如图,在△ABC中,E,F分别为边BC,AC上的点,连接AE,BF交于点O,∠C=40°.

【基础设施问】
(1)以AB为边的三角形共有个.
(2)若AB=3,AC=4,则BC长度的取值范围为.
(3)∠EOF=∠AOB的依据是,这个依据的逆命题是,这个逆命题是命题(填“真”或“假”).
(4)若∠ABC=$\frac{3}{2}$∠BAC,则△ABC是三角形.
(5)若AE,BF均是△ABC的高线,求∠AOB的度数.
(6)若AE,BF均是△ABC的角平分线,求∠AOB的度数.
(7)若AE是△ABC的高,BF是△ABC的角平分线,∠BAE=10°,求∠AOB的度数.
【能力设问】
(8)若AE,BF均是△ABC的中线,
①AB=3,AC=4,则△ACE与△ABE的周长差为;
②△AEB的面积是2,求△AFB的面积.
(9)若AE是△ABC的角平分线,过点A作AD⊥BC于点D.
①若∠ABC=60°,求∠EAD的度数;
②若∠ABC＞∠C,猜想∠EAD与∠ABC - ∠C之间的数量关系,并证明.

(1)4
(2)1 ＜ BC ＜ 7 根据三角形的三边关系,可得4-3 ＜ BC ＜ 3+4,即1 ＜ BC ＜ 7.
(3)对顶角相等 相等的角是对顶角 假(或同角的补角相等 如果两个角相等,那么它们是同一个角的补角 假)
(4)锐角

∵ ∠ABC = $\frac{3}{2}$∠BAC, ∠C = 40°,
∴ ∠BAC + ∠ABC + ∠C = ∠BAC + $\frac{3}{2}$∠BAC + 40° = 180°,解得∠BAC = 56°,
∴ ∠ABC = $\frac{3}{2}$×56° = 84°,
∴ △ABC是锐角三角形.
(5)
∵ AE,BF均是△ABC的高线,
∴ ∠BFC = ∠AEB = 90°,
∴ ∠FBC = 180° - ∠C - ∠BFC = 180° - 40° - 90° = 50°,
则∠AOB = ∠AEB + ∠FBC = 90° + 50° = 140°.
(6)
∵ AE,BF均是△ABC的角平分线,
∴ ∠ABO = $\frac{1}{2}$∠ABC, ∠BAO = $\frac{1}{2}$∠BAC.
∵ ∠ABC + ∠BAC + ∠C = 180°,
∴ ∠ABC + ∠BAC = 180° - 40° = 140°,
∴ ∠ABO + ∠BAO = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠BAC) = 70°,
∴ ∠AOB = 180° - (∠ABO + ∠BAO) = 110°.
(7)
∵ AE是△ABC的高,BF是△ABC的角平分线,
∴ ∠AEB = 90°,∠FBC = $\frac{1}{2}$∠ABC.
∵ ∠BAE + ∠AEB + ∠ABC = 180°,
∴ ∠ABC = 180° - 90° - 10° = 80°,
∴ ∠FBC = 80° × $\frac{1}{2}$ = 40°,
∴ ∠AOB = ∠AEB + ∠FBC = 90° + 40° = 130°.
(8)①1

∵ AE是△ABC的中线,
∴ CE = BE.
∵ AB = 3,AC = 4,$C_{△ACE}$ = AC + AE + CE,$C_{△AEB}$ = AB + AE + BE,
∴ $C_{△ACE}$ - $C_{△AEB}$ = AC - AB = 4 - 3 = 1.
②
∵ AE是△ABC的中线,
∴ $S_{△ABC}$ = 2$S_{△AEB}$ = 4.
∵ BF是△ABC的中线,
∴ $S_{△AFB}$ = $\frac{1}{2}$$S_{△ABC}$ = 2.
(9)①
∵ ∠ABC + ∠C + ∠BAC = 180°,
∴ ∠BAC = 180° - 60° - 40° = 80°.
∵ AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC,
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 40°,∠ADE = 90°,
∴ ∠BAD = ∠ADE - ∠ABC = 90° - 60° = 30°,
∴ ∠EAD = ∠BAE - ∠BAD = 40° - 30° = 10°.
② ∠EAD = $\frac{1}{2}$(∠ABC - ∠C).证明如下:
∵ AD⊥BC,
∴ ∠ADE = 90°,
∴ ∠BAD = 90° - ∠ABC.
∵ AE是△ABC的角平分线,
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC.
∵ ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠C,
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC - ∠C),
∴ ∠EAD = ∠BAE - ∠BAD = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC - ∠C) - (90° - ∠ABC) = $\frac{1}{2}$(∠ABC - ∠C).

【分析】
本题围绕三角形的基础知识点展开考查，解题时逐个对应考点即可：(1)枚举所有包含AB边的三角形即可；(2)利用三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”计算；(3)根据对顶角的性质、逆命题的定义及真假判断规则作答；(4)结合三角形内角和求出各内角度数，判断三角形类型；(5)利用高线的90°角，结合三角形外角性质推导∠AOB的度数；(6)利用角平分线的性质得到对应角的关系，结合三角形内角和计算∠AOB；(7)先结合高的性质求∠ABC，再利用角平分线和外角性质求∠AOB；(8)①中线平分对边，两个三角形周长的公共部分抵消后即可得差；②利用中线平分三角形面积的性质逐步推导；(9)①先求∠BAC，再结合角平分线和高的性质分别求∠BAE、∠BAD，作差得∠EAD；②分别用含∠ABC、∠C的式子表示∠BAE和∠BAD，作差化简即可得到数量关系。
【解析】
(1) 以AB为边的三角形有△ABC、△ABF、△ABE、△ABO，共4个。
(2) 根据三角形三边关系，已知AB=3，AC=4，因此$4-3＜BC＜3+4$，即$1＜BC＜7$。
(3) ∠EOF和∠AOB是对顶角，相等的依据是对顶角相等；该命题的逆命题为相等的角是对顶角，该命题不成立，是假命题。（也可依据同角的补角相等，逆命题为如果两个角相等，那么它们是同一个角的补角，也是假命题）
(4) 已知∠C=40°，∠ABC=$\frac{3}{2}$∠BAC，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC + \frac{3}{2}∠ BAC + 40° = 180°$，解得$∠ BAC=56°$，则$∠ ABC=\frac{3}{2}×56°=84°$，三个内角都小于90°，因此△ABC是锐角三角形。
(5)
∵AE、BF均为△ABC的高线，
∴$∠ BFC=∠ AEB=90°$，
在△BFC中，$∠ FBC=180°-∠ C-∠ BFC=180°-40°-90°=50°$，
∠AOB是△BOE的外角，因此$∠ AOB=∠ AEB+∠ FBC=90°+50°=140°$。
(6)
∵AE、BF均为△ABC的角平分线，
∴$∠ ABO=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ BAO=\frac{1}{2}∠ BAC$，
∵$∠ ABC+∠ BAC=180°-∠ C=180°-40°=140°$，
∴$∠ ABO+∠ BAO=\frac{1}{2}×140°=70°$，
在△AOB中，$∠ AOB=180°-(∠ ABO+∠ BAO)=180°-70°=110°$。
(7)
∵AE是△ABC的高，
∴$∠ AEB=90°$，
在△ABE中，$∠ ABC=180°-∠ AEB-∠ BAE=180°-90°-10°=80°$，
∵BF是角平分线，
∴$∠ FBC=\frac{1}{2}∠ ABC=40°$，
∠AOB是△BOE的外角，因此$∠ AOB=∠ AEB+∠ FBC=90°+40°=130°$。
(8)①
∵AE是中线，
∴$CE=BE$，
$C_{△ ACE}=AC+AE+CE$，$C_{△ ABE}=AB+AE+BE$，
两式相减，CE=BE、AE为公共边，因此周长差=$AC-AB=4-3=1$。
②
∵AE是中线，
∴$S_{△ ABC}=2S_{△ AEB}=2×2=4$，
∵BF是中线，
∴$S_{△ AFB}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2$。
(9)①已知$∠ ABC=60°$，$∠ C=40°$，
∴$∠ BAC=180°-60°-40°=80°$，
∵AE是角平分线，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=40°$，
∵AD⊥BC，
∴$∠ ADB=90°$，在△ABD中，$∠ BAD=90°-∠ ABC=90°-60°=30°$，
∴$∠ EAD=∠ BAE-∠ BAD=40°-30°=10°$。
②猜想：$∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ ABC-∠ C)$，证明如下：
∵AD⊥BC，
∴$∠ ADB=90°$，
∴$∠ BAD=90°-∠ ABC$，
∵AE是角平分线，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC$，
又
∵$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C$，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC-∠ C)=90°-\frac{1}{2}∠ ABC-\frac{1}{2}∠ C$，
∴$∠ EAD=∠ BAE-∠ BAD=90°-\frac{1}{2}∠ ABC-\frac{1}{2}∠ C - (90°-∠ ABC)=\frac{1}{2}(∠ ABC-∠ C)$，猜想成立。
【答案】
(1) 4
(2) $1＜BC＜7$
(3) 对顶角相等；相等的角是对顶角；假（或同角的补角相等；如果两个角相等，那么它们是同一个角的补角；假）
(4) 锐角
(5) $140°$
(6) $110°$
(7) $130°$
(8) ①1；②2
(9) ①$10°$；②$∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ ABC-∠ C)$
【知识点】
三角形基本性质，三角形三线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题从基础概念到综合应用逐层递进，全面考查了三角形相关的核心知识点，既覆盖了基础识记内容，也包含了角的推导、周长面积计算等逻辑应用类内容，能有效检验对三角形相关知识的掌握程度，夯实基础的同时锻炼推导能力。
【难度系数】
0.7