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10 定义 $ a \otimes b = 2a + \frac{1}{b} $，例如 $ 1 \otimes 2 = 2 × 1 + \frac{1}{2} $，则方程 $ 3 \otimes x = 4 \otimes 2 $ 的解为（
A.$ x=\frac{1}{5} $
B.$ x=\frac{2}{5} $
C.$ x=\frac{3}{5} $
D.$ x=\frac{4}{5} $
B
）A.$ x=\frac{1}{5} $
B.$ x=\frac{2}{5} $
C.$ x=\frac{3}{5} $
D.$ x=\frac{4}{5} $
答案
10.B
解析
【分析】
本题属于新定义运算结合分式方程的题型，解题思路如下：首先准确理解题目给出的⊗运算规则，将方程左右两边的新运算分别转化为常规代数式，得到分式方程，再按照分式方程的求解步骤计算，最后检验根是否有效，对应选项得出答案即可。
【解析】
根据新定义$ a \otimes b = 2a + \frac{1}{b} $，分别化简方程两边：
左边：$ 3 \otimes x = 2×3 + \frac{1}{x} = 6 + \frac{1}{x} $
右边：$ 4 \otimes 2 = 2×4 + \frac{1}{2} = 8 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} $
因此原方程可转化为：
$ 6 + \frac{1}{x} = \frac{17}{2} $
移项计算：
$ \frac{1}{x} = \frac{17}{2} - 6 = \frac{17}{2} - \frac{12}{2} = \frac{5}{2} $
交叉相乘得：$ 5x = 2 $，解得$ x = \frac{2}{5} $
检验：当$ x = \frac{2}{5} $时，分母$ x ≠ 0 $，所以$ x = \frac{2}{5} $是原方程的解。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，分式方程的解法
【点评】
本题考查新定义下的分式方程求解，核心是正确转化新运算为常规代数式，解题时需注意分式方程求解后必须检验根是否使原分式有意义。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算结合分式方程的题型，解题思路如下：首先准确理解题目给出的⊗运算规则，将方程左右两边的新运算分别转化为常规代数式，得到分式方程，再按照分式方程的求解步骤计算，最后检验根是否有效，对应选项得出答案即可。
【解析】
根据新定义$ a \otimes b = 2a + \frac{1}{b} $，分别化简方程两边：
左边：$ 3 \otimes x = 2×3 + \frac{1}{x} = 6 + \frac{1}{x} $
右边：$ 4 \otimes 2 = 2×4 + \frac{1}{2} = 8 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} $
因此原方程可转化为：
$ 6 + \frac{1}{x} = \frac{17}{2} $
移项计算：
$ \frac{1}{x} = \frac{17}{2} - 6 = \frac{17}{2} - \frac{12}{2} = \frac{5}{2} $
交叉相乘得：$ 5x = 2 $，解得$ x = \frac{2}{5} $
检验：当$ x = \frac{2}{5} $时，分母$ x ≠ 0 $，所以$ x = \frac{2}{5} $是原方程的解。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，分式方程的解法
【点评】
本题考查新定义下的分式方程求解，核心是正确转化新运算为常规代数式，解题时需注意分式方程求解后必须检验根是否使原分式有意义。
【难度系数】
0.7
11 已知关于$x$的分式方程$\frac{x+k}{x-4}-\frac{2k}{4-x}=3$的解为负数，则$k$的取值范围是（
A.$k＜-4$
B.$k＞-4$
C.$k＜-4$或$k≠-\frac{4}{3}$
D.$k＞-4$且$k≠-\frac{4}{3}$
A
）A.$k＜-4$
B.$k＞-4$
C.$k＜-4$或$k≠-\frac{4}{3}$
D.$k＞-4$且$k≠-\frac{4}{3}$
答案
11. A 【解析】$\because \frac{x+k}{x-4}-\frac{2k}{4-x}=3,\therefore \frac{x+k}{x-4}+\frac{2k}{x-4}=3,$即$\frac{x+3k}{x-4}=3. \therefore x+3k=3x-12,$解得 $x=\frac{3k+12}{2}.$ 根据题意,得$x=\frac{3k+12}{2}＜0,$即 $3k+12＜0,$解得 $k＜-4. \because x-4≠0,\therefore x≠4,$即$\frac{3k+12}{2}≠4,$解得 $k≠-\frac{4}{3}. \therefore k＜-4.$
解析
【分析】
要解决这道含参数的分式方程问题，解题思路分三步：第一步先将分式方程化为整式方程，求出用k表示的x的表达式；第二步根据“方程的解为负数”列出关于k的不等式，求出k的初步范围；第三步牢记分式方程分母不能为0，即解不能是增根x=4，排除使分母为0的k值，最后结合两个条件确定最终k的取值范围。
【解析】
首先对原分式方程变形：
$\because \frac{x+k}{x-4}-\frac{2k}{4-x}=3$，而$4-x=-(x-4)$，
$\therefore$ 原式可化为 $\frac{x+k}{x-4}+\frac{2k}{x-4}=3$，
合并分子得：$\frac{x+3k}{x-4}=3$，
方程两边同时乘最简公分母$(x-4)$（注意$x≠4$）去分母得：
$x+3k=3(x-4)$，
展开右边：$x+3k=3x-12$，
移项合并同类项：$2x=3k+12$，
解得：$x=\frac{3k+12}{2}$。
根据题意方程的解为负数，可得：
$\frac{3k+12}{2}＜0$，
两边乘2得：$3k+12＜0$，解得$k＜-4$。
再考虑分式有意义的条件：$x≠4$，即$\frac{3k+12}{2}≠4$，
解得$3k+12≠8$，即$k≠-\frac{4}{3}$。
由于$k＜-4$时，$k$的取值已经小于$-\frac{4}{3}$，自然满足$k≠-\frac{4}{3}$，因此最终k的取值范围是$k＜-4$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程含参求范围的典型题，易错点是容易忽略分式分母不为0的增根情况，但本题中求出的$k＜-4$已经自动排除了增根对应的$k=-\frac{4}{3}$，解题时要注意对两个条件的结果进行整合，避免多写不必要的限制条件。
【难度系数】
0.5
要解决这道含参数的分式方程问题，解题思路分三步：第一步先将分式方程化为整式方程，求出用k表示的x的表达式；第二步根据“方程的解为负数”列出关于k的不等式，求出k的初步范围；第三步牢记分式方程分母不能为0，即解不能是增根x=4，排除使分母为0的k值，最后结合两个条件确定最终k的取值范围。
【解析】
首先对原分式方程变形：
$\because \frac{x+k}{x-4}-\frac{2k}{4-x}=3$，而$4-x=-(x-4)$，
$\therefore$ 原式可化为 $\frac{x+k}{x-4}+\frac{2k}{x-4}=3$，
合并分子得：$\frac{x+3k}{x-4}=3$，
方程两边同时乘最简公分母$(x-4)$（注意$x≠4$）去分母得：
$x+3k=3(x-4)$，
展开右边：$x+3k=3x-12$，
移项合并同类项：$2x=3k+12$，
解得：$x=\frac{3k+12}{2}$。
根据题意方程的解为负数，可得：
$\frac{3k+12}{2}＜0$，
两边乘2得：$3k+12＜0$，解得$k＜-4$。
再考虑分式有意义的条件：$x≠4$，即$\frac{3k+12}{2}≠4$，
解得$3k+12≠8$，即$k≠-\frac{4}{3}$。
由于$k＜-4$时，$k$的取值已经小于$-\frac{4}{3}$，自然满足$k≠-\frac{4}{3}$，因此最终k的取值范围是$k＜-4$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程含参求范围的典型题，易错点是容易忽略分式分母不为0的增根情况，但本题中求出的$k＜-4$已经自动排除了增根对应的$k=-\frac{4}{3}$，解题时要注意对两个条件的结果进行整合，避免多写不必要的限制条件。
【难度系数】
0.5
12 当$a=$
$\frac{1}{7}$
时，关于$x$的方程$\dfrac{ax}{a-1}-\dfrac{2}{x-1}=1$的解与方程$\dfrac{x-4}{x}=3$的解相同。答案
12.$\frac{1}{7}$
解析
【分析】
两个方程的解相同，解题步骤如下：第一步先求解不含参数的分式方程$\dfrac{x-4}{x}=3$，得到它的解并检验解的有效性；第二步将得到的解代入含参数$a$的分式方程，得到关于$a$的一元一次方程；第三步求解$a$的值后，再检验$a$是否满足原分式方程分母不为0的要求即可。
【解析】
1. 求解方程$\dfrac{x-4}{x}=3$：
两边同乘最简公分母$x$（$x≠0$），得：
$x-4=3x$
移项合并同类项，得：
$-2x=4$
解得$x=-2$
检验：将$x=-2$代入$x$，得$-2≠0$，所以$x=-2$是方程$\dfrac{x-4}{x}=3$的解。
2. 将$x=-2$代入方程$\dfrac{ax}{a-1}-\dfrac{2}{x-1}=1$，得：
$\dfrac{-2a}{a-1}-\dfrac{2}{-2-1}=1$
化简为：$\dfrac{-2a}{a-1}+\dfrac{2}{3}=1$
两边同乘最简公分母$3(a-1)$（$a≠1$），得：
$-6a + 2(a-1) = 3(a-1)$
去括号：$-6a+2a-2=3a-3$
移项合并同类项：$-7a=-1$
解得$a=\dfrac{1}{7}$
检验：将$a=\dfrac{1}{7}$代入$3(a-1)$，得$3×(\dfrac{1}{7}-1)≠0$，所以$a=\dfrac{1}{7}$是有效解。
【答案】
$\dfrac{1}{7}$
【知识点】
分式方程的解法，同解方程的性质，分式方程验根
【点评】
本题核心是利用同解方程的性质，先求无参分式方程的解，再代入含参方程求参数，解题时要注意分式方程必须验根，避免因增根导致错误。
【难度系数】
0.7
两个方程的解相同，解题步骤如下：第一步先求解不含参数的分式方程$\dfrac{x-4}{x}=3$，得到它的解并检验解的有效性；第二步将得到的解代入含参数$a$的分式方程，得到关于$a$的一元一次方程；第三步求解$a$的值后，再检验$a$是否满足原分式方程分母不为0的要求即可。
【解析】
1. 求解方程$\dfrac{x-4}{x}=3$：
两边同乘最简公分母$x$（$x≠0$），得：
$x-4=3x$
移项合并同类项，得：
$-2x=4$
解得$x=-2$
检验：将$x=-2$代入$x$，得$-2≠0$，所以$x=-2$是方程$\dfrac{x-4}{x}=3$的解。
2. 将$x=-2$代入方程$\dfrac{ax}{a-1}-\dfrac{2}{x-1}=1$，得：
$\dfrac{-2a}{a-1}-\dfrac{2}{-2-1}=1$
化简为：$\dfrac{-2a}{a-1}+\dfrac{2}{3}=1$
两边同乘最简公分母$3(a-1)$（$a≠1$），得：
$-6a + 2(a-1) = 3(a-1)$
去括号：$-6a+2a-2=3a-3$
移项合并同类项：$-7a=-1$
解得$a=\dfrac{1}{7}$
检验：将$a=\dfrac{1}{7}$代入$3(a-1)$，得$3×(\dfrac{1}{7}-1)≠0$，所以$a=\dfrac{1}{7}$是有效解。
【答案】
$\dfrac{1}{7}$
【知识点】
分式方程的解法，同解方程的性质，分式方程验根
【点评】
本题核心是利用同解方程的性质，先求无参分式方程的解，再代入含参方程求参数，解题时要注意分式方程必须验根，避免因增根导致错误。
【难度系数】
0.7
13 解方程：
(1) [2025 陕西]$\frac{x}{2x - 6} - \frac{1}{x - 3} = 1$；
(2) $\frac{x + 1}{4x^2 - 1} = \frac{3}{2x + 1} - \frac{4}{4x - 2}$。
(1) [2025 陕西]$\frac{x}{2x - 6} - \frac{1}{x - 3} = 1$；
(2) $\frac{x + 1}{4x^2 - 1} = \frac{3}{2x + 1} - \frac{4}{4x - 2}$。
答案
13. (1) $x=4$ (2) $x=6$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：①先对各分母因式分解，确定最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；③解整式方程；④检验所得的根是否使原方程的分母为0，若分母为0则是增根，要舍去，否则是原方程的解。第一题中分母$2x-6$可化为$2(x-3)$，最简公分母为$2(x-3)$；第二题中$4x^2-1$是平方差形式，分解为$(2x+1)(2x-1)$，$4x-2$化为$2(2x-1)$，最简公分母为$2(2x+1)(2x-1)$。
【解析】
(1) 原方程可变形为：
$\frac{x}{2(x-3)} - \frac{1}{x-3} = 1$
方程两边同时乘最简公分母$2(x-3)$，得：
$x - 2 = 2(x-3)$
去括号得：$x - 2 = 2x - 6$
移项、合并同类项得：$-x = -4$
系数化为1得：$x = 4$
检验：当$x=4$时，$2(x-3)=2×(4-3)=2≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
(2) 先对分母因式分解：$4x^2-1=(2x+1)(2x-1)$，$4x-2=2(2x-1)$，原方程可变形为：
$\frac{x+1}{(2x+1)(2x-1)} = \frac{3}{2x+1} - \frac{4}{2(2x-1)}$
方程两边同时乘最简公分母$2(2x+1)(2x-1)$，得：
$2(x+1) = 3×2(2x-1) - 4(2x+1)$
去括号得：$2x + 2 = 12x - 6 - 8x - 4$
合并同类项得：$2x + 2 = 4x - 10$
移项、合并同类项得：$-2x = -12$
系数化为1得：$x = 6$
检验：当$x=6$时，$2(2x+1)(2x-1)=2×13×11=286≠0$，因此$x=6$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x=4$；(2) $x=6$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根；因式分解
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，解题时要注意去分母时不要漏乘常数项，解出结果后必须检验，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：①先对各分母因式分解，确定最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；③解整式方程；④检验所得的根是否使原方程的分母为0，若分母为0则是增根，要舍去，否则是原方程的解。第一题中分母$2x-6$可化为$2(x-3)$，最简公分母为$2(x-3)$；第二题中$4x^2-1$是平方差形式，分解为$(2x+1)(2x-1)$，$4x-2$化为$2(2x-1)$，最简公分母为$2(2x+1)(2x-1)$。
【解析】
(1) 原方程可变形为：
$\frac{x}{2(x-3)} - \frac{1}{x-3} = 1$
方程两边同时乘最简公分母$2(x-3)$，得：
$x - 2 = 2(x-3)$
去括号得：$x - 2 = 2x - 6$
移项、合并同类项得：$-x = -4$
系数化为1得：$x = 4$
检验：当$x=4$时，$2(x-3)=2×(4-3)=2≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
(2) 先对分母因式分解：$4x^2-1=(2x+1)(2x-1)$，$4x-2=2(2x-1)$，原方程可变形为：
$\frac{x+1}{(2x+1)(2x-1)} = \frac{3}{2x+1} - \frac{4}{2(2x-1)}$
方程两边同时乘最简公分母$2(2x+1)(2x-1)$，得：
$2(x+1) = 3×2(2x-1) - 4(2x+1)$
去括号得：$2x + 2 = 12x - 6 - 8x - 4$
合并同类项得：$2x + 2 = 4x - 10$
移项、合并同类项得：$-2x = -12$
系数化为1得：$x = 6$
检验：当$x=6$时，$2(2x+1)(2x-1)=2×13×11=286≠0$，因此$x=6$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x=4$；(2) $x=6$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根；因式分解
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，解题时要注意去分母时不要漏乘常数项，解出结果后必须检验，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.8
14 已知 $ y = \frac{x}{x^2 - x} ÷ \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} - \frac{2}{x + 1} $. 当 $ x $ 为何值时，$ y $ 的值为 $ \frac{1}{3} $？
答案
14. 化简原式,得 $ y = -\frac{1}{x+1} $. 由题意,得 $ -\frac{1}{x+1} = \frac{1}{3} $,解得$x=-4.$经检验,$x=-4$ 是原分式方程的解. $\therefore$ 当 $x=-4$ 时,$y$的值为$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解题时先对含x的分式表达式y进行化简：先将分式除法转化为乘法，再对各多项式因式分解，约分后合并得到y的最简形式；再根据y的值为$\frac{1}{3}$列出分式方程，求解后检验解是否使原分式所有分母不为0，即可得到符合要求的x值。
【解析】
第一步：化简$y$的表达式
先对各分子、分母因式分解，同时将除法转化为乘法：
$y = \frac{x}{x(x - 1)} × \frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{2}{x + 1}$
（隐含条件：$x≠0$且$x≠1$且$x≠-1$，保证分式有意义）
约分计算：
$y = \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} = \frac{1 - 2}{x + 1} = -\frac{1}{x + 1}$
第二步：根据题意列方程求解
由$y=\frac{1}{3}$，得：
$-\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{3}$
交叉相乘得：$x + 1 = -3$
解得：$x = -4$
第三步：检验
将$x=-4$代入原分式的各分母，分母均不为0，故$x=-4$是原分式方程的解。
【答案】
当$x=-4$时，$y$的值为$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式的混合运算；分式方程的解法；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简与分式方程的综合题，先化简再求值可大幅降低计算量，需特别注意解分式方程后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.7
解题时先对含x的分式表达式y进行化简：先将分式除法转化为乘法，再对各多项式因式分解，约分后合并得到y的最简形式；再根据y的值为$\frac{1}{3}$列出分式方程，求解后检验解是否使原分式所有分母不为0，即可得到符合要求的x值。
【解析】
第一步：化简$y$的表达式
先对各分子、分母因式分解，同时将除法转化为乘法：
$y = \frac{x}{x(x - 1)} × \frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{2}{x + 1}$
（隐含条件：$x≠0$且$x≠1$且$x≠-1$，保证分式有意义）
约分计算：
$y = \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} = \frac{1 - 2}{x + 1} = -\frac{1}{x + 1}$
第二步：根据题意列方程求解
由$y=\frac{1}{3}$，得：
$-\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{3}$
交叉相乘得：$x + 1 = -3$
解得：$x = -4$
第三步：检验
将$x=-4$代入原分式的各分母，分母均不为0，故$x=-4$是原分式方程的解。
【答案】
当$x=-4$时，$y$的值为$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式的混合运算；分式方程的解法；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简与分式方程的综合题，先化简再求值可大幅降低计算量，需特别注意解分式方程后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.7
15 已知关于 x 的分式方程$\frac{7}{x-1}+3=\frac{mx}{x-1}$无解，求实数 m 的值.
答案
15. 原方程可化为$(m-3)x=4.$ 当整式方程无解时,$m-3=0$,则 $m=3.$ 当整式方程的解为分式方程的增根时,$x=1. \therefore m-3=4. \therefore m=7.$ 综上所述,实数 $m$ 的值为 3 或 7
解析
【分析】
解决分式方程无解求参数的问题，首先要明确分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程有解，但这个解是原分式方程的增根（即令原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程化为整式方程，再分两种情况分类讨论即可求出m的值。
【解析】
第一步：将分式方程化为整式方程
原分式方程分母为$x-1$，因此$x≠1$，方程两边同时乘以$(x-1)$去分母得：
$7 + 3(x-1) = mx$
展开整理得：
$7 + 3x - 3 = mx$
移项合并同类项得：$(m-3)x = 4$
第二步：分两种情况讨论方程无解的条件
① 当整式方程$(m-3)x=4$无解时：
若一次项系数为0、常数项不为0，则整式方程无解，即$m-3=0$，解得$m=3$，此时等式变为$0=4$，不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解。
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时：
原分式方程的增根为令分母为0的值，即$x=1$，将$x=1$代入整式方程$(m-3)x=4$得：
$m-3=4$，解得$m=7$，此时整式方程的解$x=1$会使原分式分母为0，属于增根，因此原分式方程无解。
综上，$m$的值为3或7。
【答案】
$m=3$或$m=7$
【知识点】
1. 分式方程无解的情形
2. 分式方程的增根
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题解题的关键是明确分式方程无解的两种情况，解题时需要分类讨论，不要遗漏整式方程本身无解的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
解决分式方程无解求参数的问题，首先要明确分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程有解，但这个解是原分式方程的增根（即令原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程化为整式方程，再分两种情况分类讨论即可求出m的值。
【解析】
第一步：将分式方程化为整式方程
原分式方程分母为$x-1$，因此$x≠1$，方程两边同时乘以$(x-1)$去分母得：
$7 + 3(x-1) = mx$
展开整理得：
$7 + 3x - 3 = mx$
移项合并同类项得：$(m-3)x = 4$
第二步：分两种情况讨论方程无解的条件
① 当整式方程$(m-3)x=4$无解时：
若一次项系数为0、常数项不为0，则整式方程无解，即$m-3=0$，解得$m=3$，此时等式变为$0=4$，不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解。
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时：
原分式方程的增根为令分母为0的值，即$x=1$，将$x=1$代入整式方程$(m-3)x=4$得：
$m-3=4$，解得$m=7$，此时整式方程的解$x=1$会使原分式分母为0，属于增根，因此原分式方程无解。
综上，$m$的值为3或7。
【答案】
$m=3$或$m=7$
【知识点】
1. 分式方程无解的情形
2. 分式方程的增根
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题解题的关键是明确分式方程无解的两种情况，解题时需要分类讨论，不要遗漏整式方程本身无解的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
