1 解方程：
(1) $(2x+1)^2=9$；
(2) $3(x+1)^2 -108=0$。

(1) $x_1=1,x_2=-2$
(2) $x_1=5,x_2=-7$

【分析】
观察两个方程的结构，均符合“含未知数的完全平方式等于非负常数”的特征（或变形后可得到该形式），因此选用直接开平方法求解，解题步骤为：①先将方程整理为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式；②根据平方根的定义开平方，得到两个一元一次方程；③分别求解两个一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 对$(2x+1)^2=9$直接开平方，得：
$2x+1=\pm3$
分两种情况求解：
当$2x+1=3$时，解得$2x=2$，即$x=1$；
当$2x+1=-3$时，解得$2x=-4$，即$x=-2$。
因此方程的解为$x_1=1,x_2=-2$。
(2) 先整理$3(x+1)^2 -108=0$：
移项得$3(x+1)^2=108$，
两边同时除以3，得$(x+1)^2=36$，
开平方得$x+1=\pm6$，
分两种情况求解：
当$x+1=6$时，解得$x=5$；
当$x+1=-6$时，解得$x=-7$。
因此方程的解为$x_1=5,x_2=-7$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=-2$
(2) $x_1=5,x_2=-7$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的定义
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心是准确识别方程的结构特征，选择最简便的求解方法，直接开平方法适用于可化为$(ax+b)^2=c(c≥0)$形式的方程，求解时注意开平方后有正负两种情况，不要漏解。
【难度系数】
0.9

2 解方程：
(1) $x^2 - 2x - 99 = 0$；
(2) $3x^2 - 6x + 2 = 0$。

(1) $x_1=11,x_2=-9$
(2) $x_1=1+\frac{\sqrt{3}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$

【分析】
求解一元二次方程可根据方程特征选择合适的解法：(1)第一个方程二次项系数为1，一次项系数与常数项可通过十字相乘拆分，优先选择因式分解法，也可使用配方法求解，核心是将二次方程降为两个一次方程求解；(2)第二个方程无法直接因式分解，可选择配方法或公式法，若用公式法先确定a、b、c的值，计算判别式判断根的存在性，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 2x - 99 = 0$
用十字相乘法因式分解得：
$(x - 11)(x + 9) = 0$
则$x - 11 = 0$ 或 $x + 9 = 0$
解得：$x_1 = 11$，$x_2 = -9$
(2) 解方程$3x^2 - 6x + 2 = 0$
用配方法求解：
移项得：$3x^2 - 6x = -2$
二次项系数化为1得：$x^2 - 2x = -\frac{2}{3}$
配方，两边同时加1得：$x^2 - 2x + 1 = 1 - \frac{2}{3}$
即$(x - 1)^2 = \frac{1}{3}$
开方得：$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$
解得：$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
(1) $x_1=11,x_2=-9$
(2) $x_1=1+\frac{\sqrt{3}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，要求学生熟练掌握各类解法的适用场景，灵活选择简便方法计算，同时要注意根式化简、符号判断等细节，避免计算失误。
【难度系数】
0.8

3 解方程：
(1) $x(x - 2) + x - 2 = 0$;
(2) $9x^2 - (x - 1)^2 = 0$.

(1) $x_1=-1,x_2=2$
(2) $x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$

【分析】
这两道一元二次方程都适合用因式分解法求解，解题思路如下：
（1）观察方程左边的结构，发现两项含有公因式$(x-2)$，可通过提公因式将左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式为0，转化为一元一次方程求解；
（2）方程左边是两个平方项的差，符合平方差公式的结构特征，利用平方差公式因式分解后，同样转化为两个一元一次方程求解，比配方法、公式法更简便。
【解析】
(1) 对原方程左边因式分解：
$\begin{aligned}x(x - 2) + x - 2 &= 0\\x(x - 2) + (x - 2) &= 0\\(x - 2)(x + 1) &= 0\end{aligned}$
令每个因式等于0，得：
$x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = -1$
(2) 原方程可变形为$(3x)^2 - (x - 1)^2 = 0$，利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$因式分解：
$\begin{aligned}[3x - (x - 1)][3x + (x - 1)] &= 0\\(2x + 1)(4x - 1) &= 0\end{aligned}$
令每个因式等于0，得：
$2x + 1 = 0$ 或 $4x - 1 = 0$
解得：$x_1 = -\frac{1}{2}$，$x_2 = \frac{1}{4}$
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=2$
(2) $x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
这两道题是一元二次方程解法的基础题型，解题核心是观察方程的结构特征，灵活选择合适的因式分解方法，将二次方程降次为一次方程求解，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8

4 解方程：
(1) $2x^2 + 2x - 1 = 0$；
(2) $3x^2 - 2x - 8 = 0$。

(1) $x_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
(2) $x_1=2,x_2=-\frac{4}{3}$

【分析】
解一元二次方程时可先观察方程特征，优先判断能否用因式分解法简化计算，若无法因式分解则使用通用的公式法求解。公式法的核心步骤为：先确定方程一般式中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算判别式Δ=b²-4ac判断根的情况，若Δ≥0则代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根；若方程可因式分解，将左边分解为两个一次因式乘积后，令每个因式为0即可快速求出根。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 + 2x - 1 = 0$：
该方程无法直接因式分解，采用公式法求解。
由方程得：$a=2$，$b=2$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×2×(-1) = 4 + 8 = 12 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：
$x = \frac{-2\pm\sqrt{12}}{2×2} = \frac{-2\pm2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$。
(2) 解方程$3x^2 - 2x - 8 = 0$：
该方程可通过十字相乘法因式分解，将左边分解为：
$3x^2 - 2x - 8 = (3x + 4)(x - 2)$，
因此原方程转化为：$(3x + 4)(x - 2) = 0$，
令每个因式为0得：$3x + 4 = 0$或$x - 2 = 0$，
分别求解得$x=2$或$x=-\frac{4}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
(2) $x_1=2,x_2=-\frac{4}{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考查对两种常用解法的掌握程度，熟练掌握公式法的通用步骤、灵活运用因式分解法简化计算是求解的关键。
【难度系数】
0.7