1[2025江苏扬州质检,中]已知关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，若$a-b+c=0$，则此方程必有一个根为（）

A.1
B.0
C.-1
D.-2

1.C 【解析】将 $x=-1$ 代入方程 $ax^2+bx+c=0$,得 $a-b+c=0$,
∴ $x=-1$ 是方程 $ax^2+bx+c=0$ 的一个根. 故选 C.

【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们有两种思路：一是对比已知条件$a-b+c=0$和方程左边$ax^2+bx+c$的结构，寻找$x$取何值时，$ax^2+bx+c$可变形为$a-b+c$的形式；二是将选项中的值逐一代入方程左边，验证是否等于0（即是否等于方程右边），符合的就是方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义验证：
当$x=-1$时，代入方程$ax^2+bx+c=0$的左边可得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$
已知$a-b+c=0$，即此时方程左边=右边，因此$x=-1$是该一元二次方程的一个根。
也可逐一验证其余选项：
代入$x=1$，左边为$a+b+c$，不符合条件；
代入$x=0$，左边为$c$，不符合条件；
代入$x=-2$，左边为$4a-2b+c$，不符合条件。
综上本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，解题关键是理解根的定义，既可以通过结构匹配快速推导，也可以用代入验证法求解，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

2[2025江苏连云港期中,中]若关于x的一元二次方程$ax^2 - bx = c$（$ac≠0$）的一个实数根为2024，则方程$cx^2 + bx = a$（$ac≠0$）一定有实数根
（）

A.2024
B.$-\dfrac{1}{2024}$
C.-2024
D.$\dfrac{1}{2024}$

2.D 【解析】
∵ 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2-bx=c$（$ac≠0$）的一个实数根为 2024,
∴ $2024^2a-2024b=c$,
∴ $a-\frac{b}{2024}=\frac{c}{2024^2}$,
∴ $\frac{c}{2024^2}+\frac{b}{2024}=a$,
∴ $(\frac{1}{2024})^2c+\frac{1}{2024}b=a$,
∴ $x=\frac{1}{2024}$ 是方程 $cx^2+bx=a(ac≠0)$ 的一个实数根,故选 D.

【分析】
遇到已知方程的根求相关方程的根的问题时，首先利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到各系数之间的等量关系；再观察待求方程的结构，对得到的系数关系式做合理变形，使之匹配待求方程的形式，即可直接得到待求方程的根。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$ax^2 - bx = c$（$ac≠0$）的一个实数根为2024，
∴ 将$x=2024$代入原方程得：$2024^2 a - 2024 b = c$，
∵ $ac≠0$，可知$2024≠0$，将上式两边同时除以$2024^2$，得：
$a - \dfrac{b}{2024} = \dfrac{c}{2024^2}$，
移项整理可得：$c· (\dfrac{1}{2024})^2 + b· \dfrac{1}{2024} = a$，
该式符合方程$cx^2 + bx = a$的结构，因此$x=\dfrac{1}{2024}$是方程$cx^2 + bx = a$（$ac≠0$）的一个实数根。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.等式的性质
【点评】
本题侧重考查一元二次方程根的定义的灵活应用，解题核心是通过已知根得到系数间的关系，再根据两个方程的结构差异对等式做合理变形，整体侧重对概念理解和变形能力的考查。
【难度系数】
0.7

3[2025江苏无锡质检，较难]已知方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的根是$x_1 = 1, x_2 = -3$，则方程$(2x + 3)^2 + 2(2x + 3) - 3 = 0$的根是（）

A.-1或3
B.1或3
C.-1或-3
D.1或-3

3.C 【解析】
∵ 方程 $x^2+2x-3=0$ 的根是 $x_1=1,x_2=-3$,
∴ $(2x+3)^2+2(2x+3)-3=0$ 的根满足 $2x+3=1$ 或 $2x+3=-3$,
∴ $x=-1$ 或 $x=-3$,故选 C.

【分析】
观察两个方程的结构，发现除了未知数部分分别为$x$和$(2x+3)$外，其余表达式完全相同，因此可运用整体换元的思路，将$2x+3$看作一个整体，该整体的取值就是已知方程的两个根，无需展开所求方程计算，只需令$2x+3$分别等于两个已知根，解对应的一元一次方程即可得到结果，大幅简化运算。
【解析】
∵ 方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的根是$x_1=1, x_2=-3$，
∴ 方程$(2x + 3)^2 + 2(2x + 3) - 3 = 0$中，将$2x+3$看作整体，可得$2x+3=1$或$2x+3=-3$，
解$2x+3=1$，移项得$2x=1-3=-2$，解得$x=-1$；
解$2x+3=-3$，移项得$2x=-3-3=-6$，解得$x=-3$，
因此所求方程的根为$x=-1$或$x=-3$，故选C。
【答案】C
【知识点】
换元法解方程；一元二次方程根的定义
【点评】
本题核心考查整体换元的数学思想，针对结构完全相同的方程，可通过替换未知部分直接利用已知结果求解，避免展开运算带来的计算失误，是处理同结构方程的常用技巧。
【难度系数】
0.6

4[中]已知$m$为方程$x^2 + 3x - 2023 = 0$的根，则$m^3 + 2m^2 - 2026m - 2023$的值为。

4.-4046 【解析】
∵ $m$ 为方程 $x^2+3x-2023=0$ 的根,
∴ $m^2+3m-2023=0$,
∴ $m^2=-3m+2023$,$-m^2-3m=-2023$,
∴ $m^3=m(-3m+2023)=-3m^2+2023m$,
∴ $m^3+2m^2-2026m-2023=-3m^2+2023m+2m^2-2026m-2023=-m^2-3m-2023=-2023-2023=-4046$. 故答案为-4046.

【分析】
本题是一元二次方程根相关的求值题，解题核心思路是降次与整体代入：首先根据方程根的定义，将m代入方程得到关于m的二次等式，由于所求代数式是三次式，我们可以利用得到的二次等式将三次项降为二次式，再代入所求代数式合并化简，最后整体代入已知的等量关系即可求出结果，无需直接求解m的具体值，能大幅简化运算。
【解析】
∵ $m$ 为方程 $x^2+3x-2023=0$ 的根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2+3m-2023=0$，
由此可得：$m^2=-3m+2023$，$-m^2-3m=-2023$，
对三次项降次得：$m^3=m· m^2=m(-3m+2023)=-3m^2+2023m$，
将$m^3=-3m^2+2023m$代入所求代数式：
$\begin{aligned}m^3 + 2m^2 - 2026m - 2023&=-3m^2 + 2023m + 2m^2 - 2026m - 2023\\&=-m^2 - 3m - 2023\end{aligned}$
再将$-m^2-3m=-2023$整体代入上式：
原式$=-2023-2023=-4046$
【答案】
-4046
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
3. 降次化简
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的常考题型，解题的关键是掌握降次思想，将高次多项式转化为可利用已知条件整体代入的形式，避免了求解方程根带来的复杂运算，考查了代数式变形和整体运算能力。
【难度系数】
0.6

5 新考向传统文化 [2025 江苏连云港期中,中]小明同学是一位古诗文的爱好者,在学习了一元二次方程这一章后,改编了诗词《念奴娇·赤壁怀古》:“大江东去浪淘尽,千古风流人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿同.哪位学子算得快,多少年华数周瑜?”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x,则可列方程为.

5.$10x+(x+3)=(x+3)^2$ 【解析】
∵ 周瑜去世时年龄的十位数字是 $x$,
∴ 个位上的数字是 $x+3$. 由题意可得 $10x+(x+3)=(x+3)^2$. 故答案为 $10x+(x+3)=(x+3)^2$.

【分析】
解题时首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。首先根据“十位恰小个位三”的条件，结合设的十位数字是x，推导得出个位数字为x+3；再用代数式表示出周瑜的年龄；最后抓住“个位平方与寿同”的等量关系，即可列出对应的方程。
【解析】
已知周瑜去世时年龄的十位数字是x，
∵十位数字比个位数字小3，
∴个位数字为 $x+3$，
∴这个两位数的年龄可表示为 $10x+(x+3)$，
又
∵个位数字的平方与年龄相等，
∴可列方程为 $10x+(x+3)=(x+3)^2$。
【答案】
$10x+(x+3)=(x+3)^2$
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 两位数的表示
3. 等量关系分析
【点评】
本题结合传统文化古诗文考查一元二次方程的实际应用，题型新颖有趣，解题核心是熟练掌握两位数的代数式表示方法，准确提取题干中的等量关系。
【难度系数】
0.7

6[2026黑龙江绥化期末,中]已知下面三个关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，$bx^2+cx+a=0$，$cx^2+ax+b=0$恰好有一个相同的实数根a，则$a+b+c$的值为。

6.0 【解析】把 $x=a$ 代入 $ax^2+bx+c=0$,$bx^2+cx+a=0$,$cx^2+ax+b=0$ 得 $a×a^2+ab+c=0$,① $b×a^2+ac+a=0$,② $c×a^2+a×a+b=0$,③ ①+②+③得 $(a+b+c)a^2+(b+c+a)a+(a+b+c)=0$,
∴ $(a+b+c)(a^2+a+1)=0$.
∵ $a^2+a+1=(a+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}≠0$,
∴ $a+b+c=0$,故答案为 0.

【分析】
首先根据一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，代入方程可使等式成立。本题已知三个方程的公共实数根为a，第一步将x=a分别代入三个方程，得到三个关于a、b、c的等式；再观察三个等式的结构，将三个等式左右两边分别相加，整理后提取公因式(a+b+c)，得到两个因式相乘为0的形式；最后对另一个因式配方，判断其取值恒大于0，即可推出a+b+c的值。
【解析】
把$x=a$分别代入三个一元二次方程，可得：
$a· a^2 + b· a + c = 0$ ①
$b· a^2 + c· a + a = 0$ ②
$c· a^2 + a· a + b = 0$ ③
将①+②+③，合并同类项得：
$(a+b+c)a^2 + (a+b+c)a + (a+b+c) = 0$
提取公因式$(a+b+c)$，得：
$(a+b+c)(a^2 + a + 1) = 0$
对$a^2 + a + 1$配方可得：$a^2 + a + 1 = (a+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$，
∵$(a+\frac{1}{2})^2 ≥ 0$，
∴$(a+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} ≥ \frac{3}{4} ＞ 0$，即$a^2 + a + 1 ≠ 0$，
∴$a+b+c=0$。
【答案】
0
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.因式分解 3.配方法
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用题型，解题核心是利用方程根的性质代入公共根，再通过整体相加、提取公因式的方法转化问题，解题过程用到了整体思想，需要熟练掌握用配方判断代数式取值范围的方法。
【难度系数】
0.6

7[中]如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第n个图形共有210个小球，则可列方程为。

7.$\frac{n(n+1)}{2}=210$ 【解析】第1个图形中有1个小球;第2个图形中有3个小球,$3=1+2$;第3个图形中有6个小球,$6=1+2+3$;第4个图形中有10个小球,$10=1+2+3+4$;…,照此规律,第 $n$ 个图形中有 $1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ 个小球. 由第 $n$ 个图形共有 210 个小球可得 $\frac{n(n+1)}{2}=210$,故答案为 $\frac{n(n+1)}{2}=210$.

【分析】
解决本题需先从已知的前几个图形入手找规律：首先依次统计第1、2、3、4个图形的小球数量，对比发现第n个图形的小球总数等于从1到n的所有正整数之和；再利用正整数求和公式写出第n个图形的小球数量表达式；最后结合“第n个图形共有210个小球”的条件，即可列出对应方程。
【解析】
观察图形可知：
第1个图形中小球数量为1；
第2个图形中小球数量为$3=1+2$；
第3个图形中小球数量为$6=1+2+3$；
第4个图形中小球数量为$10=1+2+3+4$；
以此类推，第n个图形中小球的总数量为$1+2+3+\dots+n$，根据求和公式可得总数量为$\frac{n(n+1)}{2}$。
已知第n个图形共有210个小球，因此可列方程为$\frac{n(n+1)}{2}=210$。
【答案】
$\frac{n(n+1)}{2}=210$
【知识点】
图形规律探究、等差数列求和、列方程
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是通过观察特殊图形归纳出数量与序号的一般规律，再结合已知条件列方程，能有效考查学生的观察归纳能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.65

8 [中]若m是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的一个根，则代数式$m - \dfrac{1}{m}$的值为。

8.$\pm\sqrt{5}$ 【解析】
∵ $m$ 是一元二次方程 $x^2-3x+1=0$ 的一个根,
∴ $m^2-3m+1=0$,且 $m≠0$,
∴ $m-3+\frac{1}{m}=0$,
∴ $m+\frac{1}{m}=3$,
∴ $(m+\frac{1}{m})^2=9$,即 $m^2+2+\frac{1}{m^2}=9$,
∴ $m^2-2+\frac{1}{m^2}=5$,
∴ $(m-\frac{1}{m})^2=5$,
∴ $m-\frac{1}{m}=\pm\sqrt{5}$. 故答案为 $\pm\sqrt{5}$.

【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将m代入方程得到等式；由于m=0代入原方程不成立，因此m≠0，可将等式两边同时除以m，变形得到$m+\frac{1}{m}$的值；接下来要求$m-\frac{1}{m}$，可利用完全平方公式的变形关系：$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，此处a=m，b=$\frac{1}{m}$，ab=1，先求出$(m-\frac{1}{m})^2$的值，最后开平方即可得到结果，注意开平方时有正负两个解。
【解析】
∵ m是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的一个根，
∴ 将x=m代入方程得：$m^2 - 3m + 1 = 0$，且$m≠0$（若$m=0$，左边=1≠0，不符合等式），
将等式两边同时除以m，得：$m - 3 + \dfrac{1}{m} = 0$，
整理得：$m + \dfrac{1}{m} = 3$，
将等式两边同时平方，得：$(m + \dfrac{1}{m})^2 = 9$，
展开得：$m^2 + 2 + \dfrac{1}{m^2} = 9$，即$m^2 + \dfrac{1}{m^2} = 7$，
对目标式变形：$(m - \dfrac{1}{m})^2 = m^2 - 2 + \dfrac{1}{m^2} = 7 - 2 = 5$，
开平方得：$m - \dfrac{1}{m} = \pm\sqrt{5}$。
【答案】
$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.完全平方公式
3.代数式求值
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的定义的应用和完全平方公式的恒等变形技巧，解题的核心是通过对原方程的合理变形得到$m+\frac{1}{m}$的值，再利用完全平方公式的变形求解目标式，需要注意开平方时不要漏解负的结果。
【难度系数】
0.6

9[2026江苏无锡调研,较难]某农场利用围墙,用总长80米的栅栏围成了如图所示的①②③三块矩形区域,若这三块区域的面积都相等,且总区域ABCD的面积为252平方米,设AB = x米,试列出方程:.(化成一元二次方程的一般形式,且二次项系数为1)

刷素养 走向重高

9.$x^2-40x+336=0$ 【解析】
∵ 三块矩形区域的面积相等,
∴ 矩形 $CDEG$ 的面积是矩形 $ABGE$ 面积的 2 倍,
∴ $2BG·EG=EG·GC$,
∴ $2BG=GC$. 设 $BG=a$,则 $CG=2a$,$BC=3a$. 由题意得 $2x+2a+3·2a=80$,
∴ $a=10-\frac{1}{4}x$,
∴ $BC=30-\frac{3}{4}x$.
∵ 总区域 $ABCD$ 的面积为 252 平方米,
∴ $S_{矩形ABCD}=AB·BC=(30-\frac{3}{4}x)·x=252$,即 $252=-\frac{3}{4}x^2+30x$,
∴ $x^2-40x+336=0$. 故答案为 $x^2-40x+336=0$.

【分析】
解题时可按以下思路推导：首先根据三块矩形面积相等的条件推导边的关系：右边两块面积和是左边的2倍，且右边两块面积相等，可得竖直方向上$EF=FG=\frac{1}{2}AB$，水平方向上$GC=2BG$，进而得到BC与BG的数量关系；其次统计栅栏的总组成，结合栅栏总长80米的条件，用含x的代数式表示出BG，进而得到BC的表达式；最后根据矩形ABCD的面积为252平方米，代入面积公式列方程，整理为二次项系数为1的一般形式即可。
【解析】
解：
∵三块矩形区域的面积相等，
∴右边②、③的面积和是左边①面积的2倍，且②和③面积相等，
由此可得：竖直方向上$EF=FG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x$，水平方向上$GC=2BG$。
设$BG=a$，则$GC=2a$，$BC=BG+GC=3a$。
统计栅栏总长度：竖直方向栅栏有AB、EG，共2段，总长度为$2x$米；水平方向栅栏有AD（长$3a$）、中间分隔线FK（长$2a$）、BC（长$3a$），总长度为$3a+2a+3a=8a$米。
根据栅栏总长为80米，列等式：
$2x + 8a = 80$
化简得$x + 4a = 40$，解得$a=10-\frac{1}{4}x$，
因此$BC=3a=3(10-\frac{1}{4}x)=30-\frac{3}{4}x$。
已知矩形ABCD的面积为252平方米，由矩形面积公式$S_{ABCD}=AB·BC$，代入得：
$x·(30-\frac{3}{4}x)=252$
整理方程：
$30x - \frac{3}{4}x^2 = 252$
两边同时乘4消去分母：$120x - 3x^2 = 1008$
两边同时除以$-3$，使二次项系数为1，得到一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 40x + 336 = 0$
【答案】
$x^2-40x+336=0$
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形的面积，列代数式
【点评】
本题属于一元二次方程的实际应用问题，解题的核心是根据面积相等的条件梳理清楚各边的数量关系，准确统计栅栏的组成部分，避免漏算或多算边的长度，再结合已知条件列方程化简即可。
【难度系数】
0.4

10 思想方法 数形结合 [2025江苏南通调研,较难]
如图所示,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED的边长,易知$AE=\sqrt{2}c$,这时我们把关于x的形如$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问题:
(1)试判断方程$x^2+2x+1=0$是否为“勾系一元二次方程”.
(2)若$x=-1$是“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$的一个根,且四边形ACDE的周长是12,求△ABC的面积.

10.【解】(1)根据定义,方程 $x^2+2x+1=0$ 变形为 $x^2+\sqrt{2}×\sqrt{2}x+1=0$,得到 $a=1,b=1,c=\sqrt{2}$.
∵ $a^2+b^2=c^2$,
∴ 方程 $x^2+2x+1=0$ 是“勾系一元二次方程”.
(2)
∵ $x=-1$ 是“勾系一元二次方程” $ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$ 的一个根,
∴ $a-\sqrt{2}c+b=0$,
∴ $a+b=\sqrt{2}c$.
∵ 四边形 $ACDE$ 的周长是 12,
∴ $2a+2b+\sqrt{2}c=12$,
∴ $a+b=4$,
∴ $c=2\sqrt{2}$,
∴ $a^2+b^2=c^2=8$.
∵ $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,
∴ $\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=ab=4$,
∴ $\frac{1}{2}ab=2$,
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=2$. 故 $△ ABC$ 的面积为 2.

【分析】
（1）判断方程是否为“勾系一元二次方程”需先明确定义：方程需形如$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$，且$a、b、c$为直角三角形三边，满足$a^2+b^2=c^2$。因此先将给定方程变形为符合定义的形式，提取对应$a、b、c$的值，验证勾股定理即可完成判断。
（2）第二问首先利用一元二次方程根的定义，将$x=-1$代入方程得到$a、b、c$的数量关系；再结合四边形ACDE的周长条件，联立求出$a+b$和$c$的值；最后结合勾股定理和完全平方公式求出$ab$，即可计算直角三角形$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 将方程$x^2+2x+1=0$变形为符合“勾系一元二次方程”的形式：$x^2+\sqrt{2}×\sqrt{2}x+1=0$，可得$a=1$，$b=1$，$c=\sqrt{2}$。
验证勾股定理：$a^2+b^2=1^2+1^2=2$，$c^2=(\sqrt{2})^2=2$，即$a^2+b^2=c^2$，满足定义要求。
(2) ① 把$x=-1$代入$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$，得：
$a×(-1)^2+\sqrt{2}c×(-1)+b=0$，化简得$a+b=\sqrt{2}c$。
② 四边形ACDE的周长为$AC+CD+DE+AE = b+(a+b)+a+\sqrt{2}c=2a+2b+\sqrt{2}c$，已知周长为12，因此$2a+2b+\sqrt{2}c=12$。
将$a+b=\sqrt{2}c$代入上式，得$2\sqrt{2}c+\sqrt{2}c=12$，解得$\sqrt{2}c=4$，因此$a+b=4$，$c=2\sqrt{2}$。
③ 由勾股定理得$a^2+b^2=c^2=(2\sqrt{2})^2=8$，结合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，变形得：
$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{4^2-8}{2}=4$。
④ $△ ABC$为直角三角形，面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
(1) 方程$x^2+2x+1=0$是“勾系一元二次方程”；
(2) $△ ABC$的面积为2。
【知识点】
一元二次方程根的定义，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题结合新定义考查知识的综合运用能力，解题核心是准确理解新定义，结合数形关系建立各量之间的等式，体现了数形结合的思想方法。
【难度系数】
0.5