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10 一个直角三角形的两边长分别是方程$x^2 -8x +15=0$的两根，则这个直角三角形的第三边长为
$\sqrt{34}$或4
。答案
10. $\sqrt{34}$或4 【解析】一元二次方程$x^2 -8x +15=0$的解为$x_1=3,x_2=5$.当3与5分别为直角三角形的两条直角边长时，斜边长为$\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$;当直角三角形的斜边长为5,一条直角边长为3时,另一条直角边长为$\sqrt{5^2-3^2}=4$.
解析
【分析】
解题时先通过因式分解法求解一元二次方程，得到直角三角形的两条已知边长；由于题目未说明这两条边是直角边还是包含斜边，因此需要分两种情况讨论：一是两条已知边均为直角边，二是两条已知边中较长边为斜边、较短边为直角边；最后结合勾股定理分别计算第三边的长度，舍去不符合实际意义的结果即可。
【解析】
1. 解方程$x^2 -8x +15=0$：
对左边因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
则$x-3=0$或$x-5=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$，即直角三角形的两条已知边长为3和5。
2. 分情况计算第三边长：
① 当3和5均为直角边长时，第三边为斜边，根据勾股定理：
第三边长$=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$；
② 当5为斜边长，3为直角边长时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理：
第三边长$=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
两种情况均符合直角三角形三边关系，因此第三边长为$\sqrt{34}$或4。
【答案】
$\sqrt{34}$或4
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略对已知边的类型进行分类讨论，直接将两根都当作直角边计算，漏掉斜边长为5的情况。遇到未明确直角边、斜边的直角三角形边长问题时，要注意分情况验证合理性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先通过因式分解法求解一元二次方程，得到直角三角形的两条已知边长；由于题目未说明这两条边是直角边还是包含斜边，因此需要分两种情况讨论：一是两条已知边均为直角边，二是两条已知边中较长边为斜边、较短边为直角边；最后结合勾股定理分别计算第三边的长度，舍去不符合实际意义的结果即可。
【解析】
1. 解方程$x^2 -8x +15=0$：
对左边因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
则$x-3=0$或$x-5=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$，即直角三角形的两条已知边长为3和5。
2. 分情况计算第三边长：
① 当3和5均为直角边长时，第三边为斜边，根据勾股定理：
第三边长$=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$；
② 当5为斜边长，3为直角边长时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理：
第三边长$=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
两种情况均符合直角三角形三边关系，因此第三边长为$\sqrt{34}$或4。
【答案】
$\sqrt{34}$或4
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略对已知边的类型进行分类讨论，直接将两根都当作直角边计算，漏掉斜边长为5的情况。遇到未明确直角边、斜边的直角三角形边长问题时，要注意分情况验证合理性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11 用适当的方法解下面的方程：
(1) $x^2 -3x -1=0$；
(2) $4x(x-1)=6-6x$。
(1) $x^2 -3x -1=0$；
(2) $4x(x-1)=6-6x$。
答案
11. (1) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$ (2) $x_1=-\frac{3}{2},x_2=1$
解析
【分析】
(1) 观察方程$x^2 -3x -1=0$，左边的二次三项式无法直接因式分解，选择公式法求解更简便：先确定方程各项系数，计算判别式判断根的存在性，再代入求根公式计算即可。
(2) 观察方程$4x(x-1)=6-6x$，左右两边都含有与$(x-1)$相关的因式，选择因式分解法求解更简便：先将右侧含$x$的项移到左侧，提取公因式后将二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -3x -1=0$，
这里$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 -4×1×(-1) = 9 + 4 = 13＞0$，
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。
(2) 对于方程$4x(x-1)=6-6x$，
先将右边变形并移项，得：$4x(x-1) + 6(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$，得：$(x-1)(4x+6)=0$，
所以$x-1=0$或$4x+6=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$ (2) $x_1=-\frac{3}{2},x_2=1$
【知识点】
一元二次方程的解法、公式法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题关键是根据方程的结构特征选择合适的解法，能因式分解的优先选用因式分解法，可有效简化计算，提升解题准确率。
【难度系数】
0.8
(1) 观察方程$x^2 -3x -1=0$，左边的二次三项式无法直接因式分解，选择公式法求解更简便：先确定方程各项系数，计算判别式判断根的存在性，再代入求根公式计算即可。
(2) 观察方程$4x(x-1)=6-6x$，左右两边都含有与$(x-1)$相关的因式，选择因式分解法求解更简便：先将右侧含$x$的项移到左侧，提取公因式后将二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -3x -1=0$，
这里$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 -4×1×(-1) = 9 + 4 = 13＞0$，
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。
(2) 对于方程$4x(x-1)=6-6x$，
先将右边变形并移项，得：$4x(x-1) + 6(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$，得：$(x-1)(4x+6)=0$，
所以$x-1=0$或$4x+6=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$ (2) $x_1=-\frac{3}{2},x_2=1$
【知识点】
一元二次方程的解法、公式法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题关键是根据方程的结构特征选择合适的解法，能因式分解的优先选用因式分解法，可有效简化计算，提升解题准确率。
【难度系数】
0.8
12 新考向 新定义题 若关于$x$的方程$x^2+bx+c=0$有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“隔根方程”.例如：方程$x^2+2x=0$的两个根是$x_1=0$，$x_2=-2$，则方程$x^2+2x=0$是“隔根方程”.
（1）方程$x^2 - x -20=0$是“隔根方程”吗？请说明理由.
（2）若关于$x$的方程$x^2+(m-1)x -m=0$是“隔根方程”，求$m$的值.
（1）方程$x^2 - x -20=0$是“隔根方程”吗？请说明理由.
（2）若关于$x$的方程$x^2+(m-1)x -m=0$是“隔根方程”，求$m$的值.
答案
12. (1) 方程$x^2 - x -20=0$不是“隔根方程” 理由:$\because$ 原方程可变形为$(x-5)(x+4)=0,\therefore x_1=5,x_2=-4. \because 5＞-4,5-(-4)=9≠2,\therefore$ 方程$x^2 - x -20=0$不是“隔根方程”.
(2) $\because x^2 + (m - 1)x - m = 0,\therefore (x + m)(x - 1) = 0.$
$\therefore x_1=-m,x_2=1.$ 当$-m=1+2$时,解得 $m=-3$;当$-m+2=1$时,解得 $m=1.$ 综上所述,$m$ 的值为$-3$ 或 $1$
(2) $\because x^2 + (m - 1)x - m = 0,\therefore (x + m)(x - 1) = 0.$
$\therefore x_1=-m,x_2=1.$ 当$-m=1+2$时,解得 $m=-3$;当$-m+2=1$时,解得 $m=1.$ 综上所述,$m$ 的值为$-3$ 或 $1$
解析
【分析】
（1）判断是否为“隔根方程”的核心是先求出方程的两个实数根，再验证两根的差是否为2。首先用因式分解法求解$x^2 - x -20=0$的根，计算两根差值即可判断是否符合定义。
（2）先通过因式分解法求出方程$x^2+(m-1)x -m=0$的两个根，由于未明确两个根的大小关系，需分类讨论：情况一：根$-m$比根1大2；情况二：根1比根$-m$大2，分别列方程求解m即可。
【解析】
（1）方程$x^2 - x -20=0$不是“隔根方程”，理由如下：
对原方程因式分解得：$(x-5)(x+4)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-4$，
$\because 5-(-4)=9≠2$，不符合“隔根方程”的定义，
$\therefore$ 方程$x^2 - x -20=0$不是“隔根方程”。
（2）对$x^2 + (m - 1)x - m = 0$因式分解得：
$(x + m)(x - 1) = 0$，
解得$x_1=-m$，$x_2=1$，
根据“隔根方程”定义，两根差为2，分两种情况计算：
①当$-m = 1+2$时，解得$m=-3$；
②当$-m +2 = 1$时，解得$m=1$。
【答案】
（1）方程$x^2 - x -20=0$不是“隔根方程”，理由见解析；
（2）$m$的值为$-3$或$1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 新定义问题
3. 分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的解法，解题关键是准确理解“隔根方程”的含义，先正确求出方程的根再结合定义列式计算，第二问要注意分类讨论两根的大小关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）判断是否为“隔根方程”的核心是先求出方程的两个实数根，再验证两根的差是否为2。首先用因式分解法求解$x^2 - x -20=0$的根，计算两根差值即可判断是否符合定义。
（2）先通过因式分解法求出方程$x^2+(m-1)x -m=0$的两个根，由于未明确两个根的大小关系，需分类讨论：情况一：根$-m$比根1大2；情况二：根1比根$-m$大2，分别列方程求解m即可。
【解析】
（1）方程$x^2 - x -20=0$不是“隔根方程”，理由如下：
对原方程因式分解得：$(x-5)(x+4)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-4$，
$\because 5-(-4)=9≠2$，不符合“隔根方程”的定义，
$\therefore$ 方程$x^2 - x -20=0$不是“隔根方程”。
（2）对$x^2 + (m - 1)x - m = 0$因式分解得：
$(x + m)(x - 1) = 0$，
解得$x_1=-m$，$x_2=1$，
根据“隔根方程”定义，两根差为2，分两种情况计算：
①当$-m = 1+2$时，解得$m=-3$；
②当$-m +2 = 1$时，解得$m=1$。
【答案】
（1）方程$x^2 - x -20=0$不是“隔根方程”，理由见解析；
（2）$m$的值为$-3$或$1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 新定义问题
3. 分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的解法，解题关键是准确理解“隔根方程”的含义，先正确求出方程的根再结合定义列式计算，第二问要注意分类讨论两根的大小关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
微专题
用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程
依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积和中央”(如图)对$x^2 -7x -18$分解因式.
所以$x^2 -7x -18=(x+2)(x-9)$.
我们把这种分解因式的方法叫作“十字相乘法”,用式子表示为$x^2 +(p+q)x +pq=(x+p)(x+q)$.
利用十字相乘法分解因式解方程:
(1)$2x^2 +x -6=0$; (2)$4x^2 -8x -5=0$.
用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程
依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积和中央”(如图)对$x^2 -7x -18$分解因式.
所以$x^2 -7x -18=(x+2)(x-9)$.
我们把这种分解因式的方法叫作“十字相乘法”,用式子表示为$x^2 +(p+q)x +pq=(x+p)(x+q)$.
利用十字相乘法分解因式解方程:
(1)$2x^2 +x -6=0$; (2)$4x^2 -8x -5=0$.
答案
(1) 原方程可化为$(2x-3)(x+2)=0$,解得 $x_1=-2,x_2=\frac{3}{2}$
(2) 原方程可化为$(2x-5)(2x+1)=0$,解得 $x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) 原方程可化为$(2x-5)(2x+1)=0$,解得 $x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这两道题都是二次项系数不为1的一元二次方程，可通过十字相乘法分解因式求解，思路如下：①将二次项系数拆分为两个正因数的乘积，竖直写在十字左侧；②将常数项拆分为两个整数的乘积，竖直写在十字右侧；③验证交叉相乘的和是否等于一次项系数，若相等即可将方程左边分解为两个一次因式的乘积；④根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 求解$2x^2 +x -6=0$：
将二次项系数2拆为$2×1$，常数项$-6$拆为$(-3)×2$，交叉相乘验证：$2×2 + 1×(-3)=1$，恰好等于一次项系数，因此方程左边可分解为：
$(2x-3)(x+2)=0$
根据乘积为0的性质，得$2x-3=0$或$x+2=0$，
分别解得$x=\frac{3}{2}$或$x=-2$。
(2) 求解$4x^2 -8x -5=0$：
将二次项系数4拆为$2×2$，常数项$-5$拆为$(-5)×1$，交叉相乘验证：$2×1 + 2×(-5)=-8$，恰好等于一次项系数，因此方程左边可分解为：
$(2x-5)(2x+1)=0$
根据乘积为0的性质，得$2x-5=0$或$2x+1=0$，
分别解得$x=\frac{5}{2}$或$x=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=-2,x_2=\frac{3}{2}$
(2) $x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
十字相乘法分解因式，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程求解
【点评】
本题重点考查十字相乘法在解一元二次方程中的应用，解题核心是熟练掌握十字相乘法的拆分规则，即交叉相乘的和与一次项系数相等，该方法是简化一元二次方程求解过程的常用技巧，能有效提升运算效率。
【难度系数】
0.7
这两道题都是二次项系数不为1的一元二次方程，可通过十字相乘法分解因式求解，思路如下：①将二次项系数拆分为两个正因数的乘积，竖直写在十字左侧；②将常数项拆分为两个整数的乘积，竖直写在十字右侧；③验证交叉相乘的和是否等于一次项系数，若相等即可将方程左边分解为两个一次因式的乘积；④根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 求解$2x^2 +x -6=0$：
将二次项系数2拆为$2×1$，常数项$-6$拆为$(-3)×2$，交叉相乘验证：$2×2 + 1×(-3)=1$，恰好等于一次项系数，因此方程左边可分解为：
$(2x-3)(x+2)=0$
根据乘积为0的性质，得$2x-3=0$或$x+2=0$，
分别解得$x=\frac{3}{2}$或$x=-2$。
(2) 求解$4x^2 -8x -5=0$：
将二次项系数4拆为$2×2$，常数项$-5$拆为$(-5)×1$，交叉相乘验证：$2×1 + 2×(-5)=-8$，恰好等于一次项系数，因此方程左边可分解为：
$(2x-5)(2x+1)=0$
根据乘积为0的性质，得$2x-5=0$或$2x+1=0$，
分别解得$x=\frac{5}{2}$或$x=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=-2,x_2=\frac{3}{2}$
(2) $x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
十字相乘法分解因式，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程求解
【点评】
本题重点考查十字相乘法在解一元二次方程中的应用，解题核心是熟练掌握十字相乘法的拆分规则，即交叉相乘的和与一次项系数相等，该方法是简化一元二次方程求解过程的常用技巧，能有效提升运算效率。
【难度系数】
0.7
