1 在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-3,4),那么下列说法正确的是 ()

A.点A与点B(-3,-4)关于原点对称
B.点A与点C(4,-3)关于原点对称
C.点A与点E(-4,3)关于原点对称
D.点A与点F(3,-4)关于原点对称

1. D

【分析】
要判断哪个点与点A关于原点对称，首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。解题时先根据点A的坐标计算出它关于原点对称的点的坐标，再逐一和选项中的点对比，即可选出正确答案。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标都互为相反数，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。
已知点A的坐标为$(-3,4)$，则点A关于原点对称的点的横坐标为$-(-3)=3$，纵坐标为$-4$，即对称点坐标为$(3,-4)$。
逐一分析选项：
A选项：点$B(-3,-4)$与点A横坐标相同，纵坐标互为相反数，是关于x轴对称，不符合要求；
B选项：点$C(4,-3)$横、纵坐标均不是点A坐标的相反数，不符合要求；
C选项：点$E(-4,3)$横、纵坐标均不是点A坐标的相反数，不符合要求；
D选项：点$F(3,-4)$与计算出的点A的原点对称点坐标一致，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对原点对称点坐标变化规律的掌握，牢记规律即可快速求解，常见出错点为混淆不同对称方式的坐标变化特点。
【难度系数】
0.85

2 教材变式题 [2024 扬州]在平面直角坐标系中,点$P(1,2)$关于坐标原点的对称点$P'$的坐标为（）

A.$(-1,-2)$
B.$(-1,2)$
C.$(1,-2)$
D.$(1,2)$

2. A

【分析】
本题考查关于原点对称的点的坐标求解，解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标变化规律：平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标均互为相反数。接下来只需将已知点P的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对称点P'的坐标，再匹配选项即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：若点$(x,y)$关于原点对称，则对称点的坐标为$(-x,-y)$。
已知点$P$的坐标为$(1,2)$，则横坐标1的相反数为$-1$，纵坐标2的相反数为$-2$，因此点$P$关于原点对称的点$P'$的坐标为$(-1,-2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，直接考察原点对称的坐标变化规律的应用，熟练掌握关于x轴、y轴、原点对称的坐标变化规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9

3 已知点$P(a^2+1,-2)$与点Q关于原点对称，则点Q一定在 （）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

3. B

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，牢记关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数；第二步，根据规律写出点Q的坐标表达式；第三步，利用平方的非负性判断点Q横、纵坐标的正负，再结合各象限内点的坐标符号特征确定点Q所在的象限。
【解析】
解：
∵点$P(a^2+1,-2)$与点Q关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
∴点Q的坐标为$(-(a^2+1),2)$。
∵任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，
∴$a^2+1≥1＞0$，则$-(a^2+1)＜0$，
即点Q的横坐标为负，纵坐标为正。
结合象限内点的坐标特征：第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0，
可得点Q一定在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；平方的非负性；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础常考题，综合考查了原点对称的坐标规律、非负数的性质以及象限的判断，解题的核心是先求出对称点的坐标表达式，再通过坐标符号判断所属象限。
【难度系数】
0.8

4 如图，把$△ ABC$经过一定变换得到$△ A'B'C'$. 如果$P(a,b)$是$△ ABC$的边AB上一点，那么它的对应点$P'$的坐标为.

4. $(-a-2,-b)$

【分析】
要确定点P的对应点P'的坐标，首先我们可以先找出△ABC和△A'B'C'上已知对应顶点的坐标，通过对比这些对应点的坐标变化，总结出通用的坐标变换规律，再将P(a,b)代入规律即可得到P'的坐标。
第一步：先从网格中读取△ABC三个顶点A、B、C的坐标，以及它们对应点A'、B'、C'的坐标；
第二步：分别对比对应点的横、纵坐标的变化，推导变换的规则；
第三步：将P(a,b)代入变换规则，计算得到P'的坐标。
【解析】
首先从网格中读取各对应点的坐标：
△ABC的顶点坐标：$C(-2,0)$，$B(-1,-3)$，$A(-3,-2)$
对应△A'B'C'的顶点坐标：$C'(0,0)$，$B'(-1,3)$，$A'(1,2)$
对比对应点的坐标变化：
①横坐标：对于点$(x,y)$，对应点横坐标$x' = -x - 2$，验证如下：
C点：$-(-2)-2=0$，和$C'$横坐标一致；B点：$-(-1)-2=-1$，和$B'$横坐标一致；A点：$-(-3)-2=1$，和$A'$横坐标一致。
②纵坐标：对于点$(x,y)$，对应点纵坐标$y' = -y$，验证如下：
C点：$-0=0$，和$C'$纵坐标一致；B点：$-(-3)=3$，和$B'$纵坐标一致；A点：$-(-2)=2$，和$A'$纵坐标一致。
因此变换规则为：△ABC上任意一点$(x,y)$的对应点坐标为$(-x-2, -y)$。
已知$P(a,b)$是△ABC边AB上的点，代入变换规则得$P'$的坐标为$(-a-2, -b)$。
【答案】
$(-a-2,-b)$
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 坐标与图形变换
3. 平移的坐标变化规律
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形变换对应的坐标变化规律，解题的核心是通过已知对应点的坐标归纳出通用变换规则，再代入求解，需要熟练掌握对称、平移等变换的坐标变化特点。
【难度系数】
0.7

5 教材变式题 如图,在平面直角坐标系中,$□ MNEF$的两条对角线$ME$,$NF$交于原点$O$,$MF$平行于$x$轴,点$M$的坐标是$(m,2)$,点$F$的坐标是$(3,n)$,则点$N$的坐标是.

5. $(-3,-2)$

【分析】
解题时先利用平行四边形的性质：平行四边形对角线互相平分，本题中对角线交点为原点，因此点N与点F关于原点对称。先根据MF平行于x轴的条件，得出点M和点F纵坐标相等，求出点F的坐标，再根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数的特征，即可求出点N的坐标。
【解析】
∵四边形MNEF是平行四边形，对角线ME、NF交于原点O，
∴O是NF的中点，即点N与点F关于原点O对称。
∵MF平行于x轴，点M的纵坐标为2，点F的纵坐标为n，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，
∴n=2，即点F的坐标为$(3,2)$。
∵关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数，
∴点N的坐标为$(-3,-2)$。
【答案】
$(-3,-2)$
【知识点】
平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标；平行于x轴的直线的坐标特征
【点评】
本题是基础类几何与坐标系结合的题型，解题关键是结合平行四边形的中心对称性判断出点N和点F的对称关系，再结合坐标对称的规律求解，是对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7

6 在平面直角坐标系中，已知$A(-1,5),B(4,2),C(-1,0)$三点，则点$A$关于原点$O$的对称点$A'$的坐标为，点$B$关于$x$轴的对称点$B'$的坐标为，点$C$关于$y$轴的对称点$C'$的坐标为。

6. $(1,-5)\quad(4,-2)\quad(1,0)$

【分析】
本题需结合三种对称变换对应的坐标规律依次求解：首先求点A关于原点的对称点，需用到关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数的规律；接着求点B关于x轴的对称点，需用到关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的规律；最后求点C关于y轴的对称点，需用到关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数的规律，将各点坐标代入对应规律计算即可。
【解析】
1. 求点A关于原点O的对称点$A'$的坐标：
根据关于原点对称的点的坐标规律：若点$P(x,y)$关于原点对称的点为$P'$，则$P'(-x,-y)$。
已知$A(-1,5)$，则$A'$的横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为$-5$，即$A'(1,-5)$。
2. 求点B关于x轴的对称点$B'$的坐标：
根据关于x轴对称的点的坐标规律：若点$P(x,y)$关于x轴对称的点为$P'$，则$P'(x,-y)$。
已知$B(4,2)$，则$B'$的横坐标为$4$，纵坐标为$-2$，即$B'(4,-2)$。
3. 求点C关于y轴的对称点$C'$的坐标：
根据关于y轴对称的点的坐标规律：若点$P(x,y)$关于y轴对称的点为$P'$，则$P'(-x,y)$。
已知$C(-1,0)$，则$C'$的横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为$0$，即$C'(1,0)$。
【答案】
$(1,-5)\quad(4,-2)\quad(1,0)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；关于x轴对称的点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平面直角坐标系中对称变换的坐标变化规则，解题的关键是准确记忆三类对称的坐标符号变化规律，计算时注意避免符号错误即可。
【难度系数】
0.9

7（易错题）在平面直角坐标系中，点$(a+2,2)$关于原点的对称点为$(4,-b)$，则$ab$的值为（）

A.$-4$
B.$4$
C.$12$
D.$-12$

7. D
易错分析：运算过程中易因符号问题导致错选。

【分析】
首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。解题时先根据该规律列出关于a、b的方程，再分别求解a、b的值，最后代入计算ab即可，计算过程中要注意符号处理，避免出错。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。
已知点$(a+2,2)$关于原点的对称点为$(4,-b)$，因此可得：
$\begin{cases}-(a+2)=4 \\-2=-b\end{cases}$
解第一个方程：
$-(a+2)=4$，两边同乘$-1$得$a+2=-4$，解得$a=-6$；
解第二个方程：
$-2=-b$，两边同乘$-1$得$b=2$。
将$a=-6$，$b=2$代入$ab$，得$ab=(-6)×2=-12$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查原点对称的坐标变化规律，解题的易错点是符号运算，列方程和求解时要注意相反数的符号变化，避免因粗心算错a、b的值导致丢分。
【难度系数】
0.6

8 若点$P(a-1,5)$与点$Q(5,1-b)$关于原点对称，则$a+b=$。

8. 2

【分析】
首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。解题时先根据这个性质分别列出关于a、b的一元一次方程，求解得到a、b的值后，再代入计算a+b即可。
【解析】
∵ 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，点$P(a-1,5)$与点$Q(5,1-b)$关于原点对称
∴ 横坐标满足：$a - 1 = -5$，
解得：$a = -4$；
纵坐标满足：$1 - b = -5$，
解得：$b = 6$。
因此$a + b = -4 + 6 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础考题，核心考查原点对称的点的坐标规律的应用，牢记相关坐标特征即可快速列式求解，计算量较小。
【难度系数】
0.8

9 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，$△ ABC$的位置如图所示. 先作与$△ ABC$关于原点$O$中心对称的$△ A_1B_1C_1$, 再把$△ A_1B_1C_1$向上平移4个单位长度得到$△ A_2B_2C_2$.
(1) 作出$△ A_1B_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$;
(2) $△ A_2B_2C_2$与$△ ABC$关于某点成中心对称, 求对称中心的坐标.

9. (1) 如图,$△A_1B_1C_1,△A_2B_2C_2$即为所求作
(2) 如图,连接$CC_2$,则$CC_2$的中点即为对称中心. $\because C(-1,1),C_2(1,3)$,
$\therefore \dfrac{-1+1}{2}=0,\dfrac{1+3}{2}=2.$ $\therefore$ 对称中心的坐标为$(0,2)$

【分析】
(1) 解决作图题首先要确定变换的坐标规则：①关于原点中心对称的点，横、纵坐标均互为相反数，先求出△ABC三个顶点关于原点对称的点的坐标，描点连线即可得到△A₁B₁C₁；②向上平移4个单位长度时，点的横坐标不变，纵坐标加4，据此求出△A₁B₁C₁各顶点平移后的坐标，描点连线得到△A₂B₂C₂。
(2) 成中心对称的两个图形，对称中心是任意一组对应点连线的中点，因此只需选取一组对应点，利用中点坐标公式计算即可得到对称中心坐标。
【解析】
(1) 首先确定△ABC各顶点坐标：$A(-3,0)$，$B(-5,3)$，$C(-1,1)$。
① 作关于原点O中心对称的△A₁B₁C₁：根据关于原点对称的点的坐标特征$(x,y)\to(-x,-y)$，可得$A_1(3,0)$，$B_1(5,-3)$，$C_1(1,-1)$，在坐标系中描出这三个点，顺次连接得到△A₁B₁C₁。
② 把△A₁B₁C₁向上平移4个单位得△A₂B₂C₂：根据平移规则“上移纵坐标加，横坐标不变”，可得$A_2(3,0+4)=(3,4)$，$B_2(5,-3+4)=(5,1)$，$C_2(1,-1+4)=(1,3)$，描出三点顺次连接得到△A₂B₂C₂。
(2) 根据中心对称的性质，对称中心是对应点连线的中点，选取对应点$C(-1,1)$和$C_2(1,3)$，由中点坐标公式计算：
中点横坐标：$\dfrac{-1+1}{2}=0$
中点纵坐标：$\dfrac{1+3}{2}=2$
选取其他对应点计算结果一致，可得对称中心坐标。
【答案】
(1) 如图,$△A_1B_1C_1,△A_2B_2C_2$即为所求作
(2) 对称中心的坐标为$\boldsymbol{(0,2)}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；图形的平移；中心对称的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的图形变换，重点是掌握中心对称、平移对应的坐标变化规律，以及中心对称的性质，解题思路清晰，属于基础题型，需要熟练掌握坐标变换规则避免出错。
【难度系数】
0.8

10 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在第一象限，点 B，C 的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P.若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为.

10. $(-4,-5)$

【分析】
解题时分为三步思考：第一步，根据B、C的坐标确定BC的长度与位置，结合等腰直角三角形的性质求出点A的坐标；第二步，用待定系数法求直线AB的解析式，进而得到直线AB与y轴交点P的坐标；第三步，利用中心对称的性质，即对称中心是对应点连线的中点，结合中点坐标公式求出点A'的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
已知点$B(2,1)$，$C(6,1)$，可知BC平行于x轴，$BC=6-2=4$。
因为$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，所以$△ ABC$是等腰直角三角形，BC边上的高为$\frac{1}{2}BC=2$，且点A在BC的垂直平分线上。
BC中点的横坐标为$\frac{2+6}{2}=4$，纵坐标为1，因此点A的纵坐标为$1+2=3$，即$A(4,3)$。
2. 求点P的坐标：
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(4,3)$、$B(2,1)$代入解析式得：
$\begin{cases}2k+b=1\\4k+b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-1\end{cases}$，所以直线AB的解析式为$y=x-1$。
令$x=0$，得$y=-1$，因此点P的坐标为$(0,-1)$。
3. 求点A'的坐标：
因为$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于点P成中心对称，所以P是线段$AA'$的中点。
设$A'(x,y)$，根据中点坐标公式可得：
$\frac{4+x}{2}=0$，$\frac{3+y}{2}=-1$
解得$x=-4$，$y=-5$，即$A'(-4,-5)$。
【答案】
$(-4,-5)$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，中心对称的性质
【点评】
本题是坐标系中的几何综合题，需要依次推导关键点的坐标，解题的核心是熟练掌握等腰直角三角形的特征、一次函数解析式的求解方法以及中心对称的性质，逻辑链条清晰，难度适中。
【难度系数】
0.65