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1 已知关于$x$的分式方程$\frac{ax}{a+1}-\frac{2}{x-1}=1$的解与方程$\frac{x+4}{x}=3$的解相同.求：
（1）这两个方程的共同解；
（2）$a$的值.
（1）这两个方程的共同解；
（2）$a$的值.
答案
1. (1) 解$\frac{x+4}{x}=3$,得$x=2$. 经检验,$x=2$是原分式方程的解.
$\therefore$ 这两个方程的共同解是$x=2$
(2) 把$x=2$代入方程$\frac{ax}{a+1}-\frac{2}{x-1}=1$,得$\frac{2a}{a+1}-\frac{2}{2-1}=1$,解得$a=-3$. 经检验,$a=-3$是该分式方程的解.$\therefore a=-3$
$\therefore$ 这两个方程的共同解是$x=2$
(2) 把$x=2$代入方程$\frac{ax}{a+1}-\frac{2}{x-1}=1$,得$\frac{2a}{a+1}-\frac{2}{2-1}=1$,解得$a=-3$. 经检验,$a=-3$是该分式方程的解.$\therefore a=-3$
解析
【分析】
本题考查同解分式方程的相关计算，解题思路如下：（1）两个方程的解相同，因此先求解不含未知参数的分式方程$\frac{x+4}{x}=3$，求解后需检验所得解是否为该分式方程的增根，即可得到两个方程的共同解；（2）将求得的共同解代入含参数$a$的分式方程中，得到仅关于$a$的分式方程，求解后同样检验$a$的取值是否满足分母不为0的要求，即可得到$a$的值。
【解析】
（1）求解方程$\frac{x+4}{x}=3$：
方程两边同乘$x$（$x≠0$）去分母得：$x+4=3x$，
移项合并同类项得：$2x=4$，
解得：$x=2$，
检验：当$x=2$时，分母$x=2≠0$，因此$x=2$是原分式方程$\frac{x+4}{x}=3$的解，即两个方程的共同解为$x=2$。
（2）将$x=2$代入分式方程$\frac{ax}{a+1}-\frac{2}{x-1}=1$得：
$\frac{2a}{a+1}-\frac{2}{2-1}=1$，
化简得：$\frac{2a}{a+1}-2=1$，
方程两边同乘$a+1$（$a+1≠0$）去分母得：$2a - 2(a+1) = a+1$，
去括号得：$2a - 2a - 2 = a + 1$，
移项合并同类项得：$a=-3$，
检验：当$a=-3$时，分母$a+1=-3+1=-2≠0$，因此$a=-3$是该分式方程的解。
【答案】
（1）$x=2$；（2）$a=-3$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 同解方程的应用
3. 分式方程的验根
【点评】
本题属于分式方程的常规基础题，解题关键是抓住“两个方程解相同”的条件，先求解无参数的方程得到公共解，再代入含参方程求参数，需牢记分式方程求解后必须验根，避免忽略分母不为0的限制出现错误。
【难度系数】
0.8
本题考查同解分式方程的相关计算，解题思路如下：（1）两个方程的解相同，因此先求解不含未知参数的分式方程$\frac{x+4}{x}=3$，求解后需检验所得解是否为该分式方程的增根，即可得到两个方程的共同解；（2）将求得的共同解代入含参数$a$的分式方程中，得到仅关于$a$的分式方程，求解后同样检验$a$的取值是否满足分母不为0的要求，即可得到$a$的值。
【解析】
（1）求解方程$\frac{x+4}{x}=3$：
方程两边同乘$x$（$x≠0$）去分母得：$x+4=3x$，
移项合并同类项得：$2x=4$，
解得：$x=2$，
检验：当$x=2$时，分母$x=2≠0$，因此$x=2$是原分式方程$\frac{x+4}{x}=3$的解，即两个方程的共同解为$x=2$。
（2）将$x=2$代入分式方程$\frac{ax}{a+1}-\frac{2}{x-1}=1$得：
$\frac{2a}{a+1}-\frac{2}{2-1}=1$，
化简得：$\frac{2a}{a+1}-2=1$，
方程两边同乘$a+1$（$a+1≠0$）去分母得：$2a - 2(a+1) = a+1$，
去括号得：$2a - 2a - 2 = a + 1$，
移项合并同类项得：$a=-3$，
检验：当$a=-3$时，分母$a+1=-3+1=-2≠0$，因此$a=-3$是该分式方程的解。
【答案】
（1）$x=2$；（2）$a=-3$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 同解方程的应用
3. 分式方程的验根
【点评】
本题属于分式方程的常规基础题，解题关键是抓住“两个方程解相同”的条件，先求解无参数的方程得到公共解，再代入含参方程求参数，需牢记分式方程求解后必须验根，避免忽略分母不为0的限制出现错误。
【难度系数】
0.8
2（易错题）若关于$x$的分式方程$\frac{3}{x}=\frac{a}{x-4}$有解，则字母$a$的取值范围是（
A.$a≠3$
B.$a≠0$
C.$a≠3$且$a≠0$
D.$a=3$且$a=1$
C
）A.$a≠3$
B.$a≠0$
C.$a≠3$且$a≠0$
D.$a=3$且$a=1$
答案
2. C 【解析】将关于$x$的分式方程$\frac{3}{x}=\frac{a}{x-4}$的两边都乘$x(x-4)$,得$3(x-4)=ax$,即$(3-a)x=12. \because$ 分式方程有解，$\therefore a≠3,x≠0$且$x-4≠0$,即$x≠4. \therefore$ 当$x≠4$时,$a≠0$. 综上所述,$a≠3$且$a≠0.$
易错分析
2. 忽略分式的分母不为0的条件而致错.
易错分析
2. 忽略分式的分母不为0的条件而致错.
解析
【分析】
要解决这道题，需明确分式方程有解的两个核心要求：一是去分母后得到的整式方程有解，二是整式方程的解不能使原分式的分母为0（即不能为增根）。解题时先将分式方程转化为整式方程，先根据整式方程有解得到第一个a的限制条件，再结合原分式分母不为0的要求排除增根对应的a值，最终综合得到a的取值范围。
【解析】
给分式方程$\frac{3}{x}=\frac{a}{x-4}$两边同时乘最简公分母$x(x-4)$，消去分母得：
$3(x-4)=ax$
去括号整理得：$(3-a)x=12$
1. 要使整式方程有解，则x的系数不能为0，即$3-a≠0$，解得$a≠3$，此时$x=\frac{12}{3-a}$；
2. 原分式方程有意义的条件是分母不为0，即$x≠0$且$x-4≠0$，也就是$x≠0$且$x≠4$：
当$x≠0$时，$\frac{12}{3-a}≠0$，因分子12恒不为0，该式在$a≠3$时恒成立；
当$x≠4$时，$\frac{12}{3-a}≠4$，两边同乘$3-a$（$a≠3$，故$3-a≠0$）得$12≠4(3-a)$，解得$a≠0$。
综上，a的取值范围是$a≠3$且$a≠0$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程有解判定、分式有意义的条件、含参方程求解
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型易错题，解题时很容易只考虑整式方程有解的条件，忽略排除增根对应的参数值，需牢记分式方程有解需同时满足整式方程有解、解不是增根两个要求。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需明确分式方程有解的两个核心要求：一是去分母后得到的整式方程有解，二是整式方程的解不能使原分式的分母为0（即不能为增根）。解题时先将分式方程转化为整式方程，先根据整式方程有解得到第一个a的限制条件，再结合原分式分母不为0的要求排除增根对应的a值，最终综合得到a的取值范围。
【解析】
给分式方程$\frac{3}{x}=\frac{a}{x-4}$两边同时乘最简公分母$x(x-4)$，消去分母得：
$3(x-4)=ax$
去括号整理得：$(3-a)x=12$
1. 要使整式方程有解，则x的系数不能为0，即$3-a≠0$，解得$a≠3$，此时$x=\frac{12}{3-a}$；
2. 原分式方程有意义的条件是分母不为0，即$x≠0$且$x-4≠0$，也就是$x≠0$且$x≠4$：
当$x≠0$时，$\frac{12}{3-a}≠0$，因分子12恒不为0，该式在$a≠3$时恒成立；
当$x≠4$时，$\frac{12}{3-a}≠4$，两边同乘$3-a$（$a≠3$，故$3-a≠0$）得$12≠4(3-a)$，解得$a≠0$。
综上，a的取值范围是$a≠3$且$a≠0$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程有解判定、分式有意义的条件、含参方程求解
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型易错题，解题时很容易只考虑整式方程有解的条件，忽略排除增根对应的参数值，需牢记分式方程有解需同时满足整式方程有解、解不是增根两个要求。
【难度系数】
0.6
3 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x+m}{x-2}=-1$ 的解大于1，求 $ m $ 的取值范围。
答案
3. 将关于$x$的分式方程$\frac{x+m}{x-2}=-1$去分母,得$x+m=-x+2$,解得$x=\frac{2-m}{2}. \because$ 分式方程的解大于1,$\therefore \frac{2-m}{2}＞1$,解得$m＜0.$ 又$\because$ 该分式方程有解,$\therefore x≠2. \therefore \frac{2-m}{2}≠2$,解得$m≠-2.$ 综上所述,$m$的取值范围是$m＜0$且$m≠-2$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思路推导：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；第二步，根据“解大于1”的条件列不等式，求出m的初步范围；第三步，注意分式方程有解的前提是分母不为0，即解不能等于增根2，需要排除使x=2的m的取值，最终综合两个条件得到m的完整取值范围。
【解析】
对分式方程$\frac{x+m}{x-2}=-1$去分母，两边同乘最简公分母$x-2$（$x≠2$）得：
$x+m = -(x-2)$
整理得：$x+m = -x+2$
移项合并同类项：$2x=2-m$
解得：$x=\frac{2-m}{2}$
∵ 分式方程的解大于1
∴ $\frac{2-m}{2}＞1$
两边同乘2得：$2-m＞2$
解得：$m＜0$
又
∵ 分式方程有解，分母不能为0，即$x≠2$
∴ $\frac{2-m}{2}≠2$
两边同乘2得：$2-m≠4$
解得：$m≠-2$
综上，m的取值范围为$m＜0$且$m≠-2$
【答案】
$m＜0$且$m≠-2$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程增根的性质，一元一次不等式的求解
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型基础题，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$m≠-2$的限制，解题时需要同时满足题目给出的根的条件和分式有意义的条件，综合判断参数范围。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按三步思路推导：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；第二步，根据“解大于1”的条件列不等式，求出m的初步范围；第三步，注意分式方程有解的前提是分母不为0，即解不能等于增根2，需要排除使x=2的m的取值，最终综合两个条件得到m的完整取值范围。
【解析】
对分式方程$\frac{x+m}{x-2}=-1$去分母，两边同乘最简公分母$x-2$（$x≠2$）得：
$x+m = -(x-2)$
整理得：$x+m = -x+2$
移项合并同类项：$2x=2-m$
解得：$x=\frac{2-m}{2}$
∵ 分式方程的解大于1
∴ $\frac{2-m}{2}＞1$
两边同乘2得：$2-m＞2$
解得：$m＜0$
又
∵ 分式方程有解，分母不能为0，即$x≠2$
∴ $\frac{2-m}{2}≠2$
两边同乘2得：$2-m≠4$
解得：$m≠-2$
综上，m的取值范围为$m＜0$且$m≠-2$
【答案】
$m＜0$且$m≠-2$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程增根的性质，一元一次不等式的求解
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型基础题，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$m≠-2$的限制，解题时需要同时满足题目给出的根的条件和分式有意义的条件，综合判断参数范围。
【难度系数】
0.6
4 若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases} \dfrac{x-a}{3} ＞ 0, \\ x-3 ＜ 2(x-2) \end{cases}$的解集为$x＞1$，且关于$y$的分式方程$\dfrac{1-y}{2-y} + \dfrac{a}{y-2} = 3$的解是正整数，求所有满足条件的整数$a$的值的和。
答案
4. 令$\begin{cases} \dfrac{x-a}{3} ＞0①, \\ x-3＜2(x-2)②, \end{cases}$ 由①,得$x＞a$,由②,得$x＞1. \because$ 关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases} \dfrac{x-a}{3}＞0, \\ x-3＜2(x-2) \end{cases}$的解集为$x＞1, \therefore a≤1.$
解$\frac{1-y}{2-y}+\frac{a}{y-2}=3$,得$y=\frac{5+a}{2}. \because$ 关于$y$的分式方程$\frac{1-y}{2-y}+\frac{a}{y-2}=3$的解是正整数,$\therefore \frac{5+a}{2}$是正整数.$\because a≤1$,$\therefore a=-3$或$-1$或$1. \because$ 分式方程中$2-y≠0$,即$y≠2$,$\therefore a≠-1. \therefore a$的取值只能是$-3$和$1. \therefore$ 所有满足条件的整数$a$的值的和为$-3+1=-2$
解$\frac{1-y}{2-y}+\frac{a}{y-2}=3$,得$y=\frac{5+a}{2}. \because$ 关于$y$的分式方程$\frac{1-y}{2-y}+\frac{a}{y-2}=3$的解是正整数,$\therefore \frac{5+a}{2}$是正整数.$\because a≤1$,$\therefore a=-3$或$-1$或$1. \because$ 分式方程中$2-y≠0$,即$y≠2$,$\therefore a≠-1. \therefore a$的取值只能是$-3$和$1. \therefore$ 所有满足条件的整数$a$的值的和为$-3+1=-2$
解析
【分析】
本题是一元一次不等式组和分式方程的综合题，解题可分三步进行：第一步先分别求解不等式组中的两个不等式，再结合已知的不等式组解集$x＞1$，根据“同大取大”的解集确定规则，得出参数$a$的取值范围；第二步求解分式方程，用含$a$的代数式表示出$y$，结合“解为正整数”的条件列出$a$需要满足的要求，同时注意分式方程分母不能为0，要排除增根对应的$a$值；第三步在第一步得到的$a$的范围内，筛选出符合所有条件的整数$a$，最后计算它们的和即可。
【解析】
先解不等式组$\begin{cases} \dfrac{x-a}{3} ＞0①, \\ x-3＜2(x-2)②, \end{cases}$
解不等式①：两边同乘3得$x-a＞0$，解得$x＞a$；
解不等式②：去括号得$x-3＜2x-4$，移项合并得$-x＜-1$，系数化为1得$x＞1$。
∵ 不等式组的解集为$x＞1$，根据“同大取大”的原则，可得$a≤1$。
再解分式方程$\dfrac{1-y}{2-y} + \dfrac{a}{y-2} = 3$：
将方程变形为$\dfrac{y-1}{y-2} + \dfrac{a}{y-2} = 3$，两边同乘最简公分母$(y-2)$去分母得：
$y-1 + a = 3(y-2)$
去括号得：$y-1+a=3y-6$
移项合并得：$-2y = -5 -a$
系数化为1得：$y=\dfrac{5+a}{2}$。
∵ 分式方程的解是正整数，
∴ $\dfrac{5+a}{2}$是正整数，且分母不为0即$y≠2$。
首先$y＞0$，即$\dfrac{5+a}{2}＞0$，得$a＞-5$；结合之前得到的$a≤1$，且$a$为整数，可得$a$可取$-3、-1、1$（此时$\dfrac{5+a}{2}$分别为1、2、3，均为正整数）。
又
∵ $y≠2$，即$\dfrac{5+a}{2}≠2$，解得$a≠-1$，因此符合条件的$a$为$-3$和$1$。
∴ 所有满足条件的整数$a$的值的和为$-3+1=-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解集 2. 分式方程的求解 3. 分式方程增根检验
【点评】
本题是不等式组与分式方程的综合应用类题目，解题时需要注意两个易错点：一是根据不等式组的解集确定参数范围时，要判断等号是否可取，本题中$a=1$时不等式组解集仍为$x＞1$，因此$a$可以取1；二是分式方程必须检验解是否使分母为0，要排除增根对应的参数值，同时结合解为正整数的条件筛选参数，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
本题是一元一次不等式组和分式方程的综合题，解题可分三步进行：第一步先分别求解不等式组中的两个不等式，再结合已知的不等式组解集$x＞1$，根据“同大取大”的解集确定规则，得出参数$a$的取值范围；第二步求解分式方程，用含$a$的代数式表示出$y$，结合“解为正整数”的条件列出$a$需要满足的要求，同时注意分式方程分母不能为0，要排除增根对应的$a$值；第三步在第一步得到的$a$的范围内，筛选出符合所有条件的整数$a$，最后计算它们的和即可。
【解析】
先解不等式组$\begin{cases} \dfrac{x-a}{3} ＞0①, \\ x-3＜2(x-2)②, \end{cases}$
解不等式①：两边同乘3得$x-a＞0$，解得$x＞a$；
解不等式②：去括号得$x-3＜2x-4$，移项合并得$-x＜-1$，系数化为1得$x＞1$。
∵ 不等式组的解集为$x＞1$，根据“同大取大”的原则，可得$a≤1$。
再解分式方程$\dfrac{1-y}{2-y} + \dfrac{a}{y-2} = 3$：
将方程变形为$\dfrac{y-1}{y-2} + \dfrac{a}{y-2} = 3$，两边同乘最简公分母$(y-2)$去分母得：
$y-1 + a = 3(y-2)$
去括号得：$y-1+a=3y-6$
移项合并得：$-2y = -5 -a$
系数化为1得：$y=\dfrac{5+a}{2}$。
∵ 分式方程的解是正整数，
∴ $\dfrac{5+a}{2}$是正整数，且分母不为0即$y≠2$。
首先$y＞0$，即$\dfrac{5+a}{2}＞0$，得$a＞-5$；结合之前得到的$a≤1$，且$a$为整数，可得$a$可取$-3、-1、1$（此时$\dfrac{5+a}{2}$分别为1、2、3，均为正整数）。
又
∵ $y≠2$，即$\dfrac{5+a}{2}≠2$，解得$a≠-1$，因此符合条件的$a$为$-3$和$1$。
∴ 所有满足条件的整数$a$的值的和为$-3+1=-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解集 2. 分式方程的求解 3. 分式方程增根检验
【点评】
本题是不等式组与分式方程的综合应用类题目，解题时需要注意两个易错点：一是根据不等式组的解集确定参数范围时，要判断等号是否可取，本题中$a=1$时不等式组解集仍为$x＞1$，因此$a$可以取1；二是分式方程必须检验解是否使分母为0，要排除增根对应的参数值，同时结合解为正整数的条件筛选参数，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
5 已知关于 x 的方程$\dfrac{x-4}{x-3}-m-4=\dfrac{m}{3-x}$无解，求 m 的值.
答案
5. 原方程可化为$(m+3)x=4m+8. \because$ 方程无解,$\therefore$ 分两种情况:① 方程无实数根,即$m+3=0$,而$4m+8≠0$,此时$m=-3$;② 方程的根$x=\frac{4m+8}{m+3}$是增根,则$\frac{4m+8}{m+3}=3$,解得$m=1.$ 综上所述,$m$的值为$-3$或$1$
解析
【分析】
解决分式方程无解求参数的问题，首先要明确分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程有解，但该解是使原分式方程分母为0的增根，代入原分式方程不成立。解题时先通过去分母将分式方程转化为整式方程，再分两种情况分别计算参数m的取值即可。
【解析】
首先对原分式方程去分母，两边同乘最简公分母$x-3$（注意$x≠ 3$），得：
$x-4-(m+4)(x-3)=-m$
展开并整理整式方程：
$x-4-(m+4)x+3m+12=-m$
$[1-(m+4)]x=-m+4-3m-12$
$-(m+3)x=-4m-8$
两边同乘$-1$得：$(m+3)x=4m+8$
结合方程无解的两种情况讨论：
① 整式方程无实数根：此时一次项系数为0，常数项不为0，即
$\begin{cases}m+3=0 \\ 4m+8≠ 0\end{cases}$
解得$m=-3$，代入验证$4×(-3)+8=-4≠ 0$，符合条件。
② 整式方程的根是原分式方程的增根：原分式方程的增根为使分母为0的$x=3$，将$x=3$代入整式方程得：
$3(m+3)=4m+8$
$3m+9=4m+8$
解得$m=1$。
综上，$m$的值为$-3$或$1$。
【答案】
$m$的值为$-3$或$1$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定；一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查分式方程无解时的参数求解，解题的核心是掌握分式方程无解的两类情形，需要通过分类讨论的思想分别计算参数值，易错点是仅考虑增根的情况，遗漏整式方程本身无解的情形。
【难度系数】
0.6
解决分式方程无解求参数的问题，首先要明确分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程有解，但该解是使原分式方程分母为0的增根，代入原分式方程不成立。解题时先通过去分母将分式方程转化为整式方程，再分两种情况分别计算参数m的取值即可。
【解析】
首先对原分式方程去分母，两边同乘最简公分母$x-3$（注意$x≠ 3$），得：
$x-4-(m+4)(x-3)=-m$
展开并整理整式方程：
$x-4-(m+4)x+3m+12=-m$
$[1-(m+4)]x=-m+4-3m-12$
$-(m+3)x=-4m-8$
两边同乘$-1$得：$(m+3)x=4m+8$
结合方程无解的两种情况讨论：
① 整式方程无实数根：此时一次项系数为0，常数项不为0，即
$\begin{cases}m+3=0 \\ 4m+8≠ 0\end{cases}$
解得$m=-3$，代入验证$4×(-3)+8=-4≠ 0$，符合条件。
② 整式方程的根是原分式方程的增根：原分式方程的增根为使分母为0的$x=3$，将$x=3$代入整式方程得：
$3(m+3)=4m+8$
$3m+9=4m+8$
解得$m=1$。
综上，$m$的值为$-3$或$1$。
【答案】
$m$的值为$-3$或$1$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定；一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查分式方程无解时的参数求解，解题的核心是掌握分式方程无解的两类情形，需要通过分类讨论的思想分别计算参数值，易错点是仅考虑增根的情况，遗漏整式方程本身无解的情形。
【难度系数】
0.6
