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9 如图,有一条小河和一片草地,一天,某牧民的计划是从A处的牧场到草地牧马,再到小河饮水,最后回到B处,你能为他设计一条最短的路线吗(在ON上任意一点即可牧马,在OM上任意一点即可饮水,保留作图痕迹,不需要证明)?
答案
9. 如图,作点 A 关于 ON 的对称点 E,再作点 B 关于 OM 的对称点 F,连接 EF,交 ON 于点 C,交 OM 于点 D,则 AC→CD→DB 即为最短路线。
解析
【分析】
要设计最短路线，本质是让路径总长度$AC+CD+DB$最小。我们已知“两点之间，线段最短”，要把三段折线段的和转化为两点之间的线段长度，需要借助轴对称的性质：对称轴上的点到两个对称点的距离相等。我们可以通过作对称点，把$AC$转化为和它相等的线段，把$DB$也转化为和它相等的线段，这样三段折线的和就可以等价为两个对称点之间的连线长度，连线与两条边界的交点就是我们要找的牧马点和饮水点。
【解析】
1. 作点$A$关于直线$ON$（草地边界）的对称点$E$，此时对于$ON$上任意一点$C$，都有$AC=EC$；
2. 作点$B$关于直线$OM$（小河边界）的对称点$F$，此时对于$OM$上任意一点$D$，都有$DB=DF$；
3. 连接$EF$，与$ON$交于点$C$，与$OM$交于点$D$；
此时总路径长度$AC+CD+DB=EC+CD+DF=EF$，根据两点之间线段最短，此时路径长度最小，故$A\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow B$为最短路线，作图时保留作对称点的垂线痕迹即可。
【答案】
如图,作点 A 关于 ON 的对称点 E,再作点 B 关于 OM 的对称点 F,连接 EF,交 ON 于点 C,交 OM 于点 D,则 AC→CD→DB 即为最短路线。
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是轴对称解决实际最短路径问题的典型应用，解题核心是利用轴对称的性质将折线路径转化为两点之间的线段，通过转化思想将复杂的折线最短问题简化为我们熟悉的线段最短问题，掌握对称点的规范作法是作图的关键。
【难度系数】
0.7
要设计最短路线，本质是让路径总长度$AC+CD+DB$最小。我们已知“两点之间，线段最短”，要把三段折线段的和转化为两点之间的线段长度，需要借助轴对称的性质：对称轴上的点到两个对称点的距离相等。我们可以通过作对称点，把$AC$转化为和它相等的线段，把$DB$也转化为和它相等的线段，这样三段折线的和就可以等价为两个对称点之间的连线长度，连线与两条边界的交点就是我们要找的牧马点和饮水点。
【解析】
1. 作点$A$关于直线$ON$（草地边界）的对称点$E$，此时对于$ON$上任意一点$C$，都有$AC=EC$；
2. 作点$B$关于直线$OM$（小河边界）的对称点$F$，此时对于$OM$上任意一点$D$，都有$DB=DF$；
3. 连接$EF$，与$ON$交于点$C$，与$OM$交于点$D$；
此时总路径长度$AC+CD+DB=EC+CD+DF=EF$，根据两点之间线段最短，此时路径长度最小，故$A\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow B$为最短路线，作图时保留作对称点的垂线痕迹即可。
【答案】
如图,作点 A 关于 ON 的对称点 E,再作点 B 关于 OM 的对称点 F,连接 EF,交 ON 于点 C,交 OM 于点 D,则 AC→CD→DB 即为最短路线。
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是轴对称解决实际最短路径问题的典型应用，解题核心是利用轴对称的性质将折线路径转化为两点之间的线段，通过转化思想将复杂的折线最短问题简化为我们熟悉的线段最短问题，掌握对称点的规范作法是作图的关键。
【难度系数】
0.7
10 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线交$AB$于点$N$，交$AC$于点$M$。
（1）若$∠ B = 70°$，则$∠ NMA$的度数是
（2）连接$MB$，若$AB=8\ \mathrm{cm}$，$△ MBC$的周长是14 cm。
① 求$BC$的长。
② 在直线$MN$上是否存在点$P$，使由点$P$，$B$，$C$构成的$△ PBC$的周长最小？若存在，标出点$P$的位置并求$△ PBC$的最小周长；若不存在，请说明理由。
（1）若$∠ B = 70°$，则$∠ NMA$的度数是
50°
。（2）连接$MB$，若$AB=8\ \mathrm{cm}$，$△ MBC$的周长是14 cm。
① 求$BC$的长。
② 在直线$MN$上是否存在点$P$，使由点$P$，$B$，$C$构成的$△ PBC$的周长最小？若存在，标出点$P$的位置并求$△ PBC$的最小周长；若不存在，请说明理由。
答案
10. (1) 50° (2) ①
∵ MN 垂直平分 AB,
∴ MB=MA. 又
∵ △MBC 的周长是 14 cm,
∴ BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC=14 cm.
∵ AB=AC=8 cm,
∴ BC=6 cm② 存在,点 P 的位置如图 连接 AP.
∵ MN 垂直平分 AB,
∴ AP=BP.
∴ △BPC 的周长=BP+PC+BC=AP+PC+BC.
∴ 当 A,P,C 三点共线,即当点 P 与点 M 重合时,PB+CP 的值最小,为 AC 的长.
∴ △BPC 的最小周长是 AC+BC=8+6=14(cm)。
解析
【分析】
（1）先利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠B的度数求出顶角∠A的度数；再根据垂直平分线的定义得到∠ANM=90°，最后在直角三角形ANM中利用两锐角互余即可求出∠NMA的度数。
（2）①根据线段垂直平分线的性质可得MB=MA，将△MBC的周长转化为AC+BC的和，结合已知AB=AC=8cm和△MBC的周长，代入即可求出BC的长度。
②要使△PBC的周长最小，由于BC长度固定，只需PB+PC最小即可；利用垂直平分线的性质可知点B关于直线MN的对称点是点A，根据两点之间线段最短，当P在AC与MN的交点（即点M）时，PB+PC=AC为最小值，进而求出最小周长。
【解析】
（1）
∵$AB=AC$，
∴$∠C=∠B=70°$，
∴$∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°$，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴$∠ANM=90°$，
∴$∠NMA=90°-∠A=90°-40°=50°$。
（2）①
∵MN垂直平分AB，
∴$MB=MA$，
∵$△MBC$的周长是14 cm，
∴$BM+CM+BC=14\ \mathrm{cm}$，
将BM替换为AM，可得$AM+CM+BC=AC+BC=14\ \mathrm{cm}$，
又
∵$AB=AC=8\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=14-AC=14-8=6\ \mathrm{cm}$。
② 存在，连接AP，
∵MN垂直平分AB，
∴$AP=BP$，
∴$△BPC$的周长$=BP+PC+BC=AP+PC+BC$，
∵BC长度固定为6cm，根据两点之间线段最短，当A、P、C三点共线，即点P与点M重合时，$AP+PC$的值最小，最小值为AC的长度，
∴$△BPC$的最小周长$=AC+BC=8+6=14\ \mathrm{cm}$，点P位置如图：
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$
(2) ① $BC$的长为$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$；
② 存在，点P位置如图所示，$△PBC$的最小周长为$\boldsymbol{14\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题
【点评】
本题综合性较强，解题核心是熟练运用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转换，同时要掌握最短路径问题的对称思想，能够将折线和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题求解。
【难度系数】
0.7
（1）先利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠B的度数求出顶角∠A的度数；再根据垂直平分线的定义得到∠ANM=90°，最后在直角三角形ANM中利用两锐角互余即可求出∠NMA的度数。
（2）①根据线段垂直平分线的性质可得MB=MA，将△MBC的周长转化为AC+BC的和，结合已知AB=AC=8cm和△MBC的周长，代入即可求出BC的长度。
②要使△PBC的周长最小，由于BC长度固定，只需PB+PC最小即可；利用垂直平分线的性质可知点B关于直线MN的对称点是点A，根据两点之间线段最短，当P在AC与MN的交点（即点M）时，PB+PC=AC为最小值，进而求出最小周长。
【解析】
（1）
∵$AB=AC$，
∴$∠C=∠B=70°$，
∴$∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°$，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴$∠ANM=90°$，
∴$∠NMA=90°-∠A=90°-40°=50°$。
（2）①
∵MN垂直平分AB，
∴$MB=MA$，
∵$△MBC$的周长是14 cm，
∴$BM+CM+BC=14\ \mathrm{cm}$，
将BM替换为AM，可得$AM+CM+BC=AC+BC=14\ \mathrm{cm}$，
又
∵$AB=AC=8\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=14-AC=14-8=6\ \mathrm{cm}$。
② 存在，连接AP，
∵MN垂直平分AB，
∴$AP=BP$，
∴$△BPC$的周长$=BP+PC+BC=AP+PC+BC$，
∵BC长度固定为6cm，根据两点之间线段最短，当A、P、C三点共线，即点P与点M重合时，$AP+PC$的值最小，最小值为AC的长度，
∴$△BPC$的最小周长$=AC+BC=8+6=14\ \mathrm{cm}$，点P位置如图：
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$
(2) ① $BC$的长为$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$；
② 存在，点P位置如图所示，$△PBC$的最小周长为$\boldsymbol{14\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题
【点评】
本题综合性较强，解题核心是熟练运用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转换，同时要掌握最短路径问题的对称思想，能够将折线和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题求解。
【难度系数】
0.7
11 如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，下列方案能使从A地到B地的路径A－M－N－B最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（
D
）答案
11.D
解析
【分析】
要解决河上造桥使路径最短的问题，首先明确桥与河岸垂直，因此桥长MN是固定等于河宽的定值，路径总长为AM+MN+NB，要使总长最短，只需让AM+NB的和最小即可。我们可以利用平移变换，将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度，把AM转化为与它平行且相等的线段，这样就把AM+NB的和转化为两条共端点线段的和，再根据两点之间线段最短的原理，判断当两条共端点线段共线时和最小，此时就能得到对应的M、N的位置，再对应选项判断即可。
【解析】
1. 因为河岸a、b互相平行，桥MN垂直于河岸，所以MN的长度等于河宽，是固定不变的定值，因此路径A-M-N-B的总长=AM+MN+NB，要让总长最短，只需AM+NB的和最小。
2. 将点A沿着垂直河岸的方向向下平移，平移的距离等于河宽（即MN的长度），得到点A'。根据平移的性质，AM平行且等于A'N，因此AM+NB=A'N+NB。
3. 根据“两点之间，线段最短”，当点A'、N、B三点共线时，A'N+NB的和最小，最小值为线段A'B的长度。
4. 此时因为A'、N、B共线，AM//A'N，因此AM//BN，符合D选项的特征。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的造桥选址类最短路径问题，核心思路是通过平移将固定长度的桥长从路径中分离，把动态线段的和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，解题的关键是掌握平移后线段的等量关系和平行关系。
【难度系数】
0.7
要解决河上造桥使路径最短的问题，首先明确桥与河岸垂直，因此桥长MN是固定等于河宽的定值，路径总长为AM+MN+NB，要使总长最短，只需让AM+NB的和最小即可。我们可以利用平移变换，将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度，把AM转化为与它平行且相等的线段，这样就把AM+NB的和转化为两条共端点线段的和，再根据两点之间线段最短的原理，判断当两条共端点线段共线时和最小，此时就能得到对应的M、N的位置，再对应选项判断即可。
【解析】
1. 因为河岸a、b互相平行，桥MN垂直于河岸，所以MN的长度等于河宽，是固定不变的定值，因此路径A-M-N-B的总长=AM+MN+NB，要让总长最短，只需AM+NB的和最小。
2. 将点A沿着垂直河岸的方向向下平移，平移的距离等于河宽（即MN的长度），得到点A'。根据平移的性质，AM平行且等于A'N，因此AM+NB=A'N+NB。
3. 根据“两点之间，线段最短”，当点A'、N、B三点共线时，A'N+NB的和最小，最小值为线段A'B的长度。
4. 此时因为A'、N、B共线，AM//A'N，因此AM//BN，符合D选项的特征。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的造桥选址类最短路径问题，核心思路是通过平移将固定长度的桥长从路径中分离，把动态线段的和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，解题的关键是掌握平移后线段的等量关系和平行关系。
【难度系数】
0.7
12 阅读以下材料.
如图①,A,B 两村之间有一条两岸互相平行的河,河宽为 a.现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直),使 A,B 之间的路程最短,试画出造桥位置.对于此题,我们可以这样解决:如图②,把点 A 向下移动到点 A',使 AA'=a,连接 A'B 交 l₂ 于点 C;过点 C 作 CD⊥l₁ 于点 D,则 CD 就是造桥位置.
请仿照以上材料解决问题:
如图③,A,B 两村之间有两条互相平行的河.一条河宽 a,另一条河宽 b,现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直),使 A,B 之间的路程最短,试画出造桥的位置.
如图①,A,B 两村之间有一条两岸互相平行的河,河宽为 a.现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直),使 A,B 之间的路程最短,试画出造桥位置.对于此题,我们可以这样解决:如图②,把点 A 向下移动到点 A',使 AA'=a,连接 A'B 交 l₂ 于点 C;过点 C 作 CD⊥l₁ 于点 D,则 CD 就是造桥位置.
请仿照以上材料解决问题:
如图③,A,B 两村之间有两条互相平行的河.一条河宽 a,另一条河宽 b,现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直),使 A,B 之间的路程最短,试画出造桥的位置.
答案
12. 如图,MN,EF 即为所求(其中 AA'=a,A'A''=b)。
解析
【分析】
本题是单条河造桥最短路径问题的延伸，解题思路类比单条河的平移法：由于桥必须与河岸垂直，两座桥的长度分别为固定值a、b，因此可以通过两次平移点A，抵消两座桥的固定长度，将问题转化为求平移后得到的点到B的最短路径，再根据平移的性质还原两座桥的位置即可。具体思考步骤：首先将点A向河岸方向平移a得到A'，抵消第一座桥的长度，再将A'向河岸方向平移b得到A''，抵消第二座桥的长度，连接A''B得到最短的非桥路径，最后反向推出两座桥的端点位置。
【解析】
1. 过点A作$l_1$的垂线，沿垂线方向向下平移点A，使平移距离等于第一条河的宽度a，得到点$A'$，此时$AA'=a$且$AA'$与河岸垂直；
2. 过点$A'$作$l_3$的垂线，沿垂线方向向下平移点$A'$，使平移距离等于第二条河的宽度b，得到点$A''$，此时$A'A''=b$且$A'A''$与河岸垂直；
3. 连接$A''B$，交$l_4$于点F；
4. 过点F作$EF⊥ l_4$，交$l_3$于点E，EF即为第二条河上的桥；
5. 连接$A'E$，交$l_2$于点N；
6. 过点N作$MN⊥ l_2$，交$l_1$于点M，MN即为第一条河上的桥。
由平移性质可知$AM=A'N$、$NE=A''F$，总路程可转化为$a+b+A''B$，根据两点之间线段最短，此时总路程最短。
【答案】
如图，MN、EF即为所求（其中$AA'=a$，$A'A''=b$）。
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题核心是将固定长度的桥通过平移从路径中分离，把复杂的最短路径问题转化为“两点之间线段最短”的基础模型，解题的关键是准确把握平移的方向（与河岸垂直）和平移的距离（对应河宽），是对平移应用和最短路径模型的灵活考察。
【难度系数】
0.6
本题是单条河造桥最短路径问题的延伸，解题思路类比单条河的平移法：由于桥必须与河岸垂直，两座桥的长度分别为固定值a、b，因此可以通过两次平移点A，抵消两座桥的固定长度，将问题转化为求平移后得到的点到B的最短路径，再根据平移的性质还原两座桥的位置即可。具体思考步骤：首先将点A向河岸方向平移a得到A'，抵消第一座桥的长度，再将A'向河岸方向平移b得到A''，抵消第二座桥的长度，连接A''B得到最短的非桥路径，最后反向推出两座桥的端点位置。
【解析】
1. 过点A作$l_1$的垂线，沿垂线方向向下平移点A，使平移距离等于第一条河的宽度a，得到点$A'$，此时$AA'=a$且$AA'$与河岸垂直；
2. 过点$A'$作$l_3$的垂线，沿垂线方向向下平移点$A'$，使平移距离等于第二条河的宽度b，得到点$A''$，此时$A'A''=b$且$A'A''$与河岸垂直；
3. 连接$A''B$，交$l_4$于点F；
4. 过点F作$EF⊥ l_4$，交$l_3$于点E，EF即为第二条河上的桥；
5. 连接$A'E$，交$l_2$于点N；
6. 过点N作$MN⊥ l_2$，交$l_1$于点M，MN即为第一条河上的桥。
由平移性质可知$AM=A'N$、$NE=A''F$，总路程可转化为$a+b+A''B$，根据两点之间线段最短，此时总路程最短。
【答案】
如图，MN、EF即为所求（其中$AA'=a$，$A'A''=b$）。
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题核心是将固定长度的桥通过平移从路径中分离，把复杂的最短路径问题转化为“两点之间线段最短”的基础模型，解题的关键是准确把握平移的方向（与河岸垂直）和平移的距离（对应河宽），是对平移应用和最短路径模型的灵活考察。
【难度系数】
0.6
