11 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A₁B₁C₁，并写出点C₁的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A₂B₂C₂，并写出点C₂的坐标；
（3）已知△ABC关于直线l对称的△A₃B₃C₃的顶点A₃的坐标为(-4,-2)，请直接写出直线l对应的函数解析式。

11. (1) 如图,$△A_1B_1C_1$即为所求作 点$C_1$的坐标为$(-1,2)$
(2) 如图,$△A_2B_2C_2$即为所求作 点$C_2$的坐标为$(-3,-2)$
(3) 直线$l$对应的函数解析式为$y=-x$

【分析】
解题思路如下：
1. 平移问题：向左平移4个单位的坐标变化规律为点的横坐标减4，纵坐标不变，先确定△ABC各顶点原坐标，按规律计算平移后坐标，描点连线即可得到△A₁B₁C₁，直接读出C₁坐标。
2. 原点对称问题：关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，按此规律计算△ABC各顶点对称后的坐标，描点连线得到△A₂B₂C₂，读出C₂坐标。
3. 轴对称求直线解析式问题：对称轴是对应点连线的垂直平分线，先找到点A的原坐标和对应点A₃的坐标，先计算两点连线的中点坐标，再计算两点连线的斜率，根据垂直直线斜率乘积为-1得到对称轴的斜率，最后代入中点坐标求出直线解析式即可。
【解析】
首先确定△ABC各顶点的原坐标：A(2,4)，B(1,1)，C(3,2)。
(1) 向左平移4个单位长度，各点横坐标减4，纵坐标不变：
C点平移后横坐标为$3-4=-1$，纵坐标保持2不变，即$C_1(-1,2)$；同理得到$A_1(-2,4)$、$B_1(-3,1)$，描点并顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，得到△$A_1B_1C_1$。
(2) 关于原点O对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数：
C点对称后坐标为$(-3,-2)$，同理得到$A_2(-2,-4)$、$B_2(-1,-1)$，描点并顺次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，得到△$A_2B_2C_2$。
(3) 已知$A(2,4)$，对应点$A_3(-4,-2)$，对称轴l是线段$AA_3$的垂直平分线：
① 计算$AA_3$的中点坐标：横坐标为$\frac{2+(-4)}{2}=-1$，纵坐标为$\frac{4+(-2)}{2}=1$，即中点为$(-1,1)$；
② 计算$AA_3$的斜率：$k_{AA_3}=\frac{-2-4}{-4-2}=1$，故垂直平分线的斜率为$-1$；
③ 设直线l的解析式为$y=-x+b$，将中点$(-1,1)$代入得：$1=-(-1)+b$，解得$b=0$，故直线l的解析式为$y=-x$。
【答案】
(1) 如图,$△A_1B_1C_1$即为所求作 点$C_1$的坐标为$(-1,2)$
(2) 如图,$△A_2B_2C_2$即为所求作 点$C_2$的坐标为$(-3,-2)$
(3) 直线$l$对应的函数解析式为$y=-x$
【知识点】
1. 平移的坐标变换
2. 关于原点对称的坐标特征
3. 轴对称的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的三类基本变换，核心是掌握不同变换下的坐标变化规律，计算量小，属于基础类题型，解题时注意坐标计算的准确性，作图时要规范描点连线。
【难度系数】
0.7

【例】如图，将△ABC绕点B旋转180°得到△A₁BC₁.若点C的坐标为(m,n)，点C₁的坐标为(-m,-n+2)，则点B的坐标为(0,1)。
【方法归纳】在平面直角坐标系中，如果线段AB的两个端点的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂)，那么线段AB的中点M的坐标为$( \dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2} )$。
【同步演练】

（例题）

解：∵ 将△ABC绕点B旋转180°得到△A₁BC₁，
∴ 点B是线段$CC_1$的中点。
已知点C的坐标为$(m,n)$，点$C_1$的坐标为$(-m,-n+2)$，根据线段中点坐标公式：
点B的横坐标为$\frac{m+(-m)}{2}=0$，
点B的纵坐标为$\frac{n+(-n+2)}{2}=1$，
∴ 点B的坐标为$(0,1)$。

【分析】
解决本题首先要明确图形绕某点旋转180°的本质是中心对称，旋转中心就是对应点连线的中点，因此可判断点B是线段$CC_1$的中点，接下来将点C和点$C_1$的坐标代入线段中点坐标公式，分别计算横、纵坐标，即可求出点B的坐标。
【解析】
∵ 将△ABC绕点B旋转180°得到△A₁BC₁，
∴ 点B是线段$CC_1$的中点。
已知点C的坐标为$(m,n)$，点$C_1$的坐标为$(-m,-n+2)$，根据线段中点坐标公式：
点B的横坐标为$\dfrac{m+(-m)}{2}=0$，
点B的纵坐标为$\dfrac{n+(-n+2)}{2}=1$，
∴ 点B的坐标为$(0,1)$。
【答案】
$(0,1)$
【知识点】
旋转的性质，中点坐标公式，中心对称的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是根据旋转180°的性质确定旋转中心为对应点连线的中点，再代入中点坐标公式计算即可，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8

1 已知点A，B的坐标分别为(1,2)，(3,－5)，现将线段AB绕点B顺时针旋转180°得到线段A₁B，则点A₁的坐标为。

1. $(5,-12)$

【分析】
首先明确将线段AB绕点B顺时针旋转180°的本质是点A与点A₁关于点B成中心对称，即点B是线段AA₁的中点。解题时可先设出点A₁的坐标，再利用中点坐标公式列方程求解即可。
【解析】
设点$A_1$的坐标为$(x,y)$。
因为线段$AB$绕点$B$顺时针旋转$180°$得到线段$A_1B$，所以点$B$是线段$AA_1$的中点。
已知点$A(1,2)$，点$B(3,-5)$，根据中点坐标公式：若两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，可得：
$\begin{cases}\frac{1+x}{2}=3 \\\frac{2+y}{2}=-5\end{cases}$
解第一个方程：$1+x=6$，得$x=5$；
解第二个方程：$2+y=-10$，得$y=-12$。
所以点$A_1$的坐标为$(5,-12)$。
【答案】
$(5,-12)$
【知识点】
1. 旋转的性质 2. 中点坐标公式 3. 中心对称的特征
【点评】
本题考查旋转后对应点坐标的求解，解题关键是理解旋转180°对应中心对称的关系，结合中点坐标公式即可快速算出结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

2 在平面直角坐标系中，已知点$A(2,3),B(0,1),C(3,1)$.若线段$AC$与$BD$互相平分，求点$D$关于原点对称的点的坐标.

2. 由题意,易知线段$AC$的中点$M$的坐标为$(\dfrac{5}{2},2).$ $\because$ 线段$AC$与$BD$互相平分,$\therefore M$也是$BD$的中点. 设点$D$的坐标为$(x,y)$,则$\begin{cases}\dfrac{0+x}{2}=\dfrac{5}{2},\\\dfrac{1+y}{2}=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=5,\\y=3.\end{cases}$ $\therefore$ 点$D$的坐标为$(5,3).$
$\therefore$ 点$D$关于原点对称的点的坐标为$(-5,-3)$

【分析】
解题时首先要明确“线段互相平分”的含义是两条线段的中点重合。第一步可以先利用中点坐标公式求出线段AC的中点坐标；第二步根据这个中点也是BD的中点，设出D点坐标，再次利用中点坐标公式列二元一次方程组，求解得到D点坐标；最后根据关于原点对称的点的坐标规律，即可求出D关于原点对称的点的坐标。
【解析】
解：已知点$A(2,3)$，$C(3,1)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，
可得线段AC的中点$M$的坐标为$(\frac{2+3}{2},\frac{3+1}{2})$，即$(\frac{5}{2},2)$。
∵线段$AC$与$BD$互相平分，
∴$M$也是线段$BD$的中点。
设点$D$的坐标为$(x,y)$，已知$B(0,1)$，结合中点坐标公式列方程组：
$\begin{cases}\dfrac{0+x}{2}=\dfrac{5}{2}\\\dfrac{1+y}{2}=2\end{cases}$
解方程组：
第一个方程两边同乘2得$x=5$；
第二个方程两边同乘2得$1+y=4$，解得$y=3$。
∴点$D$的坐标为$(5,3)$。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点$D$关于原点对称的点的坐标为$(-5,-3)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-5,-3)}$
【知识点】
1. 中点坐标公式
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 线段互相平分的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是抓住“两条线段互相平分则中点重合”这一关键性质，结合中点坐标公式即可求出未知点坐标，再应用原点对称的坐标变换规则得到最终结果，逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8