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10.如图，直线a，b被直线c所截，$a// b$，$∠ 1=70°$，则$∠ 2=$
$110°$
。答案
10.$110°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，已知直线a平行于b，首先回忆平行线的性质，找到与∠1相等的同位角，该同位角和∠2是邻补角，二者和为180°，结合已知∠1的度数，即可求出∠2的大小。
【解析】
设直线b与c的交点右上方的角为∠3
∵$a//b$，∠1和∠3是同位角
∴$∠ 3=∠ 1=70°$（两直线平行，同位角相等）
又
∵∠2和∠3是邻补角
∴$∠ 2+∠ 3=180°$
∴$∠ 2=180°-∠ 3=180°-70°=110°$
【答案】
$110°$
【知识点】
平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别同位角、邻补角的位置关系，结合平行线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件入手，已知直线a平行于b，首先回忆平行线的性质，找到与∠1相等的同位角，该同位角和∠2是邻补角，二者和为180°，结合已知∠1的度数，即可求出∠2的大小。
【解析】
设直线b与c的交点右上方的角为∠3
∵$a//b$，∠1和∠3是同位角
∴$∠ 3=∠ 1=70°$（两直线平行，同位角相等）
又
∵∠2和∠3是邻补角
∴$∠ 2+∠ 3=180°$
∴$∠ 2=180°-∠ 3=180°-70°=110°$
【答案】
$110°$
【知识点】
平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别同位角、邻补角的位置关系，结合平行线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
11.定义运算“@”的运算法则：$x@y=\sqrt{xy+4}$，则$(2@6)@8=$
6
答案
11.6
解析
【分析】
本题是定义新运算类题目，解题时首先要准确理解“@”的运算法则：两个数进行@运算，结果等于这两个数的乘积加4后的算术平方根。运算顺序和常规四则运算一致，有括号先算括号内的运算，先求出2@6的结果，再将该结果与8进行@运算即可得到最终答案。
【解析】
首先计算括号内的2@6：
根据运算法则$x@y=\sqrt{xy+4}$，将$x=2$，$y=6$代入得：
$2@6=\sqrt{2×6 +4}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$
再计算4@8，将$x=4$，$y=8$代入运算法则得：
$4@8=\sqrt{4×8 +4}=\sqrt{32+4}=\sqrt{36}=6$
因此$(2@6)@8=6$
【答案】
6
【知识点】
定义新运算，算术平方根计算，运算顺序
【点评】
本题属于新定义基础题型，核心考查对新运算规则的理解能力和算术平方根的计算能力，解题时只要严格遵循给定运算法则、按照先括号后外部的运算顺序逐步计算即可，计算时要注意算术平方根结果为非负数，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
本题是定义新运算类题目，解题时首先要准确理解“@”的运算法则：两个数进行@运算，结果等于这两个数的乘积加4后的算术平方根。运算顺序和常规四则运算一致，有括号先算括号内的运算，先求出2@6的结果，再将该结果与8进行@运算即可得到最终答案。
【解析】
首先计算括号内的2@6：
根据运算法则$x@y=\sqrt{xy+4}$，将$x=2$，$y=6$代入得：
$2@6=\sqrt{2×6 +4}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$
再计算4@8，将$x=4$，$y=8$代入运算法则得：
$4@8=\sqrt{4×8 +4}=\sqrt{32+4}=\sqrt{36}=6$
因此$(2@6)@8=6$
【答案】
6
【知识点】
定义新运算，算术平方根计算，运算顺序
【点评】
本题属于新定义基础题型，核心考查对新运算规则的理解能力和算术平方根的计算能力，解题时只要严格遵循给定运算法则、按照先括号后外部的运算顺序逐步计算即可，计算时要注意算术平方根结果为非负数，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
12.已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}5 - 2x ≥ -1, \\x - a ＞ 0\end{cases}$有5个整数解，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
12.$-2≤ a＜-1$
解析
【分析】
解决这类含参数的不等式组整数解问题，解题思路分三步：第一步先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含参数a的公共解集；第二步根据“有5个整数解”的条件，从已知的解集上限出发，倒推出所有符合要求的整数解；第三步结合整数解的范围确定参数a的边界，特别要注意验证端点值是否符合题意，避免出现多取或者漏取端点的错误。
【解析】
先分别解两个不等式：
1. 解不等式$5 - 2x ≥ -1$：
移项得：$-2x ≥ -1 - 5$，即$-2x ≥ -6$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≤ 3$。
2. 解不等式$x - a ＞ 0$：
移项得：$x ＞ a$。
因此，不等式组的解集为$a ＜ x ≤ 3$。
已知不等式组有5个整数解，从$x≤3$往小依次列举整数解为：3、2、1、0、-1，共5个。
验证端点：
当$a=-2$时，解集为$-2 ＜ x ≤3$，整数解还是3、2、1、0、-1，共5个，符合要求；
当$a=-1$时，解集为$-1 ＜ x ≤3$，整数解为3、2、1、0，共4个，不符合要求。
因此$a$的取值范围是$-2 ≤ a ＜ -1$。
【答案】
$-2≤ a＜-1$
【知识点】
一元一次不等式组的解法；不等式组的整数解；不等式的性质
【点评】
本题是不等式组参数求解的经典题型，核心是先求出含参数的解集，再结合整数解的个数反推参数范围，解题的易错点在于端点值的取舍，需单独验证端点是否满足题意，避免出错。
【难度系数】
0.6
解决这类含参数的不等式组整数解问题，解题思路分三步：第一步先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含参数a的公共解集；第二步根据“有5个整数解”的条件，从已知的解集上限出发，倒推出所有符合要求的整数解；第三步结合整数解的范围确定参数a的边界，特别要注意验证端点值是否符合题意，避免出现多取或者漏取端点的错误。
【解析】
先分别解两个不等式：
1. 解不等式$5 - 2x ≥ -1$：
移项得：$-2x ≥ -1 - 5$，即$-2x ≥ -6$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≤ 3$。
2. 解不等式$x - a ＞ 0$：
移项得：$x ＞ a$。
因此，不等式组的解集为$a ＜ x ≤ 3$。
已知不等式组有5个整数解，从$x≤3$往小依次列举整数解为：3、2、1、0、-1，共5个。
验证端点：
当$a=-2$时，解集为$-2 ＜ x ≤3$，整数解还是3、2、1、0、-1，共5个，符合要求；
当$a=-1$时，解集为$-1 ＜ x ≤3$，整数解为3、2、1、0，共4个，不符合要求。
因此$a$的取值范围是$-2 ≤ a ＜ -1$。
【答案】
$-2≤ a＜-1$
【知识点】
一元一次不等式组的解法；不等式组的整数解；不等式的性质
【点评】
本题是不等式组参数求解的经典题型，核心是先求出含参数的解集，再结合整数解的个数反推参数范围，解题的易错点在于端点值的取舍，需单独验证端点是否满足题意，避免出错。
【难度系数】
0.6
13. 在关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}6x + 5y = 7m + 2, \\3x - y = 7\end{cases}$的解中，$x$，$y$的和等于9，则$7m + 2$的算术平方根为________。
答案
13.7
解析
【分析】
解题时可先根据题意提取已知条件：一是方程$3x-y=7$，二是$x$、$y$的和为9即$x+y=9$，将这两个等式联立得到关于$x$、$y$的二元一次方程组，求解得到$x$、$y$的值后，代入第一个方程$6x+5y=7m+2$即可求出$7m+2$的数值，最后根据算术平方根的定义算出结果即可。
【解析】
根据题意可知$x+y=9$，将其与方程$3x-y=7$联立，得：
$\begin{cases}3x - y =7 \\x + y =9\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得：$4x=16$，解得$x=4$。
把$x=4$代入$x+y=9$，得$4+y=9$，解得$y=5$。
将$x=4$，$y=5$代入$6x+5y=7m+2$，得：
$6×4 +5×5=7m+2$
计算左边：$24+25=49$，即$7m+2=49$。
因为49的算术平方根为7，所以$7m+2$的算术平方根是7。
【答案】
7
【知识点】
二元一次方程组的解法；算术平方根的定义
【点评】
本题综合考查了二元一次方程组的求解和算术平方根的计算，解题关键是先利用两个关于$x$、$y$的等量关系求出$x$、$y$的值，再代入待求式计算，注意算术平方根的结果为非负数，不要混淆平方根和算术平方根的概念。
【难度系数】
0.8
解题时可先根据题意提取已知条件：一是方程$3x-y=7$，二是$x$、$y$的和为9即$x+y=9$，将这两个等式联立得到关于$x$、$y$的二元一次方程组，求解得到$x$、$y$的值后，代入第一个方程$6x+5y=7m+2$即可求出$7m+2$的数值，最后根据算术平方根的定义算出结果即可。
【解析】
根据题意可知$x+y=9$，将其与方程$3x-y=7$联立，得：
$\begin{cases}3x - y =7 \\x + y =9\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得：$4x=16$，解得$x=4$。
把$x=4$代入$x+y=9$，得$4+y=9$，解得$y=5$。
将$x=4$，$y=5$代入$6x+5y=7m+2$，得：
$6×4 +5×5=7m+2$
计算左边：$24+25=49$，即$7m+2=49$。
因为49的算术平方根为7，所以$7m+2$的算术平方根是7。
【答案】
7
【知识点】
二元一次方程组的解法；算术平方根的定义
【点评】
本题综合考查了二元一次方程组的求解和算术平方根的计算，解题关键是先利用两个关于$x$、$y$的等量关系求出$x$、$y$的值，再代入待求式计算，注意算术平方根的结果为非负数，不要混淆平方根和算术平方根的概念。
【难度系数】
0.8
14.某池塘中放养了鲤鱼10 000条，鲢鱼若干，在几次随机捕捞中，共抓到鲤鱼400条，鲢鱼320条，估计池中放养了鲢鱼
8 000
条。答案
14.8 000
解析
【分析】
这道题属于用样本特征估计总体特征的统计类题型，解题核心思路是：随机捕捞得到的样本中鲤鱼和鲢鱼的数量比，和池塘中总的鲤鱼数、总的鲢鱼数的比值近似相等，我们可以利用这个比例关系，设未知数列式计算出鲢鱼的总数量。
【解析】
解：设池中放养了鲢鱼$x$条。
根据样本中两类鱼的数量比等于总体中两类鱼的数量比，可列比例式：
$10000:x=400:320$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积）可得：
$400x=10000×320$
计算得：
$400x=3200000$
解得：
$x=3200000÷400=8000$
【答案】
8000
【知识点】
用样本估计总体，比例的基本性质
【点评】
本题是基础的统计应用题型，解题的关键是理解抽样调查中样本特征可以近似反映总体特征，抓住样本和总体的对应比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这道题属于用样本特征估计总体特征的统计类题型，解题核心思路是：随机捕捞得到的样本中鲤鱼和鲢鱼的数量比，和池塘中总的鲤鱼数、总的鲢鱼数的比值近似相等，我们可以利用这个比例关系，设未知数列式计算出鲢鱼的总数量。
【解析】
解：设池中放养了鲢鱼$x$条。
根据样本中两类鱼的数量比等于总体中两类鱼的数量比，可列比例式：
$10000:x=400:320$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积）可得：
$400x=10000×320$
计算得：
$400x=3200000$
解得：
$x=3200000÷400=8000$
【答案】
8000
【知识点】
用样本估计总体，比例的基本性质
【点评】
本题是基础的统计应用题型，解题的关键是理解抽样调查中样本特征可以近似反映总体特征，抓住样本和总体的对应比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
15.如图,把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH的位置,若HG=24 cm,MG=8 cm,MC=6 cm,则阴影部分的面积是
$168\ \mathrm{cm}^2$
。答案
15.$168\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
首先回忆平移的性质：平移前后的图形大小、形状完全相同，面积相等。观察图形可知，阴影部分面积等于直角梯形ABCD的面积减去公共部分梯形EFMD的面积，梯形DHGM的面积等于直角梯形EFGH的面积减去公共部分梯形EFMD的面积，而ABCD和EFGH是平移得到的，二者面积相等，因此阴影部分面积就等于梯形DHGM的面积，只需要计算梯形DHGM的面积即可。
【解析】
解：
∵直角梯形ABCD沿AD方向平移得到梯形EFGH
∴CD=HG=24cm，且$S_{梯形ABCD}=S_{梯形EFGH}$
∴$S_{阴影}=S_{梯形ABCD}-S_{梯形EFMD}=S_{梯形EFGH}-S_{梯形EFMD}=S_{梯形DHGM}$
已知MC=6cm，因此$MD=CD-MC=24-6=18\mathrm{cm}$
又已知MG=8cm，HG=24cm，根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，代入数据得：
$S_{阴影}=\frac{(18+24)×8}{2}=42×4=168\mathrm{cm}^2$
【答案】
$168\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算
【点评】
本题解题核心是利用平移前后图形面积相等的性质，将不规则的阴影部分面积转化为规则的梯形面积求解，体现了数学中的转化思想，有效降低了解题难度。
【难度系数】
0.7
首先回忆平移的性质：平移前后的图形大小、形状完全相同，面积相等。观察图形可知，阴影部分面积等于直角梯形ABCD的面积减去公共部分梯形EFMD的面积，梯形DHGM的面积等于直角梯形EFGH的面积减去公共部分梯形EFMD的面积，而ABCD和EFGH是平移得到的，二者面积相等，因此阴影部分面积就等于梯形DHGM的面积，只需要计算梯形DHGM的面积即可。
【解析】
解：
∵直角梯形ABCD沿AD方向平移得到梯形EFGH
∴CD=HG=24cm，且$S_{梯形ABCD}=S_{梯形EFGH}$
∴$S_{阴影}=S_{梯形ABCD}-S_{梯形EFMD}=S_{梯形EFGH}-S_{梯形EFMD}=S_{梯形DHGM}$
已知MC=6cm，因此$MD=CD-MC=24-6=18\mathrm{cm}$
又已知MG=8cm，HG=24cm，根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，代入数据得：
$S_{阴影}=\frac{(18+24)×8}{2}=42×4=168\mathrm{cm}^2$
【答案】
$168\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算
【点评】
本题解题核心是利用平移前后图形面积相等的性质，将不规则的阴影部分面积转化为规则的梯形面积求解，体现了数学中的转化思想，有效降低了解题难度。
【难度系数】
0.7
16. 任何实数$ a $,可用$[a]$表示不超过$ a $的最大整数,如$[4]=4,[\sqrt{3}]=1$,现对72进行如下操作:$ 72 \xrightarrow{第1次} [\sqrt{72}]=8 \xrightarrow{第2次} [\sqrt{8}]=2 \xrightarrow{第3次} [\sqrt{2}]=1 $,这样对72只需进行3次操作后变为1.类似地,对81只需进行
3
次操作后变为1.答案
16.3
解析
【分析】
首先要明确题目给出的两个规则：①$[a]$表示不超过$a$的最大整数，也就是对$a$向下取整；②每次操作是对当前的数先求算术平方根，再对结果向下取整，直到得到1为止，操作的总次数就是所求答案。我们只需要按照规则对81逐步计算每一次操作的结果，数清楚到1的操作次数即可。
【解析】
按照操作规则逐步计算：
第1次操作：对81运算，$\sqrt{81}=9$，因此$[\sqrt{81}]=9$；
第2次操作：对9运算，$\sqrt{9}=3$，因此$[\sqrt{9}]=3$；
第3次操作：对3运算，$\sqrt{3}\approx1.732$，不超过1.732的最大整数是1，因此$[\sqrt{3}]=1$。
此时得到结果1，总共进行了3次操作。
【答案】
3
【知识点】
1. 新定义运算
2. 算术平方根计算
3. 取整符号应用
【点评】
本题是新定义类的基础题型，解题核心是准确理解题目给出的取整规则和操作流程，结合算术平方根的基础运算逐步推导即可，主要考查对新定义的阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
首先要明确题目给出的两个规则：①$[a]$表示不超过$a$的最大整数，也就是对$a$向下取整；②每次操作是对当前的数先求算术平方根，再对结果向下取整，直到得到1为止，操作的总次数就是所求答案。我们只需要按照规则对81逐步计算每一次操作的结果，数清楚到1的操作次数即可。
【解析】
按照操作规则逐步计算：
第1次操作：对81运算，$\sqrt{81}=9$，因此$[\sqrt{81}]=9$；
第2次操作：对9运算，$\sqrt{9}=3$，因此$[\sqrt{9}]=3$；
第3次操作：对3运算，$\sqrt{3}\approx1.732$，不超过1.732的最大整数是1，因此$[\sqrt{3}]=1$。
此时得到结果1，总共进行了3次操作。
【答案】
3
【知识点】
1. 新定义运算
2. 算术平方根计算
3. 取整符号应用
【点评】
本题是新定义类的基础题型，解题核心是准确理解题目给出的取整规则和操作流程，结合算术平方根的基础运算逐步推导即可，主要考查对新定义的阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
