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1. 教材P81例5变式 [2025安庆段考]若一个三角形的三个外角的度数之比为3:4:5，则该三角形为（
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
A
）A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案
设三角形的三个外角的度数分别为3x,4x,5x,则3x+4x+5x=360°(点拔:由教材中P81例5可知,三角形的外角和为360°),解得x=30°,
∴此三角形的三个外角的度数分别为90°,120°,150°,则对应的三个内角的度数分别为90°,60°,30°,
∴此三角形为直角三角形.
∴此三角形的三个外角的度数分别为90°,120°,150°,则对应的三个内角的度数分别为90°,60°,30°,
∴此三角形为直角三角形.
解析
【分析】
遇到已知三角形外角度数比的问题，首先回忆三角形外角和为固定值360°，可通过设参数的方法把三个外角用含同一未知数的式子表示，再根据外角和列方程求解参数，得到各外角度数后，利用“内角与对应外角和为180°”算出三个内角度数，最后根据内角特征判断三角形的类型即可。
【解析】
设这个三角形的三个外角的度数分别为$3x$、$4x$、$5x$。
根据三角形外角和为$360°$，可列方程：
$3x + 4x + 5x = 360°$
合并同类项得$12x = 360°$，解得$x = 30°$。
因此三个外角的度数分别为：
$3x = 3×30° = 90°$，$4x = 4×30° = 120°$，$5x = 5×30° = 150°$。
对应的三个内角的度数为：
$180° - 90° = 90°$，$180° - 120° = 60°$，$180° - 150° = 30°$。
该三角形有一个内角为$90°$，属于直角三角形。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
三角形外角和定理；三角形内外角关系；三角形分类
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，核心考查三角形外角和的性质，结合比例设未知数列方程是这类比例类角度计算问题的常用方法，计算时注意内外角转换不要出错。
【难度系数】
0.8
遇到已知三角形外角度数比的问题，首先回忆三角形外角和为固定值360°，可通过设参数的方法把三个外角用含同一未知数的式子表示，再根据外角和列方程求解参数，得到各外角度数后，利用“内角与对应外角和为180°”算出三个内角度数，最后根据内角特征判断三角形的类型即可。
【解析】
设这个三角形的三个外角的度数分别为$3x$、$4x$、$5x$。
根据三角形外角和为$360°$，可列方程：
$3x + 4x + 5x = 360°$
合并同类项得$12x = 360°$，解得$x = 30°$。
因此三个外角的度数分别为：
$3x = 3×30° = 90°$，$4x = 4×30° = 120°$，$5x = 5×30° = 150°$。
对应的三个内角的度数为：
$180° - 90° = 90°$，$180° - 120° = 60°$，$180° - 150° = 30°$。
该三角形有一个内角为$90°$，属于直角三角形。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
三角形外角和定理；三角形内外角关系；三角形分类
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，核心考查三角形外角和的性质，结合比例设未知数列方程是这类比例类角度计算问题的常用方法，计算时注意内外角转换不要出错。
【难度系数】
0.8
2. [2025恩施州期中]探究与发现:如图,在$△ ABC$中,$∠ B = ∠ C = 45°$,点D在BC边上,点E在AC边上,且$∠ ADE = ∠ AED$.
(1)当$∠ BAD = 60°$时,求$∠ CDE$的度数;
(2)当点D在BC(点B,C除外)边上运动时,试猜想$∠ BAD$与$∠ CDE$之间的数量关系并说明理由.
(1)当$∠ BAD = 60°$时,求$∠ CDE$的度数;
(2)当点D在BC(点B,C除外)边上运动时,试猜想$∠ BAD$与$∠ CDE$之间的数量关系并说明理由.
答案
(1)
∵ 在△ABC中,∠B=∠C=45°,
∴ ∠BAC=180°-(∠B+∠C)=90°,
∴ ∠DAE=∠BAC-∠BAD=30°,
∴ ∠ADE=∠AED=75°.
∵ ∠ADC是△ABD的一个外角,
∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=105°,
∴ ∠CDE=∠ADC-∠ADE=105°-75°=30°.
(2)∠BAD=2∠CDE.理由如下:
设∠BAD=x,
∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=45°+x,
∠DAE=∠BAC-∠BAD=90°-x,
∴ ∠ADE=∠AED=$\frac{180°-∠DAE}{2}$=$\frac{90°+x}{2}$,
∴ ∠CDE=∠ADC-∠ADE=45°+x-$\frac{90°+x}{2}$=$\frac{1}{2}x$,
∴ ∠BAD=2∠CDE.
∵ 在△ABC中,∠B=∠C=45°,
∴ ∠BAC=180°-(∠B+∠C)=90°,
∴ ∠DAE=∠BAC-∠BAD=30°,
∴ ∠ADE=∠AED=75°.
∵ ∠ADC是△ABD的一个外角,
∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=105°,
∴ ∠CDE=∠ADC-∠ADE=105°-75°=30°.
(2)∠BAD=2∠CDE.理由如下:
设∠BAD=x,
∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=45°+x,
∠DAE=∠BAC-∠BAD=90°-x,
∴ ∠ADE=∠AED=$\frac{180°-∠DAE}{2}$=$\frac{90°+x}{2}$,
∴ ∠CDE=∠ADC-∠ADE=45°+x-$\frac{90°+x}{2}$=$\frac{1}{2}x$,
∴ ∠BAD=2∠CDE.
解析
【分析】
(1) 首先根据△ABC中∠B和∠C的度数，利用三角形内角和定理求出顶角∠BAC的度数；结合已知的∠BAD的度数，计算出∠DAE的度数；再根据∠ADE=∠AED，利用三角形内角和求出∠ADE的度数；最后利用三角形外角的性质，得到△ABD的外角∠ADC等于∠B与∠BAD的和，用∠ADC减去∠ADE即可求出∠CDE的度数。
(2) 沿用第一问的推导逻辑，设∠BAD为未知数，依次用含未知数的式子表示出∠ADC、∠DAE、∠ADE，再通过∠CDE=∠ADC-∠ADE化简，即可得到∠BAD和∠CDE的数量关系。
【解析】
(1)
∵ 在△ABC中，∠B=∠C=45°，
∴ ∠BAC=180°-(∠B+∠C)=90°，
∴ ∠DAE=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°，
∵ ∠ADE=∠AED，
∴ ∠ADE=∠AED=(180°-∠DAE)÷2=75°。
∵ ∠ADC是△ABD的一个外角，
∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=60°+45°=105°，
∴ ∠CDE=∠ADC-∠ADE=105°-75°=30°。
(2) ∠BAD=2∠CDE，理由如下：
设∠BAD=x，
∵ ∠ADC是△ABD的一个外角，
∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=45°+x，
∠DAE=∠BAC-∠BAD=90°-x，
∵ ∠ADE=∠AED，
∴ ∠ADE=∠AED=$\frac{180°-∠DAE}{2}$=$\frac{90°+x}{2}$，
∴ ∠CDE=∠ADC-∠ADE=45°+x-$\frac{90°+x}{2}$=$\frac{1}{2}x$，
∴ ∠BAD=2∠CDE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；
(2) $\boldsymbol{∠BAD=2∠CDE}$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形性质的综合探究题，从特殊值计算到一般规律推导，解题核心是灵活运用三角形内角和与外角性质建立不同角之间的联系，能有效锻炼逻辑推理和归纳探究能力。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据△ABC中∠B和∠C的度数，利用三角形内角和定理求出顶角∠BAC的度数；结合已知的∠BAD的度数，计算出∠DAE的度数；再根据∠ADE=∠AED，利用三角形内角和求出∠ADE的度数；最后利用三角形外角的性质，得到△ABD的外角∠ADC等于∠B与∠BAD的和，用∠ADC减去∠ADE即可求出∠CDE的度数。
(2) 沿用第一问的推导逻辑，设∠BAD为未知数，依次用含未知数的式子表示出∠ADC、∠DAE、∠ADE，再通过∠CDE=∠ADC-∠ADE化简，即可得到∠BAD和∠CDE的数量关系。
【解析】
(1)
∵ 在△ABC中，∠B=∠C=45°，
∴ ∠BAC=180°-(∠B+∠C)=90°，
∴ ∠DAE=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°，
∵ ∠ADE=∠AED，
∴ ∠ADE=∠AED=(180°-∠DAE)÷2=75°。
∵ ∠ADC是△ABD的一个外角，
∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=60°+45°=105°，
∴ ∠CDE=∠ADC-∠ADE=105°-75°=30°。
(2) ∠BAD=2∠CDE，理由如下：
设∠BAD=x，
∵ ∠ADC是△ABD的一个外角，
∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=45°+x，
∠DAE=∠BAC-∠BAD=90°-x，
∵ ∠ADE=∠AED，
∴ ∠ADE=∠AED=$\frac{180°-∠DAE}{2}$=$\frac{90°+x}{2}$，
∴ ∠CDE=∠ADC-∠ADE=45°+x-$\frac{90°+x}{2}$=$\frac{1}{2}x$，
∴ ∠BAD=2∠CDE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；
(2) $\boldsymbol{∠BAD=2∠CDE}$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形性质的综合探究题，从特殊值计算到一般规律推导，解题核心是灵活运用三角形内角和与外角性质建立不同角之间的联系，能有效锻炼逻辑推理和归纳探究能力。
【难度系数】
0.6
3. 如图,将$△ DEF$放置在$△ ABC$上,使得$∠ D$的两条边$DE$,$DF$分别经过点$B$,$C$.已知$∠ A = 40°$,$∠ E + ∠ F = 70°$,求$∠ ABD + ∠ ACD$的度数.
答案
解题思路:将∠ABD+∠ACD,∠E+∠F分别看成一个整体,利用三角形内角和定理进行计算即可.
解:
∵ ∠E+∠F=70°,
∴ ∠D=180°-(∠E+∠F)=110°,
∴ ∠DBC+∠DCB=180°-∠D=70°.
∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°,
∴ ∠ABD+∠ACD=(∠ABC+∠DBC)+(∠ACB+∠DCB)=(∠ABC+∠ACB)+(∠DBC+∠DCB)=140°+70°=210°.
解:
∵ ∠E+∠F=70°,
∴ ∠D=180°-(∠E+∠F)=110°,
∴ ∠DBC+∠DCB=180°-∠D=70°.
∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°,
∴ ∠ABD+∠ACD=(∠ABC+∠DBC)+(∠ACB+∠DCB)=(∠ABC+∠ACB)+(∠DBC+∠DCB)=140°+70°=210°.
解析
【分析】
要计算∠ABD+∠ACD的度数，可利用三角形内角和定理，采用整体代换的思路求解：首先在△DEF中，根据已知的∠E+∠F的度数求出∠D的度数，进而得到△DBC中∠DBC+∠DCB的和；再在△ABC中根据∠A的度数求出∠ABC+∠ACB的和；最后将所求的∠ABD+∠ACD拆分为(∠ABC+∠DBC)+(∠ACB+∠DCB)，转化为上述两个和相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在△DEF中，∠E+∠F=70°，三角形内角和为180°，
∴ ∠D = 180° - (∠E+∠F) = 180° - 70° = 110°，
在△DBC中，∠DBC + ∠DCB = 180° - ∠D = 180° - 110° = 70°，
∵ 在△ABC中，∠A=40°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 40° = 140°，
又
∵ ∠ABD = ∠ABC + ∠DBC，∠ACD = ∠ACB + ∠DCB，
∴ ∠ABD + ∠ACD = (∠ABC + ∠DBC) + (∠ACB + ∠DCB) = (∠ABC + ∠ACB) + (∠DBC + ∠DCB) = 140° + 70° = 210°。
【答案】
210°
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差计算，整体思想
【点评】
本题考查三角形内角和定理的应用，解题时无需单独计算每个未知角的度数，运用整体思想将所求角的和转化为两个三角形内角相关的和进行计算，能大幅简化运算过程。
【难度系数】
0.7
要计算∠ABD+∠ACD的度数，可利用三角形内角和定理，采用整体代换的思路求解：首先在△DEF中，根据已知的∠E+∠F的度数求出∠D的度数，进而得到△DBC中∠DBC+∠DCB的和；再在△ABC中根据∠A的度数求出∠ABC+∠ACB的和；最后将所求的∠ABD+∠ACD拆分为(∠ABC+∠DBC)+(∠ACB+∠DCB)，转化为上述两个和相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在△DEF中，∠E+∠F=70°，三角形内角和为180°，
∴ ∠D = 180° - (∠E+∠F) = 180° - 70° = 110°，
在△DBC中，∠DBC + ∠DCB = 180° - ∠D = 180° - 110° = 70°，
∵ 在△ABC中，∠A=40°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 40° = 140°，
又
∵ ∠ABD = ∠ABC + ∠DBC，∠ACD = ∠ACB + ∠DCB，
∴ ∠ABD + ∠ACD = (∠ABC + ∠DBC) + (∠ACB + ∠DCB) = (∠ABC + ∠ACB) + (∠DBC + ∠DCB) = 140° + 70° = 210°。
【答案】
210°
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差计算，整体思想
【点评】
本题考查三角形内角和定理的应用，解题时无需单独计算每个未知角的度数，运用整体思想将所求角的和转化为两个三角形内角相关的和进行计算，能大幅简化运算过程。
【难度系数】
0.7
4. 已知等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm,则此三角形的周长是
25 cm
.答案
解决这类问题时,既要注意分类讨论,又要注意检验三角形的存在性.
解析
【分析】
已知等腰三角形的两边长但未明确腰长和底边长，因此首先要分两种情况讨论：第一种是腰长为5cm、底边长为10cm，第二种是腰长为10cm、底边长为5cm；其次要结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）对两种情况分别验证，排除不能构成三角形的情况，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当腰长为5cm，底边长为10cm时：
此时三角形三边长为5cm、5cm、10cm，
∵5+5=10，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，
∴该情况无法构成三角形，舍去；
② 当腰长为10cm，底边长为5cm时：
此时三角形三边长为10cm、10cm、5cm，
∵5+10＞10，满足三角形三边关系，可构成三角形，
∴该三角形的周长为10+10+5=25（cm）。
综上，此三角形的周长为25cm。
【答案】
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关计算的常见题型，解题的易错点是忽略分类讨论，或者分类后忘记验证三角形的存在性，从而得出错误结果，求解此类问题时要牢记“先分类、再验证”的步骤。
【难度系数】
0.7
已知等腰三角形的两边长但未明确腰长和底边长，因此首先要分两种情况讨论：第一种是腰长为5cm、底边长为10cm，第二种是腰长为10cm、底边长为5cm；其次要结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）对两种情况分别验证，排除不能构成三角形的情况，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当腰长为5cm，底边长为10cm时：
此时三角形三边长为5cm、5cm、10cm，
∵5+5=10，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，
∴该情况无法构成三角形，舍去；
② 当腰长为10cm，底边长为5cm时：
此时三角形三边长为10cm、10cm、5cm，
∵5+10＞10，满足三角形三边关系，可构成三角形，
∴该三角形的周长为10+10+5=25（cm）。
综上，此三角形的周长为25cm。
【答案】
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关计算的常见题型，解题的易错点是忽略分类讨论，或者分类后忘记验证三角形的存在性，从而得出错误结果，求解此类问题时要牢记“先分类、再验证”的步骤。
【难度系数】
0.7
5. [2026石家庄段考] 在$△ ABC$中，$∠ A = 50°$，$∠ B = 30°$，点$D$在$AB$边上，连接$CD$，若$△ ACD$为直角三角形，则$∠ BCD$的度数为
60°或10°
。答案
当△ACD为直角三角形时,存在两种情况:
(1)如图1,当∠ADC=90°时,
∵ ∠B=30°,
∴ ∠BCD=90°-30°=60°;
(2)如图2,当∠ACD=90°时,
∵ ∠A=50°,∠B=30°,
∴ ∠ACB=180°-30°-50°=100°,
∴ ∠BCD=100°-90°=10°.
综上所述,∠BCD的度数为60°或10°.
解析
【分析】
本题已知△ACD为直角三角形，但未明确直角的位置，因此首先要分类讨论直角的可能情况：已知∠A=50°，因此直角只能是∠ADC或∠ACD，排除∠A为直角的情况。解题时先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再分别针对两种直角的情况，结合直角三角形两锐角互余的性质、角度的和差关系计算∠BCD的度数即可。
【解析】
解：△ACD为直角三角形，分两种情况讨论：
(1) 如图1，当∠ADC=90°时：
∵ ∠BDC=∠ADC=90°，∠B=30°，
在Rt△BCD中，两个锐角互余，
∴ ∠BCD=90°-∠B=90°-30°=60°；
(2) 如图2，当∠ACD=90°时：
在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-30°=100°，
∴ ∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-90°=10°。
综上所述，∠BCD的度数为60°或10°。
【答案】
60°或10°
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是三角形角度计算的常见易错题，解题的关键是明确当直角三角形未指明直角时，需要分情况讨论所有可能的直角位置，避免出现漏解的问题，结合三角形基础角度性质即可求解。
【难度系数】
0.6
本题已知△ACD为直角三角形，但未明确直角的位置，因此首先要分类讨论直角的可能情况：已知∠A=50°，因此直角只能是∠ADC或∠ACD，排除∠A为直角的情况。解题时先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再分别针对两种直角的情况，结合直角三角形两锐角互余的性质、角度的和差关系计算∠BCD的度数即可。
【解析】
解：△ACD为直角三角形，分两种情况讨论：
(1) 如图1，当∠ADC=90°时：
∵ ∠BDC=∠ADC=90°，∠B=30°，
在Rt△BCD中，两个锐角互余，
∴ ∠BCD=90°-∠B=90°-30°=60°；
(2) 如图2，当∠ACD=90°时：
在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-30°=100°，
∴ ∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-90°=10°。
综上所述，∠BCD的度数为60°或10°。
【答案】
60°或10°
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是三角形角度计算的常见易错题，解题的关键是明确当直角三角形未指明直角时，需要分情况讨论所有可能的直角位置，避免出现漏解的问题，结合三角形基础角度性质即可求解。
【难度系数】
0.6
6. [2026 阜阳期中] 如图, 在 $△ ABC$ 中 $(AB ＞ BC)$, $AC=2BC$, $BC$ 边上的中线 $AD$ 把 $△ ABC$ 的周长分成70和50两部分,求 $AC$ 和 $AB$ 的长.
答案
解题思路:根据AC=2BC和三角形的中线列出方程求解,分类讨论①AC+CD=70,②AC+CD=50,注意答案是否满足题目给出的条件、是否满足三角形的三边关系.
解:设BD=CD=x,则AC=2BC=4x,
①当AC+CD=70,AB+BD=50时,
4x+x=70,解得x=14,
∴ AC=4x=4×14=56,BD=CD=14,
∴ AB=50-BD=50-14=36,BC=28,
∴ AB＞BC,满足条件.
∵ AB+BC=36+28=64＞AC,
∴ 满足三角形的三边关系,
∴ AC=56,AB=36.
②当AC+CD=50,AB+BD=70时,
4x+x=50,解得x=10,
∴ AC=4x=4×10=40,BD=CD=10,
∴ AB=70-BD=70-10=60,BC=20.
∵ AC+BC=40+20=60=AB,
∴ 不满足三角形的三边关系,故舍去.
综上,AC=56,AB=36.
解:设BD=CD=x,则AC=2BC=4x,
①当AC+CD=70,AB+BD=50时,
4x+x=70,解得x=14,
∴ AC=4x=4×14=56,BD=CD=14,
∴ AB=50-BD=50-14=36,BC=28,
∴ AB＞BC,满足条件.
∵ AB+BC=36+28=64＞AC,
∴ 满足三角形的三边关系,
∴ AC=56,AB=36.
②当AC+CD=50,AB+BD=70时,
4x+x=50,解得x=10,
∴ AC=4x=4×10=40,BD=CD=10,
∴ AB=70-BD=70-10=60,BC=20.
∵ AC+BC=40+20=60=AB,
∴ 不满足三角形的三边关系,故舍去.
综上,AC=56,AB=36.
解析
【分析】
首先，AD是BC边上的中线，可得BD=CD，结合已知AC=2BC，我们可以设BD=CD为x，用含x的式子表示出BC、AC的长度。由于AD把△ABC的周长分成70和50两部分（公共边AD不计入两部分的和），因此需要分两种情况讨论：①AC+CD=70，AB+BD=50；②AC+CD=50，AB+BD=70。分别求解两种情况的x值后，首先要验证是否满足题干AB＞BC的条件，再验证是否满足三角形三边关系，舍去不符合的情况，即可得到最终结果。
【解析】
设BD=CD=x，
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=2BD=2x，
又
∵AC=2BC，
∴AC=4x。
分两种情况讨论：
①当AC+CD=70，AB+BD=50时：
代入得$4x + x = 70$，解得$x=14$。
∴$AC=4x=4×14=56$，$BD=CD=14$，$BC=2x=28$，
∴$AB=50 - BD=50 -14=36$。
验证：$AB=36＞BC=28$，符合题干条件；$AB+BC=36+28=64＞AC=56$，满足三角形三边关系，此情况成立。
②当AC+CD=50，AB+BD=70时：
代入得$4x + x =50$，解得$x=10$。
∴$AC=4x=4×10=40$，$BD=CD=10$，$BC=2x=20$，
∴$AB=70 - BD=70 -10=60$。
验证：$AC+BC=40+20=60=AB$，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况舍去。
【答案】
$AC=56$，$AB=36$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确中线分周长所得的两部分不包含公共边AD，需要分两种情况讨论求解，同时求出结果后必须验证是否符合题干条件和三角形三边关系，避免出现多余的错误解。
【难度系数】
0.6
首先，AD是BC边上的中线，可得BD=CD，结合已知AC=2BC，我们可以设BD=CD为x，用含x的式子表示出BC、AC的长度。由于AD把△ABC的周长分成70和50两部分（公共边AD不计入两部分的和），因此需要分两种情况讨论：①AC+CD=70，AB+BD=50；②AC+CD=50，AB+BD=70。分别求解两种情况的x值后，首先要验证是否满足题干AB＞BC的条件，再验证是否满足三角形三边关系，舍去不符合的情况，即可得到最终结果。
【解析】
设BD=CD=x，
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=2BD=2x，
又
∵AC=2BC，
∴AC=4x。
分两种情况讨论：
①当AC+CD=70，AB+BD=50时：
代入得$4x + x = 70$，解得$x=14$。
∴$AC=4x=4×14=56$，$BD=CD=14$，$BC=2x=28$，
∴$AB=50 - BD=50 -14=36$。
验证：$AB=36＞BC=28$，符合题干条件；$AB+BC=36+28=64＞AC=56$，满足三角形三边关系，此情况成立。
②当AC+CD=50，AB+BD=70时：
代入得$4x + x =50$，解得$x=10$。
∴$AC=4x=4×10=40$，$BD=CD=10$，$BC=2x=20$，
∴$AB=70 - BD=70 -10=60$。
验证：$AC+BC=40+20=60=AB$，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况舍去。
【答案】
$AC=56$，$AB=36$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确中线分周长所得的两部分不包含公共边AD，需要分两种情况讨论求解，同时求出结果后必须验证是否符合题干条件和三角形三边关系，避免出现多余的错误解。
【难度系数】
0.6
7. [2025上海华东师大二附中期中] 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BC = 8\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$E$是$BC$的中点，动点$P$从$A$点出发，先以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$A→C$运动，然后以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$C→B$运动.设点$P$运动的时间是$t\ \mathrm{s}$，当$t$为何值时，$△ APE$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$？
答案
解:分情况讨论如下:①如图1,当点P在AC上时(0＜t≤3),AP=2t(cm).
因为E是BC的中点,所以$CE=\frac{1}{2}BC=4$ cm.
因为△APE的面积等于8 cm²,
所以$\frac{1}{2}AP×CE=\frac{1}{2}AP×4=8$,
解得AP=4 cm,所以t=2(符合题意).
②当点P在BC上时(3＜t≤11),CP=(t-3)cm.
因为E是BC的中点,所以BE=CE=4 cm.
因为△APE的面积等于8 cm²,
所以$\frac{1}{2}EP×AC=\frac{1}{2}EP×6=8$,
解得$EP=\frac{8}{3}$ cm.
当点P在点E的左侧时(如图2),EP=CE-CP,
即$4-(t-3)=\frac{8}{3}$,解得$t=\frac{13}{3}$(符合题意);
当点P在点E的右侧时(如图3),EP=CP-CE,
即$(t-3)-4=\frac{8}{3}$,解得$t=\frac{29}{3}$(符合题意).
综上所述,当$t=2,\frac{13}{3}$或$\frac{29}{3}$时,△APE的面积等于8 cm².
解析
【分析】
解题时首先关注动点P的运动路径分为A→C、C→B两段，因此需要分情况讨论P的位置：①先分析P在AC上的情况，确定该阶段t的取值范围，找到△APE对应的底和高，结合三角形面积公式列方程求解；②再分析P在BC上的情况，先确定该阶段t的取值范围，此时△APE的高为AC的长度，底为EP的长度，而P在E左侧和右侧时EP的表达式不同，还需要再分两种子情况分别列方程求解，最后要检验得到的解是否符合对应阶段t的取值范围，舍去不符合的解。
【解析】
分情况讨论如下：
①如图1，当点P在AC上时(0＜t≤3)，AP=2t(cm)。
因为E是BC的中点，所以$CE=\frac{1}{2}BC=4$ cm。
因为△APE的面积等于8 cm²，
所以$\frac{1}{2}AP×CE=\frac{1}{2}×AP×4=8$，
解得AP=4 cm，所以t=2(符合题意)。
②当点P在BC上时(3＜t≤11)，CP=(t-3)cm。
因为E是BC的中点，所以BE=CE=4 cm。
因为△APE的面积等于8 cm²，
所以$\frac{1}{2}EP×AC=\frac{1}{2}×EP×6=8$，
解得$EP=\frac{8}{3}$ cm。
当点P在点E的左侧时(如图2)，EP=CE-CP，
即$4-(t-3)=\frac{8}{3}$，解得$t=\frac{13}{3}$(符合题意)；
当点P在点E的右侧时(如图3)，EP=CP-CE，
即$(t-3)-4=\frac{8}{3}$，解得$t=\frac{29}{3}$(符合题意)。
【答案】
当$t=2,\frac{13}{3}$或$\frac{29}{3}$时，△APE的面积等于8 $\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
三角形面积计算，分类讨论思想，一元一次方程应用
【点评】
本题是动点与三角形面积结合的典型题型，解题核心是根据动点的不同位置合理分类，准确表示对应线段的长度，结合面积公式建立方程求解，得到结果后要注意验证解是否符合对应位置的时间取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
解题时首先关注动点P的运动路径分为A→C、C→B两段，因此需要分情况讨论P的位置：①先分析P在AC上的情况，确定该阶段t的取值范围，找到△APE对应的底和高，结合三角形面积公式列方程求解；②再分析P在BC上的情况，先确定该阶段t的取值范围，此时△APE的高为AC的长度，底为EP的长度，而P在E左侧和右侧时EP的表达式不同，还需要再分两种子情况分别列方程求解，最后要检验得到的解是否符合对应阶段t的取值范围，舍去不符合的解。
【解析】
分情况讨论如下：
①如图1，当点P在AC上时(0＜t≤3)，AP=2t(cm)。
因为E是BC的中点，所以$CE=\frac{1}{2}BC=4$ cm。
因为△APE的面积等于8 cm²，
所以$\frac{1}{2}AP×CE=\frac{1}{2}×AP×4=8$，
解得AP=4 cm，所以t=2(符合题意)。
②当点P在BC上时(3＜t≤11)，CP=(t-3)cm。
因为E是BC的中点，所以BE=CE=4 cm。
因为△APE的面积等于8 cm²，
所以$\frac{1}{2}EP×AC=\frac{1}{2}×EP×6=8$，
解得$EP=\frac{8}{3}$ cm。
当点P在点E的左侧时(如图2)，EP=CE-CP，
即$4-(t-3)=\frac{8}{3}$，解得$t=\frac{13}{3}$(符合题意)；
当点P在点E的右侧时(如图3)，EP=CP-CE，
即$(t-3)-4=\frac{8}{3}$，解得$t=\frac{29}{3}$(符合题意)。
【答案】
当$t=2,\frac{13}{3}$或$\frac{29}{3}$时，△APE的面积等于8 $\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
三角形面积计算，分类讨论思想，一元一次方程应用
【点评】
本题是动点与三角形面积结合的典型题型，解题核心是根据动点的不同位置合理分类，准确表示对应线段的长度，结合面积公式建立方程求解，得到结果后要注意验证解是否符合对应位置的时间取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
