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1. 不等关系在生活中广泛存在. 如图,a,b分别表示两位同学的身高,c表示台阶的高度. 图中两人的对话体现的数学原理是 （
A.若$a＞b$,则$a+c＞b+c$
B.若$a＞b,b＞c$,则$a＞c$
C.若$a＞b,c＞0$,则$ac＞bc$
D.若$a＞b,c＞0$,则$\frac{a}{c}＞\frac{b}{c}$
A
）A.若$a＞b$,则$a+c＞b+c$
B.若$a＞b,b＞c$,则$a＞c$
C.若$a＞b,c＞0$,则$ac＞bc$
D.若$a＞b,c＞0$,则$\frac{a}{c}＞\frac{b}{c}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先从图中提取数量关系：首先看左图，男生身高为a，女生身高为b，由男生的话可知初始不等关系为$a＞b$；再看右图，两人都站在高度为c的台阶上，相当于两人的身高同时加上了同一个正数c，此时女生说“你还是比我高”，说明加上c后仍满足$a+c＞b+c$，最后将推导的不等关系和四个选项对比即可找到答案。
【解析】
1. 提取左图信息：男生身高为a，女生身高为b，男生比女生高，可得$a＞b$；
2. 提取右图信息：两人站在高度为c的台阶上后，男生总高度为$a+c$，女生总高度为$b+c$，此时男生仍然更高，可得$a+c＞b+c$；
3. 辨析选项：
A选项：若$a＞b$，则$a+c＞b+c$，与推导结论完全一致；
B选项为不等式的传递性，本题未涉及b和c的大小比较，不符合题意；
C、D选项是不等式两边同时乘或除以同一个正数的性质，本题是两边同时加同一个数，不符合题意。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的性质1；不等关系的实际应用
【点评】
本题结合生活中的身高比较场景考查不等式的基本性质，题目贴近生活，解题关键是准确梳理出身高变化前后的不等关系，能帮助学生更好地理解不等式性质的实际意义。
【难度系数】
0.8
解题时先从图中提取数量关系：首先看左图，男生身高为a，女生身高为b，由男生的话可知初始不等关系为$a＞b$；再看右图，两人都站在高度为c的台阶上，相当于两人的身高同时加上了同一个正数c，此时女生说“你还是比我高”，说明加上c后仍满足$a+c＞b+c$，最后将推导的不等关系和四个选项对比即可找到答案。
【解析】
1. 提取左图信息：男生身高为a，女生身高为b，男生比女生高，可得$a＞b$；
2. 提取右图信息：两人站在高度为c的台阶上后，男生总高度为$a+c$，女生总高度为$b+c$，此时男生仍然更高，可得$a+c＞b+c$；
3. 辨析选项：
A选项：若$a＞b$，则$a+c＞b+c$，与推导结论完全一致；
B选项为不等式的传递性，本题未涉及b和c的大小比较，不符合题意；
C、D选项是不等式两边同时乘或除以同一个正数的性质，本题是两边同时加同一个数，不符合题意。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的性质1；不等关系的实际应用
【点评】
本题结合生活中的身高比较场景考查不等式的基本性质，题目贴近生活，解题关键是准确梳理出身高变化前后的不等关系，能帮助学生更好地理解不等式性质的实际意义。
【难度系数】
0.8
2. 不等式组$\begin{cases}2-x＞1, \\ \dfrac{x+5}{2}≥1\end{cases}$的解集在数轴上表示正确的是（
）
）答案
B
解析
【分析】
要解决该问题，需先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到各自的解集后取公共部分，即为不等式组的总解集；再结合数轴表示解集的规则：大于向右画、小于向左画，包含端点用实心点、不包含端点用空心圈，逐一比对选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 解第一个不等式$2-x＞1$：
移项得$-x＞1-2$，即$-x＞-1$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x＜1$。
2. 解第二个不等式$\dfrac{x+5}{2}≥1$：
不等式两边同时乘2得$x+5≥2$，
移项得$x≥2-5$，即$x≥-3$。
因此不等式组的解集为$-3≤x＜1$。
该解集在数轴上表示为：在点$-3$处画实心点，向右画线；在点$1$处画空心圈，向左画线，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式组解集的数轴表示
【点评】
本题核心考查一元一次不等式组的求解及数轴表示解集的规则，易错点是解含负系数的不等式时忽略不等号方向改变，以及混淆实心点和空心圈的使用场景。
【难度系数】
0.75
要解决该问题，需先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到各自的解集后取公共部分，即为不等式组的总解集；再结合数轴表示解集的规则：大于向右画、小于向左画，包含端点用实心点、不包含端点用空心圈，逐一比对选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 解第一个不等式$2-x＞1$：
移项得$-x＞1-2$，即$-x＞-1$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x＜1$。
2. 解第二个不等式$\dfrac{x+5}{2}≥1$：
不等式两边同时乘2得$x+5≥2$，
移项得$x≥2-5$，即$x≥-3$。
因此不等式组的解集为$-3≤x＜1$。
该解集在数轴上表示为：在点$-3$处画实心点，向右画线；在点$1$处画空心圈，向左画线，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式组解集的数轴表示
【点评】
本题核心考查一元一次不等式组的求解及数轴表示解集的规则，易错点是解含负系数的不等式时忽略不等号方向改变，以及混淆实心点和空心圈的使用场景。
【难度系数】
0.75
3. 若关于x的不等式组$\begin{cases}3x - 1 ＞ 4(x - 1), \\ x ＜ m\end{cases}$的解集为$x＜3$，则m的取值范围是（ ）
A.$m≤3$
B.$m＞3$
C.$m＜3$
D.$m≥3$
A.$m≤3$
B.$m＞3$
C.$m＜3$
D.$m≥3$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先需要先求解不等式组中的第一个一元一次不等式，得到其解集为x＜3，此时不等式组转化为$\begin{cases}x ＜ 3 \\ x ＜ m\end{cases}$的形式。根据一元一次不等式组“同小取小”的解集判定规则，结合题目给出的解集为x＜3，可推导出m的取值范围，注意要验证端点值是否符合要求。
【解析】
1. 求解第一个不等式$3x - 1 ＞ 4(x - 1)$：
去括号，得：$3x - 1 ＞ 4x - 4$
移项，得：$3x - 4x ＞ -4 + 1$
合并同类项，得：$-x ＞ -3$
系数化为1（不等号方向改变），得：$x ＜ 3$
2. 此时不等式组可写为$\begin{cases}x ＜ 3 \\ x ＜ m\end{cases}$
根据不等式组“同小取小”的解集确定原则，已知该不等式组的解集为$x＜3$，说明两个解集的公共部分是x＜3，因此m的取值需满足$m≥3$（当m=3时，两个不等式解集均为x＜3，公共解集仍为x＜3，符合要求）。
【答案】
D
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式组解集判定
【点评】
本题重点考查一元一次不等式组的解法及解集的应用，需熟练掌握不等式组解集的判定规则，解题时要特别注意端点值是否可取，避免因忽略等号出现错解。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要先求解不等式组中的第一个一元一次不等式，得到其解集为x＜3，此时不等式组转化为$\begin{cases}x ＜ 3 \\ x ＜ m\end{cases}$的形式。根据一元一次不等式组“同小取小”的解集判定规则，结合题目给出的解集为x＜3，可推导出m的取值范围，注意要验证端点值是否符合要求。
【解析】
1. 求解第一个不等式$3x - 1 ＞ 4(x - 1)$：
去括号，得：$3x - 1 ＞ 4x - 4$
移项，得：$3x - 4x ＞ -4 + 1$
合并同类项，得：$-x ＞ -3$
系数化为1（不等号方向改变），得：$x ＜ 3$
2. 此时不等式组可写为$\begin{cases}x ＜ 3 \\ x ＜ m\end{cases}$
根据不等式组“同小取小”的解集确定原则，已知该不等式组的解集为$x＜3$，说明两个解集的公共部分是x＜3，因此m的取值需满足$m≥3$（当m=3时，两个不等式解集均为x＜3，公共解集仍为x＜3，符合要求）。
【答案】
D
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式组解集判定
【点评】
本题重点考查一元一次不等式组的解法及解集的应用，需熟练掌握不等式组解集的判定规则，解题时要特别注意端点值是否可取，避免因忽略等号出现错解。
【难度系数】
0.7
4. 关于$x$的不等式组$\begin{cases}3-2x≥1, \\x-m≥1\end{cases}$有且只有2个整数解，则$m$的取值范围为（ ）
A.$-1≤ m≤1$
B.$m＜1$
C.$-1＜m≤0$
D.$-2＜m≤-1$
A.$-1≤ m≤1$
B.$m＜1$
C.$-1＜m≤0$
D.$-2＜m≤-1$
答案
D
解析
【分析】
解决这类含参数的一元一次不等式组整数解问题，解题思路分三步：第一步分别求解不等式组中的两个不等式，用含参数m的式子表示出不等式组的解集；第二步根据“有且只有2个整数解”的条件，结合已知的解集上限，确定这两个整数解的具体值；第三步根据整数解的个数限制，列出关于参数m的不等式，注意验证端点是否可取，最终求出m的取值范围。
【解析】
解：分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$3-2x≥1$：
移项得：$-2x≥1-3$
合并同类项得：$-2x≥-2$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x≤1$
2. 解不等式$x-m≥1$：
移项得：$x≥ m+1$
因此不等式组的解集为：$m+1≤ x≤1$
已知不等式组有且只有2个整数解，结合$x≤1$，可得这两个整数解为1和0。
要保证只有这两个整数解，需满足：$m+1$必须大于$-1$（若$m+1≤-1$，整数解会包含$-1$，共3个，不符合要求），且$m+1≤0$（若$m+1＞0$，整数解仅为1，共1个，不符合要求），即：
$-1 ＜ m+1 ≤ 0$
不等式各项同时减1，得：
$-2 ＜ m ≤ -1$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 不等式组整数解应用
【点评】
本题是不等式组整数解的常规题型，核心是先求出固定范围的解集，再结合整数解的个数反推参数的取值范围，解题时要格外注意端点值的取舍，避免因漏判端点导致出错。
【难度系数】
0.6
解决这类含参数的一元一次不等式组整数解问题，解题思路分三步：第一步分别求解不等式组中的两个不等式，用含参数m的式子表示出不等式组的解集；第二步根据“有且只有2个整数解”的条件，结合已知的解集上限，确定这两个整数解的具体值；第三步根据整数解的个数限制，列出关于参数m的不等式，注意验证端点是否可取，最终求出m的取值范围。
【解析】
解：分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$3-2x≥1$：
移项得：$-2x≥1-3$
合并同类项得：$-2x≥-2$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x≤1$
2. 解不等式$x-m≥1$：
移项得：$x≥ m+1$
因此不等式组的解集为：$m+1≤ x≤1$
已知不等式组有且只有2个整数解，结合$x≤1$，可得这两个整数解为1和0。
要保证只有这两个整数解，需满足：$m+1$必须大于$-1$（若$m+1≤-1$，整数解会包含$-1$，共3个，不符合要求），且$m+1≤0$（若$m+1＞0$，整数解仅为1，共1个，不符合要求），即：
$-1 ＜ m+1 ≤ 0$
不等式各项同时减1，得：
$-2 ＜ m ≤ -1$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 不等式组整数解应用
【点评】
本题是不等式组整数解的常规题型，核心是先求出固定范围的解集，再结合整数解的个数反推参数的取值范围，解题时要格外注意端点值的取舍，避免因漏判端点导致出错。
【难度系数】
0.6
5. 如图,小明想到A站乘公交车,发现他与公交车的距离为720 m.假设公交车的速度是小明速度的5倍,若要保证小明不会错过这辆公交车,则小明到A站之间的距离最大为 (
A.100 m
B.120 m
C.180 m
D.144 m
B
) A.100 m
B.120 m
C.180 m
D.144 m
答案
B
解析
【分析】
要保证小明不会错过公交车，临界情况为小明和公交车同时到达A站，此时小明到A站的距离就是所求的最大值。我们可以通过设未知数分别表示出小明和公交车到达A站的时间，根据“小明到达A站的时间≤公交车到达A站的时间”列不等式求解即可。
【解析】
设小明的速度为$v\ \mathrm{m/s}$，小明到A站的距离为$x\ \mathrm{m}$，则公交车的速度为$5v\ \mathrm{m/s}$，公交车到A站的距离为$(720 - x)\ \mathrm{m}$。
要赶上公交车，需满足小明到达A站的时间不大于公交车到达A站的时间，列不等式：
$\frac{x}{v} ≤ \frac{720 - x}{5v}$
因为速度$v＞0$，不等式两边同时乘$5v$，不等号方向不变，得：
$5x ≤ 720 - x$
移项合并同类项：
$6x ≤ 720$
解得：
$x ≤ 120$
即小明到A站的最大距离为120m。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的应用，行程问题公式
【点评】
本题结合生活场景考查不等式的实际应用，解题关键是找准“同时到达”的临界条件，理清两者的路程、时间关系，正确列出不等式即可求解。
【难度系数】
0.7
要保证小明不会错过公交车，临界情况为小明和公交车同时到达A站，此时小明到A站的距离就是所求的最大值。我们可以通过设未知数分别表示出小明和公交车到达A站的时间，根据“小明到达A站的时间≤公交车到达A站的时间”列不等式求解即可。
【解析】
设小明的速度为$v\ \mathrm{m/s}$，小明到A站的距离为$x\ \mathrm{m}$，则公交车的速度为$5v\ \mathrm{m/s}$，公交车到A站的距离为$(720 - x)\ \mathrm{m}$。
要赶上公交车，需满足小明到达A站的时间不大于公交车到达A站的时间，列不等式：
$\frac{x}{v} ≤ \frac{720 - x}{5v}$
因为速度$v＞0$，不等式两边同时乘$5v$，不等号方向不变，得：
$5x ≤ 720 - x$
移项合并同类项：
$6x ≤ 720$
解得：
$x ≤ 120$
即小明到A站的最大距离为120m。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的应用，行程问题公式
【点评】
本题结合生活场景考查不等式的实际应用，解题关键是找准“同时到达”的临界条件，理清两者的路程、时间关系，正确列出不等式即可求解。
【难度系数】
0.7
