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6. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x-3y=m-1, \\x+y=-3m+7,\end{cases}$若方程组的解满足$x-y＜5$，则$m$的最小整数值为（ ）
A.$-1$
B.$-2$
C.$0$
D.$1$
A.$-1$
B.$-2$
C.$0$
D.$1$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先建立x-y与m的关系，再结合x-y＜5的条件求解m的取值范围，最后找最小整数解。有两种思路：一是先解二元一次方程组，用含m的代数式分别表示x和y，再计算x-y代入不等式；二是观察两个方程的结构，通过方程的加减运算直接凑出x-y的整体，简化计算过程。解不等式时注意，不等式两边同时乘或除以负数时，不等号方向要改变。
【解析】
方法一（整体法）：
记方程组为$\begin{cases}x-3y=m-1&① \\x+y=-3m+7&②\end{cases}$
将①+②，左边合并同类项、右边计算得：
$2x-2y=-2m+6$
等式两边同时除以2，得：
$x-y=-m+3$
∵ 方程组的解满足$x-y＜5$
∴ 代入得：$-m+3＜5$
移项得：$-m＜2$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$m＞-2$
大于$-2$的最小整数为$-1$，即m的最小整数值为$-1$。
方法二（常规解法）：
记方程组为$\begin{cases}x-3y=m-1&① \\x+y=-3m+7&②\end{cases}$
②-①得：$4y=-4m+8$，解得$y=-m+2$
把$y=-m+2$代入②得：$x+(-m+2)=-3m+7$，解得$x=-2m+5$
∴ $x-y=(-2m+5)-(-m+2)=-m+3$
后续步骤同方法一，可得$m＞-2$，m的最小整数值为$-1$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解法，不等式的性质，不等式的整数解
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合题，既可以按常规步骤求解未知数后代入条件计算，也可以用整体思想简化运算，解题的易错点是解不等式系数化为1时，若系数为负，忘记改变不等号的方向。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，我们需要先建立x-y与m的关系，再结合x-y＜5的条件求解m的取值范围，最后找最小整数解。有两种思路：一是先解二元一次方程组，用含m的代数式分别表示x和y，再计算x-y代入不等式；二是观察两个方程的结构，通过方程的加减运算直接凑出x-y的整体，简化计算过程。解不等式时注意，不等式两边同时乘或除以负数时，不等号方向要改变。
【解析】
方法一（整体法）：
记方程组为$\begin{cases}x-3y=m-1&① \\x+y=-3m+7&②\end{cases}$
将①+②，左边合并同类项、右边计算得：
$2x-2y=-2m+6$
等式两边同时除以2，得：
$x-y=-m+3$
∵ 方程组的解满足$x-y＜5$
∴ 代入得：$-m+3＜5$
移项得：$-m＜2$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$m＞-2$
大于$-2$的最小整数为$-1$，即m的最小整数值为$-1$。
方法二（常规解法）：
记方程组为$\begin{cases}x-3y=m-1&① \\x+y=-3m+7&②\end{cases}$
②-①得：$4y=-4m+8$，解得$y=-m+2$
把$y=-m+2$代入②得：$x+(-m+2)=-3m+7$，解得$x=-2m+5$
∴ $x-y=(-2m+5)-(-m+2)=-m+3$
后续步骤同方法一，可得$m＞-2$，m的最小整数值为$-1$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解法，不等式的性质，不等式的整数解
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合题，既可以按常规步骤求解未知数后代入条件计算，也可以用整体思想简化运算，解题的易错点是解不等式系数化为1时，若系数为负，忘记改变不等号的方向。
【难度系数】
0.75
7. 在一次知识竞赛中,竞赛试题共有25道题,每道题都给出了4个答案,其中只有一个答案是正确的,要求学生把正确答案选出来,每道题选对得4分,不选或错选扣2分,如果小明在本次竞赛中得分不低于80分,那么他至少答对 (
A.20道
B.21道
C.22道
D.23道
C
)A.20道
B.21道
C.22道
D.23道
答案
C
解析
【分析】
本题是不等式的实际应用问题，解题思路如下：首先明确题目中的不等关系：得分不低于80分，即总得分≥80；接下来设答对题数为未知数，用总题数表示出错/不选题数；再根据“总得分=答对得分 - 扣减分数”的规则列出不等式，求解后结合题数为正整数的隐含条件，取最小的符合要求的整数解即可。
【解析】
设小明答对了$x$道题，则不选或错选的题目数为$(25-x)$道。
根据题意，得分不低于80分，可列不等式：
$4x - 2(25 - x) ≥ 80$
展开括号得：$4x - 50 + 2x ≥ 80$
合并同类项得：$6x ≥ 130$
解得：$x ≥ \frac{65}{3} \approx 21.67$
由于题数$x$必须为正整数，因此$x$的最小取值为22，即小明至少答对22道题。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的应用、不等式的求解、实际问题的整数解
【点评】
本题是不等式应用的典型题型，解题的核心是准确抓住“不低于80分”这一不等关系，正确列出不等式，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，本题中题数为正整数，因此要对求解出的小数结果取符合要求的最小整数，避免直接取近似值导致出错。
【难度系数】
0.7
本题是不等式的实际应用问题，解题思路如下：首先明确题目中的不等关系：得分不低于80分，即总得分≥80；接下来设答对题数为未知数，用总题数表示出错/不选题数；再根据“总得分=答对得分 - 扣减分数”的规则列出不等式，求解后结合题数为正整数的隐含条件，取最小的符合要求的整数解即可。
【解析】
设小明答对了$x$道题，则不选或错选的题目数为$(25-x)$道。
根据题意，得分不低于80分，可列不等式：
$4x - 2(25 - x) ≥ 80$
展开括号得：$4x - 50 + 2x ≥ 80$
合并同类项得：$6x ≥ 130$
解得：$x ≥ \frac{65}{3} \approx 21.67$
由于题数$x$必须为正整数，因此$x$的最小取值为22，即小明至少答对22道题。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的应用、不等式的求解、实际问题的整数解
【点评】
本题是不等式应用的典型题型，解题的核心是准确抓住“不低于80分”这一不等关系，正确列出不等式，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，本题中题数为正整数，因此要对求解出的小数结果取符合要求的最小整数，避免直接取近似值导致出错。
【难度系数】
0.7
8. 老师设计了接力游戏,用合作的方式完成解一元一次不等式,规则是:每人只能看到前一个人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一个人,最后完成化简.过程如图所示:
接力中,自己负责的一步出现错误的是 (
A.只有乙
B.甲和乙
C.乙和丙
D.乙和丁
接力中,自己负责的一步出现错误的是 (
B
)A.只有乙
B.甲和乙
C.乙和丙
D.乙和丁
答案
B
解析
【分析】
要判断接力过程中谁的步骤出错，需按解一元一次不等式的运算规则，依次验证每一步的计算是否正确：首先从原不等式出发，核对甲去分母、去括号的运算是否正确；再以甲给出的式子为基础，核对乙移项的步骤是否符合规则；之后依次核对丙合并同类项、丁系数化为1的步骤是否正确，每人只需保证自己承接上一步后的运算正确即可。
【解析】
1. 核对甲的步骤：
原不等式为 $\frac{x}{6} ＞ 1 - \frac{x-2}{3}$，两边同时乘最小公倍数6去分母，得：
$x ＞ 6 - 2(x-2)$，去括号后应为 $x ＞ 6 -2x +4$，但甲给出的结果是$x＞6-2x-4$，去括号时符号出错，故甲的步骤错误。
2. 核对乙的步骤：
乙承接的式子是$x＞6-2x-4$，移项时，右侧的$-2x$移到左侧应变号为$+2x$，正确结果应为$x+2x＞6-4$，但乙给出的是$x-2x＞6-4$，移项未变号，故乙的步骤错误。
3. 核对丙的步骤：
丙承接的式子是$x-2x＞6-4$，合并同类项后得到$-x＞2$，计算正确，故丙的步骤无误。
4. 核对丁的步骤：
丁承接的式子是$-x＞2$，系数化为1时，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得到$x＜-2$，计算正确，故丁的步骤无误。
综上，出错的是甲和乙。
【答案】B
【知识点】一元一次不等式解法，不等式的性质
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的步骤，易错点集中在去括号的符号处理、移项变号规则以及系数化为1时不等号方向的变化，需要熟练掌握运算规则逐一排查。
【难度系数】0.7
要判断接力过程中谁的步骤出错，需按解一元一次不等式的运算规则，依次验证每一步的计算是否正确：首先从原不等式出发，核对甲去分母、去括号的运算是否正确；再以甲给出的式子为基础，核对乙移项的步骤是否符合规则；之后依次核对丙合并同类项、丁系数化为1的步骤是否正确，每人只需保证自己承接上一步后的运算正确即可。
【解析】
1. 核对甲的步骤：
原不等式为 $\frac{x}{6} ＞ 1 - \frac{x-2}{3}$，两边同时乘最小公倍数6去分母，得：
$x ＞ 6 - 2(x-2)$，去括号后应为 $x ＞ 6 -2x +4$，但甲给出的结果是$x＞6-2x-4$，去括号时符号出错，故甲的步骤错误。
2. 核对乙的步骤：
乙承接的式子是$x＞6-2x-4$，移项时，右侧的$-2x$移到左侧应变号为$+2x$，正确结果应为$x+2x＞6-4$，但乙给出的是$x-2x＞6-4$，移项未变号，故乙的步骤错误。
3. 核对丙的步骤：
丙承接的式子是$x-2x＞6-4$，合并同类项后得到$-x＞2$，计算正确，故丙的步骤无误。
4. 核对丁的步骤：
丁承接的式子是$-x＞2$，系数化为1时，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得到$x＜-2$，计算正确，故丁的步骤无误。
综上，出错的是甲和乙。
【答案】B
【知识点】一元一次不等式解法，不等式的性质
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的步骤，易错点集中在去括号的符号处理、移项变号规则以及系数化为1时不等号方向的变化，需要熟练掌握运算规则逐一排查。
【难度系数】0.7
9. 用不等式表示:x 的 2 倍与 6 的差大于 0,则这个不等式是
2x-6＞0
.答案
2x-6＞0
解析
【分析】
解题时要逐句拆解题目中的文字表述，对应转化为数学表达式：第一步先明确“x的2倍”的数学写法，第二步理清“与6的差”的运算顺序，注意被减数和减数不能颠倒，第三步根据“大于0”的要求选择正确的不等号，将各部分组合即可得到不等式。
【解析】
1. 表示x的2倍：x的2倍就是2乘x，写作$2x$；
2. 表示x的2倍与6的差：用得到的2x减去6，即$2x-6$；
3. 结合“大于0”的条件，用不等号“＞”连接上述式子和0，得到最终不等式$2x-6＞0$。
【答案】
$2x-6＞0$
【知识点】
列不等式；数量关系转化
【点评】
本题是基础题型，主要考察文字语言到数学不等式的转化能力，解题的关键是准确把握运算顺序和不等号的对应关系，避免差的运算顺序颠倒的错误。
【难度系数】
0.9
解题时要逐句拆解题目中的文字表述，对应转化为数学表达式：第一步先明确“x的2倍”的数学写法，第二步理清“与6的差”的运算顺序，注意被减数和减数不能颠倒，第三步根据“大于0”的要求选择正确的不等号，将各部分组合即可得到不等式。
【解析】
1. 表示x的2倍：x的2倍就是2乘x，写作$2x$；
2. 表示x的2倍与6的差：用得到的2x减去6，即$2x-6$；
3. 结合“大于0”的条件，用不等号“＞”连接上述式子和0，得到最终不等式$2x-6＞0$。
【答案】
$2x-6＞0$
【知识点】
列不等式；数量关系转化
【点评】
本题是基础题型，主要考察文字语言到数学不等式的转化能力，解题的关键是准确把握运算顺序和不等号的对应关系，避免差的运算顺序颠倒的错误。
【难度系数】
0.9
10. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x -5 ＜0, \\x -m ＞0\end{cases}$有解，则$m$的取值范围是________。
答案
$m＜\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
解决这类含参数的不等式组有解问题，思路分为两步：第一步先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个关于x的解集；第二步根据“不等式组有解即两个解集存在公共部分”的规则，结合两个解集的不等号方向，判断参数m的取值范围，注意要验证等号是否成立，避免出错。
【解析】
先分别解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$2x - 5 ＜ 0$：
移项得$2x ＜ 5$，
系数化为1得$x ＜ \dfrac{5}{2}$。
2. 解不等式$x - m ＞ 0$：
移项得$x ＞ m$。
因为不等式组有解，说明两个解集存在公共部分，即存在x同时满足$m ＜ x ＜ \dfrac{5}{2}$，因此$m$必须小于$\dfrac{5}{2}$（若$m=\dfrac{5}{2}$，则$x＞\dfrac{5}{2}$和$x＜\dfrac{5}{2}$无公共部分，不等式组无解，因此等号不成立）。
【答案】
$m ＜ \dfrac{5}{2}$
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式组有解判定
【点评】
本题是不等式组参数问题的基础题型，易错点是容易错误添加等号，解题时可以结合数轴绘制两个解集的范围，更直观判断是否存在公共部分，准确确定参数的取值范围。
【难度系数】
0.75
解决这类含参数的不等式组有解问题，思路分为两步：第一步先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个关于x的解集；第二步根据“不等式组有解即两个解集存在公共部分”的规则，结合两个解集的不等号方向，判断参数m的取值范围，注意要验证等号是否成立，避免出错。
【解析】
先分别解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$2x - 5 ＜ 0$：
移项得$2x ＜ 5$，
系数化为1得$x ＜ \dfrac{5}{2}$。
2. 解不等式$x - m ＞ 0$：
移项得$x ＞ m$。
因为不等式组有解，说明两个解集存在公共部分，即存在x同时满足$m ＜ x ＜ \dfrac{5}{2}$，因此$m$必须小于$\dfrac{5}{2}$（若$m=\dfrac{5}{2}$，则$x＞\dfrac{5}{2}$和$x＜\dfrac{5}{2}$无公共部分，不等式组无解，因此等号不成立）。
【答案】
$m ＜ \dfrac{5}{2}$
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式组有解判定
【点评】
本题是不等式组参数问题的基础题型，易错点是容易错误添加等号，解题时可以结合数轴绘制两个解集的范围，更直观判断是否存在公共部分，准确确定参数的取值范围。
【难度系数】
0.75
11. 一个书架长 102 cm,在该书架上按如图所示的方式摆放数学书和语文书,已知每本数学书厚 1.2 cm,每本语文书厚 1.5 cm.若书架上已摆放 30 本语文书,则数学书最多还可以摆放
47
本.答案
47
解析
【分析】
这是一道不等式的实际应用问题，解题思路如下：首先明确题目中的不等关系：摆放的语文书总厚度+数学书总厚度≤书架的总长度。第一步先计算出已摆放的30本语文书的总厚度，第二步设可摆放数学书的数量为未知数，根据不等关系列出不等式，第三步解不等式，最后结合书的数量必须是正整数的实际要求，取最大的符合条件的整数即可得到答案。
【解析】
解：首先计算30本语文书的总厚度：
$30×1.5 = 45\,\mathrm{cm}$
设还可以摆放$x$本数学书，根据总厚度不超过书架长度，列不等式：
$1.2x + 45 ≤ 102$
移项得：$1.2x ≤ 102 - 45$
计算得：$1.2x ≤ 57$
系数化为1得：$x ≤ 57÷1.2 = 47.5$
因为$x$为正整数，所以$x$可取的最大值为47。
【答案】
47
【知识点】
一元一次不等式应用；解一元一次不等式；实际问题取整
【点评】
本题属于不等式基础应用题型，解题的核心是准确找到总厚度不超过书架长度的不等关系，求解后要注意结合书本数量为正整数的实际情况对结果取值，避免出现取小数或错误进位的问题。
【难度系数】
0.7
这是一道不等式的实际应用问题，解题思路如下：首先明确题目中的不等关系：摆放的语文书总厚度+数学书总厚度≤书架的总长度。第一步先计算出已摆放的30本语文书的总厚度，第二步设可摆放数学书的数量为未知数，根据不等关系列出不等式，第三步解不等式，最后结合书的数量必须是正整数的实际要求，取最大的符合条件的整数即可得到答案。
【解析】
解：首先计算30本语文书的总厚度：
$30×1.5 = 45\,\mathrm{cm}$
设还可以摆放$x$本数学书，根据总厚度不超过书架长度，列不等式：
$1.2x + 45 ≤ 102$
移项得：$1.2x ≤ 102 - 45$
计算得：$1.2x ≤ 57$
系数化为1得：$x ≤ 57÷1.2 = 47.5$
因为$x$为正整数，所以$x$可取的最大值为47。
【答案】
47
【知识点】
一元一次不等式应用；解一元一次不等式；实际问题取整
【点评】
本题属于不等式基础应用题型，解题的核心是准确找到总厚度不超过书架长度的不等关系，求解后要注意结合书本数量为正整数的实际情况对结果取值，避免出现取小数或错误进位的问题。
【难度系数】
0.7
