1 [2025 湖南]计算 $a^3 · a^4$ 的结果是 （）

A.$2a^7$
B.$a^7$
C.$2a^4$
D.$a^{12}$

1. B

【分析】
首先观察算式的结构，$a^3$和$a^4$的底数都是a，属于同底数幂相乘的运算，我们可以直接调用同底数幂的乘法法则解题。首先回忆法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。另外要注意两个因式的系数都是1，相乘后系数仍为1，无需额外叠加系数2，也不要和幂的乘方法则混淆导致指数相乘，即可排除错误选项得到正确结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
计算得：$a^3 · a^4 = a^{3+4} = a^7$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查同底数幂乘法法则的直接应用，解题时要注意区分同底数幂乘法和幂的乘方的运算规则，避免出现指数相乘、错误计算系数的失误。
【难度系数】
0.9

2（易错题）下列计算中，错误的是 （）

A.$(-b)^3 · (-b)^5 = b^8$
B.$(-n)^2 · (-n)^5 = n^7$
C.$(-m)^5 · (-m^2) = m^7$
D.$(a-b)^2 · (b-a)^4 = (a-b)^6$

2. B
易错分析：不能正确掌握有关的符号法则致错。

【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算及幂的符号判断，解题思路如下：首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同时牢记负数的奇次幂为负，偶次幂为正，互为相反数的两个数的偶次幂相等。解题时逐个计算每个选项的结果，与选项给出的结果对比，找出错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$(-b)^3 · (-b)^5$是同底数幂相乘，根据法则得$(-b)^{3+5}=(-b)^8$，8是偶数，故$(-b)^8=b^8$，该选项计算正确，不符合题意。
B选项：$(-n)^2 · (-n)^5$是同底数幂相乘，根据法则得$(-n)^{2+5}=(-n)^7$，7是奇数，故$(-n)^7=-n^7≠n^7$，该选项计算错误，符合题意。
C选项：先化简$(-m)^5=-m^5$，则原式$=-m^5 · (-m^2)=m^{5+2}=m^7$，该选项计算正确，不符合题意。
D选项：因为$(b-a)^4=(a-b)^4$（偶次幂下互为相反数的两数幂相等），故原式$=(a-b)^2 · (a-b)^4=(a-b)^{2+4}=(a-b)^6$，该选项计算正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.乘方的符号法则
3.偶次幂的性质
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础易错题，核心易错点是计算过程中忽略幂的符号规律，尤其是负数奇次幂的负号、底数互为相反数时的符号转化，做题时需先确认底数是否统一，再结合法则计算，重点关注符号判断。
【难度系数】
0.7

3 计算：
(1) $-a^6 · a^{2020} =$ ;
(2) $(-x)^{10} · x^3 =$ .

(1) $-a^{2026}$ (2) $x^{13}$

【分析】
解决这两道题需先明确同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。解题时先判断底数是否一致，不一致时先统一底数，同时注意运算中的符号处理：
第(1)题：两个幂的底数均为a，原式前的负号不属于底数部分，因此先计算同底数幂的乘积，再保留负号即可；
第(2)题：先处理$(-x)^{10}$，指数10是偶数，负数的偶次幂为正，可将底数统一为x，再套用同底数幂乘法法则计算。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：
$-a^6 · a^{2020} = -(a^6 · a^{2020}) = -a^{6+2020} = -a^{2026}$
(2) 先化简$(-x)^{10}$，再计算同底数幂乘法：
$(-x)^{10} · x^3 = x^{10} · x^3 = x^{10+3} = x^{13}$
【答案】
(1) $-a^{2026}$ (2) $x^{13}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 乘方的符号规则
【点评】
本题属于同底数幂乘法的基础运算题，重点考察运算法则的掌握和符号处理能力，易错点是混淆负数奇次幂和偶次幂的符号，熟练掌握相关规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.9

4 教材P99练习T2变式 计算：
(1) $-x · x^2 · x^8$；
(2) $(-\frac{1}{4}) × (-\frac{1}{4})^3 × (-\frac{1}{4})^2$。

(1) $-x^{11}$ (2) $\frac{1}{4^6}$

【分析】
这两道题都是同底数幂的乘法运算，解题核心是运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。解题时首先观察各因式的底数是否一致，单独的字母（如x）可看作指数为1的幂，涉及负数底数时，最后要根据指数的奇偶性确定结果的符号。第(1)题先提取负号，再对x的同底数幂进行运算；第(2)题底数均为$-\frac{1}{4}$，先合并指数，再根据指数的奇偶性化简符号即可。
【解析】
(1) 解：原式$=-(x^1 · x^2 · x^8)$
根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，得：
$=-x^{1+2+8}$
$=-x^{11}$
(2) 解：三个因式的底数均为$-\frac{1}{4}$，根据同底数幂的乘法法则，得：
原式$=(-\frac{1}{4})^{1+3+2}$
$=(-\frac{1}{4})^6$
因为指数6是偶数，负数的偶次幂为正数，因此：
$=(\frac{1}{4})^6$
$=\frac{1}{4^6}$
【答案】
(1) $-x^{11}$ (2) $\frac{1}{4^6}$
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方的符号规则
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题，解题时需注意两点：一是单独的字母或数字可视为指数为1的幂，不要遗漏该指数；二是底数为负数时，要先计算总指数，再根据指数奇偶性判断结果符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8

5 已知$3^x = y$，则$3^{x+1}$的值为 （）

A.$y$
B.$1+y$
C.$3+y$
D.$3y$

5. D

【分析】
解题时首先观察所求式$3^{x+1}$的指数是$x+1$的和的形式，联想到同底数幂乘法法则的逆用：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，反过来指数相加的幂可以拆分为两个同底数幂相乘的形式，拆分后会出现已知条件中的$3^x$，再代入已知$3^x=y$即可求出结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^{m+n}=a^m · a^n$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数），对所求式变形可得：
$3^{x+1}=3^x · 3^1$
因为$3^1=3$，且已知$3^x=y$，将其代入上式得：
$3^{x+1}=3 × y = 3y$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法法则、代数式代入求值
【点评】
本题是幂运算模块的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的逆应用，解题关键是熟练掌握幂的运算性质，能够灵活对幂的形式进行拆分变形，注意不要混淆幂的乘法运算和整式加减运算，避免误选加法类选项。
【难度系数】
0.9

6 已知$a^m=3,a^n=10$,则$a^{m+n}$的值为。

6. 30

【分析】
本题考查同底数幂乘法法则的逆用，解题思路如下：第一步，回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^x · a^y = a^{x+y}$，反过来可推导得到$a^{x+y}=a^x · a^y$；第二步，观察所求式子$a^{m+n}$，符合法则逆用的形式，直接代入已知的$a^m$、$a^n$的数值计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂乘法法则的逆运算可得：
$a^{m+n}=a^m · a^n$
将$a^m=3$，$a^n=10$代入上式，得：
$a^{m+n}=3 × 10 = 30$
【答案】
30
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题是同底数幂乘法相关的基础题型，核心考查对同底数幂乘法法则的灵活运用（逆用），熟记法则及变形形式即可快速求解。
【难度系数】
0.9

7 教材P102习题T7变式 电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其中1 GB=
$2^{10}$ MB,1 MB=$2^{10}$ KB,1 KB=$2^{10}$ B.某视频文件的大小约为1 GB,1 GB等于（）

A.$2^{30}$ B
B.$8^{30}$ B
C.$8×10^{10}$ B
D.$2×10^{30}$ B

7. A

【分析】
解题时首先明确单位换算的路径：GB→MB→KB→B，结合题目给出的相邻单位换算进率均为$2^{10}$，可知将GB换算为B需要连续3次乘以$2^{10}$，再运用同底数幂的乘法法则计算即可得出结果，最后匹配对应选项。
【解析】
根据题意给出的单位换算关系：
$1\ \mathrm{GB}=2^{10}\ \mathrm{MB}$，$1\ \mathrm{MB}=2^{10}\ \mathrm{KB}$，$1\ \mathrm{KB}=2^{10}\ \mathrm{B}$
逐步换算得：
$\begin{aligned}1\ \mathrm{GB}&=2^{10}×2^{10}×2^{10}\ \mathrm{B}\\&=2^{10+10+10}\ \mathrm{B}\\&=2^{30}\ \mathrm{B}\end{aligned}$
对比选项，A选项符合结果。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法、单位换算
【点评】
本题结合生活中常见的电子文件存储单位考查幂的运算的实际应用，解题核心是掌握单位换算的步骤和同底数幂的运算法则，贴近生活实际，能锻炼学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.8

8 计算：
(1) $(-x^3) · (-x)^4 =$ ；
(2) $(-x)^5 · (-x^7) =$ ；
(3) $(x-y)^3 · (y-x)^4 =$ 。

(1) $-x^7$ (2) $x^{12}$ (3) $(x-y)^7$

【分析】
这三道题均围绕同底数幂的乘法法则设计，解题思路可分为两步：第一步先统一底数，根据乘方的符号规律（负数的奇次幂为负、偶次幂为正），以及互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂互为相反数的性质，把不同底数的幂转化为同底数的幂；第二步运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算最终结果，计算过程中要注意符号的准确性。
【解析】
(1) 先计算$(-x)^4$：4是偶数，因此$(-x)^4=x^4$，代入原式得：
$(-x^3)·(-x)^4=(-x^3)·x^4=-x^{3+4}=-x^7$
(2) 先计算$(-x)^5$：5是奇数，因此$(-x)^5=-x^5$，代入原式得：
$(-x)^5·(-x^7)=(-x^5)·(-x^7)=x^{5+7}=x^{12}$
(3) 观察底数$(x-y)$和$(y-x)$互为相反数，4是偶数，因此$(y-x)^4=(x-y)^4$，代入原式得：
$(x-y)^3·(y-x)^4=(x-y)^3·(x-y)^4=(x-y)^{3+4}=(x-y)^7$
【答案】
(1) $-x^7$ (2) $x^{12}$ (3) $(x-y)^7$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 乘方的符号规律
3. 幂的底数转化
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础变式题，易错点为幂的符号判断和底数互为相反数时的转化，计算时需先统一底数再应用法则，要格外注意负号的位置和指数的奇偶性对结果符号的影响。
【难度系数】
0.7

9 教材 P98 问题变式 一种电子计算机每秒可以进行 $10^{8}$ 次运算，它一天工作 $8×10^{4}$ 秒，则100天一共可以进行 次运算。

9. $8×10^{14}$

【分析】
要计算100天的总运算次数，首先明确数量关系：总运算次数=每秒运算次数×每天工作时长×总天数。代入数值后，可利用乘法交换律和结合律，将系数与同底数幂分别相乘，再根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算，最后整理为规范的科学记数法形式即可。
【解析】
首先根据题意列出总运算次数的算式：
总运算次数 = $10^8 × (8 × 10^4) × 100$
先将100改写为$10^2$，再利用乘法运算律分组：
$= 8 × (10^8 × 10^4 × 10^2)$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算幂的部分：
$10^8 × 10^4 × 10^2 = 10^{8+4+2} = 10^{14}$
因此最终结果为：
$= 8 × 10^{14}$
【答案】
$8×10^{14}$
【知识点】
同底数幂的乘法、科学记数法、单项式乘法
【点评】
本题是同底数幂乘法的实际应用类基础题，解题关键是找准数量关系正确列式，熟练掌握同底数幂的运算法则，同时注意科学记数法的书写规范即可快速求解。
【难度系数】
0.8

10 计算：
(1) $b · (-b)^5 + (-b) · (-b)^5$；
(2) $(n - m)^3 · (m - n)^6 + (m - n)^8 · [-(m - n)]$。

(1) 0 (2) $2(n-m)^9$

【分析】
这两道题是同底数幂乘法与整式加减的混合运算，解题思路如下：①先处理幂的底数：若底数互为相反数，可根据负数的奇偶次幂的符号性质（负数的偶次幂为正，奇次幂为负）统一底数；②运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算每一项的结果；③最后合并同类项得到最终答案。第(1)题底数为b和-b，可直接运用法则计算，注意符号判断；第(2)题底数(n-m)和(m-n)互为相反数，需先统一底数再计算。
【解析】
(1) 计算$b · (-b)^5 + (-b) · (-b)^5$：
先分别计算两项：
第一项：$b·(-b)^5 = b·(-b^5) = -b^{1+5} = -b^6$
第二项：$(-b)·(-b)^5 = (-b)^{1+5} = (-b)^6 = b^6$
合并同类项得：$-b^6 + b^6 = 0$
---
(2) 计算$(n - m)^3 · (m - n)^6 + (m - n)^8 · [-(m - n)]$：
首先统一底数，利用$(m-n)^{偶数}=(n-m)^{偶数}$，$(m-n)^{奇数}=-(n-m)^{奇数}$：
第一项：$(n-m)^3·(m-n)^6 = (n-m)^3·(n-m)^6 = (n-m)^{3+6} = (n-m)^9$
第二项：$(m-n)^8·[-(m-n)] = -(m-n)^{8+1} = -(m-n)^9 = -[-(n-m)^9] = (n-m)^9$
合并同类项得：$(n-m)^9 + (n-m)^9 = 2(n-m)^9$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{2(n-m)^9}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的符号法则；合并同类项
【点评】
本题属于同底数幂乘法的基础运算题，解题的核心是先统一互为相反数的底数，再按运算法则计算，需格外注意负数的奇偶次幂的符号判断，避免因符号出错导致失分。
【难度系数】
0.8

11 若$m,n(m＜n)$为正整数，且$2^m × 2^n × 4 = 256$，求$mn$的值。

$\because 2^m × 2^n × 4=256, \therefore 2^{m+n+2}=2^8. \therefore m+n=6. \because m＜n$,且$m,n$为正整数,$\therefore$ 当 $m=1$ 时,$n=5,mn=5$;当 $m=2$ 时,$n=4,mn=8. \therefore mn$ 的值为 5 或 8

【分析】
解题时首先要将等式中所有幂的底数统一为2，先把4转化为$2^2$，256转化为$2^8$，再根据同底数幂的乘法法则将左边的式子合并为2的幂的形式。根据底数相同且不为0、1的两个幂相等时指数也相等，可得到关于m、n的等式，求出m+n的值。最后结合$m＜n$且m、n都是正整数的条件，分类列举所有符合要求的m、n取值，计算对应的mn的值即可。
【解析】
解：$\because 2^m × 2^n × 4=256$
将4改写为$2^2$，256改写为$2^8$，可得：
$2^m × 2^n × 2^2 = 2^8$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得：
$2^{m+n+2}=2^8$
$\therefore m+n+2=8$，即$m+n=6$
$\because m＜n$，且$m,n$为正整数，分情况讨论：
①当$m=1$时，$n=6-1=5$，符合$m＜n$，此时$mn=1×5=5$；
②当$m=2$时，$n=6-2=4$，符合$m＜n$，此时$mn=2×4=8$；
③当$m≥3$时，$n≤3$，不满足$m＜n$，舍去。
【答案】
5或8
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方的运算；分类讨论
【点评】
本题是幂运算的基础应用题型，解题核心是先统一幂的底数，推导得到两个参数的数量关系，再结合限制条件分类枚举所有符合要求的解，能有效考察学生对幂运算性质的掌握程度和严谨的逻辑思维能力，列举时注意不要漏解或多解。
【难度系数】
0.7