白₃) |
| 白₂ | (白₂,红) | (白₂,白₁) | (白₂,白₂) | (白₂,白₃) |
| 白₃ | (白₃,红) | (白₃,白₁) | (白₃,白₂) | (白₃,白₃) |
由表可知,共有16种等可能的结果,其中2次都摸到白球的结果有9种,
∴2次都摸到白球的概率为$\frac{9}{16}$
解析
【分析】
（1）第一问属于简单概率计算问题，运用古典概型的概率公式即可求解：先明确所有等可能的摸球结果总数，再确定摸到红球的结果数，二者的比值就是摸到红球的概率。
（2）第二问是有放回的两步摸球概率问题，需用列表法求解：首先将3个白球标记区分，保证所有结果等可能且不重不漏，再列表呈现两次摸球的所有组合结果，统计总结果数和两次均为白球的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）袋子中共有$1+3=4$个球，所有球被摸到的可能性相等，其中红球有1个，因此摸到红球的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）将3个白球分别记作白₁、白₂、白₃，列表如下：
| 第1次\第2次 | 红 | 白₁ | 白₂ | 白₃ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,白₁) | (红,白₂) | (红,白₃) |
| 白₁ | (白₁,红) | (白₁,白₁) | (白₁,白₂) | (白₁,白₃) |
| 白₂ | (白₂,红) | (白₂,白₁) | (白₂,白₂) | (白₂,白₃) |
| 白₃ | (白₃,红) | (白₃,白₁) | (白₃,白₂) | (白₃,白₃) |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中2次都摸到白球的结果有9种，因此2次都摸到白球的概率为$\frac{9}{16}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\frac{9}{16}$
【知识点】
概率公式、列表法求概率、有放回试验概率
【点评】
本题是概率基础题型，第一问直接考查概率公式的基础应用，第二问重点考查列表法求解两步概率问题的能力，解题时需注意区分有放回和无放回试验的差异，列举结果时要保证不重不漏。
【难度系数】
0.85
（1）第一问属于简单概率计算问题，运用古典概型的概率公式即可求解：先明确所有等可能的摸球结果总数，再确定摸到红球的结果数，二者的比值就是摸到红球的概率。
（2）第二问是有放回的两步摸球概率问题，需用列表法求解：首先将3个白球标记区分，保证所有结果等可能且不重不漏，再列表呈现两次摸球的所有组合结果，统计总结果数和两次均为白球的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）袋子中共有$1+3=4$个球，所有球被摸到的可能性相等，其中红球有1个，因此摸到红球的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）将3个白球分别记作白₁、白₂、白₃，列表如下：
| 第1次\第2次 | 红 | 白₁ | 白₂ | 白₃ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,白₁) | (红,白₂) | (红,白₃) |
| 白₁ | (白₁,红) | (白₁,白₁) | (白₁,白₂) | (白₁,白₃) |
| 白₂ | (白₂,红) | (白₂,白₁) | (白₂,白₂) | (白₂,白₃) |
| 白₃ | (白₃,红) | (白₃,白₁) | (白₃,白₂) | (白₃,白₃) |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中2次都摸到白球的结果有9种，因此2次都摸到白球的概率为$\frac{9}{16}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\frac{9}{16}$
【知识点】
概率公式、列表法求概率、有放回试验概率
【点评】
本题是概率基础题型，第一问直接考查概率公式的基础应用，第二问重点考查列表法求解两步概率问题的能力，解题时需注意区分有放回和无放回试验的差异，列举结果时要保证不重不漏。
【难度系数】
0.85
5 新情境 学科融合 某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”。八、九年级分别从中随机选择一个不同事件进行比赛，则八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解决这道题可分三步思考：第一步，先结合历史常识判断三个历史事件中哪些发生在新中国成立以后；第二步，由于八、九年级选择的是不同事件，用列表法枚举所有等可能的选择结果，注意排除两年级选同一事件的情况；第三步，统计出两个年级所选事件都属于建国后事件的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
记“鸦片战争”为事件A，“香港回归”为事件B，“改革开放”为事件C。
根据历史常识可知：A（1840年）发生在新中国成立前，B（1997年）、C（1978年）均发生在新中国成立后。
八、九年级选择不同事件，所有等可能的结果有：(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,C)、(C,A)、(C,B)，共6种。
其中八、九年级所选事件都发生在新中国成立后的结果有：(B,C)、(C,B)，共2种。
根据概率公式可得：所求概率$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率，概率计算公式，等可能事件判断
【点评】
本题结合历史常识考查概率的基础计算，解题时需先准确筛选符合条件的事件，再完整枚举所有等可能结果，注意题干中“选择不同事件”的限制条件，避免多算或漏算结果。
【难度系数】
0.7
解决这道题可分三步思考：第一步，先结合历史常识判断三个历史事件中哪些发生在新中国成立以后；第二步，由于八、九年级选择的是不同事件，用列表法枚举所有等可能的选择结果，注意排除两年级选同一事件的情况；第三步，统计出两个年级所选事件都属于建国后事件的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
记“鸦片战争”为事件A，“香港回归”为事件B，“改革开放”为事件C。
根据历史常识可知：A（1840年）发生在新中国成立前，B（1997年）、C（1978年）均发生在新中国成立后。
八、九年级选择不同事件，所有等可能的结果有：(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,C)、(C,A)、(C,B)，共6种。
其中八、九年级所选事件都发生在新中国成立后的结果有：(B,C)、(C,B)，共2种。
根据概率公式可得：所求概率$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率，概率计算公式，等可能事件判断
【点评】
本题结合历史常识考查概率的基础计算，解题时需先准确筛选符合条件的事件，再完整枚举所有等可能结果，注意题干中“选择不同事件”的限制条件，避免多算或漏算结果。
【难度系数】
0.7
6 某博物馆展厅的俯视示意图如图①所示.嘉淇进入展厅后开始自由参观,每走到一个十字道口,她可能直行,也可能向左转或向右转,且这三种可能性相同.
（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；
（2）补全图②的树状图,并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率最大.
（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；
（2）补全图②的树状图,并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率最大.
答案
(1) 嘉淇走到十字道口A向北走的概率为$\frac{1}{3}$
(2) 补全树状图如图所示.
由树状图,可知共有9种等可能的结果,其中嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种,向南参观的结果有2种,向北参观的结果有2种,向东参观的结果有2种,∴向西参观的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,向南参观的概率=向北参观的概率=向东参观的概率=$\frac{2}{9}$.
∵$\frac{1}{3}＞\frac{2}{9}$,
∴嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率最大
解析
【分析】
（1）解决第一问时，首先明确嘉淇到达十字道口A后，有直行、左转、右转3种等可能的选择，向北走是其中1种符合要求的情况，直接代入等可能事件的概率公式即可求解。
（2）解决第二问首先要补全树状图：将道口A的3种选择（直、左、右）作为第一层分支，每个分支对应到达下一个十字道口后，又各有3种等可能的选择，共可得到9种等可能结果。再结合初始朝向为西，逐一判断每种路径对应的最终朝向，统计各朝向的结果数后计算对应概率，比较概率大小即可得到结论。
【解析】
（1）嘉淇走到十字道口A时，共有直行、向左转、向右转3种等可能的结果，其中向北走是1种符合要求的结果，
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得$P(\mathrm{向北走})=\frac{1}{3}$。
（2）补全树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，结合初始朝向为西，逐一判断各路径的最终朝向：
①第一次直行（朝西）：第二次直行→朝西，第二次左转→朝南，第二次右转→朝北；
②第一次左转（朝南）：第二次直行→朝南，第二次左转→朝东，第二次右转→朝西；
③第一次右转（朝北）：第二次直行→朝北，第二次左转→朝西，第二次右转→朝东。
统计可得：向西参观的结果有3种，向南、向北、向东参观的结果各有2种。
因此$P(\mathrm{向西})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{向南})=P(\mathrm{向北})=P(\mathrm{向东})=\frac{2}{9}$。
因为$\frac{1}{3}＞\frac{2}{9}$，所以嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率最大。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 补全树状图如图所示：，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率最大。
【知识点】
等可能事件概率，树状图法求概率，概率公式
【点评】
本题结合参观展厅的生活场景考查概率的求解，解题核心是明确每个路口的三种选择为等可能事件，通过树状图不重不漏地列举所有等可能结果，再统计对应事件的结果数计算概率，既考查了概率的基础应用，也锻炼了逻辑梳理能力。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问时，首先明确嘉淇到达十字道口A后，有直行、左转、右转3种等可能的选择，向北走是其中1种符合要求的情况，直接代入等可能事件的概率公式即可求解。
（2）解决第二问首先要补全树状图：将道口A的3种选择（直、左、右）作为第一层分支，每个分支对应到达下一个十字道口后，又各有3种等可能的选择，共可得到9种等可能结果。再结合初始朝向为西，逐一判断每种路径对应的最终朝向，统计各朝向的结果数后计算对应概率，比较概率大小即可得到结论。
【解析】
（1）嘉淇走到十字道口A时，共有直行、向左转、向右转3种等可能的结果，其中向北走是1种符合要求的结果，
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得$P(\mathrm{向北走})=\frac{1}{3}$。
（2）补全树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，结合初始朝向为西，逐一判断各路径的最终朝向：
①第一次直行（朝西）：第二次直行→朝西，第二次左转→朝南，第二次右转→朝北；
②第一次左转（朝南）：第二次直行→朝南，第二次左转→朝东，第二次右转→朝西；
③第一次右转（朝北）：第二次直行→朝北，第二次左转→朝西，第二次右转→朝东。
统计可得：向西参观的结果有3种，向南、向北、向东参观的结果各有2种。
因此$P(\mathrm{向西})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{向南})=P(\mathrm{向北})=P(\mathrm{向东})=\frac{2}{9}$。
因为$\frac{1}{3}＞\frac{2}{9}$，所以嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率最大。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 补全树状图如图所示：
，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率最大。【知识点】
等可能事件概率，树状图法求概率，概率公式
【点评】
本题结合参观展厅的生活场景考查概率的求解，解题核心是明确每个路口的三种选择为等可能事件，通过树状图不重不漏地列举所有等可能结果，再统计对应事件的结果数计算概率，既考查了概率的基础应用，也锻炼了逻辑梳理能力。
【难度系数】
0.7
