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7. (2025·温州期末)都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用来测量水位.洪水水位C与枯水水位D分别位于整尊石人AB的六等分点处,AC=BD(AC＜CD),已知CD=2.2 m,则整尊石人AB的高度=
3.3
m.答案
解析:因为洪水水位C与枯水水位D分别位于整尊石人AB的六等分点处,AC=BD(AC＜CD),所以$AC=BD=\frac{1}{6}AB$,所以$CD=AB-AC-BD=\frac{2}{3}AB$.因为CD=2.2 m,所以$AB=2.2÷\frac{2}{3}=3.3$(m).
解析
【分析】
解题时首先明确六等分点的含义：将线段AB平均分成6等份，每一份长度为$\frac{1}{6}AB$。结合条件$AC=BD$且$AC＜CD$，可判断AC、BD各占其中1份，剩余的CD对应4份，由此建立CD与AB的数量关系，再代入CD的长度即可求出AB的总高度。
【解析】
∵ 洪水水位C与枯水水位D分别是AB的六等分点，且$AC=BD$，$AC＜CD$，
∴ $AC=BD=\frac{1}{6}AB$，
∴ $CD=AB-AC-BD=AB-\frac{1}{6}AB-\frac{1}{6}AB=\frac{4}{6}AB=\frac{2}{3}AB$，
又
∵ $CD=2.2\ \mathrm{m}$，
∴ $AB=2.2÷\frac{2}{3}=2.2×\frac{3}{2}=3.3\ \mathrm{m}$。
【答案】
3.3
【知识点】
线段的n等分点；线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是根据线段等分点的性质和题目给出的线段大小关系，推导出已知线段和所求总线段的比例关系，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确六等分点的含义：将线段AB平均分成6等份，每一份长度为$\frac{1}{6}AB$。结合条件$AC=BD$且$AC＜CD$，可判断AC、BD各占其中1份，剩余的CD对应4份，由此建立CD与AB的数量关系，再代入CD的长度即可求出AB的总高度。
【解析】
∵ 洪水水位C与枯水水位D分别是AB的六等分点，且$AC=BD$，$AC＜CD$，
∴ $AC=BD=\frac{1}{6}AB$，
∴ $CD=AB-AC-BD=AB-\frac{1}{6}AB-\frac{1}{6}AB=\frac{4}{6}AB=\frac{2}{3}AB$，
又
∵ $CD=2.2\ \mathrm{m}$，
∴ $AB=2.2÷\frac{2}{3}=2.2×\frac{3}{2}=3.3\ \mathrm{m}$。
【答案】
3.3
【知识点】
线段的n等分点；线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是根据线段等分点的性质和题目给出的线段大小关系，推导出已知线段和所求总线段的比例关系，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
8. (2025·吕梁期末)如图,C为线段AB上一点,D为线段CB的中点,且AB=18 cm,AC=8 cm.
(1)求线段BD的长度；
(2)若点E在线段AB上,且点E是线段AB的三等分点,求线段ED的长度.
(1)求线段BD的长度；
(2)若点E在线段AB上,且点E是线段AB的三等分点,求线段ED的长度.
答案
(1)因为AB=18 cm,AC=8 cm,所以BC=AB-AC=18-8=10(cm).因为D为线段CB的中点,所以$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$(cm),所以线段BD的长度为5 cm.
(2)当$AE=\frac{1}{3}AB$时,则$BE=\frac{2}{3}AB$,因为AB=18 cm,所以$AE=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×18=6$(cm),$BE=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×18=12$(cm).因为BD=5 cm,所以ED=BE-BD=12-5=7(cm);
当$AE=\frac{2}{3}AB$时,则$BE=\frac{1}{3}AB$,因为AB=18 cm,所以$AE=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×18=12$(cm),$BE=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×18=6$(cm).因为BD=5 cm,所以ED=BE-BD=6-5=1(cm).综上,线段ED的长度为7 cm或1 cm.
(2)当$AE=\frac{1}{3}AB$时,则$BE=\frac{2}{3}AB$,因为AB=18 cm,所以$AE=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×18=6$(cm),$BE=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×18=12$(cm).因为BD=5 cm,所以ED=BE-BD=12-5=7(cm);
当$AE=\frac{2}{3}AB$时,则$BE=\frac{1}{3}AB$,因为AB=18 cm,所以$AE=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×18=12$(cm),$BE=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×18=6$(cm).因为BD=5 cm,所以ED=BE-BD=6-5=1(cm).综上,线段ED的长度为7 cm或1 cm.
解析
【分析】
(1) 要求BD的长度，已知D是CB的中点，因此需要先求出CB的长度：结合已知的AB、AC长度，利用线段和差关系BC=AB-AC求出BC，再根据中点的性质即可算出BD的长度。
(2) 题目未明确E是AB的哪一个三等分点，因此需要分类讨论：分AE为$\frac{1}{3}AB$和AE为$\frac{2}{3}AB$两种情况，分别算出对应BE的长度，再结合BD的长度，利用ED=BE-BD计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知$AB=18\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，根据线段和差关系可得：
$BC=AB-AC=18-8=10(\mathrm{cm})$
因为D为线段CB的中点，根据线段中点的定义：
$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm})$
(2) 点E是线段AB的三等分点，分两种情况讨论：
① 当$AE=\frac{1}{3}AB$时：
$AE=\frac{1}{3}×18=6(\mathrm{cm})$，则$BE=AB-AE=18-6=12(\mathrm{cm})$
已知$BD=5\ \mathrm{cm}$，因此$ED=BE-BD=12-5=7(\mathrm{cm})$
② 当$AE=\frac{2}{3}AB$时：
$AE=\frac{2}{3}×18=12(\mathrm{cm})$，则$BE=AB-AE=18-12=6(\mathrm{cm})$
已知$BD=5\ \mathrm{cm}$，因此$ED=BE-BD=6-5=1(\mathrm{cm})$
综上，线段ED的长度为7 cm或1 cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，线段等分点的应用
【点评】
本题是基础的线段计算题型，核心是熟练运用线段和差关系、中点及等分点的性质求解，解题时需要注意三等分点存在两种位置情况，避免因漏解出错。
【难度系数】
0.7
(1) 要求BD的长度，已知D是CB的中点，因此需要先求出CB的长度：结合已知的AB、AC长度，利用线段和差关系BC=AB-AC求出BC，再根据中点的性质即可算出BD的长度。
(2) 题目未明确E是AB的哪一个三等分点，因此需要分类讨论：分AE为$\frac{1}{3}AB$和AE为$\frac{2}{3}AB$两种情况，分别算出对应BE的长度，再结合BD的长度，利用ED=BE-BD计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知$AB=18\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，根据线段和差关系可得：
$BC=AB-AC=18-8=10(\mathrm{cm})$
因为D为线段CB的中点，根据线段中点的定义：
$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm})$
(2) 点E是线段AB的三等分点，分两种情况讨论：
① 当$AE=\frac{1}{3}AB$时：
$AE=\frac{1}{3}×18=6(\mathrm{cm})$，则$BE=AB-AE=18-6=12(\mathrm{cm})$
已知$BD=5\ \mathrm{cm}$，因此$ED=BE-BD=12-5=7(\mathrm{cm})$
② 当$AE=\frac{2}{3}AB$时：
$AE=\frac{2}{3}×18=12(\mathrm{cm})$，则$BE=AB-AE=18-12=6(\mathrm{cm})$
已知$BD=5\ \mathrm{cm}$，因此$ED=BE-BD=6-5=1(\mathrm{cm})$
综上，线段ED的长度为7 cm或1 cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，线段等分点的应用
【点评】
本题是基础的线段计算题型，核心是熟练运用线段和差关系、中点及等分点的性质求解，解题时需要注意三等分点存在两种位置情况，避免因漏解出错。
【难度系数】
0.7
9. 点 C 是线段 AB 上一点,若 $ AC=nBC $（$ n $ 为大于1的正整数）,则我们称点 C 是$ (B,A) $的最强 CP 点.例如,$ AB=8,AC=CD=DE=EB=2 $,则 $ AE=3BE $,称 E 是$ (B,A) $的最强 CP 点;$ BD=2CD $,则 D 是$ (C,B) $的最强 CP 点.
(1)点 C 在线段 AB 上,若 $ AB=14,n=4 $,点 C 是$ (B,A) $的最强 CP 点,则 $ AC=$
(2)若 $ AB=14 $,C 是$ (B,A) $的最强 CP 点,则 $ AC=$
(3)一直线上有两点 A,B,$ AB=30 \ \mathrm{cm} $,点 C 从点 B 出发,以每秒 3 cm 的速度向点 A 运动,运动到点 A 时停止.点 D 从点 A 出发,以每秒 5 cm 的速度沿射线 AB 运动,$ t $ 为多少时,点 B,C,D 恰好有一个点是其余 2 个点的最强 CP 点.（用含 $ n $ 的代数式表示）
(1)点 C 在线段 AB 上,若 $ AB=14,n=4 $,点 C 是$ (B,A) $的最强 CP 点,则 $ AC=$
$\frac{56}{5}$
.(2)若 $ AB=14 $,C 是$ (B,A) $的最强 CP 点,则 $ AC=$
$\frac{14n}{n+1}(n＞1)$
.（用含 $ n $ 的代数式表示）(3)一直线上有两点 A,B,$ AB=30 \ \mathrm{cm} $,点 C 从点 B 出发,以每秒 3 cm 的速度向点 A 运动,运动到点 A 时停止.点 D 从点 A 出发,以每秒 5 cm 的速度沿射线 AB 运动,$ t $ 为多少时,点 B,C,D 恰好有一个点是其余 2 个点的最强 CP 点.（用含 $ n $ 的代数式表示）
答案
解：(1)由题意，得
$|m| = \boldsymbol{1}$且$m + 1 \boldsymbol{≠ 0}$，
解得$m = \boldsymbol{\pm1}$且$m \boldsymbol{≠ -1}$，
$\therefore m = \boldsymbol{1}$，$n$为$\boldsymbol{任意实数}$；
(2)$\because y$是$x$的正比例函数，
$\therefore m = \boldsymbol{1}$，$n = \boldsymbol{0}$。
$|m| = \boldsymbol{1}$且$m + 1 \boldsymbol{≠ 0}$，
解得$m = \boldsymbol{\pm1}$且$m \boldsymbol{≠ -1}$，
$\therefore m = \boldsymbol{1}$，$n$为$\boldsymbol{任意实数}$；
(2)$\because y$是$x$的正比例函数，
$\therefore m = \boldsymbol{1}$，$n = \boldsymbol{0}$。
解析
【分析】
1. 首先准确理解“最强CP点”的定义：若点C在线段AB上满足$AC=nBC$（$n$为大于1的正整数），则C是$(B,A)$的最强CP点，核心是较长线段等于较短线段的$n$倍。
2. 第(1)(2)问属于静态线段计算，直接利用定义得到$AC$和$BC$的倍数关系，结合$AB=AC+BC$的线段和关系，代入数值或代数式即可求解。
3. 第(3)问是动点问题，先确定运动过程的三个分界点：C、D相遇的时刻、D到达B点的时刻、C到达A点的时刻，将运动过程分为4个阶段，每个阶段分别判断哪个点可能成为另外两个点的最强CP点，根据定义列一元一次方程求解，最后验证解是否在对应阶段的时间范围内，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 因为点C是$(B,A)$的最强CP点，$n=4$，所以$AC=4BC$。
又$AB=AC+BC=14$，代入得$4BC+BC=14$，解得$BC=\frac{14}{5}$，
因此$AC=4×\frac{14}{5}=\frac{56}{5}$。
(2) 因为C是$(B,A)$的最强CP点，所以$AC=nBC$，即$BC=\frac{AC}{n}$。
已知$AB=AC+BC=14$，代入得$AC+\frac{AC}{n}=14$，
整理得$AC·\frac{n+1}{n}=14$，解得$AC=\frac{14n}{n+1}$（$n＞1$且为正整数）。
(3) 先确定运动分界点：
① C、D相遇时：$5t=30-3t$，解得$t=\frac{15}{4}$；
② D到达B点时：$5t=30$，解得$t=6$；
③ C到达A点时：$3t=30$，解得$t=10$。
分阶段讨论：
★ 阶段1：$0＜t＜\frac{15}{4}$（D、C未相遇）
① 若C为$(B,D)$的最强CP点，则$DC=nBC$。此时$DC=30-5t-3t=30-8t$，$BC=3t$，列方程：$30-8t=3nt$，解得$t=\frac{30}{8+3n}$，$n＞1$时该值在对应区间内，符合题意；
② 若C为$(D,B)$的最强CP点，则$BC=nDC$，列方程：$3t=n(30-8t)$，解得$t=\frac{30n}{3+8n}$，$n＞1$时该值在对应区间内，符合题意。
★ 阶段2：$\frac{15}{4}≤ t＜6$（D、C相遇后，D未到B）
③ 若D为$(C,B)$的最强CP点，则$BD=nCD$。此时$CD=5t-(30-3t)=8t-30$，$BD=30-5t$，列方程：$30-5t=n(8t-30)$，解得$t=\frac{30(n+1)}{8n+5}$，$n＞1$时该值在对应区间内，符合题意；
④ 若D为$(B,C)$的最强CP点，则$CD=nBD$，列方程：$8t-30=n(30-5t)$，解得$t=\frac{30(n+1)}{8+5n}$，$n＞1$时该值在对应区间内，符合题意。
★ 阶段3：$6≤ t＜10$（D过B，C未到A）
⑤ 若B为$(D,C)$的最强CP点，则$CB=nDB$。此时$DB=5t-30$，$CB=3t$，列方程：$3t=n(5t-30)$，解得$t=\frac{30n}{5n-3}$，$n＞1$时该值在对应区间内，符合题意；
⑥ 若B为$(C,D)$的最强CP点，则$DB=nCB$，列方程：$5t-30=3nt$，解得$t=\frac{30}{5-3n}$，$n＞1$时分母为负，$t$为负数，不符合题意，舍去。
★ 阶段4：$t≥10$（C到达A点）
⑦ 若B为$(C,D)$的最强CP点，则$DB=nCB$，此时$CB=30$，$DB=5t-30$，列方程：$5t-30=30n$，解得$t=6+6n$，$n＞1$时$t≥18≥10$，符合题意。
【答案】
(1) $\frac{56}{5}$
(2) $\frac{14n}{n+1}$
(3) $t$的值为$\frac{30}{8+3n}$、$\frac{30n}{3+8n}$、$\frac{30(n+1)}{8n+5}$、$\frac{30(n+1)}{8+5n}$、$\frac{30n}{5n-3}$、$6+6n$（$n$为大于1的正整数）
【知识点】
新定义理解、线段和差计算、动点分类讨论
【点评】
本题首先要求准确掌握新定义的规则，前两问为基础应用，第三问结合动点问题，需要根据动点位置变化合理划分讨论阶段，列方程求解后还要验证解的合理性，重点考察分类讨论思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.3
1. 首先准确理解“最强CP点”的定义：若点C在线段AB上满足$AC=nBC$（$n$为大于1的正整数），则C是$(B,A)$的最强CP点，核心是较长线段等于较短线段的$n$倍。
2. 第(1)(2)问属于静态线段计算，直接利用定义得到$AC$和$BC$的倍数关系，结合$AB=AC+BC$的线段和关系，代入数值或代数式即可求解。
3. 第(3)问是动点问题，先确定运动过程的三个分界点：C、D相遇的时刻、D到达B点的时刻、C到达A点的时刻，将运动过程分为4个阶段，每个阶段分别判断哪个点可能成为另外两个点的最强CP点，根据定义列一元一次方程求解，最后验证解是否在对应阶段的时间范围内，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 因为点C是$(B,A)$的最强CP点，$n=4$，所以$AC=4BC$。
又$AB=AC+BC=14$，代入得$4BC+BC=14$，解得$BC=\frac{14}{5}$，
因此$AC=4×\frac{14}{5}=\frac{56}{5}$。
(2) 因为C是$(B,A)$的最强CP点，所以$AC=nBC$，即$BC=\frac{AC}{n}$。
已知$AB=AC+BC=14$，代入得$AC+\frac{AC}{n}=14$，
整理得$AC·\frac{n+1}{n}=14$，解得$AC=\frac{14n}{n+1}$（$n＞1$且为正整数）。
(3) 先确定运动分界点：
① C、D相遇时：$5t=30-3t$，解得$t=\frac{15}{4}$；
② D到达B点时：$5t=30$，解得$t=6$；
③ C到达A点时：$3t=30$，解得$t=10$。
分阶段讨论：
★ 阶段1：$0＜t＜\frac{15}{4}$（D、C未相遇）
① 若C为$(B,D)$的最强CP点，则$DC=nBC$。此时$DC=30-5t-3t=30-8t$，$BC=3t$，列方程：$30-8t=3nt$，解得$t=\frac{30}{8+3n}$，$n＞1$时该值在对应区间内，符合题意；
② 若C为$(D,B)$的最强CP点，则$BC=nDC$，列方程：$3t=n(30-8t)$，解得$t=\frac{30n}{3+8n}$，$n＞1$时该值在对应区间内，符合题意。
★ 阶段2：$\frac{15}{4}≤ t＜6$（D、C相遇后，D未到B）
③ 若D为$(C,B)$的最强CP点，则$BD=nCD$。此时$CD=5t-(30-3t)=8t-30$，$BD=30-5t$，列方程：$30-5t=n(8t-30)$，解得$t=\frac{30(n+1)}{8n+5}$，$n＞1$时该值在对应区间内，符合题意；
④ 若D为$(B,C)$的最强CP点，则$CD=nBD$，列方程：$8t-30=n(30-5t)$，解得$t=\frac{30(n+1)}{8+5n}$，$n＞1$时该值在对应区间内，符合题意。
★ 阶段3：$6≤ t＜10$（D过B，C未到A）
⑤ 若B为$(D,C)$的最强CP点，则$CB=nDB$。此时$DB=5t-30$，$CB=3t$，列方程：$3t=n(5t-30)$，解得$t=\frac{30n}{5n-3}$，$n＞1$时该值在对应区间内，符合题意；
⑥ 若B为$(C,D)$的最强CP点，则$DB=nCB$，列方程：$5t-30=3nt$，解得$t=\frac{30}{5-3n}$，$n＞1$时分母为负，$t$为负数，不符合题意，舍去。
★ 阶段4：$t≥10$（C到达A点）
⑦ 若B为$(C,D)$的最强CP点，则$DB=nCB$，此时$CB=30$，$DB=5t-30$，列方程：$5t-30=30n$，解得$t=6+6n$，$n＞1$时$t≥18≥10$，符合题意。
【答案】
(1) $\frac{56}{5}$
(2) $\frac{14n}{n+1}$
(3) $t$的值为$\frac{30}{8+3n}$、$\frac{30n}{3+8n}$、$\frac{30(n+1)}{8n+5}$、$\frac{30(n+1)}{8+5n}$、$\frac{30n}{5n-3}$、$6+6n$（$n$为大于1的正整数）
【知识点】
新定义理解、线段和差计算、动点分类讨论
【点评】
本题首先要求准确掌握新定义的规则，前两问为基础应用，第三问结合动点问题，需要根据动点位置变化合理划分讨论阶段，列方程求解后还要验证解的合理性，重点考察分类讨论思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.3
