1. [2025连云港中考]下列长度(单位:cm)的3根小木棒能搭成三角形的是 ()

A.1,2,3
B.2,3,4
C.3,5,8
D.4,5,10

逐项分析如下:
|选项|分析|判断|
| ---- | ---- | ---- |
|A|1+2=3|不能构成三角形|
|B|2+3＞4(两较短的边的和大于第三边)|能构成三角形|
|C|3+5=8|不能构成三角形|
|D|5+4＜10|不能构成三角形|

【分析】
判断三根小木棒能否搭成三角形的核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需验证两条较短边的长度之和是否大于最长边的长度即可：若满足该条件则可以构成三角形，反之则不能，接下来逐个选项验证即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：三根木棒长度为1、2、3，最长边为3，两条短边和为$1+2=3$，等于最长边，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
B选项：三根木棒长度为2、3、4，最长边为4，两条短边和为$2+3=5＞4$，满足三角形三边关系，能构成三角形；
C选项：三根木棒长度为3、5、8，最长边为8，两条短边和为$3+5=8$，等于最长边，不满足三边关系，不能构成三角形；
D选项：三根木棒长度为4、5、10，最长边为10，两条短边和为$4+5=9＜10$，不满足三边关系，不能构成三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查对三角形三边关系的掌握，用两短边之和与最长边比较的技巧可快速判断结果，降低计算量。
【难度系数】
0.9

2. ▶新考法 [2024 海南中考]设直角三角形中一个锐角为x度(0 ＜ x ＜ 90),另一个锐角为y度,则y与x的函数关系式为 ()

A.$y=180+x$
B.$y=180-x$
C.$y=90+x$
D.$y=90-x$

由直角三角形的性质得x+y=90,所以y与x的函数关系式为y=90-x.

【分析】
解题时首先回忆直角三角形的内角相关性质：三角形内角和为180°，直角三角形有一个内角是90°，因此两个锐角的和为90°。已知两个锐角分别为x度和y度，先列出两个锐角的等量关系，再将关系式变形为用x表示y的形式，最后对应选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵三角形内角和为180°，直角三角形中存在一个90°的直角
∴直角三角形的两个锐角之和为$180°-90°=90°$
由题可知两个锐角分别为$x°$和$y°$，可得：
$x + y = 90$
移项得$y$与$x$的函数关系式为：$y = 90 - x$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余；函数关系式建立
【点评】
本题结合直角三角形的基础性质考查函数关系式的推导，核心是抓住直角三角形两个锐角和为90°的等量关系，属于基础类考题，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.9

3. [2024长沙中考]如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=50°,AD//BC,则∠1的度数为 ()


A.50°
B.60°
C.70°
D.80°

因为∠BAC=60°,∠B=50°,所以∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-50°=70°.又因为AD//BC,所以∠1=∠C=70°(两直线平行,内错角相等).

【分析】
要解决本题，首先观察图形可知AD平行于BC，∠1和∠C是一组内错角，若求出∠C的度数，就能根据平行线的性质得到∠1的度数。已知△ABC中两个内角的度数，利用三角形内角和为180°即可求出∠C的度数，按照这个思路就能逐步求解。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠B=50°，因此：
$∠ C=180°-∠ BAC-∠ B=180°-60°-50°=70°$
又因为$AD// BC$，AC是截线，∠1和∠C是内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 1=∠ C=70°$。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.平行线的性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，将三角形内角和与平行线的性质结合考查，只要熟记相关定理，找到角之间的数量关系就能轻松解答。
【难度系数】
0.8

4. [2022安徽中考]两个长方形的位置如图所示，若$∠ 1 = α$，则$∠ 2 =$（）


A.$α - 90°$
B.$α - 45°$
C.$180° - α$
D.$270° - α$

如图,∠3=∠1-90°=α-90°,所以∠2=90°-∠3=180°-α.

【分析】
解题时首先观察图形特征，两个长方形的内角均为90°，我们可以引入两个长方形重叠的锐角作为中间角∠3，先推导∠1与∠3的数量关系，再推导∠2与∠3的数量关系，最后消去中间角∠3，即可得到∠2和已知角∠1的关系。
【解析】
标注两个长方形重叠形成的锐角为∠3：
1. 根据长方形的内角为90°，可得上方长方形中：$∠ 1 = 90° + ∠ 3$，因此$∠ 3 = ∠ 1 - 90° = α - 90°$；
2. 同理，下方长方形中：$∠ 2 + ∠ 3 = 90°$；
3. 将$∠ 3 = α - 90°$代入上式，得$∠ 2 = 90° - (α - 90°) = 180° - α$。
【答案】
C

【知识点】
1. 长方形内角特征
2. 角的和差计算
【点评】
本题是基础几何运算题，解题核心是通过引入中间角建立已知角和未知角的联系，结合长方形直角的性质推导角度关系，侧重考察学生的图形观察能力和简单的角度推导能力。
【难度系数】
0.7

5. 新趋势·结论开放 [2025南京中考]若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是（写出一个即可）。

设腰长为x,底边长为y,则2x+y=12,所以y=12-2x.根据三角形三边的关系可知,x+x＞12-2x,x-x＜12-2x,所以3＜x＜6,所以它的腰长可以是5.

【分析】
解决本题首先要结合等腰三角形的性质，明确周长与腰长、底边长的关系，再利用三角形三边关系确定腰长的取值范围，最后在范围内任取一个符合要求的值即可。具体思考步骤：①先设腰长为x，用含x的代数式表示出底边长；②根据“三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边”列不等式，求解得到腰长的取值范围；③在取值范围内任选一个数即为答案。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$ x $，底边长为$ y $。
根据等腰三角形周长公式可得：$ 2x + y = 12 $，变形得$ y = 12 - 2x $。
根据三角形三边关系列不等式：
1. 两腰之和大于底边长：$ x + x ＞ 12 - 2x $，解不等式得$ 4x ＞ 12 $，即$ x ＞ 3 $；
2. 两边之差小于第三边：$ x - x ＜ 12 - 2x $，即$ 0 ＜ 12 - 2x $，解不等式得$ x ＜ 6 $。
综上，腰长$ x $的取值范围是$ 3 ＜ x ＜ 6 $，因此腰长可以取该区间内的任意一个值，例如5。
【答案】
5（答案不唯一）
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，不等式求解
【点评】
本题是结论开放类题型，核心考查等腰三角形基础性质和三角形三边关系的结合应用，解题关键是通过三边关系确定腰长的合理取值范围，取值在区间内均为正确答案。
【难度系数】
0.8

6. 新趋势·代数推理 [2025长沙中考] 衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要. 青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规. 同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则. 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是不遵守数学的基本法则导致的.
命题:如果$a,b,c$为实数,且满足$a + b = -c$.那么$2 = 1$.
推理过程如下:
第一步:根据上述命题条件有$a + b = -c$;①
第二步:根据七年级学过的整式运算法则有$a = 2a - a,b = 2b - b,c = 2c - c$;②
第三步:把②代入①,可得$(2a - a)+(2b - b)=-(2c - c)$;③
第四步:把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等,变形可得$2(a + b + c)=(a + b + c)$;④
第五步:把④两边同时除以$(a + b + c)$,得$2 = 1$. ⑤
请你判断上述推理过程中,第步是错误的,它违背了数学的基本法则.

因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式,或是等式左右两边同时乘方,等式仍然成立,所以对于等式2(a+b+c)=(a+b+c),当a+b+c=0时,该等式为0=0,当a+b+c≠0时,两边同时除以(a+b+c),得2=1.因为a+b=-c,所以a+b+c=0,所以上述推理过程中,第五步是错误的.

【分析】
解题时首先回忆等式的基本性质，再逐一审视每一步推理的依据是否合法：第一步是题目给出的已知条件，无错误；第二步是整式的恒等拆分，符合整式运算法则；第三步是代入变形，操作正确；第四步通过去括号、移项、提取公因式整理等式，变形过程符合运算律，结果正确；接下来结合已知条件$a+b=-c$，可推导出$a+b+c=0$，此时看第五步，是将等式两边同时除以$(a+b+c)$，也就是除以0，违背了等式基本性质中“除数不能为0”的要求，即可确定错误步骤。
【解析】
根据等式的基本性质：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。
由已知条件$a + b = -c$，移项可得$a + b + c = 0$。
推理到第四步时得到等式$2(a + b + c) = (a + b + c)$，代入$a + b + c = 0$可知该等式为$0=0$，是成立的。但第五步将等式两边同时除以$(a + b + c)$，也就是除以0，不符合等式基本性质的前提要求，因此第五步错误。
【答案】
五
【知识点】
等式的基本性质；整式的加减运算
【点评】
本题结合生活化情景考查对数学基础法则的掌握，易错点是使用等式性质做除法运算时忽略“除数不为0”的前提条件，能够很好地检验学生对基础概念的理解是否扎实，提醒大家运用性质时要关注适用前提。
【难度系数】
0.75

7. [2024 达州中考]如图,在$△ ABC$中,$AE_1,BE_1$分别是内角$∠ CAB$,外角$∠ CBD$的三等分线,且$∠ E_1AD = \frac{1}{3}∠ CAB$, $∠ E_1BD = \frac{1}{3}∠ CBD$,在$△ ABE_1$中,$AE_2,BE_2$分别是内角$∠ E_1AB$,外角$∠ E_1BD$的三等分线,且$∠ E_2AD = \frac{1}{3}∠ E_1AB$, $∠ E_2BD = \frac{1}{3}∠ E_1BD$……以此规律作下去,若$∠ C = m°$,则$∠ E_n =$ 度.

因为∠E₁AD=$\frac{1}{3}$∠CAB,∠E₁BD=$\frac{1}{3}$∠CBD,所以设∠E₁AD=α,∠E₁BD=β,则∠CAB=3α,∠CBD=3β,由三角形外角的性质得β=α+∠E₁,3β=3α+∠C,所以∠E₁=$\frac{1}{3}$∠C,同理可得∠E₂=$\frac{1}{3}$∠E₁,所以∠E₂=($\frac{1}{3}$)²∠C,…,∠Eₙ=($\frac{1}{3}$)ⁿ∠C,即∠Eₙ=$\frac{1}{3^n}m$°.

【分析】
解题时首先利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，先推导∠E₁与∠C的数量关系：先设三等分后的小角为参数，结合外角性质消去参数即可得到∠E₁和∠C的关系；再用相同的方法推导∠E₂与∠E₁的关系，以此类推，归纳得到第n个角∠Eₙ的通用表达式。
【解析】
∵ ∠CBD是△ABC的外角，根据三角形外角性质可得：∠CBD = ∠C + ∠CAB。
已知∠E₁AD = $\frac{1}{3}$∠CAB，∠E₁BD = $\frac{1}{3}$∠CBD，设∠E₁AD=α，∠E₁BD=β，则∠CAB=3α，∠CBD=3β。
又
∵ ∠E₁BD是△ABE₁的外角，
∴ β = α + ∠E₁ ①；
将∠CAB=3α，∠CBD=3β代入外角性质得：3β = 3α + ∠C ②；
把①式左右两边同时乘3得3β=3α+3∠E₁，代入②式可得：3α + 3∠E₁ = 3α + ∠C，化简得$∠ E_1=\frac{1}{3}∠ C$。
同理可推导得$∠ E_2=\frac{1}{3}∠ E_1=(\frac{1}{3})^2∠ C$，以此类推，可得$∠ E_n=(\frac{1}{3})^n∠ C$。
已知$∠ C=m°$，因此$∠ E_n=\frac{m}{3^n}$度。
【答案】
$\frac{m}{3^n}$（或$(\frac{1}{3})^n m$）
【知识点】
三角形外角性质、角的三等分线、规律归纳
【点评】
本题属于规律探究类题型，结合了三角形外角性质与角等分线的相关知识，需要通过从特殊到一般的归纳思路推导通用结论，解题的核心是找准每次推导中角的数量关系，熟练运用外角性质消去公共参数得到所求角的关系。
【难度系数】
0.6