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1[2025江苏苏州调研]一元二次方程$x^2 + m = 0$（$m＜0$）的解是 （
A.$x_1=-\sqrt{m},x_2=\sqrt{-m}$
B.$x_1=\sqrt{m},x_2=\sqrt{-m}$
C.$x_1=-\sqrt{-m},x_2=\sqrt{-m}$
D.无解
C
）A.$x_1=-\sqrt{m},x_2=\sqrt{-m}$
B.$x_1=\sqrt{m},x_2=\sqrt{-m}$
C.$x_1=-\sqrt{-m},x_2=\sqrt{-m}$
D.无解
答案
1.C 【解析】
∵ $m＜0,∴ -m＞0.∵ x^2 + m = 0,∴ x^2 = -m,$解得 $x_1=-\sqrt{-m},x_2=\sqrt{-m},$故选 C.
∵ $m＜0,∴ -m＞0.∵ x^2 + m = 0,∴ x^2 = -m,$解得 $x_1=-\sqrt{-m},x_2=\sqrt{-m},$故选 C.
解析
【分析】
本题采用直接开平方法求解一元二次方程，解题思路如下：第一步先对原方程移项，将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧，得到$x^2=-m$；第二步结合已知条件$m＜0$，可判断等号右侧的$-m$是正数，满足平方根存在的条件；第三步根据正数有两个互为相反数的平方根，写出方程的两个解，再对应选项判断即可。
【解析】
$\because m＜0$，$\therefore -m＞0$，满足被开方数非负的要求。
对原方程$x^2 + m = 0$移项可得：$x^2 = -m$，
对等式两边直接开平方得：$x = \pm\sqrt{-m}$，
即方程的解为$x_1=-\sqrt{-m}$，$x_2=\sqrt{-m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质、二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题时需注意两个易错点：一是移项后要结合参数的符号判断被开方数的正负，避免错把$m$当成被开方数；二是正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负根。
【难度系数】
0.8
本题采用直接开平方法求解一元二次方程，解题思路如下：第一步先对原方程移项，将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧，得到$x^2=-m$；第二步结合已知条件$m＜0$，可判断等号右侧的$-m$是正数，满足平方根存在的条件；第三步根据正数有两个互为相反数的平方根，写出方程的两个解，再对应选项判断即可。
【解析】
$\because m＜0$，$\therefore -m＞0$，满足被开方数非负的要求。
对原方程$x^2 + m = 0$移项可得：$x^2 = -m$，
对等式两边直接开平方得：$x = \pm\sqrt{-m}$，
即方程的解为$x_1=-\sqrt{-m}$，$x_2=\sqrt{-m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质、二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题时需注意两个易错点：一是移项后要结合参数的符号判断被开方数的正负，避免错把$m$当成被开方数；二是正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负根。
【难度系数】
0.8
2[2025 江苏无锡期中]若关于$x$的一元二次方程$(3a+6)x^2 + 3(a^2 -4)x = 2$没有一次项，则$a$的值等于（
A.-2或2
B.-2
C.2
D.0
C
）A.-2或2
B.-2
C.2
D.0
答案
2.C 【解析】
∵ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(3a+6)x^2+3(a^2-4)x=2$ 没有一次项,$\therefore 3(a^2-4)=0,3a+6≠0,\therefore a^2-4=0,a≠-2,\therefore a=2,$故选 C.
∵ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(3a+6)x^2+3(a^2-4)x=2$ 没有一次项,$\therefore 3(a^2-4)=0,3a+6≠0,\therefore a^2-4=0,a≠-2,\therefore a=2,$故选 C.
解析
【分析】
解决本题需要抓住两个核心约束条件：第一，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就不是二次方程；第二，方程没有一次项，说明一次项的系数等于0。我们先根据这两个条件分别列出关于a的关系式，再求解并排除不符合要求的取值，即可得到正确的a值。
【解析】
∵ 该方程是关于x的一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即 $3a+6≠0$，解得 $a≠-2$；
又
∵ 方程没有一次项，
∴ 一次项系数为0，即 $3(a^2-4)=0$，
化简得 $a^2-4=0$，解得 $a=2$ 或 $a=-2$；
结合$a≠-2$的限制，排除$a=-2$，因此$a=2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.方程的项与系数
3.参数求值
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的基础题型，易错点是容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，误选含$a=-2$的A选项，解题时要先满足方程的类型要求，再结合其他条件计算。
【难度系数】
0.6
解决本题需要抓住两个核心约束条件：第一，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就不是二次方程；第二，方程没有一次项，说明一次项的系数等于0。我们先根据这两个条件分别列出关于a的关系式，再求解并排除不符合要求的取值，即可得到正确的a值。
【解析】
∵ 该方程是关于x的一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即 $3a+6≠0$，解得 $a≠-2$；
又
∵ 方程没有一次项，
∴ 一次项系数为0，即 $3(a^2-4)=0$，
化简得 $a^2-4=0$，解得 $a=2$ 或 $a=-2$；
结合$a≠-2$的限制，排除$a=-2$，因此$a=2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.方程的项与系数
3.参数求值
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的基础题型，易错点是容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，误选含$a=-2$的A选项，解题时要先满足方程的类型要求，再结合其他条件计算。
【难度系数】
0.6
3 若一个长方体的底面积为24,长、宽、高的比为4:2:1,则此长方体的体积为 (
A.216
B.$12\sqrt{3}$
C.$24\sqrt{3}$
D.$48\sqrt{3}$
C
)A.216
B.$12\sqrt{3}$
C.$24\sqrt{3}$
D.$48\sqrt{3}$
答案
3.C 【解析】根据这个长方体的长、宽、高的比为 4：2：1,可设其长、宽、高分别为 4x,2x,x. 根据题意得$4x · 2x = 24,$解得 $x=\sqrt{3}$ 或 $x=-\sqrt{3}$ (舍去),则 $4x=4\sqrt{3},2x=2\sqrt{3},∴$ 这个长方体的长、宽、高分别为$4\sqrt{3},2\sqrt{3},\sqrt{3},∴$ 此长方体的体积为 $4\sqrt{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}=24\sqrt{3},$故选 C.
解析
【分析】
解题时首先利用题目给出的长、宽、高的比例关系，通过设参数的方式表示出长、宽、高；再结合底面积=长×宽的公式列一元二次方程，用直接开平方法求解，注意长度为正数，负根需舍去；最后代入长方体体积公式计算即可得到结果。
【解析】
设长方体的长、宽、高分别为$4x$、$2x$、$x$（$x＞0$）。
已知长方体底面积为24，底面积为长×宽，因此列方程：
$4x · 2x = 24$
化简得$8x^2=24$，即$x^2=3$，
用直接开平方法解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$，
因为长度为正数，舍去$x=-\sqrt{3}$，即$x=\sqrt{3}$。
根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，代入得：
$V=4\sqrt{3} × 2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 24\sqrt{3}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，长方体体积计算，按比例设未知数
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是通过比例设参数建立方程，求解时要注意结合实际意义舍去不合理的负根，再代入对应公式计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用题目给出的长、宽、高的比例关系，通过设参数的方式表示出长、宽、高；再结合底面积=长×宽的公式列一元二次方程，用直接开平方法求解，注意长度为正数，负根需舍去；最后代入长方体体积公式计算即可得到结果。
【解析】
设长方体的长、宽、高分别为$4x$、$2x$、$x$（$x＞0$）。
已知长方体底面积为24，底面积为长×宽，因此列方程：
$4x · 2x = 24$
化简得$8x^2=24$，即$x^2=3$，
用直接开平方法解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$，
因为长度为正数，舍去$x=-\sqrt{3}$，即$x=\sqrt{3}$。
根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，代入得：
$V=4\sqrt{3} × 2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 24\sqrt{3}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，长方体体积计算，按比例设未知数
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是通过比例设参数建立方程，求解时要注意结合实际意义舍去不合理的负根，再代入对应公式计算即可。
【难度系数】
0.7
4 已知代数式$x^2 -4$与代数式$x^2$的值互为相反数，那么$x$的值为
$\pm\sqrt{2}$
。答案
4.$\pm\sqrt{2}$ 【解析】根据题意知 $x^2 -4 +x^2 = 0,$整理,得$2x^2=4,$则 $x^2=2,∴ x=\pm\sqrt{2},$故答案为$\pm\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题时首先抓住“互为相反数”的题干条件，回忆相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，据此将两个代数式相加等于0列出方程；再对方程进行合并同类项、系数化为1的整理，得到$x^2=a$（a＞0）的形式，最后用直接开平方法求解，注意正数有两个互为相反数的平方根，不要漏写负根。
【解析】
解：根据互为相反数的两数之和为0，可得：
$x^2 - 4 + x^2 = 0$
合并同类项，得：$2x^2 = 4$
系数化为1，得：$x^2 = 2$
开平方，得：$x = \pm\sqrt{2}$
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
相反数的性质；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，结合了代数基础概念与一元二次方程的解法，解题核心是根据相反数性质正确列方程，求解时需注意正数开平方有两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住“互为相反数”的题干条件，回忆相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，据此将两个代数式相加等于0列出方程；再对方程进行合并同类项、系数化为1的整理，得到$x^2=a$（a＞0）的形式，最后用直接开平方法求解，注意正数有两个互为相反数的平方根，不要漏写负根。
【解析】
解：根据互为相反数的两数之和为0，可得：
$x^2 - 4 + x^2 = 0$
合并同类项，得：$2x^2 = 4$
系数化为1，得：$x^2 = 2$
开平方，得：$x = \pm\sqrt{2}$
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
相反数的性质；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，结合了代数基础概念与一元二次方程的解法，解题核心是根据相反数性质正确列方程，求解时需注意正数开平方有两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.8
5 若关于x的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$m-1$和$2m+4$，则$\frac{b}{a}$的值为
4
。答案
5.4 【解析】由题意可知 $ax^2 = b(ab＞0)$ 有两个实数根. 根据直接开平方法, 可知 $m-1$ 与 $2m+4$ 互为相反数,$\therefore m-1+2m+4=0,∴ m=-1,∴ m-1=-2,2m+4=2,$即方程的根为 $x=\pm2,∴ \frac{b}{a}=x^2=4.$ 故答案为 4.
解析
【分析】
解这道题首先要明确直接开平方法解一元二次方程的特点：对于$ax^2 = b(ab＞0)$，开平方后可得$x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$，说明两个根互为相反数。因此我们可以利用“互为相反数的两个数和为0”的性质，先列方程求出$m$的值，再代入得到方程的根，最后根据$x^2=\frac{b}{a}$计算出所求值即可。
【解析】
由题意可知，一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根互为相反数。
∵方程的两个根分别是$m-1$和$2m+4$，
∴$(m-1)+(2m+4)=0$，
解得$m=-1$。
将$m=-1$代入两个根，得$m-1=-2$，$2m+4=2$，即方程的两根为$\pm2$。
又
∵$ax^2=b$，变形可得$\frac{b}{a}=x^2$，
∴$\frac{b}{a}=(\pm2)^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法解方程；一元二次方程根的性质；相反数的性质
【点评】
本题属于基础题，解题关键是掌握直接开平方法解形如$ax^2=b(ab＞0)$的一元二次方程时，两根互为相反数的特点，结合相反数的运算性质就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确直接开平方法解一元二次方程的特点：对于$ax^2 = b(ab＞0)$，开平方后可得$x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$，说明两个根互为相反数。因此我们可以利用“互为相反数的两个数和为0”的性质，先列方程求出$m$的值，再代入得到方程的根，最后根据$x^2=\frac{b}{a}$计算出所求值即可。
【解析】
由题意可知，一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根互为相反数。
∵方程的两个根分别是$m-1$和$2m+4$，
∴$(m-1)+(2m+4)=0$，
解得$m=-1$。
将$m=-1$代入两个根，得$m-1=-2$，$2m+4=2$，即方程的两根为$\pm2$。
又
∵$ax^2=b$，变形可得$\frac{b}{a}=x^2$，
∴$\frac{b}{a}=(\pm2)^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法解方程；一元二次方程根的性质；相反数的性质
【点评】
本题属于基础题，解题关键是掌握直接开平方法解形如$ax^2=b(ab＞0)$的一元二次方程时，两根互为相反数的特点，结合相反数的运算性质就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
6[2026江苏徐州调研]解方程:$25x^2 -16=0.$
答案
6.【解】$25x^2 -16 = 0,25x^2 = 16,x^2 = \frac{16}{25},$解得 $x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}.$
解析
【分析】
观察方程$25x^2 -16=0$的结构，方程不含一次项，适合用直接开平方法求解。解题思路为：第一步先将常数项移到方程右侧，第二步将$x^2$的系数化为1，第三步根据平方根的定义对等式两边开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，即可得到方程的两个解。
【解析】
解：$25x^2 -16 = 0$
移项，得$25x^2 = 16$
系数化为1，得$x^2 = \frac{16}{25}$
两边开平方，得$x = \pm \frac{4}{5}$
即$x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$
【答案】
$x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，考查对直接开平方法的掌握，解题时需注意开平方后不要遗漏负根。
【难度系数】
0.9
观察方程$25x^2 -16=0$的结构，方程不含一次项，适合用直接开平方法求解。解题思路为：第一步先将常数项移到方程右侧，第二步将$x^2$的系数化为1，第三步根据平方根的定义对等式两边开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，即可得到方程的两个解。
【解析】
解：$25x^2 -16 = 0$
移项，得$25x^2 = 16$
系数化为1，得$x^2 = \frac{16}{25}$
两边开平方，得$x = \pm \frac{4}{5}$
即$x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$
【答案】
$x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，考查对直接开平方法的掌握，解题时需注意开平方后不要遗漏负根。
【难度系数】
0.9
7[2025江苏南通调研]下列方程不能用直接开平方法求解的是（
A.$x^2 - 4 = 0$
B.$(x - 1)^2 - 9 = 0$
C.$x^2 + 3x = 0$
D.$(x - 1)^2 = (2x + 1)^2$
C
）A.$x^2 - 4 = 0$
B.$(x - 1)^2 - 9 = 0$
C.$x^2 + 3x = 0$
D.$(x - 1)^2 = (2x + 1)^2$
答案
7.C 【解析】观察各选项可知,不能用直接开平方法求解的是 $x^2+3x=0.$ 故选 C.
解析
【分析】
要判断方程能否用直接开平方法求解，首先要明确直接开平方法的适用条件：方程可以转化为“含有未知数的完全平方式等于非负常数”，或者方程左右两边都是完全平方式的形式，满足这两种情况之一即可用直接开平方法求解。接下来逐一分析每个选项是否符合上述条件，就能找到不能用该方法求解的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对$x^2 - 4 = 0$移项得$x^2=4$，符合“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，可直接开平方得$x=\pm2$，能用直接开平方法求解；
B. 对$(x - 1)^2 - 9 = 0$移项得$(x-1)^2=9$，符合直接开平方法的适用形式，开平方得$x-1=\pm3$，能用直接开平方法求解；
C. 方程$x^2 + 3x = 0$左边是多项式$x^2+3x$，不是完全平方式，也无法通过移项转化为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，因此不能用直接开平方法求解，需用因式分解法等其他方法求解；
D. 方程$(x - 1)^2 = (2x + 1)^2$左右两边都是完全平方式，可直接开平方得$x-1=\pm(2x+1)$，能用直接开平方法求解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法的适用条件
2. 完全平方式的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对直接开平方法适用范围的掌握，解题时只需结合定义逐一验证各选项即可，易错点是部分同学对完全平方式的形式判断失误导致选错。
【难度系数】
0.85
要判断方程能否用直接开平方法求解，首先要明确直接开平方法的适用条件：方程可以转化为“含有未知数的完全平方式等于非负常数”，或者方程左右两边都是完全平方式的形式，满足这两种情况之一即可用直接开平方法求解。接下来逐一分析每个选项是否符合上述条件，就能找到不能用该方法求解的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对$x^2 - 4 = 0$移项得$x^2=4$，符合“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，可直接开平方得$x=\pm2$，能用直接开平方法求解；
B. 对$(x - 1)^2 - 9 = 0$移项得$(x-1)^2=9$，符合直接开平方法的适用形式，开平方得$x-1=\pm3$，能用直接开平方法求解；
C. 方程$x^2 + 3x = 0$左边是多项式$x^2+3x$，不是完全平方式，也无法通过移项转化为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，因此不能用直接开平方法求解，需用因式分解法等其他方法求解；
D. 方程$(x - 1)^2 = (2x + 1)^2$左右两边都是完全平方式，可直接开平方得$x-1=\pm(2x+1)$，能用直接开平方法求解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法的适用条件
2. 完全平方式的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对直接开平方法适用范围的掌握，解题时只需结合定义逐一验证各选项即可，易错点是部分同学对完全平方式的形式判断失误导致选错。
【难度系数】
0.85
8[2026 江苏宿迁质检]若关于x的一元二次方程$mx^2 + n = 0$的一个根为1，则方程$m(x+2)^2 + n = 0$的根是（
A. -1或1
B. -1或-2
C. -1或-3
D. 1或3
9[2025 浙江杭州调研]如图，根据图中数字的规律，若第ⓝ个图中的$q=143$，则n的值为（
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
C
）A. -1或1
B. -1或-2
C. -1或-3
D. 1或3
9[2025 浙江杭州调研]如图，根据图中数字的规律，若第ⓝ个图中的$q=143$，则n的值为（
C
）A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
答案
8.C 【解析】
∵ 关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2 + n = 0$ 的一个根为 $1,∴ m + n = 0,m≠0,∴ n = -m (m≠0),∴$ 方程 $m(x+2)^2 + n = 0$ 可化为 $m(x+2)^2 - m = 0,∴ (x+2)^2 -1 = 0,$解得 $x_1=-1,x_2=-3,$故选 C.
9.C 【解析】通过观察可得规律 $p=n^2,q=(n+1)^2-1.∵ q=143,∴ (n+1)^2-1=143,$解得 $n_1=11,n_2=-13$(舍去),故选 C.
∵ 关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2 + n = 0$ 的一个根为 $1,∴ m + n = 0,m≠0,∴ n = -m (m≠0),∴$ 方程 $m(x+2)^2 + n = 0$ 可化为 $m(x+2)^2 - m = 0,∴ (x+2)^2 -1 = 0,$解得 $x_1=-1,x_2=-3,$故选 C.
9.C 【解析】通过观察可得规律 $p=n^2,q=(n+1)^2-1.∵ q=143,∴ (n+1)^2-1=143,$解得 $n_1=11,n_2=-13$(舍去),故选 C.
解析
---
第8题
【分析】
解题时先利用一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入方程$mx^2 +n=0$，得到m和n的数量关系，再将该关系代入待求解的方程$m(x+2)^2 +n=0$，消去参数m和n，最后用直接开平方法求解即可。
【解析】
∵关于x的一元二次方程$mx^2 + n = 0$的一个根为1，
∴将x=1代入方程得$m· 1^2 +n=0$，即$m+n=0$（$m\ne0$），
∴$n=-m$。
把$n=-m$代入方程$m(x+2)^2 +n=0$，可得：
$m(x+2)^2 -m=0$，
∵$m\ne0$，方程两边同时除以m得：$(x+2)^2 -1=0$，
移项得$(x+2)^2=1$，
开平方得$x+2=\pm1$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，直接开平方法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的含义与直接开平方法解方程，核心是运用整体代入的思想，通过已知条件消去参数，简化待求解的方程。
【难度系数】
0.75
---
第9题
【分析】
首先观察前3个图形的数字特征，分别总结出n、p、q之间的规律：左边的数就是图形的序号n，右边的p是n的平方，下方的q是(n+1)的平方减1。再将q=143代入规律式，用直接开平方法求解n，结合n为正整数舍去负根即可得到结果。
【解析】
观察图形数字规律：
第1个图：$n=1$，$p=1=1^2$，$q=3=(1+1)^2-1$；
第2个图：$n=2$，$p=4=2^2$，$q=8=(2+1)^2-1$；
第3个图：$n=3$，$p=9=3^2$，$q=15=(3+1)^2-1$；
由此可得第n个图中$q=(n+1)^2-1$。
已知$q=143$，代入得：
$(n+1)^2-1=143$，
移项得$(n+1)^2=144$，
开平方得$n+1=\pm12$，
∵n为正整数，
∴$n+1=12$，解得$n=11$，$n+1=-12$不符合题意舍去。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，直接开平方法解方程
【点评】
本题需要先从已知示例中归纳出通用的数量规律，再结合方程求解，解题时要注意n是正整数，需对一元二次方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
---
第8题
【分析】
解题时先利用一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入方程$mx^2 +n=0$，得到m和n的数量关系，再将该关系代入待求解的方程$m(x+2)^2 +n=0$，消去参数m和n，最后用直接开平方法求解即可。
【解析】
∵关于x的一元二次方程$mx^2 + n = 0$的一个根为1，
∴将x=1代入方程得$m· 1^2 +n=0$，即$m+n=0$（$m\ne0$），
∴$n=-m$。
把$n=-m$代入方程$m(x+2)^2 +n=0$，可得：
$m(x+2)^2 -m=0$，
∵$m\ne0$，方程两边同时除以m得：$(x+2)^2 -1=0$，
移项得$(x+2)^2=1$，
开平方得$x+2=\pm1$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，直接开平方法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的含义与直接开平方法解方程，核心是运用整体代入的思想，通过已知条件消去参数，简化待求解的方程。
【难度系数】
0.75
---
第9题
【分析】
首先观察前3个图形的数字特征，分别总结出n、p、q之间的规律：左边的数就是图形的序号n，右边的p是n的平方，下方的q是(n+1)的平方减1。再将q=143代入规律式，用直接开平方法求解n，结合n为正整数舍去负根即可得到结果。
【解析】
观察图形数字规律：
第1个图：$n=1$，$p=1=1^2$，$q=3=(1+1)^2-1$；
第2个图：$n=2$，$p=4=2^2$，$q=8=(2+1)^2-1$；
第3个图：$n=3$，$p=9=3^2$，$q=15=(3+1)^2-1$；
由此可得第n个图中$q=(n+1)^2-1$。
已知$q=143$，代入得：
$(n+1)^2-1=143$，
移项得$(n+1)^2=144$，
开平方得$n+1=\pm12$，
∵n为正整数，
∴$n+1=12$，解得$n=11$，$n+1=-12$不符合题意舍去。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，直接开平方法解方程
【点评】
本题需要先从已知示例中归纳出通用的数量规律，再结合方程求解，解题时要注意n是正整数，需对一元二次方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
---
10[2025江苏宿迁质检]若关于x的一元二次方程$(x+2)^2 = m - 1$可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是
$m≥ 1$
.答案
10.$m≥ 1$ 【解析】
∵ $(x+2)^2 = m-1$ 可以用直接开平方法求解,$∴ m-1≥0,∴ m≥1.$ 故答案为 $m≥1.$
∵ $(x+2)^2 = m-1$ 可以用直接开平方法求解,$∴ m-1≥0,∴ m≥1.$ 故答案为 $m≥1.$
解析
【分析】
要确定本题中m的取值范围，首先回忆直接开平方法解一元二次方程的适用条件：对于形如$a^2=b$的方程，只有当$b≥0$时才能直接开平方求解，因为任意实数的平方都是非负数。本题方程左边$(x+2)^2$本身就是非负数，因此右边的$m-1$必须是非负数，据此列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$(x+2)^2 = m - 1$可以用直接开平方法求解，
∴ 方程右边的代数式需满足非负要求，即$m-1≥0$，
解不等式得：$m≥1$。
【答案】
$m≥ 1$
【知识点】
直接开平方法；平方的非负性；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查直接开平方法解一元二次方程的前提条件，解题关键是牢记平方运算的结果恒为非负数，因此开平方时被开方数不能为负数，掌握该知识点即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要确定本题中m的取值范围，首先回忆直接开平方法解一元二次方程的适用条件：对于形如$a^2=b$的方程，只有当$b≥0$时才能直接开平方求解，因为任意实数的平方都是非负数。本题方程左边$(x+2)^2$本身就是非负数，因此右边的$m-1$必须是非负数，据此列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$(x+2)^2 = m - 1$可以用直接开平方法求解，
∴ 方程右边的代数式需满足非负要求，即$m-1≥0$，
解不等式得：$m≥1$。
【答案】
$m≥ 1$
【知识点】
直接开平方法；平方的非负性；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查直接开平方法解一元二次方程的前提条件，解题关键是牢记平方运算的结果恒为非负数，因此开平方时被开方数不能为负数，掌握该知识点即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
11 解方程: $9(2x - 1)^2 - 16 = 0$
刷易错
小心有坑~
刷易错
小心有坑~
答案
11.【解】移项,得 $9(2x-1)^2 = 16.$ 两边都除以 9,得$(2x-1)^2=\frac{16}{9},$所以 $2x-1=\pm\frac{4}{3},$所以 $2x=1\pm\frac{4}{3},$解得 $x_1=\frac{7}{6},x_2=-\frac{1}{6}.$
解析
【分析】
观察方程结构，左边含(2x-1)的平方项，右边为常数，适合用直接开平方法求解。解题思路为：首先将常数项移到方程右侧，再把平方项的系数化为1，得到(2x-1)²等于正数的形式，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，开平方后转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
移项，得 $9(2x-1)^2 = 16$
两边都除以 9，得$(2x-1)^2=\frac{16}{9}$
根据平方根的性质，开平方得 $2x-1=\pm\frac{4}{3}$
移项得 $2x=1\pm\frac{4}{3}$
当$2x=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$时，解得$x_1=\frac{7}{6}$
当$2x=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$时，解得$x_2=-\frac{1}{6}$
【答案】
$x_1=\frac{7}{6},x_2=-\frac{1}{6}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题核心是先将方程整理为$(ax+b)^2=c$（$c\ge0$）的形式，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免只取正根导致漏解。
【难度系数】
0.8
观察方程结构，左边含(2x-1)的平方项，右边为常数，适合用直接开平方法求解。解题思路为：首先将常数项移到方程右侧，再把平方项的系数化为1，得到(2x-1)²等于正数的形式，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，开平方后转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
移项，得 $9(2x-1)^2 = 16$
两边都除以 9，得$(2x-1)^2=\frac{16}{9}$
根据平方根的性质，开平方得 $2x-1=\pm\frac{4}{3}$
移项得 $2x=1\pm\frac{4}{3}$
当$2x=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$时，解得$x_1=\frac{7}{6}$
当$2x=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$时，解得$x_2=-\frac{1}{6}$
【答案】
$x_1=\frac{7}{6},x_2=-\frac{1}{6}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题核心是先将方程整理为$(ax+b)^2=c$（$c\ge0$）的形式，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免只取正根导致漏解。
【难度系数】
0.8
12[2025江苏南通质检]下面是小米同学的错题本的一部分,请你仔细阅读,帮助她补充完整.
解方程:$(x-2)^2=9x^2$.
$x-2=3x$, 第一步
$x-3x=2$, 第二步
$x=-1$. 第三步
(1)分析:从第
(2)写出正确的解方程过程.
解方程:$(x-2)^2=9x^2$.
$x-2=3x$, 第一步
$x-3x=2$, 第二步
$x=-1$. 第三步
(1)分析:从第
一
步开始出现错误.(2)写出正确的解方程过程.
答案
12.【解】(1)从第一步开始出现错误,故答案为一.
(2)$(x-2)^2=9x^2,x-2=\pm3x,x-3x=2$ 或 $x+3x=2,$解得 $x=-1$ 或 $\frac{1}{2}.$
(2)$(x-2)^2=9x^2,x-2=\pm3x,x-3x=2$ 或 $x+3x=2,$解得 $x=-1$ 或 $\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
(1) 用直接开平方法解形如$a^2=b^2$的方程时，依据平方根的性质，应得到$a=\pm b$两种情况，原解题第一步仅考虑了相等的情况，遗漏了互为相反数的情况，因此从第一步就开始出错。(2) 正确解题思路：先对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程，再分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的全部解，避免漏解。
【解析】
(1) 原方程两边开平方应得到$x-2=\pm3x$，原解题第一步只写出了$x-2=3x$，遗漏了$x-2=-3x$的情况，因此从第一步开始出现错误。
(2) 正确解方程过程如下：
$(x-2)^2=9x^2$
两边直接开平方，得 $x-2=\pm3x$
分两种情况求解：
① 当$x-2=3x$时，移项得$x-3x=2$，合并同类项得$-2x=2$，系数化为1得$x=-1$；
② 当$x-2=-3x$时，移项得$x+3x=2$，合并同类项得$4x=2$，系数化为1得$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 一
(2) 原方程的解为$\boldsymbol{x=-1}$或$\boldsymbol{x=\frac{1}{2}}$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、解一元一次方程
【点评】
本题重点考查直接开平方法解一元二次方程的应用，易错点是开平方时只考虑正数的情况导致漏解，解题时牢记平方相等的两个数相等或互为相反数，分情况讨论即可正确求解。
【难度系数】
0.7
(1) 用直接开平方法解形如$a^2=b^2$的方程时，依据平方根的性质，应得到$a=\pm b$两种情况，原解题第一步仅考虑了相等的情况，遗漏了互为相反数的情况，因此从第一步就开始出错。(2) 正确解题思路：先对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程，再分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的全部解，避免漏解。
【解析】
(1) 原方程两边开平方应得到$x-2=\pm3x$，原解题第一步只写出了$x-2=3x$，遗漏了$x-2=-3x$的情况，因此从第一步开始出现错误。
(2) 正确解方程过程如下：
$(x-2)^2=9x^2$
两边直接开平方，得 $x-2=\pm3x$
分两种情况求解：
① 当$x-2=3x$时，移项得$x-3x=2$，合并同类项得$-2x=2$，系数化为1得$x=-1$；
② 当$x-2=-3x$时，移项得$x+3x=2$，合并同类项得$4x=2$，系数化为1得$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 一
(2) 原方程的解为$\boldsymbol{x=-1}$或$\boldsymbol{x=\frac{1}{2}}$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、解一元一次方程
【点评】
本题重点考查直接开平方法解一元二次方程的应用，易错点是开平方时只考虑正数的情况导致漏解，解题时牢记平方相等的两个数相等或互为相反数，分情况讨论即可正确求解。
【难度系数】
0.7
