8. [2025·合肥包河区期末]已知在$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$中，点$D$，$D_1$分别在边$BC$，$B_1C_1$上(点$D$不与点$B$，$C$重合，点$D_1$不与点$B_1$，$C_1$重合)。如果$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BD}{B_1D_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$，那么从下列条件中增添一个条件，一定可以判定$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$相似的是（）
①$AD$，$A_1D_1$分别是$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的角平分线；
②$AD$，$A_1D_1$分别是$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的中线；
③$AD$，$A_1D_1$分别是$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的高。

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

8.A

9.[分类讨论思想]已知$△ ABC$的三边长分别为20 cm,50 cm,60 cm,现要利用长度分别为30 cm和60 cm的细木条各一根,做一个三角形木架与$△ ABC$相似,要求以其中一根为一边,将另一根截成两段(允许有余料)作为另外两边,那么另外两边的长度(单位:cm)分别为.

9. 10,25或12,36

10. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(3,0),B(0,4),C(4,2),过点C作CD⊥x轴,垂足为点D.求证:△ACD∽△ABC.

10. 证明:过点C作$CH⊥ OB$于点H.
根据题意,得$OA=3,OB=4,AD=1,CD=2$，
$OH=CD=2,BH=OB-OH=2,CH=OD=4$，
$\therefore AB=\sqrt{OB^2+OA^2}=5,AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{5},BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=2\sqrt{5}$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{CD}{BC}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{AB},\therefore △ ACD∽ △ ABC.$

11.[2024·马鞍山雨山区期末]如图，O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A'，B'，C'，使得$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=3$，连接A'B'，B'C'，C'A'，所得△A'B'C'与△ABC是否相似？证明你的结论.

11. 解:$△ A'B'C'∽ △ ABC.$
证明:$\because \frac{OA'}{OA}=\frac{OC'}{OC}=3,∠ AOC=∠ A'OC'$，
$\therefore △ AOC∽ △ A'OC',\therefore \frac{A'C'}{AC}=\frac{OA'}{OA}=3.$
同理可得$\frac{B'C'}{BC}=3,\frac{A'B'}{AB}=3$，
$\therefore \frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'B'}{AB},\therefore △ A'B'C'∽ △ ABC.$