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1[2025 江苏苏州期中]将代数式$x^2+6x+2$化成$(x+p)^2+q$的形式为（
A.$(x-3)^2+11$
B.$(x+3)^2-7$
C.$(x+3)^2-11$
D.$(x+2)^2+4$
B
）A.$(x-3)^2+11$
B.$(x+3)^2-7$
C.$(x+3)^2-11$
D.$(x+2)^2+4$
答案
B 【解析】$x^2+6x+2 =x^2+6x+3^2-3^2+2=(x+3)^2-7.$ 故选B.
解析
【分析】
本题考查将二次三项式配方为指定形式，解题思路如下：首先明确配方的核心是构造完全平方式，本题中二次项系数为1，只需根据一次项系数确定要添加的常数：取一次项系数的一半，平方后得到需要补充的项，为保证代数式的值不变，添加该项后要再减去相同的数，最后将前三项写成完全平方形式，合并剩余常数即可得到结果。
【解析】
对代数式$x^2+6x+2$进行配方：
第一步，确定一次项系数为6，其一半为3，平方得$3^2=9$；
第二步，先加9再减9保证代数式值不变，即：
$x^2+6x+2 =x^2+6x+9 -9 +2$
第三步，将前三项改写为完全平方形式，合并常数项：
$x^2+6x+9=(x+3)^2$，$-9+2=-7$
因此原式可化为$(x+3)^2-7$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法；完全平方公式；代数式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用，重点考查完全平方公式的运用和配方的基本规则，需注意配方时添加常数后要减去相同的数，保证代数式变形前后值不变，该知识点是后续解一元二次方程、研究二次函数性质的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题考查将二次三项式配方为指定形式，解题思路如下：首先明确配方的核心是构造完全平方式，本题中二次项系数为1，只需根据一次项系数确定要添加的常数：取一次项系数的一半，平方后得到需要补充的项，为保证代数式的值不变，添加该项后要再减去相同的数，最后将前三项写成完全平方形式，合并剩余常数即可得到结果。
【解析】
对代数式$x^2+6x+2$进行配方：
第一步，确定一次项系数为6，其一半为3，平方得$3^2=9$；
第二步，先加9再减9保证代数式值不变，即：
$x^2+6x+2 =x^2+6x+9 -9 +2$
第三步，将前三项改写为完全平方形式，合并常数项：
$x^2+6x+9=(x+3)^2$，$-9+2=-7$
因此原式可化为$(x+3)^2-7$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法；完全平方公式；代数式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用，重点考查完全平方公式的运用和配方的基本规则，需注意配方时添加常数后要减去相同的数，保证代数式变形前后值不变，该知识点是后续解一元二次方程、研究二次函数性质的重要基础。
【难度系数】
0.8
2 某学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下结论：①若$x^2+ax+10=(x-3)^2+1$，则$a=\pm6$；②若$x^2+4y^2=12$，$xy=1$，则$x+2y=\pm4$；③若$a^2+b^2+2c^2=2bc-2ac$，则$a+b$的值是0或1；④若$a+4\sqrt{3}=(m+\sqrt{3}n)^2$，且$a,m,n$均为正整数，则$a$的值为13或7. 其中正确的结论是
②④
.(填序号)答案
②④ 【解析】
$\because x^2+ax+10=(x-3)^2+1=x^2-6x+10,\therefore a=-6,$
故原结论错误
$\because x^2+4y^2=12,xy=1,\therefore x^2+4xy+4y^2=12+4=16,\therefore (x+2y)^2=16$,则$x+2y=\pm4$,故原结论正确
$\because a^2+b^2+2c^2=2bc-2ac,\therefore a^2+2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=0,\therefore (a+c)^2+(b-c)^2=0,\therefore a+c=0,b-c=0,\therefore a+b=0$,即$a+b$的值是0,故原结论错误
$\because (m+\sqrt{3}n)^2=m^2+3n^2+2\sqrt{3}mn=a+4\sqrt{3},$
$\therefore 2mn=4,a=m^2+3n^2,\therefore mn=2.\because m,n$均为正整数,$\therefore m=1,n=2$或$m=2,n=1$.当$m=1,n=2$时,$a=1+12=13$;当$m=2,n=1$时,$a=4+3=7$.故$a$的值为13或7,原结论正确
$\because x^2+ax+10=(x-3)^2+1=x^2-6x+10,\therefore a=-6,$
故原结论错误
$\because x^2+4y^2=12,xy=1,\therefore x^2+4xy+4y^2=12+4=16,\therefore (x+2y)^2=16$,则$x+2y=\pm4$,故原结论正确
$\because a^2+b^2+2c^2=2bc-2ac,\therefore a^2+2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=0,\therefore (a+c)^2+(b-c)^2=0,\therefore a+c=0,b-c=0,\therefore a+b=0$,即$a+b$的值是0,故原结论错误
$\because (m+\sqrt{3}n)^2=m^2+3n^2+2\sqrt{3}mn=a+4\sqrt{3},$
$\therefore 2mn=4,a=m^2+3n^2,\therefore mn=2.\because m,n$均为正整数,$\therefore m=1,n=2$或$m=2,n=1$.当$m=1,n=2$时,$a=1+12=13$;当$m=2,n=1$时,$a=4+3=7$.故$a$的值为13或7,原结论正确
解析
【分析】
我们需要逐个验证4个结论的正确性，核心用到完全平方公式、配方法以及平方的非负性等知识：
1. 验证结论①：将等式右侧的完全平方展开，通过左右两边多项式对应项系数相等求出a的值，即可判断对错；
2. 验证结论②：借助完全平方和公式将$(x+2y)^2$展开，代入已知的$x^2+4y^2$和$xy$的值，求出$(x+2y)^2$的取值后开方即可判断；
3. 验证结论③：将等式所有项移到左侧，分组配方成两个平方和为0的形式，根据平方的非负性求出a、b与c的关系，即可得到$a+b$的取值；
4. 验证结论④：将右侧完全平方展开，把式子分为有理部分和含根号的无理部分，两部分分别对应相等，结合m、n是正整数的条件，即可求出a的可能取值。
【解析】
① 将右侧展开：$(x-3)^2+1=x^2-6x+9+1=x^2-6x+10$，与左侧$x^2+ax+10$对比得$a=-6$，不是$\pm6$，故①错误；
② 由完全平方和公式得$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2$，已知$x^2+4y^2=12$，$xy=1$，代入得$(x+2y)^2=12+4×1=16$，开方得$x+2y=\pm4$，故②正确；
③ 移项得$a^2+b^2+2c^2-2bc+2ac=0$，分组配方得$(a^2+2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0$，即$(a+c)^2+(b-c)^2=0$，根据平方的非负性得$a+c=0$，$b-c=0$，则$a=-c$，$b=c$，所以$a+b=-c+c=0$，只有0这一个取值，故③错误；
④ 展开右侧得$(m+\sqrt{3}n)^2=m^2+2\sqrt{3}mn+3n^2$，与左侧$a+4\sqrt{3}$对应相等，可得$\begin{cases}2mn=4\\a=m^2+3n^2\end{cases}$，即$mn=2$，因为m、n均为正整数，所以取值为$\begin{cases}m=1\\n=2\end{cases}$或$\begin{cases}m=2\\n=1\end{cases}$，当$m=1,n=2$时，$a=1^2+3×2^2=13$；当$m=2,n=1$时，$a=2^2+3×1^2=7$，故a的值为13或7，④正确。
【答案】
②④
【知识点】
完全平方公式，配方法的应用，平方的非负性
【点评】
本题重点考查配方法在代数式变形、求值中的应用，需要熟练掌握完全平方公式的各类变形形式，判断过程中要注意系数对应、平方非负性等细节，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.6
我们需要逐个验证4个结论的正确性，核心用到完全平方公式、配方法以及平方的非负性等知识：
1. 验证结论①：将等式右侧的完全平方展开，通过左右两边多项式对应项系数相等求出a的值，即可判断对错；
2. 验证结论②：借助完全平方和公式将$(x+2y)^2$展开，代入已知的$x^2+4y^2$和$xy$的值，求出$(x+2y)^2$的取值后开方即可判断；
3. 验证结论③：将等式所有项移到左侧，分组配方成两个平方和为0的形式，根据平方的非负性求出a、b与c的关系，即可得到$a+b$的取值；
4. 验证结论④：将右侧完全平方展开，把式子分为有理部分和含根号的无理部分，两部分分别对应相等，结合m、n是正整数的条件，即可求出a的可能取值。
【解析】
① 将右侧展开：$(x-3)^2+1=x^2-6x+9+1=x^2-6x+10$，与左侧$x^2+ax+10$对比得$a=-6$，不是$\pm6$，故①错误；
② 由完全平方和公式得$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2$，已知$x^2+4y^2=12$，$xy=1$，代入得$(x+2y)^2=12+4×1=16$，开方得$x+2y=\pm4$，故②正确；
③ 移项得$a^2+b^2+2c^2-2bc+2ac=0$，分组配方得$(a^2+2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0$，即$(a+c)^2+(b-c)^2=0$，根据平方的非负性得$a+c=0$，$b-c=0$，则$a=-c$，$b=c$，所以$a+b=-c+c=0$，只有0这一个取值，故③错误；
④ 展开右侧得$(m+\sqrt{3}n)^2=m^2+2\sqrt{3}mn+3n^2$，与左侧$a+4\sqrt{3}$对应相等，可得$\begin{cases}2mn=4\\a=m^2+3n^2\end{cases}$，即$mn=2$，因为m、n均为正整数，所以取值为$\begin{cases}m=1\\n=2\end{cases}$或$\begin{cases}m=2\\n=1\end{cases}$，当$m=1,n=2$时，$a=1^2+3×2^2=13$；当$m=2,n=1$时，$a=2^2+3×1^2=7$，故a的值为13或7，④正确。
【答案】
②④
【知识点】
完全平方公式，配方法的应用，平方的非负性
【点评】
本题重点考查配方法在代数式变形、求值中的应用，需要熟练掌握完全平方公式的各类变形形式，判断过程中要注意系数对应、平方非负性等细节，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.6
3[2025江苏连云港调研]用配方法解一元二次方程$x^2 -2x -2024=0$，将它转化为$(x+a)^2 =b$的形式，则$a^b$的值为（
A.$-2024$
B.$2024$
C.$-1$
D.$1$
C
）A.$-2024$
B.$2024$
C.$-1$
D.$1$
答案
C 【解析】$\because x^2-2x-2024=0,\therefore x^2-2x=2024,$
$\therefore x^2-2x+1=2024+1,\therefore (x-1)^2=2025,\therefore a=-1,$
$b=2025,\therefore a^b=(-1)^{2025}=-1$.故选C.
$\therefore x^2-2x+1=2024+1,\therefore (x-1)^2=2025,\therefore a=-1,$
$b=2025,\therefore a^b=(-1)^{2025}=-1$.故选C.
解析
【分析】
解题时先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：首先移项，把常数项移到等号右侧；再给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，即可得到$(x+a)^2=b$的形式，确定$a$、$b$的取值后代入计算$a^b$即可，注意完全平方式的符号不要判断错误。
【解析】
对原方程移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 2x = 2024$
一次项系数为$-2$，它的一半的平方为$(-1)^2=1$，给方程左右两边同时加1配方，得：
$x^2 - 2x + 1 = 2024 + 1$
左侧根据完全平方公式整理，右侧计算结果，得：
$(x - 1)^2 = 2025$
对比$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a=-1$，$b=2025$，因此：
$a^b=(-1)^{2025}=-1$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，乘方运算
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，重点注意完全平方式的符号判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：首先移项，把常数项移到等号右侧；再给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，即可得到$(x+a)^2=b$的形式，确定$a$、$b$的取值后代入计算$a^b$即可，注意完全平方式的符号不要判断错误。
【解析】
对原方程移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 2x = 2024$
一次项系数为$-2$，它的一半的平方为$(-1)^2=1$，给方程左右两边同时加1配方，得：
$x^2 - 2x + 1 = 2024 + 1$
左侧根据完全平方公式整理，右侧计算结果，得：
$(x - 1)^2 = 2025$
对比$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a=-1$，$b=2025$，因此：
$a^b=(-1)^{2025}=-1$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，乘方运算
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，重点注意完全平方式的符号判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
4 欧几里得的《几何原本》中记载了形如$x^2 - 2bx + 4c^2 = 0(b＞2c＞0)$的方程的根的图形解法:如图,画$Rt△ ABC$,使$∠ ACB=90°,AC=2c,AB=b$,以B为圆心,BC长为半径画圆,交射线AB于点D,E,则该方程较大的根是 (
A.CE 的长度
B.CD 的长度
C.DE 的长度
D.AE 的长度
D
)A.CE 的长度
B.CD 的长度
C.DE 的长度
D.AE 的长度
答案
D 【解析】$\because x^2-2bx+4c^2=0,\therefore x^2-2bx=-4c^2,$
$\therefore x^2-2bx+b^2=b^2-4c^2$,即$(x-b)^2=b^2-4c^2,\therefore x-b=\pm\sqrt{b^2-4c^2},\therefore x_1=b+\sqrt{b^2-4c^2},x_2=b-\sqrt{b^2-4c^2}$.在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=2c,AB=b,\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{b^2-4c^2}$,$\therefore$方程较大的根为$AB+BC=AB+BE=AE$的长度,故选D.
$\therefore x^2-2bx+b^2=b^2-4c^2$,即$(x-b)^2=b^2-4c^2,\therefore x-b=\pm\sqrt{b^2-4c^2},\therefore x_1=b+\sqrt{b^2-4c^2},x_2=b-\sqrt{b^2-4c^2}$.在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=2c,AB=b,\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{b^2-4c^2}$,$\therefore$方程较大的根为$AB+BC=AB+BE=AE$的长度,故选D.
解析
【分析】
解题可按两步思考：第一步先用配方法求解给定的一元二次方程，得到两个根的表达式，确定较大根的代数形式；第二步结合图形几何性质，用勾股定理算出BC的长度，再结合圆半径相等的性质，找到和较大根表达式匹配的线段即可。
【解析】
首先用配方法解方程$x^2 - 2bx + 4c^2 = 0$：
移项得：$x^2 - 2bx = -4c^2$，
配方，两边同时加$b^2$得：$x^2 - 2bx + b^2 = b^2 - 4c^2$，
即$(x - b)^2 = b^2 - 4c^2$，
开方得：$x - b = \pm\sqrt{b^2 - 4c^2}$，
解得：$x_1 = b + \sqrt{b^2 - 4c^2}$，$x_2 = b - \sqrt{b^2 - 4c^2}$，其中$x_1$为较大的根。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2c$，$AB=b$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{b^2 - (2c)^2} = \sqrt{b^2 - 4c^2}$。
因为B为圆心，BC为半径作圆，所以$BE=BC=\sqrt{b^2 - 4c^2}$，
因此$AE = AB + BE = b + \sqrt{b^2 - 4c^2}$，正好对应方程的较大根，故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解方程，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是代数几何融合的典型题型，将一元二次方程的根与几何线段长度对应，既考查了配方法解一元二次方程的基础运算，又结合了直角三角形勾股定理、圆半径相等等几何知识点，能较好地考查知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题可按两步思考：第一步先用配方法求解给定的一元二次方程，得到两个根的表达式，确定较大根的代数形式；第二步结合图形几何性质，用勾股定理算出BC的长度，再结合圆半径相等的性质，找到和较大根表达式匹配的线段即可。
【解析】
首先用配方法解方程$x^2 - 2bx + 4c^2 = 0$：
移项得：$x^2 - 2bx = -4c^2$，
配方，两边同时加$b^2$得：$x^2 - 2bx + b^2 = b^2 - 4c^2$，
即$(x - b)^2 = b^2 - 4c^2$，
开方得：$x - b = \pm\sqrt{b^2 - 4c^2}$，
解得：$x_1 = b + \sqrt{b^2 - 4c^2}$，$x_2 = b - \sqrt{b^2 - 4c^2}$，其中$x_1$为较大的根。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2c$，$AB=b$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{b^2 - (2c)^2} = \sqrt{b^2 - 4c^2}$。
因为B为圆心，BC为半径作圆，所以$BE=BC=\sqrt{b^2 - 4c^2}$，
因此$AE = AB + BE = b + \sqrt{b^2 - 4c^2}$，正好对应方程的较大根，故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解方程，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是代数几何融合的典型题型，将一元二次方程的根与几何线段长度对应，既考查了配方法解一元二次方程的基础运算，又结合了直角三角形勾股定理、圆半径相等等几何知识点，能较好地考查知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5 已知方程$x^2 -6x +4 = □$, 等号右侧的数字印刷不清楚. 若可以将其配方成$(x-p)^2=7$的形式, 则印刷不清的数字是
2
.答案
2 【解析】设印刷不清的数字是$a$.$\because (x-p)^2=7$,
$\therefore x^2-2px+p^2=7,\therefore x^2-2px=7-p^2,\therefore x^2-2px+4=11-p^2$.$\because$方程$x^2-6x+4=□$可以配方成$(x-p)^2=7$的形式,$\therefore -2p=-6,a=11-p^2,\therefore p=3,\therefore a=11-3^2=2$,即印刷不清的数字是2,故答案为2.
$\therefore x^2-2px+p^2=7,\therefore x^2-2px=7-p^2,\therefore x^2-2px+4=11-p^2$.$\because$方程$x^2-6x+4=□$可以配方成$(x-p)^2=7$的形式,$\therefore -2p=-6,a=11-p^2,\therefore p=3,\therefore a=11-3^2=2$,即印刷不清的数字是2,故答案为2.
解析
【分析】
遇到这类含未知常数的配方问题，我们可以按以下思路求解：第一步，先设印刷不清的数字为参数a，将原方程用含a的式子表示；第二步，把题目给出的配方后的方程展开，整理成和原方程左侧结构相同的形式；第三步，根据两个方程为同一个方程，对应项的系数相等，先求出p的值，再代入计算未知参数a即可。
【解析】
设印刷不清的数字是$a$。
已知方程可以配方成$(x-p)^2=7$的形式，将该式展开得：
$x^2 - 2px + p^2 = 7$，
移项整理可得：$x^2 - 2px + 4 = 7 - p^2 + 4$，即$x^2 - 2px +4 = 11 - p^2$。
又因为原方程为$x^2 -6x +4 = a$，两个方程对应相等，所以一次项系数、常数项分别相等，即：
$\begin{cases}-2p = -6 \\ a = 11 - p^2 \end{cases}$
解得$p=3$，将$p=3$代入$a=11-p^2$得：
$a=11 - 3^2 = 11-9=2$。
【答案】
2
【知识点】
配方法解一元二次方程；多项式对应系数相等
【点评】
本题考查配方法的实际应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过对应系数相等建立参数之间的关系，属于配方法的基础应用题型，能帮助学生巩固配方的基本步骤。
【难度系数】
0.8
遇到这类含未知常数的配方问题，我们可以按以下思路求解：第一步，先设印刷不清的数字为参数a，将原方程用含a的式子表示；第二步，把题目给出的配方后的方程展开，整理成和原方程左侧结构相同的形式；第三步，根据两个方程为同一个方程，对应项的系数相等，先求出p的值，再代入计算未知参数a即可。
【解析】
设印刷不清的数字是$a$。
已知方程可以配方成$(x-p)^2=7$的形式，将该式展开得：
$x^2 - 2px + p^2 = 7$，
移项整理可得：$x^2 - 2px + 4 = 7 - p^2 + 4$，即$x^2 - 2px +4 = 11 - p^2$。
又因为原方程为$x^2 -6x +4 = a$，两个方程对应相等，所以一次项系数、常数项分别相等，即：
$\begin{cases}-2p = -6 \\ a = 11 - p^2 \end{cases}$
解得$p=3$，将$p=3$代入$a=11-p^2$得：
$a=11 - 3^2 = 11-9=2$。
【答案】
2
【知识点】
配方法解一元二次方程；多项式对应系数相等
【点评】
本题考查配方法的实际应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过对应系数相等建立参数之间的关系，属于配方法的基础应用题型，能帮助学生巩固配方的基本步骤。
【难度系数】
0.8
6[2025江苏南通调研]如图,直角三角形的两条直角边长分别为$a,b$,且$a,b$恰为一元二次方程$x^2 -6x +4=0$的两个实数根,则斜边$c$的长为
$2\sqrt{7}$
。答案
$2\sqrt{7}$ 【解析】$\because x^2-6x+4=0,\therefore (x-3)^2-5=0$,解得$x_1=3-\sqrt{5},x_2=3+\sqrt{5}$,$\therefore$斜边$c$的长为$\sqrt{(3-\sqrt{5})^2+(3+\sqrt{5})^2}=2\sqrt{7}$,故答案为$2\sqrt{7}$.
解析
【分析】
要求直角三角形的斜边c，首先根据勾股定理可得$c=\sqrt{a^2+b^2}$，因此需要先求出$a^2+b^2$的值。已知a、b是一元二次方程$x^2-6x+4=0$的两个实数根，我们可以先用配方法解出这个方程的两个根，得到a、b的取值，再代入勾股公式计算斜边c；也可以利用完全平方公式将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$，结合一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$和$ab$后代入计算，两种方法均可求解。
【解析】
首先用配方法解一元二次方程$x^2-6x+4=0$：
移项得：$x^2-6x=-4$
配方，两边同时加9得：$x^2-6x+9=-4+9$，即$(x-3)^2=5$
开平方得：$x-3=\pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=3+\sqrt{5}$，$x_2=3-\sqrt{5}$
即直角三角形的两条直角边a、b分别为$3+\sqrt{5}$和$3-\sqrt{5}$。
根据勾股定理，斜边$c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入得：
$c=\sqrt{(3+\sqrt{5})^2+(3-\sqrt{5})^2}$
展开计算根号内的式子：
$(3+\sqrt{5})^2+(3-\sqrt{5})^2=(9+6\sqrt{5}+5)+(9-6\sqrt{5}+5)=28$
因此$c=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程解法与直角三角形性质的基础综合题，既可以直接解方程求出直角边长再计算斜边，也可以通过代数式变形简化运算，能够考查学生对基础知识点的掌握程度和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求直角三角形的斜边c，首先根据勾股定理可得$c=\sqrt{a^2+b^2}$，因此需要先求出$a^2+b^2$的值。已知a、b是一元二次方程$x^2-6x+4=0$的两个实数根，我们可以先用配方法解出这个方程的两个根，得到a、b的取值，再代入勾股公式计算斜边c；也可以利用完全平方公式将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$，结合一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$和$ab$后代入计算，两种方法均可求解。
【解析】
首先用配方法解一元二次方程$x^2-6x+4=0$：
移项得：$x^2-6x=-4$
配方，两边同时加9得：$x^2-6x+9=-4+9$，即$(x-3)^2=5$
开平方得：$x-3=\pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=3+\sqrt{5}$，$x_2=3-\sqrt{5}$
即直角三角形的两条直角边a、b分别为$3+\sqrt{5}$和$3-\sqrt{5}$。
根据勾股定理，斜边$c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入得：
$c=\sqrt{(3+\sqrt{5})^2+(3-\sqrt{5})^2}$
展开计算根号内的式子：
$(3+\sqrt{5})^2+(3-\sqrt{5})^2=(9+6\sqrt{5}+5)+(9-6\sqrt{5}+5)=28$
因此$c=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程解法与直角三角形性质的基础综合题，既可以直接解方程求出直角边长再计算斜边，也可以通过代数式变形简化运算，能够考查学生对基础知识点的掌握程度和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7[2026河北廊坊期末]根据如图所示的流程图完成下列问题.
(1)若输出结果C为16,则x的值为
(2)若输出结果B为-4,则x的值为
(1)若输出结果C为16,则x的值为
4或-4
.(2)若输出结果B为-4,则x的值为
2
.答案
(1)4或-4 (2)2 【解析】(1)由题意得$x^2=16$,解得$x=\pm4$,故答案为4或-4. (2)由题意得$x^2-4x=-4,\therefore x^2-4x+4=0,\therefore (x-2)^2=0$,解得$x_1=x_2=2$,故$x$的值为2.
解析
【分析】
首先理清流程图的运算规则：输入x后，分别执行两种运算：一是x乘-4得到-4x，二是x平方得到x²；其中输出C对应x²的结果，输出B对应x²与-4x相加的结果。
(1) 已知输出C为16，只需令$x^2=16$，用直接开平方法解这个一元二次方程即可得到x的值，注意开平方有正负两个结果，不要漏解。
(2) 已知输出B为-4，只需令$x^2+(-4x)=-4$，整理为一元二次方程的标准形式后，用配方法求解即可。
【解析】
(1) 由流程图可知，输出C的对应代数式为$x^2$，根据题意列方程：
$x^2=16$
直接开平方得：$x=\pm4$，即x的值为4或-4。
(2) 由流程图可知，输出B的对应代数式为$x^2+(-4x)$，根据题意列方程：
$x^2-4x=-4$
移项得：$x^2-4x+4=0$
配方得：$(x-2)^2=0$
解得：$x_1=x_2=2$，即x的值为2。
【答案】
(1)4或-4；(2)2
【知识点】
1. 流程图列代数式
2. 直接开平方法解方程
3. 配方法解方程
【点评】
本题结合流程图考查一元二次方程的解法，属于基础题，解题的关键是准确根据流程图的运算规则列出对应方程，求解时注意第一问开平方要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先理清流程图的运算规则：输入x后，分别执行两种运算：一是x乘-4得到-4x，二是x平方得到x²；其中输出C对应x²的结果，输出B对应x²与-4x相加的结果。
(1) 已知输出C为16，只需令$x^2=16$，用直接开平方法解这个一元二次方程即可得到x的值，注意开平方有正负两个结果，不要漏解。
(2) 已知输出B为-4，只需令$x^2+(-4x)=-4$，整理为一元二次方程的标准形式后，用配方法求解即可。
【解析】
(1) 由流程图可知，输出C的对应代数式为$x^2$，根据题意列方程：
$x^2=16$
直接开平方得：$x=\pm4$，即x的值为4或-4。
(2) 由流程图可知，输出B的对应代数式为$x^2+(-4x)$，根据题意列方程：
$x^2-4x=-4$
移项得：$x^2-4x+4=0$
配方得：$(x-2)^2=0$
解得：$x_1=x_2=2$，即x的值为2。
【答案】
(1)4或-4；(2)2
【知识点】
1. 流程图列代数式
2. 直接开平方法解方程
3. 配方法解方程
【点评】
本题结合流程图考查一元二次方程的解法，属于基础题，解题的关键是准确根据流程图的运算规则列出对应方程，求解时注意第一问开平方要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
8 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 + 4x - 3 = 0$
(2)$x^2 - 8x + 13 = 0$
刷易错 小心有坑~
(1)$x^2 + 4x - 3 = 0$
(2)$x^2 - 8x + 13 = 0$
刷易错 小心有坑~
答案
【解】(1)移项,得$x^2+4x=3$. 配方,得$x^2+4x+4=3+4$,即$(x+2)^2=7$. 开方,得$x+2=\pm\sqrt{7},\therefore x_1=\sqrt{7}-2$,$x_2=-\sqrt{7}-2$.
(2)移项,得$x^2-8x=-13$. 配方,得$x^2-8x+16=-13+16$,即$(x-4)^2=3$. 开方,得$x-4=\pm\sqrt{3},\therefore x_1=\sqrt{3}+4$,$x_2=-\sqrt{3}+4$.
(2)移项,得$x^2-8x=-13$. 配方,得$x^2-8x+16=-13+16$,即$(x-4)^2=3$. 开方,得$x-4=\pm\sqrt{3},\therefore x_1=\sqrt{3}+4$,$x_2=-\sqrt{3}+4$.
解析
【分析】
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，遵循固定思路：第一步移项，将常数项移到方程等号右侧，注意移项要变号；第二步配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数；第三步开方，根据平方根的意义对完全平方式开平方，得到两个一元一次方程；第四步求解，分别解两个一元一次方程即可得到原方程的根。解题时注意配方时等式两边必须同时加相同的数，开方时不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 移项，得$x^2+4x=3$。
配方，得$x^2+4x+4=3+4$，即$(x+2)^2=7$。
开方，得$x+2=\pm\sqrt{7}$，
$\therefore x_1=\sqrt{7}-2$，$x_2=-\sqrt{7}-2$。
(2) 移项，得$x^2-8x=-13$。
配方，得$x^2-8x+16=-13+16$，即$(x-4)^2=3$。
开方，得$x-4=\pm\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=\sqrt{3}+4$，$x_2=-\sqrt{3}+4$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{7}-2,x_2=-\sqrt{7}-2$；(2)$x_1=4+\sqrt{3},x_2=4-\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，易错点在于移项时符号出错、配方时仅给左侧加常数、开平方时遗漏负根，熟练掌握步骤即可轻松解题。
【难度系数】
0.75
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，遵循固定思路：第一步移项，将常数项移到方程等号右侧，注意移项要变号；第二步配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数；第三步开方，根据平方根的意义对完全平方式开平方，得到两个一元一次方程；第四步求解，分别解两个一元一次方程即可得到原方程的根。解题时注意配方时等式两边必须同时加相同的数，开方时不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 移项，得$x^2+4x=3$。
配方，得$x^2+4x+4=3+4$，即$(x+2)^2=7$。
开方，得$x+2=\pm\sqrt{7}$，
$\therefore x_1=\sqrt{7}-2$，$x_2=-\sqrt{7}-2$。
(2) 移项，得$x^2-8x=-13$。
配方，得$x^2-8x+16=-13+16$，即$(x-4)^2=3$。
开方，得$x-4=\pm\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=\sqrt{3}+4$，$x_2=-\sqrt{3}+4$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{7}-2,x_2=-\sqrt{7}-2$；(2)$x_1=4+\sqrt{3},x_2=4-\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，易错点在于移项时符号出错、配方时仅给左侧加常数、开平方时遗漏负根，熟练掌握步骤即可轻松解题。
【难度系数】
0.75
9 小明在用配方法解方程$x^2 - x - \frac{1}{2}=0$时出现了错误,他的解答过程如下:
解:$x^2 - x = -\frac{1}{2}$, (第一步)
$x^2 - x + \frac{1}{4}= -\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$, (第二步)
$(x - \frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}$, (第三步)
∴此方程无实数根. (第四步)
(1)小明的解答过程是从第
(2)用配方法写出此题正确的解答过程.
解:$x^2 - x = -\frac{1}{2}$, (第一步)
$x^2 - x + \frac{1}{4}= -\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$, (第二步)
$(x - \frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}$, (第三步)
∴此方程无实数根. (第四步)
(1)小明的解答过程是从第
一
步开始出错的.(2)用配方法写出此题正确的解答过程.
答案
【解】(1)小明的解答过程是从第一步开始出错的,故答案为一.
(2)$\because x^2-x-\frac{1}{2}=0,\therefore x^2-x=\frac{1}{2}$,
$\therefore x^2-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$,即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}$,
则$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore x_1=\frac{1+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$.
(2)$\because x^2-x-\frac{1}{2}=0,\therefore x^2-x=\frac{1}{2}$,
$\therefore x^2-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$,即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}$,
则$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore x_1=\frac{1+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
(1)判断错误步骤需结合配方法解方程的移项规则：移项要改变符号。小明第一步将常数项移到等号右侧时未变号，可直接判断出错步骤；
(2)正确的配方法解题思路为：先移项，将常数项移到等号右侧；再配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；最后用直接开平方法求解方程的根。
【解析】
(1)原方程移项时，$-\frac{1}{2}$移到等号右侧应变号为$+\frac{1}{2}$，小明第一步移项后仍为$-\frac{1}{2}$，因此从第一步开始出错。
(2)正确解答过程：
$\because x^2 - x - \frac{1}{2}=0$
$\therefore$移项得：$x^2 - x = \frac{1}{2}$
配方，两边同时加$\frac{1}{4}$得：$x^2 - x + \frac{1}{4}= \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
整理得：$(x - \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$
开平方得：$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
解得：$x_1 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$
【答案】
(1)一
(2)$x_1 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、移项法则、直接开平方法
【点评】
本题主要考查配方法解方程的基础操作，易错点是移项时符号错误、配方时未给等式两边同时加相同的数，牢记配方法的固定步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1)判断错误步骤需结合配方法解方程的移项规则：移项要改变符号。小明第一步将常数项移到等号右侧时未变号，可直接判断出错步骤；
(2)正确的配方法解题思路为：先移项，将常数项移到等号右侧；再配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；最后用直接开平方法求解方程的根。
【解析】
(1)原方程移项时，$-\frac{1}{2}$移到等号右侧应变号为$+\frac{1}{2}$，小明第一步移项后仍为$-\frac{1}{2}$，因此从第一步开始出错。
(2)正确解答过程：
$\because x^2 - x - \frac{1}{2}=0$
$\therefore$移项得：$x^2 - x = \frac{1}{2}$
配方，两边同时加$\frac{1}{4}$得：$x^2 - x + \frac{1}{4}= \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
整理得：$(x - \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$
开平方得：$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
解得：$x_1 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$
【答案】
(1)一
(2)$x_1 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、移项法则、直接开平方法
【点评】
本题主要考查配方法解方程的基础操作，易错点是移项时符号错误、配方时未给等式两边同时加相同的数，牢记配方法的固定步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
