10.(包头中考)已知线段$AB=4$,在直线$AB$上作线段$BC$,使得$BC=2$.若$D$是线段$AC$的中点,则线段$AD$的长为.

A

根据函数的定义：对于自变量x的每一个确定的取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。使用竖线检验法：作垂直于x轴的直线，若该直线与图象的交点数大于1，则y不是x的函数。选项A中存在垂直于x轴的直线与图象有2个及以上交点，即存在一个x对应多个y值，不符合函数定义；B、C、D中任意垂直于x轴的直线与图象都仅有一个交点，均满足函数定义。

11. 如图,有一无弹性细线,拉直时测得细线OP长为8 cm,现进行如下操作:①在细线上任取一点A;②将细线折叠,使点O与点A重合,记折点为点B;③将细线折叠,使点P与点A重合,记折点为点C.

(1)BC的长为 cm;
(2)继续进行折叠,使点B与点C重合,并把B点和与其重叠的C点处的细线剪开,使细线分成长为a,b,c的三段(a＜b＜c),当a:b=1:3,则细线未剪开时OA的长为 cm.

11. (1)4 解析:因为点 B 为线段 OA 的中点,点 C 为线段 AP 的中点,所以 $OB=AB=\frac{1}{2}OA$,$AC=CP=\frac{1}{2}AP$,所以 $BC=AB+AC=\frac{1}{2}OA+\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}(OA+AP)=\frac{1}{2}OP=4\mathrm{ cm}$.
(2)2 或 6 解析:因为 a ＜ b ＜ c, 细线剪开后分成 OB, BC, CP 三段,所以 BC = c, 当 OB = a 时, CP = b, 因为 OB + CP = 8 - 4 = 4 cm, 所以 a + b = 4 cm. 因为 a : b = 1 : 3, 所以 a = 1 cm, b = 3 cm, 所以 OA = 2a = 2 cm; 当 OB = b 时, CP = a, 因为 OB + CP = 8 - 4 = 4 cm, 所以 a + b = 4 cm, 因为 a : b = 1 : 3, 所以 a = 1 cm, b = 3 cm, 所以 OA = 2b = 6 cm.

【分析】
(1) 解决第一问首先结合折叠性质判断折点的身份：折叠使两点重合时，折点是两点连线的中点，因此B是OA中点，C是AP中点；再通过线段和差关系将BC转化为OA与AP长度和的一半，而OA+AP就是OP总长，代入数值即可求解。
(2) 解决第二问先明确剪开后三段为OB、BC、CP，已知BC=4cm，可得剩余两段和为4cm；结合a＜b＜c可判断BC是最长段c，再根据a:b=1:3求出a、b的长度；最后分OB为较短段a、OB为较长段b两种情况计算OA长度，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知，点B是线段OA的中点，点C是线段AP的中点，
∴ $OB=AB=\frac{1}{2}OA$，$AC=CP=\frac{1}{2}AP$，
∴ $BC=AB+AC=\frac{1}{2}OA+\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}(OA+AP)$，
又
∵ $OA+AP=OP=8\mathrm{cm}$，
∴ $BC=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$。
(2) 剪开后细线分成的三段分别为OB、BC、CP，已知BC=4cm，因此$OB+CP=OP-BC=8-4=4\mathrm{cm}$，
∵ $a＜b＜c$，
∴长度为4cm的BC是最长段c，即$a+b=4\mathrm{cm}$，
又
∵$a:b=1:3$，设$a=x$，$b=3x$，则$x+3x=4$，解得$x=1$，
∴ $a=1\mathrm{cm}$，$b=3\mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当$OB=a=1\mathrm{cm}$时，
∵B是OA中点，
∴$OA=2OB=2×1=2\mathrm{cm}$；
② 当$OB=b=3\mathrm{cm}$时，
∵B是OA中点，
∴$OA=2OB=2×3=6\mathrm{cm}$。
综上，OA的长为2或6cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{6}$
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差运算，折叠的性质
【点评】
本题结合折叠操作考查线段的相关运算，解题核心是理解折叠后折点为对应线段的中点，第二问需要分类讨论两种线段对应情况，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6

12. (1)如图,已知 C 点在线段 AB 上,且 AB = 10 cm,BC=4 cm,点 M,N 分别是线段 AB,BC 的中点.求线段 MN 的长度.
(2)若点 C 是线段 AB 上任意一点,且 AB = a,BC = b,点 M,N 分别是 AB,BC 的中点,则 MN=(用含 a,b 的式子表示).
(3)在(2)中,把点 C 是线段 AB 上任意一点改为点 C 是直线 AB 上任意一点,其他条件不变.(2)中的结论是否仍然成立?若不成立,直接用含 a,b 的式子表示出 MN 的长度.

C

初始时温度计为常温，读数大于0，将其插入60℃的恒温热水后，温度计读数随时间增加逐渐上升，当读数达到60℃后，因热水恒温，温度计读数将保持恒定不再变化。选项A温度持续匀速上升、选项B温度持续加速上升，均不符合温度上限为60℃的规律；选项D温度先升后降，不符合恒温热水的设定；只有选项C符合温度先上升后保持不变的变化特征。

13.某公司员工分别住在A,B,C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（）


A.A区
B.B区
C.C区
D.A,B两区之间

y=4.5x

观察表格中对应数据：当x=1时，y=4.5=4.5×1；x=2时，y=9=4.5×2；x=3时，y=13.5=4.5×3；x=4时，y=18=4.5×4；x=5时，y=22.5=4.5×5，可知y与x的比值恒为4.5，因此x与y之间的关系式为y=4.5x。

14. 新题型 新定义（2025·湘潭期末）如图①，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“巧点”。

(1)一条线段的中点这条线段的“巧点”.(填“是”或“不是”)
(2)如图②，数轴上A，B两点分别对应数a，b，且a，b满足关系式$|a+40|+|b-20|=0$.
①若点C是线段AB的“巧点”，则点C表示的数是多少？
②动点P从点A出发，以每秒2 cm的速度沿AB向终点B匀速移动.点Q从点B出发，以每秒3 cm的速度沿BA向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时停止运动，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段AP的“巧点”.

14. (1)是 解析:若 C 是线段 AB 的中点,则 AB=2AC,故线段的中点是这条线段的“巧点”.
(2)①因为 $|a+40|+|b-20|=0$,所以 a+40=0,b-20=0,解得 a=-40,b=20,若点 C 是线段 AB 的“巧点”,则分三种情况讨论:Ⅰ)当 BC=2AC 时,此时 $AC=\frac{1}{3}AB$,所以点 C 表示的数是 $-40+\frac{1}{3}×[20-(-40)]=-20$;Ⅱ)当 AC=2BC 时,此时 $AC=\frac{2}{3}AB$,所以点 C 表示的数是 $-40+\frac{2}{3}×[20-(-40)]=0$;Ⅲ)当 AB=2AC=2BC 时,此时 $AC=\frac{1}{2}AB$,所以点 C 表示的数是 $-40+\frac{1}{2}×[20-(-40)]=-10$.综上,点 C 表示的数是-20 或-10 或 0.
②如图,当移动的时间为 t 秒时,点 P 表示的数为 -40+2t,点 Q 表示的数为 20-3t, 当点 Q 恰好是线段 AP 的“巧点”时,分三种情况讨论:Ⅰ)当 AQ=2PQ 时,20-3t-(-40)=2[-40+2t-(20-3t)],解得 $t=\frac{180}{13}$;Ⅱ)当 AP=2AQ 时,-40+2t-(-40)=2[20-3t-(-40)],解得 t=15;Ⅲ)当 PQ=2AQ 时,-40+2t-(20-3t)=2[20-3t-(-40)],解得 $t=\frac{180}{11}$.综上,当 t=15 或 $\frac{180}{13}$ 或 $\frac{180}{11}$ 时,点 Q 恰好是线段 AP 的“巧点”.

【分析】
（1）首先明确“巧点”定义：线段上一点将线段分为两条小线段，若三条线段中存在一条长度是另一条的2倍，该点即为巧点。线段中点满足原线段长是其分出的两条小线段长的2倍，符合巧点定义，因此中点是巧点。
（2）① 根据绝对值的非负性，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，可求出a、b的值，得到线段AB的总长度，再分三种符合“巧点”的情况分别计算点C对应的数值即可。
② 先根据动点的运动速度、方向，用含t的代数式表示出t秒后点P、Q对应的数，再结合“巧点”的三种情况分别列一元一次方程求解，最后验证所得t在运动时间范围内即可。
【解析】
(1) 若C是线段AB的中点，则$AB=2AC=2BC$，满足“巧点”的定义，因此一条线段的中点是这条线段的“巧点”。
(2) ① 由绝对值的非负性可知$|a+40|≥0$，$|b-20|≥0$，结合$|a+40|+|b-20|=0$，可得$a+40=0$，$b-20=0$，解得$a=-40$，$b=20$，因此线段AB的长度为$20-(-40)=60$。
点C是线段AB的“巧点”，分三种情况讨论：
Ⅰ) 当$BC=2AC$时，$AC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×60=20$，点C表示的数为$-40+20=-20$；
Ⅱ) 当$AC=2BC$时，$AC=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×60=40$，点C表示的数为$-40+40=0$；
Ⅲ) 当$AB=2AC=2BC$时，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×60=30$，点C表示的数为$-40+30=-10$。
② 运动t秒后，点P表示的数为$-40+2t$，点Q表示的数为$20-3t$，
点Q是线段AP的“巧点”，分三种情况讨论：
Ⅰ) 当$AQ=2PQ$时，$AQ=20-3t-(-40)=60-3t$，$PQ=-40+2t-(20-3t)=5t-60$，列方程得$60-3t=2(5t-60)$，解得$t=\frac{180}{13}$；
Ⅱ) 当$AP=2AQ$时，$AP=-40+2t-(-40)=2t$，列方程得$2t=2(60-3t)$，解得$t=15$；
Ⅲ) 当$PQ=2AQ$时，列方程得$5t-60=2(60-3t)$，解得$t=\frac{180}{11}$。
验证得$0≤ t≤20$，三个解均符合运动时间要求。
【答案】
(1) 是
(2) ① 点C表示的数是-20或-10或0；
② 当t的值为$\boxed{15}$或$\boxed{\frac{180}{13}}$或$\boxed{\frac{180}{11}}$时，点Q恰好是线段AP的“巧点”。
【知识点】
绝对值非负性，线段和差运算，新定义应用
【点评】
本题是新定义类题型，结合了数轴动点与线段运算的知识点，解题的关键是准确理解新定义，对所有符合定义的情况分类讨论，避免漏解，同时要熟练掌握数轴上两点距离的计算方法和动点坐标的表示技巧。
【难度系数】
0.6