登录
18[2026浙江绍兴期末]如图
,某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度,密度计悬浮在不同的液体中时,液体的密度ρ(单位:g/cm³)与其浸在液体中的高度h(单位:cm)之间成一定的函数关系,经过实验获得两个变量h,ρ的几组对应值如下表:
| h(cm) | 2 | 2.5 | 4 | 5 | 8 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| ρ(g/cm³) | 10 | 8 | 5 | 4 | 2.5 |
(1)在下面给定的坐标系
中画出相应函数的图象,并求出密度ρ(g/cm³)关于高度h(cm)的函数表达式.
图(2)
(2)当该密度计悬浮在一种液体中,h=25时,求这种液体的密度ρ.
,某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度,密度计悬浮在不同的液体中时,液体的密度ρ(单位:g/cm³)与其浸在液体中的高度h(单位:cm)之间成一定的函数关系,经过实验获得两个变量h,ρ的几组对应值如下表:| h(cm) | 2 | 2.5 | 4 | 5 | 8 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| ρ(g/cm³) | 10 | 8 | 5 | 4 | 2.5 |
(1)在下面给定的坐标系
中画出相应函数的图象,并求出密度ρ(g/cm³)关于高度h(cm)的函数表达式.图(2)
(2)当该密度计悬浮在一种液体中,h=25时,求这种液体的密度ρ.
答案
(1)如图
.根据图象形状选择反比例函数模型进行尝试.设它的函数关系式为$\rho=\frac{k}{h}(k≠0)$.将坐标$(2,10)$代入,得$10=\frac{k}{2}$,解得$k=20$,所以$\rho=\frac{20}{h}$.将其他各点代入验算,均成立.故密度ρ关于高度h的函数表达式为$\rho=\frac{20}{h}(h＞0)$.(2)当$h=25$时,$\rho=\frac{20}{25}=0.8$.答:这种液体的密度ρ为$0.8\ \mathrm{g/cm^3}$.解析
【分析】
(1) 先观察给出的h与ρ的对应数据，计算每组h和ρ的乘积，发现乘积均为定值20，符合反比例函数的特征，因此可设反比例函数解析式，再用待定系数法代入已知点求解参数k，最后将其余点代入验证解析式是否成立，同时按给出的坐标点在坐标系中描点连线即可画出函数图象。
(2) 第二问已知h的取值，直接将h=25代入第一问求出的函数解析式中计算，即可得到对应的液体密度ρ。
【解析】
(1) 先在坐标系中描出表格给出的(2,10)、(2.5,8)、(4,5)、(5,4)、(8,2.5)这几个点，再用平滑曲线连接得到函数图象。
观察数据可知h与ρ的乘积为定值，因此设ρ关于h的函数解析式为$\rho=\frac{k}{h}\ (k≠0,h＞0)$。
将点$(2,10)$代入解析式，得$10=\frac{k}{2}$，解得$k=2×10=20$。
将其余各组数据代入$\rho=\frac{20}{h}$验证：
当$h=2.5$时，$\rho=\frac{20}{2.5}=8$，符合；当$h=4$时，$\rho=\frac{20}{4}=5$，符合；当$h=5$时，$\rho=\frac{20}{5}=4$，符合；当$h=8$时，$\rho=\frac{20}{8}=2.5$，符合。
因此密度ρ关于高度h的函数表达式为$\rho=\frac{20}{h}\ (h＞0)$。
(2) 将$h=25$代入$\rho=\frac{20}{h}$，得$\rho=\frac{20}{25}=0.8$。
【答案】
(1)，密度ρ关于高度h的函数表达式为$\boldsymbol{\rho=\frac{20}{h}\ (h＞0)}$；
(2) 这种液体的密度ρ为$\boldsymbol{0.8\ \mathrm{g/cm^3}}$。
【知识点】
反比例函数应用，待定系数法求解析式，代入法求函数值
【点评】
本题结合密度计测量液体密度的实际场景考查反比例函数的相关知识，解题的关键是通过数据特征判断函数类型，再利用待定系数法求出函数解析式，最后代入求值，贴合生活实际，侧重考查对基础知识的掌握和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 先观察给出的h与ρ的对应数据，计算每组h和ρ的乘积，发现乘积均为定值20，符合反比例函数的特征，因此可设反比例函数解析式，再用待定系数法代入已知点求解参数k，最后将其余点代入验证解析式是否成立，同时按给出的坐标点在坐标系中描点连线即可画出函数图象。
(2) 第二问已知h的取值，直接将h=25代入第一问求出的函数解析式中计算，即可得到对应的液体密度ρ。
【解析】
(1) 先在坐标系中描出表格给出的(2,10)、(2.5,8)、(4,5)、(5,4)、(8,2.5)这几个点，再用平滑曲线连接得到函数图象。
观察数据可知h与ρ的乘积为定值，因此设ρ关于h的函数解析式为$\rho=\frac{k}{h}\ (k≠0,h＞0)$。
将点$(2,10)$代入解析式，得$10=\frac{k}{2}$，解得$k=2×10=20$。
将其余各组数据代入$\rho=\frac{20}{h}$验证：
当$h=2.5$时，$\rho=\frac{20}{2.5}=8$，符合；当$h=4$时，$\rho=\frac{20}{4}=5$，符合；当$h=5$时，$\rho=\frac{20}{5}=4$，符合；当$h=8$时，$\rho=\frac{20}{8}=2.5$，符合。
因此密度ρ关于高度h的函数表达式为$\rho=\frac{20}{h}\ (h＞0)$。
(2) 将$h=25$代入$\rho=\frac{20}{h}$，得$\rho=\frac{20}{25}=0.8$。
【答案】
(1)
，密度ρ关于高度h的函数表达式为$\boldsymbol{\rho=\frac{20}{h}\ (h＞0)}$；(2) 这种液体的密度ρ为$\boldsymbol{0.8\ \mathrm{g/cm^3}}$。
【知识点】
反比例函数应用，待定系数法求解析式，代入法求函数值
【点评】
本题结合密度计测量液体密度的实际场景考查反比例函数的相关知识，解题的关键是通过数据特征判断函数类型，再利用待定系数法求出函数解析式，最后代入求值，贴合生活实际，侧重考查对基础知识的掌握和实际应用能力。
【难度系数】
0.8
19[2026江苏泰州调研]在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A,B分别为$(m,0),(0,n)(m＞0,n＞0)$，顶点C在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象上，顶点D在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象上.
(1)如图(1),当D点坐标为$(4,1)$时,
①求$k_2$的值;
②求$m,n$的值.
(2)如图(1),当$m,n$满足什么关系时,$k_1＞k_2$,并说明理由.
(3)如图(2),当$k_1=k_2$时,在AD的延长线上取一点$E(a,4)$,过点E作$EF⊥EA$交x轴于点F,交反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象于点G,当G为EF的中点时,代数式$m^2 - m$的值为
(1)如图(1),当D点坐标为$(4,1)$时,
①求$k_2$的值;
②求$m,n$的值.
(2)如图(1),当$m,n$满足什么关系时,$k_1＞k_2$,并说明理由.
(3)如图(2),当$k_1=k_2$时,在AD的延长线上取一点$E(a,4)$,过点E作$EF⊥EA$交x轴于点F,交反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象于点G,当G为EF的中点时,代数式$m^2 - m$的值为
6
.(直接写出结果)答案
(1)①将点$D(4,1)$代入反比例函数表达式$y=\frac{k_2}{x}(x＞0)$,
∴$k_2=4×1=4$,即$k_2$的值为4.②
∵$A(m,0)$,$B(0,n)$,
∴$OA=m$,$OB=n$.如图
,过点D作$DM⊥ x$轴于点M,∴$∠ AOB=∠ AMD=90°$.
∵$∠ BAD=90°$,
∴$∠ BAO+∠ DAM=∠ DAM+∠ ADM=90°$,
∴$∠ BAO=∠ ADM$.
∵$AB=AD$,
∴$△ AOB≌△ DMA(AAS)$,
∴$OB=AM=n$,$OA=DM=m$,
∴$OM=m+n$,
∴$D(m+n,m)$,
∴$\begin{cases}m+n=4,\\m=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}n=3,\\m=1,\end{cases}$
∴m,n的值为1,3.(2)当$m＜n$时,$k_1＞k_2$.理由如下:如图
,过点C作$CN⊥ y$轴于点N.同(1)可得$△ AOB≌△ BNC(AAS)$,$k_2=m(m+n)$,∴$OB=CN=n$,$OA=NB=m$,
∴$ON=m+n$,
∴$C(n,m+n)$,
∴$k_1=n(m+n)$.若$k_1＞k_2$,则$n(m+n)＞m(m+n)$.
∵$m+n＞0$,
∴$m＜n$,即当$m＜n$时,$k_1＞k_2$.(3)如图
,过点E作$EH⊥ x$轴于点H,由(2)得,当$k_1=k_2$时,$m=n$,∴$OA=OB$,
∴$∠ OAB=45°$,
∴$∠ EAF=45°$,
∴$△ AEF$是等腰直角三角形,
∴$EH=AH=HF$.
∵$E(a,4)$,
∴$EH=AH=HF=4$,
∴$E(m+4,4)$,$F(m+8,0)$.
∵点G是EF的中点,
∴$G(m+6,2)$.
∵$m=n$,
∴$k_1=k_2=2m^2$.
∵点$G(m+6,2)$在$y=\frac{2m^2}{x}(x＞0)$的图象上,
∴$2m^2=2(m+6)$,整理得$m^2-m=6$,故答案为6.
解析
【分析】
本题是反比例函数与正方形结合的综合题型，解题思路可分步骤推导：
(1)①求反比例函数系数$k_2$，直接将已知点D的坐标代入解析式计算即可；②求$m、n$的值，可利用正方形邻边相等、夹角为90°的性质，过点D作x轴的垂线构造与$△ AOB$全等的三角形，推导出点D坐标与$m、n$的关系，结合已知D点坐标列方程组求解。
(2)判断$k_1＞k_2$时$m、n$的关系，同理过点C作y轴的垂线构造全等三角形，得到点C的坐标，进而表示出$k_1、k_2$，比较两个代数式的大小即可得到$m、n$的数量关系。
(3)先由$k_1=k_2$推出$m=n$，再结合$EF⊥EA$可证$△ AEF$为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到E、F的坐标，再根据中点坐标公式得到G点坐标，将G点代入反比例函数解析式整理即可求出代数式的值。
【解析】
(1)①将点$D(4,1)$代入反比例函数表达式$y=\frac{k_2}{x}(x＞0)$，
∴$k_2=4×1=4$，即$k_2$的值为4。
②
∵$A(m,0)$,$B(0,n)$，
∴$OA=m$,$OB=n$。如图,过点D作$DM⊥ x$轴于点M，
∴$∠ AOB=∠ AMD=90°$。
∵$∠ BAD=90°$，
∴$∠ BAO+∠ DAM=∠ DAM+∠ ADM=90°$，
∴$∠ BAO=∠ ADM$。
∵$AB=AD$，
∴$△ AOB≌△ DMA(AAS)$，
∴$OB=AM=n$,$OA=DM=m$，
∴$OM=m+n$，
∴$D(m+n,m)$，
∴$\begin{cases}m+n=4,\\m=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}n=3,\\m=1,\end{cases}$
∴m,n的值为1,3。
(2)当$m＜n$时,$k_1＞k_2$。理由如下:如图,过点C作$CN⊥ y$轴于点N。同(1)可得$△ AOB≌△ BNC(AAS)$,$k_2=m(m+n)$，
∴$OB=CN=n$,$OA=NB=m$，
∴$ON=m+n$，
∴$C(n,m+n)$，
∴$k_1=n(m+n)$。若$k_1＞k_2$,则$n(m+n)＞m(m+n)$。
∵$m+n＞0$，
∴$m＜n$,即当$m＜n$时,$k_1＞k_2$。
(3)如图,过点E作$EH⊥ x$轴于点H,由(2)得,当$k_1=k_2$时,$m=n$，
∴$OA=OB$，
∴$∠ OAB=45°$，
∴$∠ EAF=45°$，
∴$△ AEF$是等腰直角三角形，
∴$EH=AH=HF$。
∵$E(a,4)$，
∴$EH=AH=HF=4$，
∴$E(m+4,4)$,$F(m+8,0)$。
∵点G是EF的中点，
∴$G(m+6,2)$。
∵$m=n$，
∴$k_1=k_2=2m^2$。
∵点$G(m+6,2)$在$y=\frac{2m^2}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$2m^2=2(m+6)$,整理得$m^2-m=6$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{k_2=4}$；②$\boldsymbol{m=1,n=3}$
(2)当$\boldsymbol{m＜n}$时，$k_1＞k_2$，理由见解析
(3)$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.正方形的性质
【点评】
本题将反比例函数与几何图形性质相结合，侧重考查数形结合思想的应用，解题核心是通过构造辅助线证明三角形全等，用参数表示出各点坐标后代入函数解析式求解，对综合运用几何与代数知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是反比例函数与正方形结合的综合题型，解题思路可分步骤推导：
(1)①求反比例函数系数$k_2$，直接将已知点D的坐标代入解析式计算即可；②求$m、n$的值，可利用正方形邻边相等、夹角为90°的性质，过点D作x轴的垂线构造与$△ AOB$全等的三角形，推导出点D坐标与$m、n$的关系，结合已知D点坐标列方程组求解。
(2)判断$k_1＞k_2$时$m、n$的关系，同理过点C作y轴的垂线构造全等三角形，得到点C的坐标，进而表示出$k_1、k_2$，比较两个代数式的大小即可得到$m、n$的数量关系。
(3)先由$k_1=k_2$推出$m=n$，再结合$EF⊥EA$可证$△ AEF$为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到E、F的坐标，再根据中点坐标公式得到G点坐标，将G点代入反比例函数解析式整理即可求出代数式的值。
【解析】
(1)①将点$D(4,1)$代入反比例函数表达式$y=\frac{k_2}{x}(x＞0)$，
∴$k_2=4×1=4$，即$k_2$的值为4。
②
∵$A(m,0)$,$B(0,n)$，
∴$OA=m$,$OB=n$。如图
,过点D作$DM⊥ x$轴于点M，∴$∠ AOB=∠ AMD=90°$。
∵$∠ BAD=90°$，
∴$∠ BAO+∠ DAM=∠ DAM+∠ ADM=90°$，
∴$∠ BAO=∠ ADM$。
∵$AB=AD$，
∴$△ AOB≌△ DMA(AAS)$，
∴$OB=AM=n$,$OA=DM=m$，
∴$OM=m+n$，
∴$D(m+n,m)$，
∴$\begin{cases}m+n=4,\\m=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}n=3,\\m=1,\end{cases}$
∴m,n的值为1,3。
(2)当$m＜n$时,$k_1＞k_2$。理由如下:如图
,过点C作$CN⊥ y$轴于点N。同(1)可得$△ AOB≌△ BNC(AAS)$,$k_2=m(m+n)$，∴$OB=CN=n$,$OA=NB=m$，
∴$ON=m+n$，
∴$C(n,m+n)$，
∴$k_1=n(m+n)$。若$k_1＞k_2$,则$n(m+n)＞m(m+n)$。
∵$m+n＞0$，
∴$m＜n$,即当$m＜n$时,$k_1＞k_2$。
(3)如图
,过点E作$EH⊥ x$轴于点H,由(2)得,当$k_1=k_2$时,$m=n$，∴$OA=OB$，
∴$∠ OAB=45°$，
∴$∠ EAF=45°$，
∴$△ AEF$是等腰直角三角形，
∴$EH=AH=HF$。
∵$E(a,4)$，
∴$EH=AH=HF=4$，
∴$E(m+4,4)$,$F(m+8,0)$。
∵点G是EF的中点，
∴$G(m+6,2)$。
∵$m=n$，
∴$k_1=k_2=2m^2$。
∵点$G(m+6,2)$在$y=\frac{2m^2}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$2m^2=2(m+6)$,整理得$m^2-m=6$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{k_2=4}$；②$\boldsymbol{m=1,n=3}$
(2)当$\boldsymbol{m＜n}$时，$k_1＞k_2$，理由见解析
(3)$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.正方形的性质
【点评】
本题将反比例函数与几何图形性质相结合，侧重考查数形结合思想的应用，解题核心是通过构造辅助线证明三角形全等，用参数表示出各点坐标后代入函数解析式求解，对综合运用几何与代数知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
