1. 点A,B在数轴上表示的数如图所示,点C在数轴上的A,B之间,且AC:BC=1:5,则点C对应的数为 ()


A.-6
B.10
C.-16
D.-14

1. A 解析:设 C 对应的数为 x,因为 AC: BC=1:5,所以 14-x=5(x+10),解得 x=-6.

【分析】
解题可从两种思路入手：①算术法：先算出数轴上A、B两点的总距离，再根据AC:BC=1:5的比例关系求出AC段的长度，最后结合A点对应的数推导C点的数；②方程法：设C对应的数为x，根据数轴上两点距离的计算规则，分别用含x的式子表示AC和BC的长度，再结合比例关系列方程求解即可。计算时要注意数轴上两点距离为右侧点表示的数减去左侧点表示的数，避免出现符号错误。
【解析】
先计算A、B两点的距离：$AB=14-(-10)=24$。
方法1（算术法）：
由$AC:BC=1:5$，可知AB总共有$1+5=6$份，每份长度为$24÷6=4$，因此AC的长度为4。
因为点C在A的右侧，A对应的数是-10，所以C对应的数为$-10+4=-6$。
方法2（方程法）：
设点C对应的数为x，因为C在A、B之间，所以$AC=x-(-10)=x+10$，$BC=14-x$。
根据$AC:BC=1:5$可得$BC=5AC$，列方程：
$14-x=5(x+10)$
展开得：$14-x=5x+50$
移项合并同类项得：$-6x=36$
解得：$x=-6$
【答案】
A
【知识点】
数轴两点距离计算、比例的应用、一元一次方程求解
【点评】
本题结合数轴与比例关系考查基础计算，算术法思路直观，方程法逻辑清晰，解题核心是准确掌握数轴上两点距离的计算规则，注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.7

2. 如图，C,D为线段AB上两点，$AC+BD=a$，且$AD+BC=\dfrac{7}{5}AB$，则CD等于（）


A.$\dfrac{2}{5}a$
B.$\dfrac{2}{3}a$
C.$\dfrac{5}{3}a$
D.$\dfrac{5}{7}a$

解：(1)由题意，可得$y$与$x$之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=6x}$，
此函数是$\boldsymbol{正比例}$函数；
(2)$\because A,B$两地相距$30\ km$，
$\therefore 6x = \boldsymbol{30}$，解得$\boldsymbol{x=5}$，
$\therefore$该函数自变量的取值范围是$\boldsymbol{0≤ x≤5}$。

【分析】
解题时先从线段的和差关系入手，先将AD、BC拆分成更短线段的和：AD=AC+CD，BC=BD+CD，因此AD+BC可转化为(AC+BD)+2CD。结合已知AC+BD=a，就能得到AD+BC关于CD的表达式；同时AB可表示为AC+CD+BD=a+CD，再结合题目给出的AD+BC=$\frac{7}{5}$AB的等量关系，代入后就能得到关于CD的一元一次方程，解方程即可求出CD的长度。
【解析】
根据线段的和差关系可得：
$AD = AC + CD$，$BC = BD + CD$
因此$AD + BC = (AC + CD)+(BD + CD)=(AC + BD)+2CD$
已知$AC + BD = a$，代入得：$AD + BC = a + 2CD$
又$AB = AC + CD + BD = (AC + BD)+CD = a + CD$
结合已知$AD + BC=\frac{7}{5}AB$，将上述表达式代入等式：
$\frac{7}{5}(a + CD)=a + 2CD$
两边同乘5去分母得：$7(a + CD)=5a + 10CD$
展开得：$7a + 7CD=5a + 10CD$
移项合并同类项得：$2a=3CD$
解得：$CD=\frac{2}{3}a$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段的和差计算，列方程求线段长
【点评】
本题是线段计算的常见题型，核心是通过拆分线段将未知量用已知条件表示，结合等量关系建立方程求解，熟练掌握线段的和差拆分方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6

3. (2026·宁波期末)如图，C，D两点将线段AB从左到右依次分成2：3：4三部分，点E，F，G分别是AC，CD，DB的中点，且EG=12 cm，则AF=。

3. 7 cm 解析:因为 C,D 两点将线段 AB 从左到右依次分成 2:3:4 三部分,所以设 AC=2x cm,则 CD=3x cm,DB=4x cm.因为点 E,F,G 分别是 AC,CD,DB 的中点,所以 EC=x cm,DG=2x cm,所以 EG=x+3x+2x=6x=12 cm,所以x=2 cm.所以 $AF=AC+CF=2x+\dfrac{1}{2}CD=2x+\dfrac{3}{2}x=7$ cm.

【分析】
遇到线段比例类计算问题，首先考虑设参数简化运算：先根据C、D分AB的比例关系，设每一份长度为x，将AC、CD、DB的长度用含x的代数式表示；再结合线段中点的性质，把EC、DG、CF等分段长度也用x表示；接着观察图形得出EG的组成段，根据EG=12cm的已知条件列方程求出x的值；最后明确AF的组成段，代入x的值即可算出AF的长度。
【解析】
解：
∵C，D两点将线段AB从左到右依次分成2:3:4三部分，
∴设AC=2x cm，CD=3x cm，DB=4x cm。
∵点E，F，G分别是AC，CD，DB的中点，
∴$EC=\frac{1}{2}AC=x$ cm，$DG=\frac{1}{2}DB=2x$ cm，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{3}{2}x$ cm。
由线段和差关系可知：$EG=EC+CD+DG$，
代入得：$x+3x+2x=12$，
解得$x=2$。
又
∵$AF=AC+CF$，
∴$AF=2x+\frac{3}{2}x=\frac{7}{2}x$，
将$x=2$代入得：$AF=\frac{7}{2}×2=7$ cm。
【答案】
7 cm
【知识点】
线段中点的性质；线段和差计算；比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的常规题型，核心解题思路是通过设参数将比例关系转化为代数式，结合线段中点性质与和差关系列方程求解，掌握参数法能有效提升这类几何计算问题的解题效率。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在一条数轴上有若干个点,任意两个相邻点间的距离都为2个单位长度,其中A,B,C三点所对应的数分别为a,b,c,若$3a+c=4$,则b的值为。

解：
(1) 已知蚊香初始长度为120 cm，每小时缩短10 cm，t小时燃烧的长度为10t cm，因此剩余蚊香长y与燃烧时间t的函数关系式为：
$y = 120 - 10t \quad (0≤ t≤ 12)$
(2) 当蚊香完全燃尽时，$y=0$，将$y=0$代入函数关系式：
$0 = 120 - 10t$
解得 $t=12$
答：(1) 点燃后蚊香的长与燃烧时间的函数关系式为$y=-10t+120\ (0≤ t≤12)$；(2) 该蚊香可燃12小时。

【分析】
解题时首先观察数轴，先数出A点到C点、A点到B点之间的间隔数，结合相邻两点距离为2个单位长度，分别得出c与a、b与a的数量关系；再将c用含a的式子代入已知等式$3a+c=4$，解一元一次方程求出a的值；最后将a的值代入b与a的关系式，即可求出b的值。
【解析】
解：由数轴可知，A到C之间共有5个相邻间隔，每个间隔为2个单位长度，因此$ c = a + 5×2 = a+10 $。
将$ c = a+10 $代入$ 3a + c =4 $，可得：
$ 3a + a +10 =4 $
合并同类项得$ 4a = -6 $
解得$ a = -\frac{3}{2} $
再观察数轴，A到B之间共有2个相邻间隔，因此$ b = a + 2×2 = a+4 $
将$ a=-\frac{3}{2} $代入上式得：
$ b = -\frac{3}{2} +4 = \frac{5}{2} $
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
数轴的应用，代入求值，一元一次方程解法
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是准确数出数轴上点之间的间隔数，得到各对应数的数量关系，再结合方程求解，整体难度不高，计算和数间隔时细心即可避免出错。
【难度系数】
0.7

5. 如图,点C,D是线段AB上的任意两点,点E是线段AC的中点,点F是线段BD的中点,如果EF=m,CD=n,那么线段AB的长度为 ( )

A.m+n
B.2m+n
C.2m-n
D.3m-2n

5. C 解析:由题意得 $EC+FD = EF-CD = m-n$,因为 E 是线段 AC 的中点,F 是线段 BD 的中点,所以 $AE+FB=EC+FD=EF-CD = m-n$. 又因为 $AB = AE+FB+EF$,所以 $AB = m-n+m=2m-n$.

【分析】
要计算线段AB的长度，我们可以先拆分已知线段EF的组成：EF由EC、CD、FD三部分组成，结合已知的EF和CD长度，可先求出EC与FD的和。再利用中点的性质，得到AE=EC、FB=FD，即可求出AE与FB的和，最后将AB拆分为AE+EF+FB，代入对应数值就能算出AB的长度。
【解析】
∵ 点E是AC的中点，点F是BD的中点
∴ $AE=EC$，$FB=FD$
由图可知，$EF = EC + CD + FD$，已知$EF=m$，$CD=n$
∴ $EC + FD = EF - CD = m - n$
∴ $AE + FB = EC + FD = m - n$
又
∵ $AB = AE + EF + FB$
将$AE+FB=m-n$，$EF=m$代入得：
$AB = (m-n) + m = 2m - n$
【答案】
C
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题的核心是利用中点性质实现相等线段的代换，通过拆分已知线段和未知线段的组成，建立各部分长度之间的关联，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

6. 如图，C，D是线段AB上的两点，已知AB=10 cm，CD=3 cm，则以A，C，D，B这四个点为端点的所有线段长度之和为 cm.

6. 33 解析:因为 $AC+BC=AB,AD+BD=AB$,且 $AB=10$ cm,$CD=3$ cm,所以所有线段长度之和=$AC+AD+AB+CD+CB+BD=(AC+BC)+(AD+BD)+AB+CD=3AB+CD=3×10+3=33$(cm).

【分析】
解题时首先要枚举以A、C、D、B四个点为端点的全部线段，再利用线段和差的性质，将未知线段的长度用已知的AB、CD的长度代换，用整体代入的方法计算总和，无需单独求出每段线段的长度。第一步先列出所有线段：AC、AD、AB、CD、CB、BD；第二步将求和式拆分重组，利用AC+CB=AB、AD+BD=AB的关系，把式子转化为仅含AB和CD的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：以A、C、D、B为端点的所有线段为AC、AD、AB、CD、CB、BD，所有线段长度之和为：
$AC + AD + AB + CD + CB + BD$
对式子分组变形：
$=(AC + CB) + (AD + BD) + AB + CD$
根据线段和差的性质，$AC+CB=AB$，$AD+BD=AB$，代入上式得：
$=AB + AB + AB + CD$
$=3AB + CD$
将$AB=10\ \mathrm{cm}$，$CD=3\ \mathrm{cm}$代入计算：
$3×10 + 3=33\ \mathrm{cm}$
【答案】
33
【知识点】
线段计数、线段和差计算、整体代入法
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题核心是不重复、不遗漏地列出所有线段，通过整体代换简化计算，避免了逐个求解未知线段的繁琐，是几何计算中整体思想的基础应用。
【难度系数】
0.7

7. 如图,C为线段AB上一点,D为线段AC的中点,E为线段CB的中点.
(1)如果$AC=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,试求线段DE的长.
(2)如果$AB=a\ \mathrm{cm}$,试求线段DE的长度.
(3)若C在线段AB的延长线上,且满足$AC-BC=b\ \mathrm{cm}$,D,E分别为线段AC,BC的中点,你能猜想DE的长度吗?写出你的结论,并说明理由.

7. (1)因为点 D,E 分别是线段 AC,BC 的中点,$AC=6$ cm,$BC=4$ cm,所以 $CD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×6=3$(cm),$CE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×4=2$(cm),所以 $DE=CD+CE=3+2=5$(cm).
(2)因为点 D,E 分别是线段 AC,BC 的中点,所以 $CD=\dfrac{1}{2}AC,CE=\dfrac{1}{2}BC$,所以 $DE=CD+CE=\dfrac{1}{2}AC+\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}a$ cm.
(3)猜想:$DE=\dfrac{1}{2}b$ cm.理由如下:如图,因为点 D,E 分别是线段 AC,BC 的中点,所以 $CD=\dfrac{1}{2}AC,CE=\dfrac{1}{2}BC$,所以 $DE=CD-CE=\dfrac{1}{2}AC-\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}(AC-BC)=\dfrac{1}{2}b$ cm.

【分析】
本题考查线段长度的计算，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知AC、BC的长度，D、E分别是AC、BC的中点，根据线段中点的性质，可先分别求出CD、CE的长度，再观察DE由CD和CE拼接而成，求和即可得到DE的长度；
2. 第(2)问：类比第(1)问的推导逻辑，将具体数值替换为字母，利用中点性质把CD、CE分别用AC、BC表示，再通过提取公因式将CD+CE转化为$\frac{1}{2}(AC+BC)$，结合AC+BC=AB，代入AB=a即可求出DE的长度；
3. 第(3)问：当C在线段AB的延长线上时，先明确各线段的位置关系，此时DE为CD与CE的差，再结合中点性质将CD、CE用AC、BC表示，提取公因式后转化为$\frac{1}{2}(AC-BC)$，代入AC-BC=b即可得到DE的长度。
【解析】
(1) 因为点D、E分别是线段AC、BC的中点，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
所以 $CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$，$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2(\mathrm{cm})$，
因此 $DE=CD+CE=3+2=5(\mathrm{cm})$。
(2) 因为点D、E分别是线段AC、BC的中点，
所以 $CD=\frac{1}{2}AC$，$CE=\frac{1}{2}BC$，
因此 $DE=CD+CE=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB$，
又因为$AB=a\ \mathrm{cm}$，所以$DE=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$。
(3) 猜想：$DE=\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$。
理由：如图，因为点D、E分别是线段AC、BC的中点，
所以 $CD=\frac{1}{2}AC$，$CE=\frac{1}{2}BC$，
因此 $DE=CD-CE=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)$，
又因为$AC-BC=b\ \mathrm{cm}$，所以$DE=\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$DE=5\ \mathrm{cm}$；
(2)$DE=\dfrac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$；
(3)猜想:$DE=\dfrac{1}{2}b$ cm。理由如下:如图,因为点 D,E 分别是线段 AC,BC 的中点,所以 $CD=\dfrac{1}{2}AC,CE=\dfrac{1}{2}BC$,所以 $DE=CD-CE=\dfrac{1}{2}AC-\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}(AC-BC)=\dfrac{1}{2}b$ cm。
【知识点】
线段中点的性质、线段的和差运算、整式的化简
【点评】
本题是线段计算的典型题型，通过设置点C的不同位置，考查对线段中点性质的掌握程度和线段和差关系的灵活运用能力，能帮助学生掌握从具体数值运算到抽象字母推导的方法，体会此类题型中线段长度的数量规律。
【难度系数】
0.7

8. 已知线段AB=16 cm,点M在直线AB上,AM:BM=1:3,点P、点Q分别为线段AM、线段AB的中点,则线段PQ的长为.

8. 6 cm 或 12 cm 解析:①点 M 在 A,B 之间,因为 AB=16 cm,AM: BM=1: 3,所以 AM=4 cm,BM=12 cm,所以 $AP=\dfrac{1}{2}AM=2$ cm,$AQ=\dfrac{1}{2}AB=8$ cm,所以 $PQ=AQ-AP=8-2=6$(cm).②点 M 在点 A 左侧,因为 AB=16 cm,AM: BM=1: 3,所以 $BM-AM=2AM=AB=16$ cm,所以 AM=8 cm,BM=24 cm,所以 $AP=\dfrac{1}{2}AM=4$ cm,$AQ=\dfrac{1}{2}AB=8$ cm,所以 $PQ=AP+AQ=4+8=12$(cm).③点 M 在点 B 右侧,不存在此情况,所以线段 PQ 的长为 6 cm 或 12 cm.

【分析】
题干中点M在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此需要先对点M的位置进行分类讨论：①点M在线段AB之间；②点M在点A左侧；③点M在点B右侧。先结合AM:BM=1:3的比例关系排除不可能的位置：若点M在B右侧，AM=AB+BM＞BM，与AM:BM=1:3矛盾，该情况不存在。剩余两种情况先根据比例求出AM的长度，再结合线段中点的定义求出AP、AQ的长度，最后通过线段的和差关系计算PQ的长度即可。
【解析】
分两种符合要求的情况计算：
① 当点M在A、B两点之间时：
已知AB=16 cm，AM:BM=1:3，因此AM占AB总长的$\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$，可得$AM=16×\frac{1}{4}=4$ cm。
∵点P是AM的中点，
∴$AP=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×4=2$ cm。
∵点Q是AB的中点，
∴$AQ=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$ cm。
此时$PQ=AQ-AP=8-2=6$ cm。
② 当点M在点A左侧时：
已知AM:BM=1:3，即BM=3AM，又
∵BM=AM+AB，代入得$3AM=AM+16$，解得$AM=8$ cm。
∵点P是AM的中点，
∴$AP=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×8=4$ cm。
∵点Q是AB的中点，
∴$AQ=8$ cm。
此时$PQ=AP+AQ=4+8=12$ cm。
点M在点B右侧的情况不符合比例要求，不存在。
【答案】
6 cm或12 cm
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题的关键是注意“点在直线上”包含多种位置情况，避免因漏考虑点在线段外的情况导致漏解，解题时可先结合已知条件排除不可能的位置，再对剩余情况分别计算，能有效提升解题准确率。
【难度系数】
0.6

9. 已知点A,B,C在直线$l$上,若$BC=\dfrac{5}{3}AC$,则$\dfrac{BC}{AB}=$.

解:(1)$y_1$关于$x$的函数关系式为$\boldsymbol{y_1=0.9x\ (x≥0)}$,
当$0＜x≤200$时,$y_2= \boldsymbol{x}$,
当$x＞200$时,$y_2= \boldsymbol{200+0.8(x-200)=0.8x+40}$,
$\therefore y_2$关于$x$的函数关系式为
$y_2 =\begin{cases}x(0＜x≤200),\\0.8x + 40(x＞200);\end{cases}$
(2)当$x = 600$时,
$y_1= \boldsymbol{0.9×600=540}$(元),
$y_2= \boldsymbol{0.8×600+40=520}$(元),
$\because \boldsymbol{520＜540}$,
$\therefore$建议小明去$\boldsymbol{B}$书店购买;
(3)当$0＜x≤200$时,$y_1$ $\boldsymbol{＜}$ $y_2$,
当$x＞200$时,若$y_1 = y_2$,则
$\boldsymbol{0.9x=0.8x+40}$,
解得$\boldsymbol{x=400}$,
$\therefore$当按原价所购学习用品的金额为$\boldsymbol{400}$元时,两家书店的收费相同。

【分析】
本题中A、B、C三点在同一直线上，点C的位置没有明确说明，因此需要分情况讨论点C的位置：第一种是点C在线段AB上，第二种是点C在线段AB的反向延长线上。再根据不同位置下线段的和差关系，结合已知的BC与AC的数量关系，用AC表示出AB的长度，最后代入比值式计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB上时，如图①：
根据线段和的性质，得$AB=AC+BC$，
将$BC=\dfrac{5}{3}AC$代入上式，得$AB=AC+\dfrac{5}{3}AC=\dfrac{8}{3}AC$，
因此$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\dfrac{5}{3}AC}{\dfrac{8}{3}AC}=\dfrac{5}{8}$。
2. 当点C在线段AB的反向延长线上时，如图②：
根据线段差的性质，得$AB=BC-AC$，
将$BC=\dfrac{5}{3}AC$代入上式，得$AB=\dfrac{5}{3}AC-AC=\dfrac{2}{3}AC$，
因此$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\dfrac{5}{3}AC}{\dfrac{2}{3}AC}=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{8}$或$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
线段和差运算，分类讨论思想，线段比值计算
【点评】
本题是线段计算的常考题型，解题的关键是明确直线上点的位置存在多种可能，避免漏解。解题时结合线段的和差关系代入已知条件计算，即可得到对应结果。
【难度系数】
0.6

10. 已知线段AB上有M,N两点,点M将线段AB分成2:3两部分,点N将线段AB分成4:1两部分,且MN=3 cm,则AM的长为.

10. 6 cm 或 3 cm 或 $\dfrac{9}{2}$ cm 或 9 cm 解析:分情况讨论:
如图①,
$AM=\dfrac{2}{5}AB$,$AN=\dfrac{1}{5}AB$,$MN=AM-AN=3$ cm,所以 $\dfrac{2}{5}AB-\dfrac{1}{5}AB=3$ cm,解得 AB=15 cm,故 AM=6 cm.
如图②,
$AM=\dfrac{2}{5}AB$,$AN=\dfrac{4}{5}AB$,$MN=AN-AM=3$ cm,所以 $\dfrac{4}{5}AB-\dfrac{2}{5}AB=3$ cm,解得 $AB=\dfrac{15}{2}$ cm,故 AM=3 cm.
如图③,
$AM=\dfrac{3}{5}AB$,$AN=\dfrac{1}{5}AB$,$MN=AM-AN=3$ cm,所以 $\dfrac{3}{5}AB-\dfrac{1}{5}AB=3$ cm,解得 $AB=\dfrac{15}{2}$ cm,故 $AM=\dfrac{9}{2}$ cm.
如图④,
$AM=\dfrac{3}{5}AB$,$AN=\dfrac{4}{5}AB$,$MN=AN-AM=3$ cm,所以 $\dfrac{4}{5}AB-\dfrac{3}{5}AB=3$ cm,解得 AB=15 cm,故 AM=9 cm.

【分析】
本题没有明确点M、N分线段AB的比例对应方向，也没有明确M和N的位置顺序，因此需要分类讨论所有可能的情况：首先点M将AB分成2:3两部分，存在AM:MB=2:3或AM:MB=3:2两种可能；点N将AB分成4:1两部分，存在AN:NB=4:1或AN:NB=1:4两种可能，两种分法组合共4种位置情况。对每种情况，先分别用AB的长度表示出AM、AN的长度，再根据MN的长度等于两段线段的差列等式，先求出AB的长度，再计算AM的长度即可。
【解析】
分四种情况讨论：
1. 如图①：此时AM:MB=2:3，AN:NB=1:4，
则$AM=\frac{2}{2+3}AB=\frac{2}{5}AB$，$AN=\frac{1}{1+4}AB=\frac{1}{5}AB$，
$\because MN=AM-AN=3\mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{2}{5}AB-\frac{1}{5}AB=3\mathrm{cm}$，解得$AB=15\mathrm{cm}$，
$\therefore AM=\frac{2}{5}×15=6\mathrm{cm}$。
2. 如图②：此时AM:MB=2:3，AN:NB=4:1，
则$AM=\frac{2}{5}AB$，$AN=\frac{4}{4+1}AB=\frac{4}{5}AB$，
$\because MN=AN-AM=3\mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{4}{5}AB-\frac{2}{5}AB=3\mathrm{cm}$，解得$AB=\frac{15}{2}\mathrm{cm}$，
$\therefore AM=\frac{2}{5}×\frac{15}{2}=3\mathrm{cm}$。
3. 如图③：此时AM:MB=3:2，AN:NB=1:4，
则$AM=\frac{3}{2+3}AB=\frac{3}{5}AB$，$AN=\frac{1}{5}AB$，
$\because MN=AM-AN=3\mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{3}{5}AB-\frac{1}{5}AB=3\mathrm{cm}$，解得$AB=\frac{15}{2}\mathrm{cm}$，
$\therefore AM=\frac{3}{5}×\frac{15}{2}=\frac{9}{2}\mathrm{cm}$。
4. 如图④：此时AM:MB=3:2，AN:NB=4:1，
则$AM=\frac{3}{5}AB$，$AN=\frac{4}{5}AB$，
$\because MN=AN-AM=3\mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{4}{5}AB-\frac{3}{5}AB=3\mathrm{cm}$，解得$AB=15\mathrm{cm}$，
$\therefore AM=\frac{3}{5}×15=9\mathrm{cm}$。
【答案】
6 cm 或 3 cm 或 $\dfrac{9}{2}$ cm 或 9 cm
【知识点】
线段比例计算；线段和差关系；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略比例的对应方向和两点的位置顺序，导致漏解，解题时要全面考虑所有可能的位置情况，结合线段的比例和和差关系列式求解即可。
【难度系数】
0.3

11. 在一条直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知要立即返回到C地执行公务，甲船继续顺流航行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，A，C两地间的距离为10千米，如果乙船由A地经B地再到达C地共用4小时，问：乙船从B地到达C地时，甲船驶离B地多远？

(1) $\boldsymbol{y_1=20x}$；$\boldsymbol{y_2=10x+150}$
(2) $\boldsymbol{金卡}$

解：
(1) 由普通票单价为20元/张，可得消费费用$y_1$与次数$x$的函数关系式为：
$y_1=20x$（$x≥0$，且$x$为整数）
由银卡需先付150元卡费，每次额外收费10元，可得消费费用$y_2$与次数$x$的函数关系式为：
$y_2=10x+150$（$x≥0$，且$x$为整数）
(2) 当$x=55$时：
普通票总费用：$y_1=20×55=1100$（元）
银卡总费用：$y_2=10×55+150=700$（元）
金卡总费用：600元
因为$600＜700＜1100$，所以选择金卡消费方式更合算。