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7 为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造。为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了20%，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元。根据题意，实际每间教室的改造费用为
4.8
万元。答案
7. 4.8
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用类题目，解题核心是找准等量关系。我们可以先设原计划每间教室的改造费用为未知数，先计算出实际总投资为80+40=120万元，再分别用含未知数的式子表示出原计划改造教室的数量和实际改造教室的数量，根据“实际改造的教室数量 - 原计划改造的教室数量 = 5间”的等量关系列分式方程，解方程检验后再换算得到实际每间的改造费用。
【解析】
设原计划每间教室的改造费用为$x$万元，则实际每间教室的改造费用为$(1+20\%)x=1.2x$万元。
原计划改造的教室数量为$\frac{80}{x}$间，实际总投资为$80+40=120$万元，实际改造的教室数量为$\frac{120}{1.2x}$间。
根据实际比原计划多改造5间，列方程得：
$\frac{120}{1.2x} - \frac{80}{x} = 5$
化简方程左边：$\frac{100}{x} - \frac{80}{x} = \frac{20}{x}$，即$\frac{20}{x}=5$
解得$x=4$
检验：当$x=4$时，分母$x≠0$，$1.2x≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则实际每间教室的改造费用为$1.2x=1.2×4=4.8$万元。
【答案】
4.8
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，解题关键是理清总投资、单间改造费用、改造数量三者之间的关系，找准数量差的等量关系，注意解分式方程后要检验根是否符合实际意义，排除增根。
【难度系数】
0.7
这是分式方程的实际应用类题目，解题核心是找准等量关系。我们可以先设原计划每间教室的改造费用为未知数，先计算出实际总投资为80+40=120万元，再分别用含未知数的式子表示出原计划改造教室的数量和实际改造教室的数量，根据“实际改造的教室数量 - 原计划改造的教室数量 = 5间”的等量关系列分式方程，解方程检验后再换算得到实际每间的改造费用。
【解析】
设原计划每间教室的改造费用为$x$万元，则实际每间教室的改造费用为$(1+20\%)x=1.2x$万元。
原计划改造的教室数量为$\frac{80}{x}$间，实际总投资为$80+40=120$万元，实际改造的教室数量为$\frac{120}{1.2x}$间。
根据实际比原计划多改造5间，列方程得：
$\frac{120}{1.2x} - \frac{80}{x} = 5$
化简方程左边：$\frac{100}{x} - \frac{80}{x} = \frac{20}{x}$，即$\frac{20}{x}=5$
解得$x=4$
检验：当$x=4$时，分母$x≠0$，$1.2x≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则实际每间教室的改造费用为$1.2x=1.2×4=4.8$万元。
【答案】
4.8
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，解题关键是理清总投资、单间改造费用、改造数量三者之间的关系，找准数量差的等量关系，注意解分式方程后要检验根是否符合实际意义，排除增根。
【难度系数】
0.7
8 教材 P169 习题 T2 变式 解下面关于 $ x $ 的方程.
(1) $\frac{1}{x - 2} - a = 2(a ≠ -2)$;
(2) $\frac{n}{x} - \frac{3}{x + 3} = 0(n ≠ 0 \mathrm{ 且 } n ≠ 3)$.
(1) $\frac{1}{x - 2} - a = 2(a ≠ -2)$;
(2) $\frac{n}{x} - \frac{3}{x + 3} = 0(n ≠ 0 \mathrm{ 且 } n ≠ 3)$.
答案
8. (1) $x=\frac{2a+5}{a+2}$
(2) $x=\frac{3n}{3-n}$
(2) $x=\frac{3n}{3-n}$
解析
【分析】
解含参数的分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，步骤为：1.确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母消去分母，得到整式方程；2.解整式方程，结合题目给出的参数取值范围化简结果；3.检验所得的解是否使原分式方程的分母不为0，排除增根。第一小问的最简公分母是$(x-2)$，第二小问的最简公分母是$x(x+3)$，分别去分母后整理求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-2)$（$x≠2$），得：
$1 - a(x-2) = 2(x-2)$
展开括号：$1 - ax + 2a = 2x - 4$
移项合并同类项：$-(a+2)x = -(2a+5)$
已知$a≠-2$，即$a+2≠0$，两边同时除以$-(a+2)$，得$x=\frac{2a+5}{a+2}$。
检验：当$x=\frac{2a+5}{a+2}$时，$x-2=\frac{1}{a+2}≠0$，因此该解为原方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$x(x+3)$（$x≠0$且$x≠-3$），得：
$n(x+3) - 3x = 0$
展开括号：$nx + 3n - 3x = 0$
移项合并同类项：$(n-3)x = -3n$
已知$n≠3$，即$n-3≠0$，两边同时除以$(n-3)$，得$x=\frac{-3n}{n-3}=\frac{3n}{3-n}$。
检验：当$x=\frac{3n}{3-n}$时，$x≠0$，$x+3=\frac{9}{3-n}≠0$，因此该解为原方程的解。
【答案】
(1) $x=\frac{2a+5}{a+2}$
(2) $x=\frac{3n}{3-n}$
【知识点】
分式方程解法，整式方程求解，分式方程验根
【点评】
本题考查含参数的分式方程求解，解题时要先找准最简公分母去分母，转化为整式方程后结合参数取值范围化简结果，最后必须检验解是否使原分式分母不为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解含参数的分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，步骤为：1.确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母消去分母，得到整式方程；2.解整式方程，结合题目给出的参数取值范围化简结果；3.检验所得的解是否使原分式方程的分母不为0，排除增根。第一小问的最简公分母是$(x-2)$，第二小问的最简公分母是$x(x+3)$，分别去分母后整理求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-2)$（$x≠2$），得：
$1 - a(x-2) = 2(x-2)$
展开括号：$1 - ax + 2a = 2x - 4$
移项合并同类项：$-(a+2)x = -(2a+5)$
已知$a≠-2$，即$a+2≠0$，两边同时除以$-(a+2)$，得$x=\frac{2a+5}{a+2}$。
检验：当$x=\frac{2a+5}{a+2}$时，$x-2=\frac{1}{a+2}≠0$，因此该解为原方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$x(x+3)$（$x≠0$且$x≠-3$），得：
$n(x+3) - 3x = 0$
展开括号：$nx + 3n - 3x = 0$
移项合并同类项：$(n-3)x = -3n$
已知$n≠3$，即$n-3≠0$，两边同时除以$(n-3)$，得$x=\frac{-3n}{n-3}=\frac{3n}{3-n}$。
检验：当$x=\frac{3n}{3-n}$时，$x≠0$，$x+3=\frac{9}{3-n}≠0$，因此该解为原方程的解。
【答案】
(1) $x=\frac{2a+5}{a+2}$
(2) $x=\frac{3n}{3-n}$
【知识点】
分式方程解法，整式方程求解，分式方程验根
【点评】
本题考查含参数的分式方程求解，解题时要先找准最简公分母去分母，转化为整式方程后结合参数取值范围化简结果，最后必须检验解是否使原分式分母不为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
9 [2025 淄博]某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240 km 的某景区美术实践基地写生.已知共有 200 名师生参加了最近一次活动.
(1) 一部分师生乘大巴车先行，出发 36 min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门.已知中巴车的速度是大巴车速度的 1.25 倍，求大巴车的速度.
(2) 该景区对学生(或儿童)实行门票优惠，学生每人 10 元，成人每人 30 元.如果购买门票的费用共计 2 200 元，那么参加本次活动的学生人数是多少？
(1) 一部分师生乘大巴车先行，出发 36 min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门.已知中巴车的速度是大巴车速度的 1.25 倍，求大巴车的速度.
(2) 该景区对学生(或儿童)实行门票优惠，学生每人 10 元，成人每人 30 元.如果购买门票的费用共计 2 200 元，那么参加本次活动的学生人数是多少？
答案
9. (1) 设大巴车的速度为$x$ km/h,则中巴车的速度为$1.25x$ km/h.根据题意,得$\frac{240}{x}-\frac{36}{60}=\frac{240}{1.25x}$,解得$x=80$.经检验,$x=80$是原方程的解,且符合题意.答:大巴车的速度为80 km/h
(2) 设参加本次活动的学生人数为$y$,则教师的人数为$200-y$.根据题意,得$10y+30(200-y)=2200$,解得$y=190$.答:参加本次活动的学生人数是190
(2) 设参加本次活动的学生人数为$y$,则教师的人数为$200-y$.根据题意,得$10y+30(200-y)=2200$,解得$y=190$.答:参加本次活动的学生人数是190
解析
【分析】
(1) 本题为行程类实际问题，解题核心是抓住两车的行驶时间差建立等量关系。首先统一时间单位，将36 min换算为$\frac{36}{60}$ h；设大巴车速度为$x$ km/h，则中巴车速度为$1.25x$ km/h，根据“路程÷速度=时间”分别表示两车行驶全程的时间，结合“大巴车行驶时间 - 提前出发的时间 = 中巴车行驶时间”列分式方程求解，最后需检验解是否符合原方程及实际意义。
(2) 本题为费用类实际问题，解题核心是抓住门票总费用的等量关系。设学生人数为$y$，则成人人数为总人数减去学生人数，根据“学生总门票费+成人总门票费=总购票费用”列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设大巴车的速度为$x$ km/h，则中巴车的速度为$1.25x$ km/h。
根据题意列方程：
$\frac{240}{x}-\frac{36}{60}=\frac{240}{1.25x}$
去分母得：$240×1.25 - 0.6×1.25x = 240$
整理得：$300 - 0.75x = 240$
解得：$x=80$
检验：当$x=80$时，$1.25x=100≠0$，所以$x=80$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 设参加本次活动的学生人数为$y$，则教师人数为$200-y$。
根据题意列方程：
$10y+30(200-y)=2200$
去括号得：$10y + 6000 - 30y = 2200$
整理得：$-20y = -3800$
解得：$y=190$
【答案】
(1) 大巴车的速度为80 km/h；(2) 参加本次活动的学生人数是190
【知识点】
分式方程的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际场景，分别考查了分式方程和一元一次方程的实际应用，解题的关键是准确梳理题干中的等量关系，注意分式方程求解后需要检验根是否满足方程及实际意义。
【难度系数】
0.75
(1) 本题为行程类实际问题，解题核心是抓住两车的行驶时间差建立等量关系。首先统一时间单位，将36 min换算为$\frac{36}{60}$ h；设大巴车速度为$x$ km/h，则中巴车速度为$1.25x$ km/h，根据“路程÷速度=时间”分别表示两车行驶全程的时间，结合“大巴车行驶时间 - 提前出发的时间 = 中巴车行驶时间”列分式方程求解，最后需检验解是否符合原方程及实际意义。
(2) 本题为费用类实际问题，解题核心是抓住门票总费用的等量关系。设学生人数为$y$，则成人人数为总人数减去学生人数，根据“学生总门票费+成人总门票费=总购票费用”列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设大巴车的速度为$x$ km/h，则中巴车的速度为$1.25x$ km/h。
根据题意列方程：
$\frac{240}{x}-\frac{36}{60}=\frac{240}{1.25x}$
去分母得：$240×1.25 - 0.6×1.25x = 240$
整理得：$300 - 0.75x = 240$
解得：$x=80$
检验：当$x=80$时，$1.25x=100≠0$，所以$x=80$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 设参加本次活动的学生人数为$y$，则教师人数为$200-y$。
根据题意列方程：
$10y+30(200-y)=2200$
去括号得：$10y + 6000 - 30y = 2200$
整理得：$-20y = -3800$
解得：$y=190$
【答案】
(1) 大巴车的速度为80 km/h；(2) 参加本次活动的学生人数是190
【知识点】
分式方程的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际场景，分别考查了分式方程和一元一次方程的实际应用，解题的关键是准确梳理题干中的等量关系，注意分式方程求解后需要检验根是否满足方程及实际意义。
【难度系数】
0.75
10 某商场进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种衬衫，面市后果然供不应求. 于是又用8800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批的2倍，但每件的进价贵了4元.
（1）该商场购进的第一批、第二批衬衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批衬衫按相同的标价销售，最后的40件衬衫按七折优惠销售，要使两批衬衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么这种衬衫每件的标价至少是多少元？
（1）该商场购进的第一批、第二批衬衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批衬衫按相同的标价销售，最后的40件衬衫按七折优惠销售，要使两批衬衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么这种衬衫每件的标价至少是多少元？
答案
10. (1) 设该商场购进的第一批衬衫每件的进价是$x$元,则购进的第二批衬衫每件的进价是$(x+4)$元.根据题意,得$2×\frac{4000}{x}=\frac{8800}{x+4}$,解得$x=40$.经检验,$x=40$是原分式方程的解,且符合题意.$\therefore x+4=40+4=44$.$\therefore$ 该商场购进的第一批、第二批衬衫每件的进价分别是40元和44元
(2) $\frac{4000}{40}+\frac{8800}{44}=300$(件).设这种衬衫每件的标价是$y$元.根据题意,得$(300-40)y+40×0.7y≥(4000+8800)×(1+80\%)$,解得$y≥80$.$\therefore$ 这种衬衫每件的标价至少是80元
(2) $\frac{4000}{40}+\frac{8800}{44}=300$(件).设这种衬衫每件的标价是$y$元.根据题意,得$(300-40)y+40×0.7y≥(4000+8800)×(1+80\%)$,解得$y≥80$.$\therefore$ 这种衬衫每件的标价至少是80元
解析
【分析】
（1）第一问的核心等量关系是“第二批进货数量是第一批的2倍”，我们可以设第一批衬衫每件进价为x元，那么第二批每件进价就是(x+4)元，分别用“总价÷单价”表示两批的进货数量，结合数量的倍数关系列分式方程求解即可，注意分式方程求出解后必须检验是否符合方程要求和实际意义。
（2）第二问首先要计算出两批衬衫的总进货量，再根据“总利润率不低于80%”的不等关系列不等式，总售价=正常标价销售的收入+打折部分的收入，总售价要大于等于总成本的(1+80%)，设标价为y元列不等式求解即可得到标价的最小值。
【解析】
（1）设该商场购进的第一批衬衫每件的进价是$x$元，则购进的第二批衬衫每件的进价是$(x+4)$元。
根据题意列方程：
$2×\frac{4000}{x}=\frac{8800}{x+4}$
去分母得：$8000(x+4)=8800x$
展开整理得：$800x=32000$
解得$x=40$
检验：当$x=40$时，$x(x+4)=40×44=1760≠0$，所以$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则第二批衬衫每件进价为$x+4=40+4=44$元。
（2）先计算两批衬衫总数量：$\frac{4000}{40}+\frac{8800}{44}=100+200=300$（件）
设这种衬衫每件的标价是$y$元，根据总利润率不低于80%列不等式：
$(300-40)y+40×0.7y≥(4000+8800)×(1+80\%)$
化简得：$288y≥23040$
解得$y≥80$
【答案】
（1）第一批衬衫每件进价40元，第二批衬衫每件进价44元；（2）这种衬衫每件的标价至少是80元。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，销售利润计算
【点评】
本题属于常见的实际应用类题型，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系，建立对应的数学模型，要特别注意分式方程求解后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.6
（1）第一问的核心等量关系是“第二批进货数量是第一批的2倍”，我们可以设第一批衬衫每件进价为x元，那么第二批每件进价就是(x+4)元，分别用“总价÷单价”表示两批的进货数量，结合数量的倍数关系列分式方程求解即可，注意分式方程求出解后必须检验是否符合方程要求和实际意义。
（2）第二问首先要计算出两批衬衫的总进货量，再根据“总利润率不低于80%”的不等关系列不等式，总售价=正常标价销售的收入+打折部分的收入，总售价要大于等于总成本的(1+80%)，设标价为y元列不等式求解即可得到标价的最小值。
【解析】
（1）设该商场购进的第一批衬衫每件的进价是$x$元，则购进的第二批衬衫每件的进价是$(x+4)$元。
根据题意列方程：
$2×\frac{4000}{x}=\frac{8800}{x+4}$
去分母得：$8000(x+4)=8800x$
展开整理得：$800x=32000$
解得$x=40$
检验：当$x=40$时，$x(x+4)=40×44=1760≠0$，所以$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则第二批衬衫每件进价为$x+4=40+4=44$元。
（2）先计算两批衬衫总数量：$\frac{4000}{40}+\frac{8800}{44}=100+200=300$（件）
设这种衬衫每件的标价是$y$元，根据总利润率不低于80%列不等式：
$(300-40)y+40×0.7y≥(4000+8800)×(1+80\%)$
化简得：$288y≥23040$
解得$y≥80$
【答案】
（1）第一批衬衫每件进价40元，第二批衬衫每件进价44元；（2）这种衬衫每件的标价至少是80元。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，销售利润计算
【点评】
本题属于常见的实际应用类题型，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系，建立对应的数学模型，要特别注意分式方程求解后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.6
