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1 下列关于$x$的方程:①$ax^2+bx+c=0$；②$x^2+\frac{3}{x}=6$；③$x^2-1=0$；④$x=3x^2$；⑤$(x+1)(x-1)=x^2+4x$,其中一元二次方程的个数是 (
A.2
B.3
C.4
D.5
A
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1.A 【解析】①当 $a=0$ 时,$ax^2+bx+c=0$ 不是一元二次方程;②$x^2+\frac{3}{x}=6$ 是分式方程,不是一元二次方程;③$x^2-1=0$ 是一元二次方程;④$x=3x^2$ 是一元二次方程;⑤$(x+1)(x-1)=x^2+4x$,整理后不含 $x$ 的二次项,不是一元二次方程. 故选 A.
解析
【分析】
要判断一元二次方程的个数，首先需明确一元二次方程的判定标准：1.是整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时按照上述标准逐个排查给出的5个方程，排除不符合的，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
先明确一元二次方程需同时满足三个条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。逐个分析如下：
①方程$ax^2+bx+c=0$：未说明$a≠0$，当$a=0$时方程最高次数为1，不是一元二次方程；
②方程$x^2+\frac{3}{x}=6$：分母含未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程；
③方程$x^2-1=0$：同时满足三个判定条件，是一元二次方程；
④方程$x=3x^2$：整理得$3x^2-x=0$，同时满足三个判定条件，是一元二次方程；
⑤方程$(x+1)(x-1)=x^2+4x$：先展开左边得$x^2-1$，移项整理后为$-4x-1=0$，不含二次项，不是一元二次方程。
综上，是一元二次方程的有③④，共2个，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的概念、整式方程判定、方程化简
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，易错点有三处：一是忽略含字母系数的二次项系数不能为0的要求；二是误将分式方程判定为整式方程；三是对可化简的方程未整理就直接根据原式形式判断，解题时需避开这些误区。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程的个数，首先需明确一元二次方程的判定标准：1.是整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时按照上述标准逐个排查给出的5个方程，排除不符合的，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
先明确一元二次方程需同时满足三个条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。逐个分析如下：
①方程$ax^2+bx+c=0$：未说明$a≠0$，当$a=0$时方程最高次数为1，不是一元二次方程；
②方程$x^2+\frac{3}{x}=6$：分母含未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程；
③方程$x^2-1=0$：同时满足三个判定条件，是一元二次方程；
④方程$x=3x^2$：整理得$3x^2-x=0$，同时满足三个判定条件，是一元二次方程；
⑤方程$(x+1)(x-1)=x^2+4x$：先展开左边得$x^2-1$，移项整理后为$-4x-1=0$，不含二次项，不是一元二次方程。
综上，是一元二次方程的有③④，共2个，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的概念、整式方程判定、方程化简
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，易错点有三处：一是忽略含字母系数的二次项系数不能为0的要求；二是误将分式方程判定为整式方程；三是对可化简的方程未整理就直接根据原式形式判断，解题时需避开这些误区。
【难度系数】
0.7
2[2025江苏南京期中]已知关于x的方程$(n-2)x^{|3n-4|}+3nx+3=0$是一元二次方程，则$n=$
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
，这个一元二次方程是$\boldsymbol{-\frac{4}{3}x^2 + 2x + 3 = 0}$
。答案
2.$\frac{2}{3}$、$-\frac{4}{3}x^2+2x+3=0$ 【解析】
∵ 方程 $(n-2)x^{|3n-4|}+3nx+3=0$ 是一元二次方程,
∴ $n-2≠0$,$|3n-4|=2$,
∴ $n=\frac{2}{3}$,
∴ 这个方程为 $-\frac{4}{3}x^2+2x+3=0$,故答案为 $\frac{2}{3},-\frac{4}{3}x^2+2x+3=0$.
∵ 方程 $(n-2)x^{|3n-4|}+3nx+3=0$ 是一元二次方程,
∴ $n-2≠0$,$|3n-4|=2$,
∴ $n=\frac{2}{3}$,
∴ 这个方程为 $-\frac{4}{3}x^2+2x+3=0$,故答案为 $\frac{2}{3},-\frac{4}{3}x^2+2x+3=0$.
解析
【分析】
要确定n的值和对应的一元二次方程，需结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程有两个核心要求，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不为0。据此可列出关于n的等式与不等式，求解得到n的取值后，代入原方程即可得到对应的一元二次方程。
【解析】
∵ 关于x的方程$(n-2)x^{|3n-4|}+3nx+3=0$是一元二次方程
∴ 需同时满足两个条件：$\begin{cases}n-2≠0 \quad \mathrm{（保证二次项系数不为0）} \\ |3n-4|=2 \quad \mathrm{（保证未知数最高次数为2）}\end{cases}$
先解绝对值方程$|3n-4|=2$：
当$3n-4=2$时，$3n=6$，解得$n=2$；
当$3n-4=-2$时，$3n=2$，解得$n=\frac{2}{3}$。
结合$n-2≠0$即$n≠2$，排除$n=2$，可得$n=\frac{2}{3}$。
将$n=\frac{2}{3}$代入原方程：
二次项系数为$\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3}$，一次项系数为$3×\frac{2}{3}=2$，
∴ 这个一元二次方程为$-\frac{4}{3}x^2+2x+3=0$。
【答案】
$\frac{2}{3}$；$-\frac{4}{3}x^2+2x+3=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的概念
2. 绝对值方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，直接保留n=2的错误结果，求解时要特别注意对所求参数值的检验。
【难度系数】
0.7
要确定n的值和对应的一元二次方程，需结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程有两个核心要求，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不为0。据此可列出关于n的等式与不等式，求解得到n的取值后，代入原方程即可得到对应的一元二次方程。
【解析】
∵ 关于x的方程$(n-2)x^{|3n-4|}+3nx+3=0$是一元二次方程
∴ 需同时满足两个条件：$\begin{cases}n-2≠0 \quad \mathrm{（保证二次项系数不为0）} \\ |3n-4|=2 \quad \mathrm{（保证未知数最高次数为2）}\end{cases}$
先解绝对值方程$|3n-4|=2$：
当$3n-4=2$时，$3n=6$，解得$n=2$；
当$3n-4=-2$时，$3n=2$，解得$n=\frac{2}{3}$。
结合$n-2≠0$即$n≠2$，排除$n=2$，可得$n=\frac{2}{3}$。
将$n=\frac{2}{3}$代入原方程：
二次项系数为$\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3}$，一次项系数为$3×\frac{2}{3}=2$，
∴ 这个一元二次方程为$-\frac{4}{3}x^2+2x+3=0$。
【答案】
$\frac{2}{3}$；$-\frac{4}{3}x^2+2x+3=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的概念
2. 绝对值方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，直接保留n=2的错误结果，求解时要特别注意对所求参数值的检验。
【难度系数】
0.7
3[2025江苏宿迁质检]将一元二次方程$x(x+4)=5x-3$化为一般形式,正确的是 (
A.$x^2 -x +3=0$
B.$x^2 +4x -3=0$
C.$x^2 +x -3=0$
D.$x^2 -4x +3=0$
A
)A.$x^2 -x +3=0$
B.$x^2 +4x -3=0$
C.$x^2 +x -3=0$
D.$x^2 -4x +3=0$
答案
3.A 【解析】
∵ $x(x+4)=5x-3$,
∴ $x^2+4x=5x-3$,
∴ $x^2-x+3=0$,故选 A.
∵ $x(x+4)=5x-3$,
∴ $x^2+4x=5x-3$,
∴ $x^2-x+3=0$,故选 A.
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）。解题思路为：先展开方程左侧的乘积，再通过移项将所有项移到等号左侧（移项需变号），最后合并同类项整理成一般形式，对应选项即可得到答案。
【解析】
对原方程$x(x+4)=5x-3$第一步去括号，得：
$x^2+4x=5x-3$
第二步移项，将右侧所有项移到左侧并变号，得：
$x^2+4x-5x+3=0$
第三步合并同类项，得：
$x^2 -x +3=0$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式化简运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题的关键是熟练掌握去括号、移项变号、合并同类项的基本运算规则，常见易错点为移项时忘记改变符号。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）。解题思路为：先展开方程左侧的乘积，再通过移项将所有项移到等号左侧（移项需变号），最后合并同类项整理成一般形式，对应选项即可得到答案。
【解析】
对原方程$x(x+4)=5x-3$第一步去括号，得：
$x^2+4x=5x-3$
第二步移项，将右侧所有项移到左侧并变号，得：
$x^2+4x-5x+3=0$
第三步合并同类项，得：
$x^2 -x +3=0$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式化简运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题的关键是熟练掌握去括号、移项变号、合并同类项的基本运算规则，常见易错点为移项时忘记改变符号。
【难度系数】
0.9
4[2025上海宝山区期中]若一元二次方程$3x^2 -2 = x +4$的二次项系数为3，则该方程的常数项是
$\boldsymbol{-6}$
。答案
4.-6 【解析】$3x^2-2=x+4$ 化为一般形式为 $3x^2-x-6=0$,若二次项系数为 3,则该方程的常数项是-6,故答案为-6.
解析
【分析】
要确定一元二次方程的常数项，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$c$就是常数项。解题时首先要将给定的方程通过移项、合并同类项整理为一般形式，移项时注意改变移动项的符号，整理后题目已经说明二次项系数为3，无需调整系数，可直接提取常数项。
【解析】
对原方程进行整理：
原方程：$3x^2 - 2 = x + 4$
移项（将右侧所有项移到左侧，移动项变号）：$3x^2 - 2 - x - 4 = 0$
合并同类项：$3x^2 - x - 6 = 0$
该式为一元二次方程的一般形式，二次项系数为3符合题目要求，其中不含未知数的常数项为$-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式 2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查一元二次方程一般形式的化简，解题的易错点是移项时忘记改变符号，只要注意符号变化就能轻松得分。
【难度系数】
0.85
要确定一元二次方程的常数项，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$c$就是常数项。解题时首先要将给定的方程通过移项、合并同类项整理为一般形式，移项时注意改变移动项的符号，整理后题目已经说明二次项系数为3，无需调整系数，可直接提取常数项。
【解析】
对原方程进行整理：
原方程：$3x^2 - 2 = x + 4$
移项（将右侧所有项移到左侧，移动项变号）：$3x^2 - 2 - x - 4 = 0$
合并同类项：$3x^2 - x - 6 = 0$
该式为一元二次方程的一般形式，二次项系数为3符合题目要求，其中不含未知数的常数项为$-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式 2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查一元二次方程一般形式的化简，解题的易错点是移项时忘记改变符号，只要注意符号变化就能轻松得分。
【难度系数】
0.85
5[2025 江苏淮安调研]若一元二次方程$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$化为一般形式后为$2x^2 - 3x - 1 = 0$，则$\dfrac{a+b}{c}$的值为
$\boldsymbol{-\frac{3}{2}}$
。答案
5.$-\frac{3}{2}$ 【解析】
∵ $a(x-1)^2+b(x-1)+c=0$,
∴ $ax^2-2ax+a+bx-b+c=0$,
∴ $ax^2-(2a-b)x+a-b+c=0$.
∵ 原方程化为一般形式后为 $2x^2-3x-1=0$,
∴ $\begin{cases}a=2,\\2a-b=3,\\a-b+c=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2,\\b=1,\\c=-2,\end{cases}$
∴ $\frac{a+b}{c}=\frac{2+1}{-2}=-\frac{3}{2}$,故答案为 $-\frac{3}{2}$.
∵ $a(x-1)^2+b(x-1)+c=0$,
∴ $ax^2-2ax+a+bx-b+c=0$,
∴ $ax^2-(2a-b)x+a-b+c=0$.
∵ 原方程化为一般形式后为 $2x^2-3x-1=0$,
∴ $\begin{cases}a=2,\\2a-b=3,\\a-b+c=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2,\\b=1,\\c=-2,\end{cases}$
∴ $\frac{a+b}{c}=\frac{2+1}{-2}=-\frac{3}{2}$,故答案为 $-\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需将含$(x-1)$的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再与给出的一般形式$2x^2-3x-1=0$对比，根据多项式相等时对应同类项的系数相等，列出关于$a、b、c$的方程组，求解得到三个参数的值，最后代入代数式$\dfrac{a+b}{c}$计算即可。
【解析】
先展开整理方程左边：
$\because a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$
展开完全平方得：$a(x^2-2x+1)+bx-b+c=0$
去括号：$ax^2-2ax+a+bx-b+c=0$
合并同类项整理为一元二次方程一般形式：$ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c) = 0$
$\because$原方程化为一般形式后为$2x^2-3x-1=0$，对应同类项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}a=2\\-2a + b = -3\\a - b + c = -1\end{cases}$
解方程组：
将$a=2$代入$-2a + b = -3$，得$-4 + b = -3$，解得$b=1$；
将$a=2、b=1$代入$a - b + c = -1$，得$2-1+c=-1$，解得$c=-2$。
将$a=2、b=1、c=-2$代入$\dfrac{a+b}{c}$得：
$\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{2+1}{-2}=-\dfrac{3}{2}$
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程一般形式，同类项系数相等，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握一元二次方程的化简方法，理解多项式相等时对应项系数相等的性质，计算过程中要注意符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需将含$(x-1)$的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再与给出的一般形式$2x^2-3x-1=0$对比，根据多项式相等时对应同类项的系数相等，列出关于$a、b、c$的方程组，求解得到三个参数的值，最后代入代数式$\dfrac{a+b}{c}$计算即可。
【解析】
先展开整理方程左边：
$\because a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$
展开完全平方得：$a(x^2-2x+1)+bx-b+c=0$
去括号：$ax^2-2ax+a+bx-b+c=0$
合并同类项整理为一元二次方程一般形式：$ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c) = 0$
$\because$原方程化为一般形式后为$2x^2-3x-1=0$，对应同类项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}a=2\\-2a + b = -3\\a - b + c = -1\end{cases}$
解方程组：
将$a=2$代入$-2a + b = -3$，得$-4 + b = -3$，解得$b=1$；
将$a=2、b=1$代入$a - b + c = -1$，得$2-1+c=-1$，解得$c=-2$。
将$a=2、b=1、c=-2$代入$\dfrac{a+b}{c}$得：
$\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{2+1}{-2}=-\dfrac{3}{2}$
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程一般形式，同类项系数相等，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握一元二次方程的化简方法，理解多项式相等时对应项系数相等的性质，计算过程中要注意符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
6[2026江苏苏州调研]若$m$是方程$2x^2 -3x -1=0$的一个根，则$6m^2 -9m +2025$的值为（
A.2026
B.2027
C.2028
D.2029
C
）A.2026
B.2027
C.2028
D.2029
答案
6.C 【解析】
∵ $m$ 是方程 $2x^2-3x-1=0$ 的一个根,
∴ $2m^2-3m-1=0$,
∴ $2m^2-3m=1$,
∴ $6m^2-9m+2025=3(2m^2-3m)+2025=3×1+2025=2028$,故选 C.
∵ $m$ 是方程 $2x^2-3x-1=0$ 的一个根,
∴ $2m^2-3m-1=0$,
∴ $2m^2-3m=1$,
∴ $6m^2-9m+2025=3(2m^2-3m)+2025=3×1+2025=2028$,故选 C.
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根m代入原方程，得到关于m的整式关系；再观察所求代数式的结构，发现$6m^2-9m$是$2m^2-3m$的3倍，因此不需要求解m的具体值，采用整体代入的方法就能快速算出结果，避免复杂计算。
【解析】
∵ $m$ 是方程 $2x^2-3x-1=0$ 的一个根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$2m^2-3m-1=0$，
整理得：$2m^2-3m=1$，
对所求代数式变形可得：
$6m^2-9m+2025=3(2m^2-3m)+2025$，
将$2m^2-3m=1$代入上式：
原式$=3×1+2025=2028$，
故选C。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入法求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查整体代入的数学思想，无需计算根的具体数值，通过观察代数式与方程所得式子的倍数关系代入计算即可，解题时注意不要盲目解方程，可降低计算量和出错率。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根m代入原方程，得到关于m的整式关系；再观察所求代数式的结构，发现$6m^2-9m$是$2m^2-3m$的3倍，因此不需要求解m的具体值，采用整体代入的方法就能快速算出结果，避免复杂计算。
【解析】
∵ $m$ 是方程 $2x^2-3x-1=0$ 的一个根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$2m^2-3m-1=0$，
整理得：$2m^2-3m=1$，
对所求代数式变形可得：
$6m^2-9m+2025=3(2m^2-3m)+2025$，
将$2m^2-3m=1$代入上式：
原式$=3×1+2025=2028$，
故选C。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入法求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查整体代入的数学思想，无需计算根的具体数值，通过观察代数式与方程所得式子的倍数关系代入计算即可，解题时注意不要盲目解方程，可降低计算量和出错率。
【难度系数】
0.8
7 已知$x=2$是方程$\frac{3}{2}x^2 -2a=0$的一个解，则一次函数$y=ax-1$的图象不经过第
二
象限。答案
7.二 【解析】把 $x=2$ 代入方程 $\frac{3}{2}x^2-2a=0$,得 $\frac{3}{2}×2^2-2a=0$,解得 $a=3$. 由于 $a=3＞0,-1＜0$,所以一次函数 $y=ax-1$ 的图象经过第一、三、四象限,不经过第二象限. 故答案为二.
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，根据方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，所以把已知的解x=2代入一元二次方程，就能得到只含参数a的一元一次方程，解出a的值；第二步，把a代入一次函数解析式，根据一次函数y=kx+b中k、b的正负和图象经过象限的对应规律，即可判断出函数不经过的象限。
【解析】
1. 求参数a的值：
把$x=2$代入方程$\frac{3}{2}x^2 -2a=0$，可得：
$\frac{3}{2}×2^2 -2a=0$
计算得$\frac{3}{2}×4 -2a=0$，即$6-2a=0$，解得$a=3$。
2. 判断一次函数经过的象限：
将$a=3$代入一次函数$y=ax-1$，得解析式为$y=3x-1$。
其中一次项系数$k=3＞0$，因此函数图象过第一、三象限；常数项$b=-1＜0$，因此函数图象与y轴交于负半轴，还过第四象限。
综上，该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
方程的解的定义，解一元一次方程，一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，结合了方程解的应用和一次函数图象性质两个板块的知识，解题核心是先通过方程求出未知参数，再结合一次函数的性质判断图象位置，掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步思考：第一步，根据方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，所以把已知的解x=2代入一元二次方程，就能得到只含参数a的一元一次方程，解出a的值；第二步，把a代入一次函数解析式，根据一次函数y=kx+b中k、b的正负和图象经过象限的对应规律，即可判断出函数不经过的象限。
【解析】
1. 求参数a的值：
把$x=2$代入方程$\frac{3}{2}x^2 -2a=0$，可得：
$\frac{3}{2}×2^2 -2a=0$
计算得$\frac{3}{2}×4 -2a=0$，即$6-2a=0$，解得$a=3$。
2. 判断一次函数经过的象限：
将$a=3$代入一次函数$y=ax-1$，得解析式为$y=3x-1$。
其中一次项系数$k=3＞0$，因此函数图象过第一、三象限；常数项$b=-1＜0$，因此函数图象与y轴交于负半轴，还过第四象限。
综上，该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
方程的解的定义，解一元一次方程，一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，结合了方程解的应用和一次函数图象性质两个板块的知识，解题核心是先通过方程求出未知参数，再结合一次函数的性质判断图象位置，掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8[2026北京海淀区质检]两个连续的自然数的平方和为41，设较小的自然数为x，根据题意列出方程为
$\boldsymbol{x^2+(x+1)^2=41}$
。答案
8.$x^2+(x+1)^2=41$ 【解析】因为两个连续的自然数中较小的自然数为 $x$,则较大的自然数为 $x+1$,所以 $x^2+(x+1)^2=41$. 故答案为 $x^2+(x+1)^2=41$.
解析
【分析】
解题时首先明确两个连续自然数的关系：相邻两个自然数相差1，已知较小的自然数为x，那么较大的自然数就可以表示为x+1。其次理解“平方和”的含义，即两个数分别平方之后再相加，结合平方和为41的等量关系，即可列出对应的方程。
【解析】
已知较小的自然数为x，因为两个数是连续自然数，所以较大的自然数为x+1。
根据“两个连续自然数的平方和为41”的等量关系，可列方程：
$x^2 + (x+1)^2 = 41$
【答案】
$x^2+(x+1)^2=41$
【知识点】
列一元二次方程，连续自然数的表示，平方和的概念
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查根据文字描述列方程的能力，解题的关键是正确表示连续自然数，注意区分“平方和”与“和的平方”的差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确两个连续自然数的关系：相邻两个自然数相差1，已知较小的自然数为x，那么较大的自然数就可以表示为x+1。其次理解“平方和”的含义，即两个数分别平方之后再相加，结合平方和为41的等量关系，即可列出对应的方程。
【解析】
已知较小的自然数为x，因为两个数是连续自然数，所以较大的自然数为x+1。
根据“两个连续自然数的平方和为41”的等量关系，可列方程：
$x^2 + (x+1)^2 = 41$
【答案】
$x^2+(x+1)^2=41$
【知识点】
列一元二次方程，连续自然数的表示，平方和的概念
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查根据文字描述列方程的能力，解题的关键是正确表示连续自然数，注意区分“平方和”与“和的平方”的差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
9[2025江苏泰州质检]根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式(二次项系数化为1).
(1)用一根长30 cm的铁丝折成一个斜边长为13 cm的直角三角形，求这个直角三角形的直角边长(设这个直角三角形其中一条直角边长为x cm)；
(2)某班同学之间为了相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌595次，求本班有多少名同学(设本班有x名同学).
刷易错 ....................小心有坑~
(1)用一根长30 cm的铁丝折成一个斜边长为13 cm的直角三角形，求这个直角三角形的直角边长(设这个直角三角形其中一条直角边长为x cm)；
(2)某班同学之间为了相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌595次，求本班有多少名同学(设本班有x名同学).
刷易错 ....................小心有坑~
答案
9.【解】(1)根据题意得 $x^2+(30-13-x)^2=13^2$,化为一般形式为 $x^2-17x+60=0$.
(2)根据题意得 $\frac{1}{2}x(x-1)=595$,化为一般形式为 $x^2-x-1190=0$.
(2)根据题意得 $\frac{1}{2}x(x-1)=595$,化为一般形式为 $x^2-x-1190=0$.
解析
【分析】
(1) 本题为直角三角形边长求解问题，已知铁丝总长即三角形周长和斜边长，首先可算出两条直角边的长度和为$30-13=17\ \mathrm{cm}$，设其中一条直角边为$x\ \mathrm{cm}$，则另一条直角边为$(17-x)\ \mathrm{cm}$，再结合勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”列方程，最后整理成二次项系数为1的一元二次方程一般形式即可。
(2) 本题为握手类计数问题，$x$名同学中每个人需要和其余$(x-1)$人击掌，由于每两人之间的击掌会被重复计算1次，因此总击掌次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合总击掌次数为595次列方程，再化简为要求的一般形式即可。
【解析】
(1) 设该直角三角形其中一条直角边长为$x\ \mathrm{cm}$，则另一条直角边长为$30-13-x=17-x\ (\mathrm{cm})$。
根据勾股定理列方程：
$x^2+(17-x)^2=13^2$
展开得：$x^2+289-34x+x^2=169$
移项、合并同类项得：$2x^2-34x+120=0$
两边同时除以2，将二次项系数化为1，得到一般形式：$x^2-17x+60=0$。
(2) 设本班有$x$名同学。
每两人之间击掌一次，总击掌次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，据此列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=595$
两边同时乘2得：$x(x-1)=1190$
展开、移项得到二次项系数为1的一般形式：$x^2-x-1190=0$。
【答案】
(1) 所列方程为$x^2+(30-13-x)^2=13^2$，一般形式为$x^2-17x+60=0$；
(2) 所列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=595$，一般形式为$x^2-x-1190=0$。
【知识点】
勾股定理应用；一元二次方程实际应用；一元二次方程化简
【点评】
本题结合几何、生活计数场景考查一元二次方程的列写与化简，解题的核心是找准等量关系列方程，化简时注意要将二次项系数化为1，避免出现计算或符号错误。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为直角三角形边长求解问题，已知铁丝总长即三角形周长和斜边长，首先可算出两条直角边的长度和为$30-13=17\ \mathrm{cm}$，设其中一条直角边为$x\ \mathrm{cm}$，则另一条直角边为$(17-x)\ \mathrm{cm}$，再结合勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”列方程，最后整理成二次项系数为1的一元二次方程一般形式即可。
(2) 本题为握手类计数问题，$x$名同学中每个人需要和其余$(x-1)$人击掌，由于每两人之间的击掌会被重复计算1次，因此总击掌次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合总击掌次数为595次列方程，再化简为要求的一般形式即可。
【解析】
(1) 设该直角三角形其中一条直角边长为$x\ \mathrm{cm}$，则另一条直角边长为$30-13-x=17-x\ (\mathrm{cm})$。
根据勾股定理列方程：
$x^2+(17-x)^2=13^2$
展开得：$x^2+289-34x+x^2=169$
移项、合并同类项得：$2x^2-34x+120=0$
两边同时除以2，将二次项系数化为1，得到一般形式：$x^2-17x+60=0$。
(2) 设本班有$x$名同学。
每两人之间击掌一次，总击掌次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，据此列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=595$
两边同时乘2得：$x(x-1)=1190$
展开、移项得到二次项系数为1的一般形式：$x^2-x-1190=0$。
【答案】
(1) 所列方程为$x^2+(30-13-x)^2=13^2$，一般形式为$x^2-17x+60=0$；
(2) 所列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=595$，一般形式为$x^2-x-1190=0$。
【知识点】
勾股定理应用；一元二次方程实际应用；一元二次方程化简
【点评】
本题结合几何、生活计数场景考查一元二次方程的列写与化简，解题的核心是找准等量关系列方程，化简时注意要将二次项系数化为1，避免出现计算或符号错误。
【难度系数】
0.7
10 阅读下列解题过程，判断其中是否有错误，若有，则写出正确的解题过程.
已知关于x的一元二次方程$(m+2)x^2 + 3x + (m^2 - 4) = 0$的一个解是0，求m的值.
解:把$x=0$代入原方程,得$m^2 -4=0$,
解得$m=±2$.
已知关于x的一元二次方程$(m+2)x^2 + 3x + (m^2 - 4) = 0$的一个解是0，求m的值.
解:把$x=0$代入原方程,得$m^2 -4=0$,
解得$m=±2$.
答案
10.【解】有错误. 正确的解题过程如下:
把 $x=0$ 代入原方程,得 $m^2-4=0$,解得 $m=±2$.
∵ $m+2≠0$,
∴ $m≠-2$,
∴ $m=2$.
把 $x=0$ 代入原方程,得 $m^2-4=0$,解得 $m=±2$.
∵ $m+2≠0$,
∴ $m≠-2$,
∴ $m=2$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确题干明确说明该方程是一元二次方程，因此隐含二次项系数不为0的限制条件。已知x=0是方程的解，可先将x=0代入原方程得到关于m的方程，求解出m的所有可能值后，再结合二次项系数不为0的条件对m的取值进行取舍，排除不符合要求的解。原解题过程未考虑一元二次方程的隐含限制条件，导致出现错误的增根。
【解析】
原解题过程有错误，正确解题过程如下：
把$x=0$代入原方程，得$m^2 - 4 = 0$，解得$m = ±2$。
∵ 原方程是关于x的一元二次方程，二次项系数不能为0，
∴ $m + 2 ≠ 0$，即$m ≠ -2$，
∴ $m = 2$。
【答案】
原解题过程有错误，m的值为2。
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的解
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，导致出现多解错误，做题时要注意审题，挖掘题目中的隐含限制条件，对结果进行验证后再确定最终答案。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需明确题干明确说明该方程是一元二次方程，因此隐含二次项系数不为0的限制条件。已知x=0是方程的解，可先将x=0代入原方程得到关于m的方程，求解出m的所有可能值后，再结合二次项系数不为0的条件对m的取值进行取舍，排除不符合要求的解。原解题过程未考虑一元二次方程的隐含限制条件，导致出现错误的增根。
【解析】
原解题过程有错误，正确解题过程如下：
把$x=0$代入原方程，得$m^2 - 4 = 0$，解得$m = ±2$。
∵ 原方程是关于x的一元二次方程，二次项系数不能为0，
∴ $m + 2 ≠ 0$，即$m ≠ -2$，
∴ $m = 2$。
【答案】
原解题过程有错误，m的值为2。
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的解
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，导致出现多解错误，做题时要注意审题，挖掘题目中的隐含限制条件，对结果进行验证后再确定最终答案。
【难度系数】
0.6
