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一、选择题
1. 在$-\dfrac{1}{6}, -3.14, 0, \dfrac{π}{3}, \sqrt{16}, 32, 0.23, \sqrt{5}, -1.121\ 121\ 112···$（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 在$-\dfrac{1}{6}, -3.14, 0, \dfrac{π}{3}, \sqrt{16}, 32, 0.23, \sqrt{5}, -1.121\ 121\ 112···$（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有 （
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，牢记三类常见的无理数：①含π的数；②开方开不尽的数；③有规律但不循环的无限小数。解题步骤：先把题中能化简的数先化简（如$\sqrt{16}$），再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. $-\dfrac{1}{6}$是分数，属于有理数；
2. $-3.14$是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
3. $0$是整数，属于有理数；
4. $\dfrac{π}{3}$：π是无限不循环小数，因此$\dfrac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt{16}=4$，是整数，属于有理数；
6. $32$是整数，属于有理数；
7. $0.23$是有限小数，属于有理数；
8. $\sqrt{5}$：5开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
9. $-1.121\ 121\ 112···$（每两个2之间依次多一个1）：是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有3个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别、算术平方根的计算、实数的分类
【点评】
本题考查无理数的判断，解题的关键是先对带根号的数进行化简再判断，不要误将开得尽方的数、有限小数、无限循环小数归为无理数，同时要注意含π的数通常为无理数。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，牢记三类常见的无理数：①含π的数；②开方开不尽的数；③有规律但不循环的无限小数。解题步骤：先把题中能化简的数先化简（如$\sqrt{16}$），再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. $-\dfrac{1}{6}$是分数，属于有理数；
2. $-3.14$是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
3. $0$是整数，属于有理数；
4. $\dfrac{π}{3}$：π是无限不循环小数，因此$\dfrac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt{16}=4$，是整数，属于有理数；
6. $32$是整数，属于有理数；
7. $0.23$是有限小数，属于有理数；
8. $\sqrt{5}$：5开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
9. $-1.121\ 121\ 112···$（每两个2之间依次多一个1）：是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有3个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别、算术平方根的计算、实数的分类
【点评】
本题考查无理数的判断，解题的关键是先对带根号的数进行化简再判断，不要误将开得尽方的数、有限小数、无限循环小数归为无理数，同时要注意含π的数通常为无理数。
【难度系数】
0.7
2.下列说法中,正确的是 （
A.无限小数都是无理数
B.无理数分为正无理数、0和负无理数
C.实数与数轴上的点是一一对应的
D.无理数的平方一定是有理数
C
）A.无限小数都是无理数
B.无理数分为正无理数、0和负无理数
C.实数与数轴上的点是一一对应的
D.无理数的平方一定是有理数
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道实数相关的概念辨析题，解题时需结合无理数、实数的定义及性质逐一判断每个选项的正误，排除错误选项即可得到答案。首先明确核心概念：无理数是无限不循环小数；0属于有理数；实数与数轴上的点存在一一对应的关系，再结合反例验证错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，只有无限不循环小数才是无理数，因此A错误。
B选项：0是有理数，无理数仅分为正无理数和负无理数，不包含0，因此B错误。
C选项：每一个实数都可以用数轴上的唯一一个点表示，数轴上的每一个点也都唯一对应一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的，因此C正确。
D选项：举反例：π是无理数，π的平方仍然是无理数，因此无理数的平方不一定是有理数，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的概念
2. 实数的分类
3. 实数与数轴的关系
【点评】
本题考查实数相关的基础概念，属于易错题，解题的关键是准确区分不同概念的边界，避免混淆无限小数与无理数、有理数和无理数的分类等内容。
【难度系数】
0.8
这是一道实数相关的概念辨析题，解题时需结合无理数、实数的定义及性质逐一判断每个选项的正误，排除错误选项即可得到答案。首先明确核心概念：无理数是无限不循环小数；0属于有理数；实数与数轴上的点存在一一对应的关系，再结合反例验证错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，只有无限不循环小数才是无理数，因此A错误。
B选项：0是有理数，无理数仅分为正无理数和负无理数，不包含0，因此B错误。
C选项：每一个实数都可以用数轴上的唯一一个点表示，数轴上的每一个点也都唯一对应一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的，因此C正确。
D选项：举反例：π是无理数，π的平方仍然是无理数，因此无理数的平方不一定是有理数，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的概念
2. 实数的分类
3. 实数与数轴的关系
【点评】
本题考查实数相关的基础概念，属于易错题，解题的关键是准确区分不同概念的边界，避免混淆无限小数与无理数、有理数和无理数的分类等内容。
【难度系数】
0.8
3. 下面实数比较大小正确的是（
A.$3＞7$
B.$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$
C.$0＜-2$
D.$2^2＜3$
B
）A.$3＞7$
B.$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$
C.$0＜-2$
D.$2^2＜3$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查实数的大小比较，解题时可逐个分析每个选项，根据实数大小比较的基本规则、算术平方根的性质、乘方运算的结果逐一判断对错，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项依次分析：
A选项：正整数比较大小时，$3＜7$，因此A错误；
B选项：对于两个非负数的算术平方根，被开方数越大，对应的算术平方根越大，由于$3＞2$，因此$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，B正确；
C选项：0大于所有负数，因此$0＞-2$，C错误；
D选项：先计算乘方，$2^2=4$，$4＞3$，因此$2^2＞3$，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较；算术平方根的性质；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题型，主要考察实数比较大小的基本方法，涉及的知识点都是实数部分的核心基础内容，熟练掌握相关概念和运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查实数的大小比较，解题时可逐个分析每个选项，根据实数大小比较的基本规则、算术平方根的性质、乘方运算的结果逐一判断对错，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项依次分析：
A选项：正整数比较大小时，$3＜7$，因此A错误；
B选项：对于两个非负数的算术平方根，被开方数越大，对应的算术平方根越大，由于$3＞2$，因此$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，B正确；
C选项：0大于所有负数，因此$0＞-2$，C错误；
D选项：先计算乘方，$2^2=4$，$4＞3$，因此$2^2＞3$，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较；算术平方根的性质；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题型，主要考察实数比较大小的基本方法，涉及的知识点都是实数部分的核心基础内容，熟练掌握相关概念和运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.若$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，$m$的平方为4，求$\dfrac{a+b}{m}+2m-3cd$的值为（
A.1
B.5
C.1或$-7$
D.1或5
C
）A.1
B.5
C.1或$-7$
D.1或5
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先根据相反数、倒数、平方的定义，先求出$a+b$、$cd$、$m$的取值，再把这些值代入代数式计算。要注意$m$的平方为4时，$m$有2和-2两个取值，需要分两种情况分别计算结果，避免漏解。
【解析】
解：$\because a$，$b$互为相反数，$\therefore a+b=0$；
$\because c$，$d$互为倒数，$\therefore cd=1$；
$\because m$的平方为4，即$m^2=4$，$\therefore m=2$或$m=-2$。
分两种情况计算：
①当$m=2$时，
$\dfrac{a+b}{m}+2m-3cd=\dfrac{0}{2}+2×2-3×1=0+4-3=1$；
②当$m=-2$时，
$\dfrac{a+b}{m}+2m-3cd=\dfrac{0}{-2}+2×(-2)-3×1=0-4-3=-7$。
综上，代数式的值为1或$-7$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；有理数的混合运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握相反数、倒数、平方的相关性质，注意平方等于正数的数有两个，互为相反数，计算时不要漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先根据相反数、倒数、平方的定义，先求出$a+b$、$cd$、$m$的取值，再把这些值代入代数式计算。要注意$m$的平方为4时，$m$有2和-2两个取值，需要分两种情况分别计算结果，避免漏解。
【解析】
解：$\because a$，$b$互为相反数，$\therefore a+b=0$；
$\because c$，$d$互为倒数，$\therefore cd=1$；
$\because m$的平方为4，即$m^2=4$，$\therefore m=2$或$m=-2$。
分两种情况计算：
①当$m=2$时，
$\dfrac{a+b}{m}+2m-3cd=\dfrac{0}{2}+2×2-3×1=0+4-3=1$；
②当$m=-2$时，
$\dfrac{a+b}{m}+2m-3cd=\dfrac{0}{-2}+2×(-2)-3×1=0-4-3=-7$。
综上，代数式的值为1或$-7$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；有理数的混合运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握相反数、倒数、平方的相关性质，注意平方等于正数的数有两个，互为相反数，计算时不要漏解。
【难度系数】
0.7
1. 比较大小：$-\sqrt{6}$
＞
$-\sqrt{7}$；$-2\sqrt{3}$ ＞
$-3\sqrt{2}$；$-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ ＜
$1-\sqrt{2}$。答案
1.＞ ＞ ＜
解析
【分析】
比较实数大小时，两个负数比较的核心规则是：绝对值大的负数反而更小。对于带根号的无理数，比较大小时可以先比较它们绝对值的大小：正的带根号的数可以通过平方去掉根号，比较平方后的整数大小，平方后结果大的原数更大；也可以通过估算无理数的近似值比较大小，再结合负数比较规则就能得出结果。
【解析】
1. 比较$-\sqrt{6}$和$-\sqrt{7}$：
两个数都是负数，先比较绝对值：$\sqrt{6}$和$\sqrt{7}$，因为$6＜7$，所以$\sqrt{6}＜\sqrt{7}$，根据负数比较规则，绝对值小的数更大，因此$-\sqrt{6} ＞ -\sqrt{7}$。
2. 比较$-2\sqrt{3}$和$-3\sqrt{2}$：
两个数都是负数，先比较绝对值：$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$，对两个正数分别平方：
$(2\sqrt{3})^2=2^2× (\sqrt{3})^2=4×3=12$，$(3\sqrt{2})^2=3^2× (\sqrt{2})^2=9×2=18$，
因为$12＜18$，所以$2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$，根据负数比较规则得$-2\sqrt{3} ＞ -3\sqrt{2}$。
3. 比较$-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$和$1-\sqrt{2}$：
两个数都是负数，估算近似值（$\sqrt{2}\approx1.414$）：
$-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\approx-\dfrac{1.414}{3}\approx-0.471$，$1-\sqrt{2}\approx1-1.414=-0.414$，
因为$-0.471 ＜ -0.414$，所以$-\dfrac{\sqrt{2}}{3} ＜ 1-\sqrt{2}$。
【答案】
＞ ＞ ＜
【知识点】
实数比较大小、二次根式运算、无理数估值
【点评】
本题重点考察负数比较大小的规则和带二次根式的数的比较方法，熟练掌握“两个负数比较，绝对值大的反而小”的规则，灵活运用平方法、估算法处理带根号的数的大小比较，是解决这类题的核心，属于实数大小比较的基础常考题。
【难度系数】
0.7
比较实数大小时，两个负数比较的核心规则是：绝对值大的负数反而更小。对于带根号的无理数，比较大小时可以先比较它们绝对值的大小：正的带根号的数可以通过平方去掉根号，比较平方后的整数大小，平方后结果大的原数更大；也可以通过估算无理数的近似值比较大小，再结合负数比较规则就能得出结果。
【解析】
1. 比较$-\sqrt{6}$和$-\sqrt{7}$：
两个数都是负数，先比较绝对值：$\sqrt{6}$和$\sqrt{7}$，因为$6＜7$，所以$\sqrt{6}＜\sqrt{7}$，根据负数比较规则，绝对值小的数更大，因此$-\sqrt{6} ＞ -\sqrt{7}$。
2. 比较$-2\sqrt{3}$和$-3\sqrt{2}$：
两个数都是负数，先比较绝对值：$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$，对两个正数分别平方：
$(2\sqrt{3})^2=2^2× (\sqrt{3})^2=4×3=12$，$(3\sqrt{2})^2=3^2× (\sqrt{2})^2=9×2=18$，
因为$12＜18$，所以$2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$，根据负数比较规则得$-2\sqrt{3} ＞ -3\sqrt{2}$。
3. 比较$-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$和$1-\sqrt{2}$：
两个数都是负数，估算近似值（$\sqrt{2}\approx1.414$）：
$-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\approx-\dfrac{1.414}{3}\approx-0.471$，$1-\sqrt{2}\approx1-1.414=-0.414$，
因为$-0.471 ＜ -0.414$，所以$-\dfrac{\sqrt{2}}{3} ＜ 1-\sqrt{2}$。
【答案】
＞ ＞ ＜
【知识点】
实数比较大小、二次根式运算、无理数估值
【点评】
本题重点考察负数比较大小的规则和带二次根式的数的比较方法，熟练掌握“两个负数比较，绝对值大的反而小”的规则，灵活运用平方法、估算法处理带根号的数的大小比较，是解决这类题的核心，属于实数大小比较的基础常考题。
【难度系数】
0.7
2.若$a$是$\sqrt{10}$的整数部分，$b$是$\sqrt{5}$的整数部分，则$a^2 + b^2 =$
13
.答案
2.13
解析
【分析】
要计算$a^2 + b^2$的值，首先需要分别求出$\sqrt{10}$的整数部分$a$和$\sqrt{5}$的整数部分$b$。求解无理数的整数部分的思路是：找到和被开方数相邻的两个完全平方数，就能确定无理数介于哪两个相邻整数之间，较小的整数就是该无理数的整数部分，最后将$a$、$b$代入代数式计算即可。
【解析】
第一步：求$\sqrt{10}$的整数部分$a$
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$，因此$\sqrt{10}$的整数部分$a=3$。
第二步：求$\sqrt{5}$的整数部分$b$
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，因此$\sqrt{5}$的整数部分$b=2$。
第三步：代入计算$a^2 + b^2$
将$a=3$、$b=2$代入代数式得：$a^2 + b^2=3^2 + 2^2=9+4=13$。
【答案】
13
【知识点】
无理数的估算、平方运算、代数式求值
【点评】
本题重点考查无理数整数部分的求解方法，核心是掌握利用相邻完全平方数估算无理数取值范围的技巧，属于对无理数相关基础知识的常规考查。
【难度系数】
0.8
要计算$a^2 + b^2$的值，首先需要分别求出$\sqrt{10}$的整数部分$a$和$\sqrt{5}$的整数部分$b$。求解无理数的整数部分的思路是：找到和被开方数相邻的两个完全平方数，就能确定无理数介于哪两个相邻整数之间，较小的整数就是该无理数的整数部分，最后将$a$、$b$代入代数式计算即可。
【解析】
第一步：求$\sqrt{10}$的整数部分$a$
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$，因此$\sqrt{10}$的整数部分$a=3$。
第二步：求$\sqrt{5}$的整数部分$b$
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，因此$\sqrt{5}$的整数部分$b=2$。
第三步：代入计算$a^2 + b^2$
将$a=3$、$b=2$代入代数式得：$a^2 + b^2=3^2 + 2^2=9+4=13$。
【答案】
13
【知识点】
无理数的估算、平方运算、代数式求值
【点评】
本题重点考查无理数整数部分的求解方法，核心是掌握利用相邻完全平方数估算无理数取值范围的技巧，属于对无理数相关基础知识的常规考查。
【难度系数】
0.8
