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10 如图,四边形 OABC 是平行四边形,对角线 OB 在 y 轴正半轴上,位于第一象限的点 A 和第二象限的点 C 分别在双曲线 $y=\frac{k_1}{x}$ 和 $y=\frac{k_2}{x}$ 的一个分支上,分别过点 A,C 作 x 轴的垂线段,垂足分别为点 M 和点 N,现给出如下四个结论:
①$\frac{AM}{CN}=\left|\frac{k_1}{k_2}\right|$；
②阴影部分的面积是 $\frac{1}{2}(k_1 + k_2)$；
③当$∠ AOC=90°$时,$|k_1|=|k_2|$；
④若四边形 OABC 是菱形,则 $k_1 + k_2=0$.
以上结论正确的是 (
A.①③
B.①②③
C.②③④
D.①④
①$\frac{AM}{CN}=\left|\frac{k_1}{k_2}\right|$；
②阴影部分的面积是 $\frac{1}{2}(k_1 + k_2)$；
③当$∠ AOC=90°$时,$|k_1|=|k_2|$；
④若四边形 OABC 是菱形,则 $k_1 + k_2=0$.
以上结论正确的是 (
D
)A.①③
B.①②③
C.②③④
D.①④
答案
D 【解析】作$AE⊥ y$轴于E,$CF⊥ y$轴于F,易得四边形OFCN、四边形OEAM是矩形.
∵四边形OABC是平行四边形,
∴$S_{△ AOB}=S_{△ COB}$,
∴$AE=CF$,
∴$OM=ON$.
∵$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k_1|=\frac{1}{2}OM· AM$,$S_{△ CON}=\frac{1}{2}|k_2|=\frac{1}{2}ON· CN$,
∴$\frac{AM}{CN}=\left|\frac{k_1}{k_2}\right|$,故①正确.
∵$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k_1|$,$S_{△ CON}=\frac{1}{2}|k_2|$,
∴$S_{阴影部分}=S_{△ AOM}+S_{△ CON}=\frac{1}{2}(|k_1|+|k_2|)$.
∵$k_1＞0$,$k_2＜0$,
∴$S_{阴影部分}=\frac{1}{2}(k_1-k_2)$,故②错误.当$∠ AOC=90°$时,四边形OABC是矩形,
∴不能确定OA与OC相等,而$OM=ON$,
∴不能判定$Rt△ AOM$与$Rt△ CON$全等,
∴不能判断AM与CN相等,
∴不能确定$|k_1|=|k_2|$,故③错误.若四边形OABC是菱形,则$OA=OC$,而$OM=ON$,
∴$Rt△ AOM≌ Rt△ CON(HL)$,
∴$S_{△ AOM}=S_{△ CON}$,
∴$|k_1|=|k_2|$,
∴$k_1=-k_2$,
∴$k_1+k_2=0$,故④正确.
∵四边形OABC是平行四边形,
∴$S_{△ AOB}=S_{△ COB}$,
∴$AE=CF$,
∴$OM=ON$.
∵$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k_1|=\frac{1}{2}OM· AM$,$S_{△ CON}=\frac{1}{2}|k_2|=\frac{1}{2}ON· CN$,
∴$\frac{AM}{CN}=\left|\frac{k_1}{k_2}\right|$,故①正确.
∵$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k_1|$,$S_{△ CON}=\frac{1}{2}|k_2|$,
∴$S_{阴影部分}=S_{△ AOM}+S_{△ CON}=\frac{1}{2}(|k_1|+|k_2|)$.
∵$k_1＞0$,$k_2＜0$,
∴$S_{阴影部分}=\frac{1}{2}(k_1-k_2)$,故②错误.当$∠ AOC=90°$时,四边形OABC是矩形,
∴不能确定OA与OC相等,而$OM=ON$,
∴不能判定$Rt△ AOM$与$Rt△ CON$全等,
∴不能判断AM与CN相等,
∴不能确定$|k_1|=|k_2|$,故③错误.若四边形OABC是菱形,则$OA=OC$,而$OM=ON$,
∴$Rt△ AOM≌ Rt△ CON(HL)$,
∴$S_{△ AOM}=S_{△ CON}$,
∴$|k_1|=|k_2|$,
∴$k_1=-k_2$,
∴$k_1+k_2=0$,故④正确.
解析
【分析】
解题时结合反比例函数k的几何意义、特殊四边形的性质逐一分析结论：1. 先利用平行四边形对角线分得的两个三角形面积相等，推导得点A、C横坐标的绝对值相等，即OM=ON；2. 结合反比例函数的几何性质：过双曲线上一点作x轴垂线，与原点、垂足围成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，依次判断4个结论：①结合两个三角形面积公式、OM=ON推导AM与CN的比例；②结合$k_1、k_2$的符号计算阴影面积，判断正误；③$∠AOC=90°$时四边形为矩形，无法确定OA=OC，不能推出$|k_1|=|k_2|$；④菱形四边相等，可证两个直角三角形全等，得$|k_1|=|k_2|$，结合k的符号判断$k_1+k_2=0$是否成立。
【解析】
作$AE⊥ y$轴于E，$CF⊥ y$轴于F，易得四边形OFCN、四边形OEAM是矩形。
∵四边形OABC是平行四边形，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ COB}$，两个三角形同底OB，高分别为AE、CF，因此$AE=CF$，即点A、C横坐标的绝对值相等，$OM=ON$。
∵点A在$y=\frac{k_1}{x}$上，点C在$y=\frac{k_2}{x}$上，
∴$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k_1|=\frac{1}{2}OM· AM$，$S_{△ CON}=\frac{1}{2}|k_2|=\frac{1}{2}ON· CN$，
结合$OM=ON$，可得$\frac{AM}{CN}=\left|\frac{k_1}{k_2}\right|$，故①正确。
阴影部分面积为两个三角形面积和：$S_{阴影}=S_{△ AOM}+S_{△ CON}=\frac{1}{2}(|k_1|+|k_2|)$，由图可知$k_1＞0$，$k_2＜0$，因此$S_{阴影}=\frac{1}{2}(k_1 - k_2)$，故②错误。
当$∠AOC=90°$时，平行四边形OABC是矩形，仅能得到对边相等，无法确定$OA=OC$，结合$OM=ON$，不能判定$Rt△AOM≌Rt△CON$，也就无法确定$AM=CN$，因此不能推出$|k_1|=|k_2|$，故③错误。
若四边形OABC是菱形，则$OA=OC$，又$OM=ON$，
∴$Rt△AOM≌Rt△CON(HL)$，因此两个三角形面积相等，即$\frac{1}{2}|k_1|=\frac{1}{2}|k_2|$，得$|k_1|=|k_2|$，结合$k_1＞0,k_2＜0$，可得$k_1=-k_2$，即$k_1 + k_2=0$，故④正确。
综上，正确的结论为①④。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，菱形的性质
【点评】
本题是反比例函数与特殊四边形的综合题，核心考点为反比例函数k的几何意义，需要结合平行四边形、菱形的性质推导坐标相关的等量关系，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时结合反比例函数k的几何意义、特殊四边形的性质逐一分析结论：1. 先利用平行四边形对角线分得的两个三角形面积相等，推导得点A、C横坐标的绝对值相等，即OM=ON；2. 结合反比例函数的几何性质：过双曲线上一点作x轴垂线，与原点、垂足围成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，依次判断4个结论：①结合两个三角形面积公式、OM=ON推导AM与CN的比例；②结合$k_1、k_2$的符号计算阴影面积，判断正误；③$∠AOC=90°$时四边形为矩形，无法确定OA=OC，不能推出$|k_1|=|k_2|$；④菱形四边相等，可证两个直角三角形全等，得$|k_1|=|k_2|$，结合k的符号判断$k_1+k_2=0$是否成立。
【解析】
作$AE⊥ y$轴于E，$CF⊥ y$轴于F，易得四边形OFCN、四边形OEAM是矩形。
∵四边形OABC是平行四边形，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ COB}$，两个三角形同底OB，高分别为AE、CF，因此$AE=CF$，即点A、C横坐标的绝对值相等，$OM=ON$。
∵点A在$y=\frac{k_1}{x}$上，点C在$y=\frac{k_2}{x}$上，
∴$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k_1|=\frac{1}{2}OM· AM$，$S_{△ CON}=\frac{1}{2}|k_2|=\frac{1}{2}ON· CN$，
结合$OM=ON$，可得$\frac{AM}{CN}=\left|\frac{k_1}{k_2}\right|$，故①正确。
阴影部分面积为两个三角形面积和：$S_{阴影}=S_{△ AOM}+S_{△ CON}=\frac{1}{2}(|k_1|+|k_2|)$，由图可知$k_1＞0$，$k_2＜0$，因此$S_{阴影}=\frac{1}{2}(k_1 - k_2)$，故②错误。
当$∠AOC=90°$时，平行四边形OABC是矩形，仅能得到对边相等，无法确定$OA=OC$，结合$OM=ON$，不能判定$Rt△AOM≌Rt△CON$，也就无法确定$AM=CN$，因此不能推出$|k_1|=|k_2|$，故③错误。
若四边形OABC是菱形，则$OA=OC$，又$OM=ON$，
∴$Rt△AOM≌Rt△CON(HL)$，因此两个三角形面积相等，即$\frac{1}{2}|k_1|=\frac{1}{2}|k_2|$，得$|k_1|=|k_2|$，结合$k_1＞0,k_2＜0$，可得$k_1=-k_2$，即$k_1 + k_2=0$，故④正确。
综上，正确的结论为①④。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，菱形的性质
【点评】
本题是反比例函数与特殊四边形的综合题，核心考点为反比例函数k的几何意义，需要结合平行四边形、菱形的性质推导坐标相关的等量关系，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
二、填空题(共24分)
11[2026山东泰安期末]如果反比例函数$y=\frac{1-2a}{x}$的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是
11[2026山东泰安期末]如果反比例函数$y=\frac{1-2a}{x}$的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是
$a＞\frac{1}{2}$
。答案
$a＞\frac{1}{2}$ 【解析】
∵反比例函数$y=\frac{1-2a}{x}$的图象在第二、四象限,
∴$1-2a＜0$,解得$a＞\frac{1}{2}$.故答案为$a＞\frac{1}{2}$.
∵反比例函数$y=\frac{1-2a}{x}$的图象在第二、四象限,
∴$1-2a＜0$,解得$a＞\frac{1}{2}$.故答案为$a＞\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：当$k＜0$时，函数图象分布在第二、四象限。本题中反比例函数的比例系数为$1-2a$，结合图象在二、四象限的条件，可列出关于$a$的不等式，求解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{1-2a}{x}$的图象在第二、四象限，
∴比例系数$1-2a＜0$，
移项得：$-2a＜-1$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得$a＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$a＞\frac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，核心是掌握反比例函数比例系数的符号与图象所在象限的对应关系，求解不等式时注意除以负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：当$k＜0$时，函数图象分布在第二、四象限。本题中反比例函数的比例系数为$1-2a$，结合图象在二、四象限的条件，可列出关于$a$的不等式，求解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{1-2a}{x}$的图象在第二、四象限，
∴比例系数$1-2a＜0$，
移项得：$-2a＜-1$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得$a＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$a＞\frac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，核心是掌握反比例函数比例系数的符号与图象所在象限的对应关系，求解不等式时注意除以负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
12 AI 名师编审 新素材 2025年7月12日，“智趣横生·AI机器人嘉年华”公益活动在深圳书城中心城拉开帷幕. 某团队参加完开幕式后,设计了一款机器狗,该款机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度$v(\mathrm{m/s})$是载重后总质量$m(\mathrm{kg})$的反比例函数. 已知该机器狗载重后总质量为90 kg时,它的最快移动速度为4 m/s. 当其载重后总质量为60 kg时,它的最快移动速度为
6
m/s.答案
6 【解析】设反比例函数表达式为$v=\frac{k}{m}$.
∵机器狗载重后总质量为90 kg时,它的最快移动速度为4 m/s,
∴$k=90×4=360$,
∴反比例函数表达式为$v=\frac{360}{m}$,
∴当$m=60$时,$v=\frac{360}{60}=6$.故答案为6.
∵机器狗载重后总质量为90 kg时,它的最快移动速度为4 m/s,
∴$k=90×4=360$,
∴反比例函数表达式为$v=\frac{360}{m}$,
∴当$m=60$时,$v=\frac{360}{60}=6$.故答案为6.
解析
【分析】
题目明确给出机器狗的最快移动速度$v$是载重后总质量$m$的反比例函数，解题可按三步推进：第一步，根据反比例函数的定义设出通用表达式；第二步，将题干给出的已知对应值（$m=90\mathrm{kg}$时$v=4\mathrm{m/s}$）代入表达式，求出未知的比例系数，确定完整的函数解析式；第三步，将待求的$m=60\mathrm{kg}$代入已求出的解析式，计算得到对应的速度值即可。
【解析】
设$v$与$m$的反比例函数表达式为$v=\frac{k}{m}\ (k≠0)$。
已知当$m=90\mathrm{kg}$时，$v=4\mathrm{m/s}$，将其代入表达式得：
$k = m· v = 90×4 = 360$
因此反比例函数的表达式为$v=\frac{360}{m}$。
当$m=60\mathrm{kg}$时，代入解析式计算得：
$v=\frac{360}{60}=6\ (\mathrm{m/s})$
【答案】
6
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合生活场景考察反比例函数的基础应用，解题核心是先利用已知条件确定函数解析式，再代入数值求解，属于基础题型，熟练掌握反比例函数基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
题目明确给出机器狗的最快移动速度$v$是载重后总质量$m$的反比例函数，解题可按三步推进：第一步，根据反比例函数的定义设出通用表达式；第二步，将题干给出的已知对应值（$m=90\mathrm{kg}$时$v=4\mathrm{m/s}$）代入表达式，求出未知的比例系数，确定完整的函数解析式；第三步，将待求的$m=60\mathrm{kg}$代入已求出的解析式，计算得到对应的速度值即可。
【解析】
设$v$与$m$的反比例函数表达式为$v=\frac{k}{m}\ (k≠0)$。
已知当$m=90\mathrm{kg}$时，$v=4\mathrm{m/s}$，将其代入表达式得：
$k = m· v = 90×4 = 360$
因此反比例函数的表达式为$v=\frac{360}{m}$。
当$m=60\mathrm{kg}$时，代入解析式计算得：
$v=\frac{360}{60}=6\ (\mathrm{m/s})$
【答案】
6
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合生活场景考察反比例函数的基础应用，解题核心是先利用已知条件确定函数解析式，再代入数值求解，属于基础题型，熟练掌握反比例函数基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
13[2026河北邢台质检]如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的面积为4,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象与边BC,AB有交点,请写出一个符合条件的k的整数值:
(第13题图)
(第14题图)
1(答案不唯一)
.(第13题图)
(第14题图)
答案
1(答案不唯一) 【解析】如图
.当反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过点B时,$k=S_{矩形OABC}=4$,∴当图象与边BC,AB有交点时,$0＜k＜4$,不妨取$k=1$,故答案为1(答案不唯一).
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|。首先观察图形，反比例函数图象在第一象限，因此k＞0；再考虑临界情况：当反比例函数经过矩形的顶点B时，对应的k值等于矩形OABC的面积，此时图象刚好只过点B，题目要求图象与BC、AB都有交点，因此k要小于该临界值，由此确定k的取值范围，再在范围内取整数即可。
【解析】
设点B的坐标为(a,b)，
∵四边形OABC是矩形，且面积为4，
∴ab=4。
当反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过点B时，将B(a,b)代入解析式得$b=\frac{k}{a}$，即$k=ab=4$。
∵反比例函数图象与边BC、AB有交点，
∴k的取值范围为$0＜k＜4$，
则符合条件的k的整数值可以为1（2、3也均可）。
【答案】
1(答案不唯一)
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义 2.矩形的性质
【点评】
本题是开放性题目，核心考查反比例函数k的几何意义的应用，解题的关键是找到反比例函数经过矩形顶点B这一临界情况，进而确定k的取值范围，难度较低，只要掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|。首先观察图形，反比例函数图象在第一象限，因此k＞0；再考虑临界情况：当反比例函数经过矩形的顶点B时，对应的k值等于矩形OABC的面积，此时图象刚好只过点B，题目要求图象与BC、AB都有交点，因此k要小于该临界值，由此确定k的取值范围，再在范围内取整数即可。
【解析】
设点B的坐标为(a,b)，
∵四边形OABC是矩形，且面积为4，
∴ab=4。
当反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过点B时，将B(a,b)代入解析式得$b=\frac{k}{a}$，即$k=ab=4$。
∵反比例函数图象与边BC、AB有交点，
∴k的取值范围为$0＜k＜4$，
则符合条件的k的整数值可以为1（2、3也均可）。
【答案】
1(答案不唯一)
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义 2.矩形的性质
【点评】
本题是开放性题目，核心考查反比例函数k的几何意义的应用，解题的关键是找到反比例函数经过矩形顶点B这一临界情况，进而确定k的取值范围，难度较低，只要掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
14 如图,直线 $y=\dfrac{1}{2}x-1$ 与 $x$ 轴交于点 $B$,与双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 交于点 $A$,过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线,与双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 交于点 $C$,且 $AB=AC$,则 $k$ 的值为
4
。答案
4 【解析】
∵直线$y=\frac{1}{2}x-1$与x轴交于点B,
∴令$y=0$,解得$x=2$,
∴点B的坐标为$(2,0)$.又
∵过点B作x轴的垂线,与双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$交于点C,
∴点C的坐标为$(2,\frac{k}{2})$.
∵$AB=AC$,
∴点A在线段BC的垂直平分线上,
∴点A的纵坐标为$\frac{k}{4}$.
∵点A在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上,
∴$\frac{k}{4}=\frac{k}{x}$,
∴$x=4$,
∴$A(4,\frac{k}{4})$.又
∵点$A(4,\frac{k}{4})$在直线$y=\frac{1}{2}x-1$上,
∴$\frac{k}{4}=\frac{1}{2}×4-1$,解得$k=4$.故答案为4.
∵直线$y=\frac{1}{2}x-1$与x轴交于点B,
∴令$y=0$,解得$x=2$,
∴点B的坐标为$(2,0)$.又
∵过点B作x轴的垂线,与双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$交于点C,
∴点C的坐标为$(2,\frac{k}{2})$.
∵$AB=AC$,
∴点A在线段BC的垂直平分线上,
∴点A的纵坐标为$\frac{k}{4}$.
∵点A在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上,
∴$\frac{k}{4}=\frac{k}{x}$,
∴$x=4$,
∴$A(4,\frac{k}{4})$.又
∵点$A(4,\frac{k}{4})$在直线$y=\frac{1}{2}x-1$上,
∴$\frac{k}{4}=\frac{1}{2}×4-1$,解得$k=4$.故答案为4.
解析
【分析】
解题时先从已知的一次函数解析式入手，先求直线与x轴交点B的坐标；再结合BC垂直x轴的条件，得到C点的横坐标，代入反比例函数表示出C点坐标；接着利用AB=AC的条件，可知点A在BC的垂直平分线上，BC是竖直线段，其垂直平分线为水平线，因此可得到点A的纵坐标；再将A点纵坐标代入反比例函数，求出A点横坐标；最后把A点坐标代入一次函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
∵直线$y=\dfrac{1}{2}x-1$与x轴交于点B，令$y=0$，则$0=\dfrac{1}{2}x-1$，解得$x=2$，
∴点B的坐标为$(2,0)$。
∵过点B作x轴的垂线，与双曲线$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$交于点C，
∴点C的横坐标为2，代入反比例函数得$y=\dfrac{k}{2}$，即点C坐标为$(2,\dfrac{k}{2})$。
∵$AB=AC$，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，BC为竖直线段，其中点纵坐标为$\dfrac{0+\dfrac{k}{2}}{2}=\dfrac{k}{4}$，因此点A的纵坐标为$\dfrac{k}{4}$。
∵点A在双曲线$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$上，将$y=\dfrac{k}{4}$代入得$\dfrac{k}{4}=\dfrac{k}{x}$，解得$x=4$，
∴点A的坐标为$(4,\dfrac{k}{4})$。
又
∵点A在直线$y=\dfrac{1}{2}x-1$上，代入坐标得$\dfrac{k}{4}=\dfrac{1}{2}×4 -1$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题为一次函数与反比例函数的综合题型，解题的关键是结合等腰三角形的性质推导出点A的纵坐标特征，再结合函数图象上点的坐标与解析式的关系逐步推导，较好地考查了函数与几何结合的分析运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的一次函数解析式入手，先求直线与x轴交点B的坐标；再结合BC垂直x轴的条件，得到C点的横坐标，代入反比例函数表示出C点坐标；接着利用AB=AC的条件，可知点A在BC的垂直平分线上，BC是竖直线段，其垂直平分线为水平线，因此可得到点A的纵坐标；再将A点纵坐标代入反比例函数，求出A点横坐标；最后把A点坐标代入一次函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
∵直线$y=\dfrac{1}{2}x-1$与x轴交于点B，令$y=0$，则$0=\dfrac{1}{2}x-1$，解得$x=2$，
∴点B的坐标为$(2,0)$。
∵过点B作x轴的垂线，与双曲线$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$交于点C，
∴点C的横坐标为2，代入反比例函数得$y=\dfrac{k}{2}$，即点C坐标为$(2,\dfrac{k}{2})$。
∵$AB=AC$，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，BC为竖直线段，其中点纵坐标为$\dfrac{0+\dfrac{k}{2}}{2}=\dfrac{k}{4}$，因此点A的纵坐标为$\dfrac{k}{4}$。
∵点A在双曲线$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$上，将$y=\dfrac{k}{4}$代入得$\dfrac{k}{4}=\dfrac{k}{x}$，解得$x=4$，
∴点A的坐标为$(4,\dfrac{k}{4})$。
又
∵点A在直线$y=\dfrac{1}{2}x-1$上，代入坐标得$\dfrac{k}{4}=\dfrac{1}{2}×4 -1$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题为一次函数与反比例函数的综合题型，解题的关键是结合等腰三角形的性质推导出点A的纵坐标特征，再结合函数图象上点的坐标与解析式的关系逐步推导，较好地考查了函数与几何结合的分析运算能力。
【难度系数】
0.6
15[2026江苏苏州期中]如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的一条边OA在y轴上,OA=4,AB=3,∠OAB=90°.将△OAB向右平移,某一时刻,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象恰好经过点A和OB的中点C,则平移的长度是
$\frac{3}{2}$
.答案
$\frac{3}{2}$ 【解析】
∵Rt△OAB的一条边OA在y轴上,$OA=4$,$AB=3$,
∴$A(0,4)$,$B(3,4)$,
∴OB的中点为$C(\frac{3}{2},2)$.设△OAB向右平移a个单位长度,则平移后的点$A(a,4)$,$C(\frac{3}{2}+a,2)$.
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象恰好经过平移后的点$A(a,4)$,$C(\frac{3}{2}+a,2)$,
∴$k=4a=2(\frac{3}{2}+a)$,解得$a=\frac{3}{2}$,
∴平移的长度是$\frac{3}{2}$.故答案为$\frac{3}{2}$.
∵Rt△OAB的一条边OA在y轴上,$OA=4$,$AB=3$,
∴$A(0,4)$,$B(3,4)$,
∴OB的中点为$C(\frac{3}{2},2)$.设△OAB向右平移a个单位长度,则平移后的点$A(a,4)$,$C(\frac{3}{2}+a,2)$.
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象恰好经过平移后的点$A(a,4)$,$C(\frac{3}{2}+a,2)$,
∴$k=4a=2(\frac{3}{2}+a)$,解得$a=\frac{3}{2}$,
∴平移的长度是$\frac{3}{2}$.故答案为$\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
解题可按照三步思路展开：第一步先结合Rt△OAB的边长和位置，确定平移前各点的坐标，算出OB中点C的原始坐标；第二步设向右平移的长度为a，根据“向右平移时点的横坐标加a、纵坐标不变”的平移规律，写出平移后点A和点C的坐标；第三步利用“反比例函数图象上的点横、纵坐标的乘积等于k”的性质，将两个点的坐标代入解析式，列关于a的方程求解，即可得到平移长度。
【解析】
解：
∵Rt△OAB的边OA在y轴上，∠OAB=90°，OA=4，AB=3，
∴平移前点A的坐标为$(0,4)$，点B的坐标为$(3,4)$，
根据中点坐标公式，可得OB的中点C平移前的坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{0+4}{2})$，即$(\frac{3}{2},2)$。
设△OAB向右平移的长度为$a$个单位，则平移后：
点A的坐标为$(a,4)$，点C的坐标为$(\frac{3}{2}+a,2)$。
∵平移后的A、C均在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象上，
∴两个点的横纵坐标乘积都等于$k$，可列方程：
$4a=2×(\frac{3}{2}+a)$
解方程得：
$4a=3+2a$
$2a=3$
$a=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
点的平移规律，反比例函数的性质，中点坐标计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与函数结合的基础综合题，解题核心是准确表示平移后点的坐标，灵活运用反比例函数的特征建立方程求解，能有效考察学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题可按照三步思路展开：第一步先结合Rt△OAB的边长和位置，确定平移前各点的坐标，算出OB中点C的原始坐标；第二步设向右平移的长度为a，根据“向右平移时点的横坐标加a、纵坐标不变”的平移规律，写出平移后点A和点C的坐标；第三步利用“反比例函数图象上的点横、纵坐标的乘积等于k”的性质，将两个点的坐标代入解析式，列关于a的方程求解，即可得到平移长度。
【解析】
解：
∵Rt△OAB的边OA在y轴上，∠OAB=90°，OA=4，AB=3，
∴平移前点A的坐标为$(0,4)$，点B的坐标为$(3,4)$，
根据中点坐标公式，可得OB的中点C平移前的坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{0+4}{2})$，即$(\frac{3}{2},2)$。
设△OAB向右平移的长度为$a$个单位，则平移后：
点A的坐标为$(a,4)$，点C的坐标为$(\frac{3}{2}+a,2)$。
∵平移后的A、C均在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象上，
∴两个点的横纵坐标乘积都等于$k$，可列方程：
$4a=2×(\frac{3}{2}+a)$
解方程得：
$4a=3+2a$
$2a=3$
$a=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
点的平移规律，反比例函数的性质，中点坐标计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与函数结合的基础综合题，解题核心是准确表示平移后点的坐标，灵活运用反比例函数的特征建立方程求解，能有效考察学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
16[2025江苏无锡期中]如图,已知一次函数$y=mx+n$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象交于$A(3,a),B(14-2a,2)$两点,点$C$是$x$轴上一点,点$D$是坐标平面内一点,若四边形$ACBD$是以$AB$为对角线的菱形,则点$C$的坐标为
$(\frac{5}{2},0)$
.答案
$(\frac{5}{2},0)$ 【解析】
∵点$A(3,a)$,点$B(14-2a,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,
∴$3× a=(14-2a)×2$,解得$a=4$,
∴$A(3,4)$,$B(6,2)$.过点A作$AE⊥ x$轴于点E,过点B作$BF⊥ x$轴于点F,如图
,则$AE=4$,$BF=2$.∵点C在x轴上,
∴设点C的坐标为$(x,0)$,
∴$OC=x$,
∴$CE=3-x$,$CF=6-x$.由勾股定理得,$AE^2+CE^2=AC^2$,$BF^2+CF^2=BC^2$.又
∵四边形ACBD是菱形,
∴$AC=CB$,
∴$AE^2+CE^2=BF^2+CF^2$,即$4^2+(3-x)^2=2^2+(6-x)^2$,解得$x=\frac{5}{2}$,
∴点C的坐标为$(\frac{5}{2},0)$.
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即点的横、纵坐标的乘积等于反比例函数的比例系数k，列出关于a的等式，求出a的值，即可得到A、B两点的坐标；第二步，结合菱形的性质，菱形的四条边相等，已知AB为对角线，所以邻边AC=BC；第三步，设点C的坐标为(x,0)，过A、B分别作x轴的垂线，利用勾股定理分别表示出AC²和BC²，根据AC=BC列方程求解x，即可得到点C的坐标。
【解析】
∵点$A(3,a)$、$B(14-2a,2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
∴反比例函数中$k=xy$，即$3a = 2×(14-2a)$，
解得$a=4$，
∴$A(3,4)$，$14-2a=14-8=6$，即$B(6,2)$。
过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，过点$B$作$BF⊥ x$轴于点$F$，如图，则$AE=4$，$BF=2$。
设点$C$的坐标为$(x,0)$，
则$CE=3-x$，$CF=6-x$，
由勾股定理可得：$AC^2=AE^2+CE^2$，$BC^2=BF^2+CF^2$，
∵四边形$ACBD$是以$AB$为对角线的菱形，
∴$AC=BC$，即$AC^2=BC^2$，
代入得：$4^2+(3-x)^2=2^2+(6-x)^2$，
展开计算：$16 + 9 -6x +x^2 = 4 + 36 -12x +x^2$，
化简得：$25-6x=40-12x$，
移项得：$6x=15$，
解得$x=\dfrac{5}{2}$，
∴点$C$的坐标为$(\dfrac{5}{2},0)$。
【答案】
$(\dfrac{5}{2},0)$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是反比例函数与菱形结合的综合题，解题的核心是先利用反比例函数的性质求出A、B两点的坐标，再结合菱形邻边相等的性质，通过勾股定理建立方程求解未知点坐标，这类题型是函数与几何结合的典型考法，需要熟练掌握相关性质的灵活应用。
【难度系数】
0.6
解题可按三步思考：第一步，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即点的横、纵坐标的乘积等于反比例函数的比例系数k，列出关于a的等式，求出a的值，即可得到A、B两点的坐标；第二步，结合菱形的性质，菱形的四条边相等，已知AB为对角线，所以邻边AC=BC；第三步，设点C的坐标为(x,0)，过A、B分别作x轴的垂线，利用勾股定理分别表示出AC²和BC²，根据AC=BC列方程求解x，即可得到点C的坐标。
【解析】
∵点$A(3,a)$、$B(14-2a,2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
∴反比例函数中$k=xy$，即$3a = 2×(14-2a)$，
解得$a=4$，
∴$A(3,4)$，$14-2a=14-8=6$，即$B(6,2)$。
过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，过点$B$作$BF⊥ x$轴于点$F$，如图
，则$AE=4$，$BF=2$。设点$C$的坐标为$(x,0)$，
则$CE=3-x$，$CF=6-x$，
由勾股定理可得：$AC^2=AE^2+CE^2$，$BC^2=BF^2+CF^2$，
∵四边形$ACBD$是以$AB$为对角线的菱形，
∴$AC=BC$，即$AC^2=BC^2$，
代入得：$4^2+(3-x)^2=2^2+(6-x)^2$，
展开计算：$16 + 9 -6x +x^2 = 4 + 36 -12x +x^2$，
化简得：$25-6x=40-12x$，
移项得：$6x=15$，
解得$x=\dfrac{5}{2}$，
∴点$C$的坐标为$(\dfrac{5}{2},0)$。
【答案】
$(\dfrac{5}{2},0)$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是反比例函数与菱形结合的综合题，解题的核心是先利用反比例函数的性质求出A、B两点的坐标，再结合菱形邻边相等的性质，通过勾股定理建立方程求解未知点坐标，这类题型是函数与几何结合的典型考法，需要熟练掌握相关性质的灵活应用。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共36分)
17[2026江苏盐城质检]如图所示,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于$A(2,3),B(5-t,-1)$两点.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)直接写出关于$x$的不等式$kx+b-\frac{m}{x}≤0$的解集.
17[2026江苏盐城质检]如图所示,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于$A(2,3),B(5-t,-1)$两点.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)直接写出关于$x$的不等式$kx+b-\frac{m}{x}≤0$的解集.
答案
(1)
∵一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于点$A(2,3)$,$B(5-t,-1)$,
∴$m=2×3=6$,
∴$-1×(5-t)=6$,
∴$t=11$,
∴$B(-6,-1)$.将$A(2,3)$,$B(-6,-1)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}2k+b=3,\\-6k+b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=2,\end{cases}$
∴一次函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$,反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$.(2)$x≤-6$或$0＜x≤2$.
∵$kx+b-\frac{m}{x}≤0$,
∴$kx+b≤\frac{m}{x}$.由图象可知关于x的不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的解集为$x≤-6$或$0＜x≤2$.
∵一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于点$A(2,3)$,$B(5-t,-1)$,
∴$m=2×3=6$,
∴$-1×(5-t)=6$,
∴$t=11$,
∴$B(-6,-1)$.将$A(2,3)$,$B(-6,-1)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}2k+b=3,\\-6k+b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=2,\end{cases}$
∴一次函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$,反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$.(2)$x≤-6$或$0＜x≤2$.
∵$kx+b-\frac{m}{x}≤0$,
∴$kx+b≤\frac{m}{x}$.由图象可知关于x的不等式$kx+b≤\frac{m}{x}$的解集为$x≤-6$或$0＜x≤2$.
解析
【分析】
(1) 求函数表达式采用待定系数法：首先利用反比例函数的性质，即反比例函数上任意一点的横、纵坐标乘积等于比例系数m，代入已知点A的坐标可直接求出m，得到反比例函数表达式；再将点B的纵坐标代入反比例函数表达式，求出点B的横坐标，得到点B的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，联立二元一次方程组求解得到k、b的值，即可得到一次函数表达式。
(2) 先将不等式变形为$kx+b≤\frac{m}{x}$，其几何意义是一次函数的函数值小于等于反比例函数的函数值，结合函数图像，分$x＜0$和$x＞0$两个区间，找出一次函数图像在反比例函数图像下方（含交点）对应的x的取值范围即可，注意反比例函数自变量$x≠0$。
【解析】
(1)
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象过点$A(2,3)$
∴$m=2×3=6$，即反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$
∵点$B(5-t,-1)$在反比例函数图象上
∴$(5-t)×(-1)=6$，解得$t=11$，即B点坐标为$(-6,-1)$
将$A(2,3)$、$B(-6,-1)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}2k+b=3\\-6k+b=-1\end{cases}$
两式相减得$8k=4$，解得$k=\frac{1}{2}$，将$k=\frac{1}{2}$代入$2k+b=3$，解得$b=2$
∴一次函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$
(2) 不等式$kx+b-\frac{m}{x}≤0$可变形为$kx+b≤\frac{m}{x}$，即一次函数值小于等于反比例函数值。
结合图象分析：当$x≤-6$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足条件；当$0＜x≤2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足条件；$x=0$时反比例函数无意义，需排除。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$；
(2) $\boldsymbol{x≤-6}$或$\boldsymbol{0＜x≤2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，函数图象解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本技能，也考查了数形结合思想的应用，解题时需注意反比例函数自变量不能为0的限制，避免漏写取值范围的约束条件。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数表达式采用待定系数法：首先利用反比例函数的性质，即反比例函数上任意一点的横、纵坐标乘积等于比例系数m，代入已知点A的坐标可直接求出m，得到反比例函数表达式；再将点B的纵坐标代入反比例函数表达式，求出点B的横坐标，得到点B的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，联立二元一次方程组求解得到k、b的值，即可得到一次函数表达式。
(2) 先将不等式变形为$kx+b≤\frac{m}{x}$，其几何意义是一次函数的函数值小于等于反比例函数的函数值，结合函数图像，分$x＜0$和$x＞0$两个区间，找出一次函数图像在反比例函数图像下方（含交点）对应的x的取值范围即可，注意反比例函数自变量$x≠0$。
【解析】
(1)
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象过点$A(2,3)$
∴$m=2×3=6$，即反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$
∵点$B(5-t,-1)$在反比例函数图象上
∴$(5-t)×(-1)=6$，解得$t=11$，即B点坐标为$(-6,-1)$
将$A(2,3)$、$B(-6,-1)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}2k+b=3\\-6k+b=-1\end{cases}$
两式相减得$8k=4$，解得$k=\frac{1}{2}$，将$k=\frac{1}{2}$代入$2k+b=3$，解得$b=2$
∴一次函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$
(2) 不等式$kx+b-\frac{m}{x}≤0$可变形为$kx+b≤\frac{m}{x}$，即一次函数值小于等于反比例函数值。
结合图象分析：当$x≤-6$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足条件；当$0＜x≤2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足条件；$x=0$时反比例函数无意义，需排除。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$；
(2) $\boldsymbol{x≤-6}$或$\boldsymbol{0＜x≤2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，函数图象解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本技能，也考查了数形结合思想的应用，解题时需注意反比例函数自变量不能为0的限制，避免漏写取值范围的约束条件。
【难度系数】
0.7
