登录
1.点 C 是线段 AB 上任意一点,点 M,N 分别是AC,BC 的中点,下列说法正确的是（
A.$AM=CN$
B.当点 C 为 AB 的中点时,$AN=2MC$
C.如果$MC=CN$,那么$AB=4AM$
D.如果$BC=2AC$,那么$AM=\frac{1}{4}AB$
C
）A.$AM=CN$
B.当点 C 为 AB 的中点时,$AN=2MC$
C.如果$MC=CN$,那么$AB=4AM$
D.如果$BC=2AC$,那么$AM=\frac{1}{4}AB$
答案
(1) $0.5\ \mathrm{m} ≤ h ≤ 1.5\ \mathrm{m}$；(2) $0.5\ \mathrm{m}$，摆动时间为0.7秒时，秋千离地面的高度是0.5米
解析
(1) 观察h-t图像，可得秋千离地面高度h的最大值为1.5m，最小值为0.5m，因此变量h的取值范围是0.5≤h≤1.5；(2) 找到横坐标t=0.7s对应的图像点，可知此时h=0.5m，它的实际意义是摆动时间为0.7s时，秋千离地面的高度为0.5m。
2. 已知线段AB=10 cm，C是直线AB上一点，BC=4 cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（
A.3 cm
B.5 cm
C.3 cm或7 cm
D.5 cm或7 cm
B
）A.3 cm
B.5 cm
C.3 cm或7 cm
D.5 cm或7 cm
答案
解析:①当点C在线段AB上时,如图①,
因为AB=10 cm,BC=4 cm,所以$AC=AB-BC=10-4=6$(cm).因为M是AC的中点,N是BC的中点,所以$MC=\frac{1}{2}AC=3$ cm,$CN=\frac{1}{2}BC=2$ cm,所以$MN=MC+CN=3+2=5$(cm);②当点C在线段AB的延长线时,如图②,
因为AB=10 cm,BC=4 cm,所以$AC=AB+BC=10+4=14$(cm).因为M是AC的中点,N是BC的中点,所以$MC=\frac{1}{2}AC=7$ cm,$CN=\frac{1}{2}BC=2$ cm,所以$MN=MC-CN=7-2=5$(cm).综上,线段MN的长度是5 cm.故选B.
解析
【分析】
本题中点C在直线AB上，因此点C的位置存在两种情况：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。解题时先分两种情况讨论，结合线段中点的性质分别求出MC、CN的长度，再根据点的位置关系通过线段和差计算MN的长度，最后汇总结果即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论：
①当点C在线段AB上时，如图①，
已知AB=10 cm，BC=4 cm，所以$AC=AB-BC=10-4=6$(cm)。
因为M是AC的中点，N是BC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC=3$ cm，$CN=\frac{1}{2}BC=2$ cm，
所以$MN=MC+CN=3+2=5$(cm)。
②当点C在线段AB的延长线时，如图②，
已知AB=10 cm，BC=4 cm，所以$AC=AB+BC=10+4=14$(cm)。
因为M是AC的中点，N是BC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC=7$ cm，$CN=\frac{1}{2}BC=2$ cm，
所以$MN=MC-CN=7-2=5$(cm)。
综上，线段MN的长度是5 cm。
【答案】B
【知识点】
线段中点性质、线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“直线AB”的条件，漏考虑点C在线段AB延长线上的情况。解题时结合中点性质分情况计算即可，本题也体现了双中点模型的规律：MN的长度恒等于AB长度的一半。
【难度系数】
0.7
本题中点C在直线AB上，因此点C的位置存在两种情况：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。解题时先分两种情况讨论，结合线段中点的性质分别求出MC、CN的长度，再根据点的位置关系通过线段和差计算MN的长度，最后汇总结果即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论：
①当点C在线段AB上时，如图①，
已知AB=10 cm，BC=4 cm，所以$AC=AB-BC=10-4=6$(cm)。
因为M是AC的中点，N是BC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC=3$ cm，$CN=\frac{1}{2}BC=2$ cm，
所以$MN=MC+CN=3+2=5$(cm)。
②当点C在线段AB的延长线时，如图②，
已知AB=10 cm，BC=4 cm，所以$AC=AB+BC=10+4=14$(cm)。
因为M是AC的中点，N是BC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC=7$ cm，$CN=\frac{1}{2}BC=2$ cm，
所以$MN=MC-CN=7-2=5$(cm)。
综上，线段MN的长度是5 cm。
【答案】B
【知识点】
线段中点性质、线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“直线AB”的条件，漏考虑点C在线段AB延长线上的情况。解题时结合中点性质分情况计算即可，本题也体现了双中点模型的规律：MN的长度恒等于AB长度的一半。
【难度系数】
0.7
3. 如图，C,D是线段AB上的两点，CD=1 cm，M是AD的中点，N是BC的中点，且MN=4.5 cm，则线段AB的长为（
）
A.8 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
）A.8 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
解析:因为M是AD的中点,N是BC的中点,所以$AM=DM=\frac{1}{2}(AC+CD)$,$CN=BN=\frac{1}{2}BC$,所以$MN=DM+CN-CD=\frac{1}{2}(AC+CD+BC)-CD=\frac{1}{2}(AB+CD)-CD$.因为MN=4.5 cm,CD=1 cm,所以$4.5=\frac{1}{2}(AB+1)-1$,所以$AB=(4.5+1)×2-1=10$(cm).故选B.
解析
【分析】
解题时首先抓住题目中的“中点”条件，回忆线段中点的性质：中点可将对应线段分为等长的两部分。我们需要建立已知线段MN、CD和待求线段AB的数量关系：先根据中点性质表示出DM、CN的长度，再观察MN的构成——MN是DM与CN的和减去二者重叠的CD段，随后将AD+BC转化为AB+CD（AD和BC相加时CD被重复计算1次），即可得到MN和AB、CD的等量关系，最后代入数值解方程就能求出AB的长度。
【解析】
解：
∵M是AD的中点，N是BC的中点
∴$DM=\frac{1}{2}AD$，$CN=\frac{1}{2}BC$
观察线段组成可知：$MN = DM + CN - CD$（DM和CN重叠了CD段，相加后需减去重复的CD）
代入DM、CN的表达式得：
$MN=\frac{1}{2}AD + \frac{1}{2}BC - CD = \frac{1}{2}(AD+BC) - CD$
又
∵$AD + BC = (AC+CD) + (CD+DB) = AB + CD$
∴$MN=\frac{1}{2}(AB + CD) - CD$
将$MN=4.5\mathrm{cm}$，$CD=1\mathrm{cm}$代入上式：
$4.5=\frac{1}{2}(AB + 1) - 1$
移项计算得：$\frac{1}{2}(AB+1)=5.5$，即$AB+1=11$
解得$AB=10\mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段双中点模型的典型习题，解题核心是利用中点性质转化线段关系，通过分析线段的重叠部分搭建已知量和未知量的联系，也可通过设未知数列方程求解，能锻炼对线段关系的梳理与分析能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住题目中的“中点”条件，回忆线段中点的性质：中点可将对应线段分为等长的两部分。我们需要建立已知线段MN、CD和待求线段AB的数量关系：先根据中点性质表示出DM、CN的长度，再观察MN的构成——MN是DM与CN的和减去二者重叠的CD段，随后将AD+BC转化为AB+CD（AD和BC相加时CD被重复计算1次），即可得到MN和AB、CD的等量关系，最后代入数值解方程就能求出AB的长度。
【解析】
解：
∵M是AD的中点，N是BC的中点
∴$DM=\frac{1}{2}AD$，$CN=\frac{1}{2}BC$
观察线段组成可知：$MN = DM + CN - CD$（DM和CN重叠了CD段，相加后需减去重复的CD）
代入DM、CN的表达式得：
$MN=\frac{1}{2}AD + \frac{1}{2}BC - CD = \frac{1}{2}(AD+BC) - CD$
又
∵$AD + BC = (AC+CD) + (CD+DB) = AB + CD$
∴$MN=\frac{1}{2}(AB + CD) - CD$
将$MN=4.5\mathrm{cm}$，$CD=1\mathrm{cm}$代入上式：
$4.5=\frac{1}{2}(AB + 1) - 1$
移项计算得：$\frac{1}{2}(AB+1)=5.5$，即$AB+1=11$
解得$AB=10\mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段双中点模型的典型习题，解题核心是利用中点性质转化线段关系，通过分析线段的重叠部分搭建已知量和未知量的联系，也可通过设未知数列方程求解，能锻炼对线段关系的梳理与分析能力。
【难度系数】
0.6
4.已知:如图,点M在线段AN的延长线上,且线段$MN=128$,第1次操作:分别取线段AM和AN的中点$M_1,N_1$,第2次操作:分别取线段$AM_1$和$AN_1$的中点$M_2,N_2$,第3次操作:分别取线段$AM_2$和$AN_2$的中点$M_3,N_3$,连续这样操作5次,则$M_5N_5=$
4
.答案
解析:因为AM的中点是$M_1$,AN的中点是$N_1$,所以$AM_1=\frac{1}{2}AM$,$AN_1=\frac{1}{2}AN$,所以$M_1N_1=AM_1-AN_1=\frac{1}{2}(AM-AN)=\frac{1}{2}MN$.因为MN=128,所以$M_1N_1=\frac{1}{2}MN=64$,同理可得$M_2N_2=\frac{1}{2}M_1N_1=32$,$M_3N_3=\frac{1}{2}M_2N_2=16$,$M_4N_4=\frac{1}{2}M_3N_3=8$,$M_5N_5=\frac{1}{2}M_4N_4=4$.
解析
【分析】
本题属于线段中点结合规律探究的问题，解题思路如下：首先根据线段中点的性质，中点将线段分成相等的两段，可推导出第一次操作得到的$M_1N_1$与原线段$MN$的数量关系；再以此类推，可发现每次操作后得到的线段$M_nN_n$的长度都是前一次所得线段长度的$\frac{1}{2}$，找到这个规律后，代入已知$MN$的长度计算操作5次后的结果即可。
【解析】
解：
∵点$M_1$是$AM$的中点，点$N_1$是$AN$的中点
∴$AM_1=\frac{1}{2}AM$，$AN_1=\frac{1}{2}AN$
∴$M_1N_1=AM_1-AN_1=\frac{1}{2}(AM-AN)=\frac{1}{2}MN$
已知$MN=128$，代入得：$M_1N_1=\frac{1}{2}×128=64$
同理可得：
$M_2N_2=\frac{1}{2}M_1N_1=\frac{1}{2}×64=32$
$M_3N_3=\frac{1}{2}M_2N_2=\frac{1}{2}×32=16$
$M_4N_4=\frac{1}{2}M_3N_3=\frac{1}{2}×16=8$
$M_5N_5=\frac{1}{2}M_4N_4=\frac{1}{2}×8=4$
【答案】
4
【知识点】
线段中点的定义、线段和差计算、规律探究
【点评】
本题考查线段中点的应用和规律的推导，解题的核心是通过第一次的双中点计算，总结出每次操作后新线段长度是前一次的$\frac{1}{2}$的规律，掌握线段中点性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题属于线段中点结合规律探究的问题，解题思路如下：首先根据线段中点的性质，中点将线段分成相等的两段，可推导出第一次操作得到的$M_1N_1$与原线段$MN$的数量关系；再以此类推，可发现每次操作后得到的线段$M_nN_n$的长度都是前一次所得线段长度的$\frac{1}{2}$，找到这个规律后，代入已知$MN$的长度计算操作5次后的结果即可。
【解析】
解：
∵点$M_1$是$AM$的中点，点$N_1$是$AN$的中点
∴$AM_1=\frac{1}{2}AM$，$AN_1=\frac{1}{2}AN$
∴$M_1N_1=AM_1-AN_1=\frac{1}{2}(AM-AN)=\frac{1}{2}MN$
已知$MN=128$，代入得：$M_1N_1=\frac{1}{2}×128=64$
同理可得：
$M_2N_2=\frac{1}{2}M_1N_1=\frac{1}{2}×64=32$
$M_3N_3=\frac{1}{2}M_2N_2=\frac{1}{2}×32=16$
$M_4N_4=\frac{1}{2}M_3N_3=\frac{1}{2}×16=8$
$M_5N_5=\frac{1}{2}M_4N_4=\frac{1}{2}×8=4$
【答案】
4
【知识点】
线段中点的定义、线段和差计算、规律探究
【点评】
本题考查线段中点的应用和规律的推导，解题的核心是通过第一次的双中点计算，总结出每次操作后新线段长度是前一次的$\frac{1}{2}$的规律，掌握线段中点性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5. (2025·孝感期末)已知线段AB上的两点C, D,D为线段BC的中点,AD+CD=12.
(1)如图①,求线段AB的长.
(2)如图②,点E在线段AB的延长线上,点F在线段BD上,满足$CD=2BF+BE$,则点F是否为线段DE的中点?请作出判断,并说明理由.
(3)如图③,在(2)的条件下,$BE = \frac{1}{2}AC$, M为AB的中点,$MF=4$,求AC的长.
(1)如图①,求线段AB的长.
(2)如图②,点E在线段AB的延长线上,点F在线段BD上,满足$CD=2BF+BE$,则点F是否为线段DE的中点?请作出判断,并说明理由.
(3)如图③,在(2)的条件下,$BE = \frac{1}{2}AC$, M为AB的中点,$MF=4$,求AC的长.
答案
解：
$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）
$b=0$（$k$为常数，$k≠0$）
$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）
$b=0$（$k$为常数，$k≠0$）
解析
【分析】
(1) 解题思路：已知D是BC中点，根据中点性质可得CD=BD，将所求AB拆分为AD+BD，替换BD为CD后，可直接代入已知条件AD+CD=12求出AB的长度。
(2) 解题思路：要判断F是否为DE中点，只需证明DF=FE。结合CD=BD的结论，将已知条件CD=2BF+BE中的CD替换为BD，对等式变形移项即可得到DF=FE，从而得出结论。
(3) 解题思路：利用前两问得到的AB=12、F是DE中点的结论，设AC的长度为x，用含x的式子表示出各相关线段的长度，再结合M是AB中点的性质，根据MF=4的等量关系列方程，解方程即可求出AC的长。
【解析】
(1) 解：
∵D为线段BC的中点，
∴CD=BD，
又
∵AD+CD=12，
∴AB=AD+BD=AD+CD=12。
(2) 点F是线段DE的中点，理由如下：
∵D为BC的中点，
∴CD=DB，
已知CD=2BF+BE，
∴DB=2BF+BE，
等式两边同时减BF，得：DB-BF=BF+BE，
∵DB-BF=DF，BF+BE=FE，
∴DF=FE，即点F为DE的中点。
(3) 解：由(1)得AB=12，
设AC=x，
∵$BE=\frac{1}{2}AC$，
∴$BE=\frac{1}{2}x$，
∵BC=AB-AC=12-x，且D是BC中点，
∴$CD=DB=\frac{12-x}{2}$，
∵M为AB的中点，
∴$AM=BM=\frac{1}{2}AB=6$，
∴$DE=DB+BE=\frac{12-x}{2}+\frac{1}{2}x=6$，
由(2)知F为DE的中点，
∴$DF=\frac{1}{2}DE=3$，
根据线段和差关系得：$MF=AC+CD+DF-AM=4$，
代入各线段表达式得：$x+\frac{12-x}{2}+3-6=4$，
解得：x=2。
【答案】
(1) 线段AB的长为12；
(2) 点F是线段DE的中点；
(3) AC的长为2。
【知识点】
线段中点的定义、线段和差计算、方程法求线段长
【点评】
本题是线段计算的典型题型，设置层层递进的问题，前两问侧重线段中点性质与和差关系的基础应用，第三问需要结合前序结论建立方程求解，能够很好地考查逻辑推理能力和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：已知D是BC中点，根据中点性质可得CD=BD，将所求AB拆分为AD+BD，替换BD为CD后，可直接代入已知条件AD+CD=12求出AB的长度。
(2) 解题思路：要判断F是否为DE中点，只需证明DF=FE。结合CD=BD的结论，将已知条件CD=2BF+BE中的CD替换为BD，对等式变形移项即可得到DF=FE，从而得出结论。
(3) 解题思路：利用前两问得到的AB=12、F是DE中点的结论，设AC的长度为x，用含x的式子表示出各相关线段的长度，再结合M是AB中点的性质，根据MF=4的等量关系列方程，解方程即可求出AC的长。
【解析】
(1) 解：
∵D为线段BC的中点，
∴CD=BD，
又
∵AD+CD=12，
∴AB=AD+BD=AD+CD=12。
(2) 点F是线段DE的中点，理由如下：
∵D为BC的中点，
∴CD=DB，
已知CD=2BF+BE，
∴DB=2BF+BE，
等式两边同时减BF，得：DB-BF=BF+BE，
∵DB-BF=DF，BF+BE=FE，
∴DF=FE，即点F为DE的中点。
(3) 解：由(1)得AB=12，
设AC=x，
∵$BE=\frac{1}{2}AC$，
∴$BE=\frac{1}{2}x$，
∵BC=AB-AC=12-x，且D是BC中点，
∴$CD=DB=\frac{12-x}{2}$，
∵M为AB的中点，
∴$AM=BM=\frac{1}{2}AB=6$，
∴$DE=DB+BE=\frac{12-x}{2}+\frac{1}{2}x=6$，
由(2)知F为DE的中点，
∴$DF=\frac{1}{2}DE=3$，
根据线段和差关系得：$MF=AC+CD+DF-AM=4$，
代入各线段表达式得：$x+\frac{12-x}{2}+3-6=4$，
解得：x=2。
【答案】
(1) 线段AB的长为12；
(2) 点F是线段DE的中点；
(3) AC的长为2。
【知识点】
线段中点的定义、线段和差计算、方程法求线段长
【点评】
本题是线段计算的典型题型，设置层层递进的问题，前两问侧重线段中点性质与和差关系的基础应用，第三问需要结合前序结论建立方程求解，能够很好地考查逻辑推理能力和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
