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1 [2025 雅安]甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（
A.$\frac{200}{x}=\frac{160}{x-20}$
B.$\frac{200}{x-20}=\frac{160}{x}$
C.$\frac{200}{x}=\frac{160}{x+20}$
D.$\frac{200}{x+20}=\frac{160}{x}$
D
）A.$\frac{200}{x}=\frac{160}{x-20}$
B.$\frac{200}{x-20}=\frac{160}{x}$
C.$\frac{200}{x}=\frac{160}{x+20}$
D.$\frac{200}{x+20}=\frac{160}{x}$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要抓住题中的核心等量关系：甲加工200个零件所用的时间 = 乙加工160个零件所用的时间。第一步先根据设出的乙的工作效率，表示出甲的工作效率，再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示出两人的工作时间，最后根据等量关系列出方程即可。
【解析】
已知设乙每小时加工这种零件x个，因为甲比乙每小时多加工20个，所以甲每小时加工$(x+20)$个。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可得：
甲加工200个零件的时间为$\frac{200}{x+20}$，
乙加工160个零件的时间为$\frac{160}{x}$，
由于两者时间相等，因此可列方程：$\frac{200}{x+20}=\frac{160}{x}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的实际应用；工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是找准题目中的等量关系，准确表示出不同主体的工作效率，再结合工作时间、工作总量、工作效率三者的关系列式即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先要抓住题中的核心等量关系：甲加工200个零件所用的时间 = 乙加工160个零件所用的时间。第一步先根据设出的乙的工作效率，表示出甲的工作效率，再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示出两人的工作时间，最后根据等量关系列出方程即可。
【解析】
已知设乙每小时加工这种零件x个，因为甲比乙每小时多加工20个，所以甲每小时加工$(x+20)$个。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可得：
甲加工200个零件的时间为$\frac{200}{x+20}$，
乙加工160个零件的时间为$\frac{160}{x}$，
由于两者时间相等，因此可列方程：$\frac{200}{x+20}=\frac{160}{x}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的实际应用；工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是找准题目中的等量关系，准确表示出不同主体的工作效率，再结合工作时间、工作总量、工作效率三者的关系列式即可。
【难度系数】
0.8
2 教材P167例4变式 某次列车平均提速v千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，根据以上信息，下列说法正确的是（
A.若设提速后这次列车的平均速度为x千米/时，则可列方程为$\frac{s}{x}=\frac{s+50}{x-v}$
B.若设提速后这次列车的平均速度为x千米/时，则可列方程为$\frac{s}{x-v}=\frac{s+50}{x}$
C.若设提速前这次列车的平均速度为y千米/时，则可列方程为$\frac{s}{y+v}=\frac{s+50}{y}$
D.若设提速前这次列车的平均速度为y千米/时，则可列方程为$\frac{s}{y}=\frac{50}{y+v}$
B
）A.若设提速后这次列车的平均速度为x千米/时，则可列方程为$\frac{s}{x}=\frac{s+50}{x-v}$
B.若设提速后这次列车的平均速度为x千米/时，则可列方程为$\frac{s}{x-v}=\frac{s+50}{x}$
C.若设提速前这次列车的平均速度为y千米/时，则可列方程为$\frac{s}{y+v}=\frac{s+50}{y}$
D.若设提速前这次列车的平均速度为y千米/时，则可列方程为$\frac{s}{y}=\frac{50}{y+v}$
答案
2. B
解析
【分析】
本题为行程类分式方程应用题，解题核心是抓住“两次行驶时间相同”这一等量关系，结合公式“时间=路程÷速度”分析：若设提速后速度为x，先推导提速前速度为(x-v)，再分别表示两次行驶的时间列方程验证选项A、B；若设提速前速度为y，先推导提速后速度为(y+v)，再表示两次行驶的时间列方程验证选项C、D，即可得出正确结论。
【解析】
我们分两种设未知数的情况逐一判断：
1. 若设提速后这次列车的平均速度为x千米/时：
提速前的平均速度为$(x-v)$千米/时，提速前行驶s千米的时间为$\frac{s}{x-v}$小时；
提速后行驶的总路程为$(s+50)$千米，所用时间为$\frac{s+50}{x}$小时；
由时间相等可得方程：$\frac{s}{x-v}=\frac{s+50}{x}$，因此A错误，B正确。
2. 若设提速前这次列车的平均速度为y千米/时：
提速后的平均速度为$(y+v)$千米/时，提速前行驶s千米的时间为$\frac{s}{y}$小时；
提速后行驶$(s+50)$千米的时间为$\frac{s+50}{y+v}$小时；
由时间相等可得方程：$\frac{s}{y}=\frac{s+50}{y+v}$，对比C、D可知，C的路程和速度对应错误，D的右边路程错误，因此C、D均错误。
【答案】
B
【知识点】
行程问题公式、列分式方程、等量关系识别
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题的关键是找准不变量，明确速度、路程的对应关系，避免出现量不匹配的错误。
【难度系数】
0.7
本题为行程类分式方程应用题，解题核心是抓住“两次行驶时间相同”这一等量关系，结合公式“时间=路程÷速度”分析：若设提速后速度为x，先推导提速前速度为(x-v)，再分别表示两次行驶的时间列方程验证选项A、B；若设提速前速度为y，先推导提速后速度为(y+v)，再表示两次行驶的时间列方程验证选项C、D，即可得出正确结论。
【解析】
我们分两种设未知数的情况逐一判断：
1. 若设提速后这次列车的平均速度为x千米/时：
提速前的平均速度为$(x-v)$千米/时，提速前行驶s千米的时间为$\frac{s}{x-v}$小时；
提速后行驶的总路程为$(s+50)$千米，所用时间为$\frac{s+50}{x}$小时；
由时间相等可得方程：$\frac{s}{x-v}=\frac{s+50}{x}$，因此A错误，B正确。
2. 若设提速前这次列车的平均速度为y千米/时：
提速后的平均速度为$(y+v)$千米/时，提速前行驶s千米的时间为$\frac{s}{y}$小时；
提速后行驶$(s+50)$千米的时间为$\frac{s+50}{y+v}$小时；
由时间相等可得方程：$\frac{s}{y}=\frac{s+50}{y+v}$，对比C、D可知，C的路程和速度对应错误，D的右边路程错误，因此C、D均错误。
【答案】
B
【知识点】
行程问题公式、列分式方程、等量关系识别
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题的关键是找准不变量，明确速度、路程的对应关系，避免出现量不匹配的错误。
【难度系数】
0.7
3 [2024 绥化]一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用的时间与以该航速沿江逆流航行80 km所用的时间相等，则江水的流速为 （
A.5 km/h
B.6 km/h
C.7 km/h
D.8 km/h
D
）A.5 km/h
B.6 km/h
C.7 km/h
D.8 km/h
答案
3. D
解析
【分析】
这是流水行船类的行程问题，解题时首先明确流水行船的速度关系：顺流航速=静水航速+江水流速，逆流航速=静水航速-江水流速。题干给出顺流航行120km和逆流航行80km的时间相等，而行程问题中时间=路程÷速度，我们可以以此为等量关系，设江水的流速为未知量，列出分式方程求解，最后注意检验分式方程的解是否符合实际意义。
【解析】
解：设江水的流速为$x$ km/h。
则顺流航速为$(40+x)$ km/h，逆流航速为$(40-x)$ km/h。
根据“顺流航行120km所用时间=逆流航行80km所用时间”，列方程得：
$\frac{120}{40+x}=\frac{80}{40-x}$
交叉相乘去分母得：
$120(40-x)=80(40+x)$
展开得：
$4800-120x=3200+80x$
移项、合并同类项得：
$200x=1600$
解得：
$x=8$
检验：当$x=8$时，$(40+x)(40-x)=48×32=1536≠0$，所以$x=8$是原分式方程的解，且符合实际航行的意义。
【答案】
D
【知识点】
流水行船速度关系、分式方程的应用、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程在行程问题中的典型应用，解题关键是找准等量关系列方程，需要注意解分式方程后必须双重检验，既要检验解是否为原方程的增根，也要检验解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是流水行船类的行程问题，解题时首先明确流水行船的速度关系：顺流航速=静水航速+江水流速，逆流航速=静水航速-江水流速。题干给出顺流航行120km和逆流航行80km的时间相等，而行程问题中时间=路程÷速度，我们可以以此为等量关系，设江水的流速为未知量，列出分式方程求解，最后注意检验分式方程的解是否符合实际意义。
【解析】
解：设江水的流速为$x$ km/h。
则顺流航速为$(40+x)$ km/h，逆流航速为$(40-x)$ km/h。
根据“顺流航行120km所用时间=逆流航行80km所用时间”，列方程得：
$\frac{120}{40+x}=\frac{80}{40-x}$
交叉相乘去分母得：
$120(40-x)=80(40+x)$
展开得：
$4800-120x=3200+80x$
移项、合并同类项得：
$200x=1600$
解得：
$x=8$
检验：当$x=8$时，$(40+x)(40-x)=48×32=1536≠0$，所以$x=8$是原分式方程的解，且符合实际航行的意义。
【答案】
D
【知识点】
流水行船速度关系、分式方程的应用、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程在行程问题中的典型应用，解题关键是找准等量关系列方程，需要注意解分式方程后必须双重检验，既要检验解是否为原方程的增根，也要检验解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
4 教材 P169 习题 T3 变式 随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”.端午节，君君一家驾驶新购买的新能源车，去相距 180 km 的古镇旅行，原计划以 $ v $ km/h 的速度匀速行驶，因急事以原计划速度的 1.2 倍匀速行驶，结果比原计划提前了 0.5 h 到达，则原计划的速度为
60
km/h.答案
4. 60
解析
【分析】
本题属于行程类分式方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”推导时间的表达式，再抓住“实际比原计划提前0.5h到达”的关键等量关系列方程。首先分别表示出原计划行驶时间和实际行驶时间，两者的差为0.5h，据此列出分式方程，求解后要检验解是否满足分式有意义且符合实际情况。
【解析】
解：原计划行驶时间为$\frac{180}{v}$h，实际行驶速度为$1.2v$km/h，实际行驶时间为$\frac{180}{1.2v}$h。
根据时间差的等量关系列方程：
$\frac{180}{v} - \frac{180}{1.2v} = 0.5$
化简左边得：$\frac{180}{v} - \frac{150}{v} = \frac{30}{v}$
即$\frac{30}{v} = 0.5$
解得$v=60$
检验：当$v=60$时，$v≠0$，$1.2v=72≠0$，因此$v=60$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
60
【知识点】
分式方程的应用、行程问题等量关系、分式方程检验
【点评】
本题是分式方程解决实际问题的基础题型，解题关键是准确提取时间差的等量关系，求解后要注意双重检验，既要保证分式分母不为零，也要保证解符合实际情境。
【难度系数】
0.7
本题属于行程类分式方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”推导时间的表达式，再抓住“实际比原计划提前0.5h到达”的关键等量关系列方程。首先分别表示出原计划行驶时间和实际行驶时间，两者的差为0.5h，据此列出分式方程，求解后要检验解是否满足分式有意义且符合实际情况。
【解析】
解：原计划行驶时间为$\frac{180}{v}$h，实际行驶速度为$1.2v$km/h，实际行驶时间为$\frac{180}{1.2v}$h。
根据时间差的等量关系列方程：
$\frac{180}{v} - \frac{180}{1.2v} = 0.5$
化简左边得：$\frac{180}{v} - \frac{150}{v} = \frac{30}{v}$
即$\frac{30}{v} = 0.5$
解得$v=60$
检验：当$v=60$时，$v≠0$，$1.2v=72≠0$，因此$v=60$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
60
【知识点】
分式方程的应用、行程问题等量关系、分式方程检验
【点评】
本题是分式方程解决实际问题的基础题型，解题关键是准确提取时间差的等量关系，求解后要注意双重检验，既要保证分式分母不为零，也要保证解符合实际情境。
【难度系数】
0.7
5 [2025 广州]智能机器人广泛应用于智慧农业.为了降低成本和提高采摘效率,某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘.
(1) 若用人工采摘的成本为 a 元,相比人工采摘,用智能机器人采摘的成本可降低 30%.求用智能机器人采摘的成本是多少元(用含 a 的代数式表示).
(2) 若要采摘 4 000 千克该种水果,用这台智能采摘机器人采摘比 4 个工人同时采摘所需的时间还少 1 天.已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍,求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克.
(1) 若用人工采摘的成本为 a 元,相比人工采摘,用智能机器人采摘的成本可降低 30%.求用智能机器人采摘的成本是多少元(用含 a 的代数式表示).
(2) 若要采摘 4 000 千克该种水果,用这台智能采摘机器人采摘比 4 个工人同时采摘所需的时间还少 1 天.已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍,求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克.
答案
5. (1) 根据题意,得用智能机器人采摘的成本是$(1-30\%)a=70\%a$(元)
(2) 设一个工人每天可采摘该种水果$x$千克,则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果$5x$千克.根据题意,得$\frac{4000}{4x}-\frac{4000}{5x}=1$,解得$x=200$.经检验,$x=200$是所列方程的解,且符合题意.$\therefore 5x=5×200=1000$.答:这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克
(2) 设一个工人每天可采摘该种水果$x$千克,则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果$5x$千克.根据题意,得$\frac{4000}{4x}-\frac{4000}{5x}=1$,解得$x=200$.经检验,$x=200$是所列方程的解,且符合题意.$\therefore 5x=5×200=1000$.答:这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克
解析
【分析】
（1）第一问属于百分数基础应用问题，智能采摘成本比人工低30%，即智能采摘成本是人工成本的（1-30%），直接用人工成本a乘该比例即可得到结果。
（2）第二问是分式方程的工程类实际应用，核心是找准等量关系：4个工人采摘4000千克的时间 - 智能机器人采摘4000千克的时间 = 1天。先设单个工人日采摘量为x千克，根据机器人效率是工人的5倍，表示出机器人日采摘量为5x千克，再结合“时间=总采摘量÷日采摘量”分别表示出两者的采摘时间，代入等量关系列方程求解即可，注意解分式方程后必须检验根是否符合实际意义。
【解析】
（1）已知人工采摘成本为a元，智能采摘成本比人工降低30%，因此智能采摘成本为：
$(1-30\%)a=70\%a$（元）
（2）设一个工人每天可采摘该种水果$x$千克，则智能采摘机器人每天可采摘$5x$千克。
根据题意列方程：
$\frac{4000}{4x}-\frac{4000}{5x}=1$
化简得：$\frac{1000}{x}-\frac{800}{x}=1$，即$\frac{200}{x}=1$
解得$x=200$
检验：当$x=200$时，$4x=800≠0$，$5x=1000≠0$，因此$x=200$是原方程的解，且符合实际意义。
则机器人日采摘量为$5x=5×200=1000$（千克）
【答案】
（1）$70\%a$（或$0.7a$）元；（2）1000千克
【知识点】
列代数式；分式方程的实际应用；解分式方程
【点评】
本题结合智慧农业的实际场景出题，第一问难度较低，考察百分数相关的代数式列写能力；第二问是典型的工程类分式方程应用题，解题关键是找准时间差的等量关系，同时要注意分式方程求解后必须检验根是否满足实际意义，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于百分数基础应用问题，智能采摘成本比人工低30%，即智能采摘成本是人工成本的（1-30%），直接用人工成本a乘该比例即可得到结果。
（2）第二问是分式方程的工程类实际应用，核心是找准等量关系：4个工人采摘4000千克的时间 - 智能机器人采摘4000千克的时间 = 1天。先设单个工人日采摘量为x千克，根据机器人效率是工人的5倍，表示出机器人日采摘量为5x千克，再结合“时间=总采摘量÷日采摘量”分别表示出两者的采摘时间，代入等量关系列方程求解即可，注意解分式方程后必须检验根是否符合实际意义。
【解析】
（1）已知人工采摘成本为a元，智能采摘成本比人工降低30%，因此智能采摘成本为：
$(1-30\%)a=70\%a$（元）
（2）设一个工人每天可采摘该种水果$x$千克，则智能采摘机器人每天可采摘$5x$千克。
根据题意列方程：
$\frac{4000}{4x}-\frac{4000}{5x}=1$
化简得：$\frac{1000}{x}-\frac{800}{x}=1$，即$\frac{200}{x}=1$
解得$x=200$
检验：当$x=200$时，$4x=800≠0$，$5x=1000≠0$，因此$x=200$是原方程的解，且符合实际意义。
则机器人日采摘量为$5x=5×200=1000$（千克）
【答案】
（1）$70\%a$（或$0.7a$）元；（2）1000千克
【知识点】
列代数式；分式方程的实际应用；解分式方程
【点评】
本题结合智慧农业的实际场景出题，第一问难度较低，考察百分数相关的代数式列写能力；第二问是典型的工程类分式方程应用题，解题关键是找准时间差的等量关系，同时要注意分式方程求解后必须检验根是否满足实际意义，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
6 某学校篮球社团准备用720元去商店购买$x$个篮球.甲、乙两个商店销售同种品牌篮球,标价都为每个$y$元,但有不同的促销活动.甲商店:购买篮球,消费满688元,送两个篮球;乙商店:篮球打七折销售.小明通过计算发现,如果去甲商店购买,经费正好用完;如果去乙商店购买,还能剩余48元.有下列四个方程:
① $\frac{720}{x-2} × 0.7 = \frac{720-48}{x}$;
② $\frac{720}{x-2} = \frac{720-48}{x} × 0.7$;
③ $\frac{720+2y}{y} = \frac{720-48}{0.7y}$;
④ $\frac{720-2y}{0.7y} = \frac{720-48}{y}$.
其中,正确的是 (
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
① $\frac{720}{x-2} × 0.7 = \frac{720-48}{x}$;
② $\frac{720}{x-2} = \frac{720-48}{x} × 0.7$;
③ $\frac{720+2y}{y} = \frac{720-48}{0.7y}$;
④ $\frac{720-2y}{0.7y} = \frac{720-48}{y}$.
其中,正确的是 (
A
)A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
答案
6. A
解析
【分析】
解题的关键是抓住两个不变量：篮球的原价$y$相同、购买的总篮球个数$x$相同。首先分析甲商店促销规则：720元正好买$x$个篮球，满额送2个，因此实际花钱购买的篮球个数是$(x-2)$个，可据此表示出原价$y$；再分析乙商店促销规则：打七折买$x$个篮球花费$(720-48)$元，也可表示出原价$y$，利用原价相等即可列出关于$x$的方程。也可以从总个数$x$相等的角度，分别用$y$表示出两个商店购买的总个数，列出关于$y$的方程，最后对应判断四个方程的对错即可。
【解析】
1. 分析甲商店的数量与价格关系
甲商店720元购得$x$个篮球，其中2个是赠送的，实际花钱购买的篮球数量为$(x-2)$个，因此篮球原价$y=\frac{720}{x-2}$。
2. 分析乙商店的数量与价格关系
乙商店篮球打七折，买$x$个篮球共花费$720-48=672$元，单个篮球实际售价为$0.7y$，可得$0.7y· x=672$，整理得$y=\frac{720-48}{0.7x}$。
3. 判断关于$x$的方程正误
因为原价$y$相等，所以$\frac{720}{x-2}=\frac{720-48}{0.7x}$，两边同时乘$0.7$可得$\frac{720}{x-2}×0.7=\frac{720-48}{x}$，因此①正确，②错误。
4. 判断关于$y$的方程正误
从总个数$x$相等的角度分析：
甲商店总个数$x=$付费购买个数$+$赠送个数$=\frac{720}{y}+2=\frac{720+2y}{y}$；
乙商店总个数$x=$总花费$÷$单个实际售价$=\frac{720-48}{0.7y}$；
因此$\frac{720+2y}{y}=\frac{720-48}{0.7y}$，即③正确，④错误。
综上，正确的是①③。
【答案】A
【知识点】分式方程应用，销售打折问题，等量关系建立
【点评】本题考查分式方程在销售场景中的实际应用，解题核心是找准促销规则下数量、单价、总价的对应关系，抓住原价、购买总个数这两个不变量建立等式，注意赠送的商品需计入总数量，不要混淆实际付费个数和总个数的关系。
【难度系数】0.6
解题的关键是抓住两个不变量：篮球的原价$y$相同、购买的总篮球个数$x$相同。首先分析甲商店促销规则：720元正好买$x$个篮球，满额送2个，因此实际花钱购买的篮球个数是$(x-2)$个，可据此表示出原价$y$；再分析乙商店促销规则：打七折买$x$个篮球花费$(720-48)$元，也可表示出原价$y$，利用原价相等即可列出关于$x$的方程。也可以从总个数$x$相等的角度，分别用$y$表示出两个商店购买的总个数，列出关于$y$的方程，最后对应判断四个方程的对错即可。
【解析】
1. 分析甲商店的数量与价格关系
甲商店720元购得$x$个篮球，其中2个是赠送的，实际花钱购买的篮球数量为$(x-2)$个，因此篮球原价$y=\frac{720}{x-2}$。
2. 分析乙商店的数量与价格关系
乙商店篮球打七折，买$x$个篮球共花费$720-48=672$元，单个篮球实际售价为$0.7y$，可得$0.7y· x=672$，整理得$y=\frac{720-48}{0.7x}$。
3. 判断关于$x$的方程正误
因为原价$y$相等，所以$\frac{720}{x-2}=\frac{720-48}{0.7x}$，两边同时乘$0.7$可得$\frac{720}{x-2}×0.7=\frac{720-48}{x}$，因此①正确，②错误。
4. 判断关于$y$的方程正误
从总个数$x$相等的角度分析：
甲商店总个数$x=$付费购买个数$+$赠送个数$=\frac{720}{y}+2=\frac{720+2y}{y}$；
乙商店总个数$x=$总花费$÷$单个实际售价$=\frac{720-48}{0.7y}$；
因此$\frac{720+2y}{y}=\frac{720-48}{0.7y}$，即③正确，④错误。
综上，正确的是①③。
【答案】A
【知识点】分式方程应用，销售打折问题，等量关系建立
【点评】本题考查分式方程在销售场景中的实际应用，解题核心是找准促销规则下数量、单价、总价的对应关系，抓住原价、购买总个数这两个不变量建立等式，注意赠送的商品需计入总数量，不要混淆实际付费个数和总个数的关系。
【难度系数】0.6
