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5. 一题多解 [2026 蚌埠蚌山区期中] 如图，E，F分别是$△ ABC$的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若$∠ B + ∠ C = 64°$，$∠ D = 70°$，则$∠ 1 + ∠ 2$的度数为 (
A.$44°$
B.$46°$
C.$48°$
D.$50°$
B
)A.$44°$
B.$46°$
C.$48°$
D.$50°$
答案
通解 如图,连接EF,因为∠A + ∠B + ∠C = 180°, ∠A + ∠AEF + ∠AFE = 180°,所以∠AEF + ∠AFE = ∠B + ∠C = 64°. 因为∠D + ∠DEF + ∠DFE = 180°,所以∠D + ∠1 + ∠2 + ∠AEF + ∠AFE = 180°. 因为∠D = 70°,所以∠1 + ∠2 = 180° - 64° - 70° = 46°.
秒解 由“飞镖”型可知,∠1 + ∠2 + ∠D = ∠A,而∠A = 180° - (∠B + ∠C) = 116°,所以∠1 + ∠2 = ∠A - ∠D = 116° - 70° = 46°.
解析
【分析】
要计算∠1+∠2的度数，可从三角形内角和定理入手思考：
方法一：添加辅助线连接EF，利用三角形内角和将∠B+∠C转化为△AEF的两个底角之和，再结合△DEF的内角和为180°，代入已知角度即可求出∠1+∠2；
方法二：识别图形中的“飞镖”几何模型，直接利用飞镖模型的角度关系，先求出△ABC中∠A的度数，再代入模型关系快速计算。
【解析】
通解：
如图，连接EF，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
在△AEF中，根据三角形内角和定理：$∠ A + ∠ AEF + ∠ AFE = 180°$，
因此可得$∠ AEF + ∠ AFE = ∠ B + ∠ C = 64°$。
在△DEF中，$∠ D + ∠ DEF + ∠ DFE = 180°$，
其中$∠ DEF = ∠ 1 + ∠ AEF$，$∠ DFE = ∠ 2 + ∠ AFE$，代入得：
$∠ D + ∠ 1 + ∠ AEF + ∠ 2 + ∠ AFE = 180°$，
已知$∠ D=70°$，将$∠ AEF+∠ AFE=64°$代入：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 70° - 64° = 46°$。
秒解：
根据“飞镖”型几何模型的结论：凹四边形的凹角度数等于另外三个内角的度数和，因此$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ D = ∠ A$。
先在△ABC中计算$∠ A$：$∠ A = 180° - (∠ B + ∠ C) = 180° - 64° = 116°$，
代入模型关系得：$∠ 1 + ∠ 2 = ∠ A - ∠ D = 116° - 70° = 46°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角度和差计算；飞镖模型
【点评】
本题考查三角形中角度的求解，既可以通过添加辅助线、利用基础的三角形内角和定理逐步推导，也可以借助常见的几何模型快速得出结果，平时学习过程中既要夯实基础定理的应用，也要注意积累常见几何模型的结论，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要计算∠1+∠2的度数，可从三角形内角和定理入手思考：
方法一：添加辅助线连接EF，利用三角形内角和将∠B+∠C转化为△AEF的两个底角之和，再结合△DEF的内角和为180°，代入已知角度即可求出∠1+∠2；
方法二：识别图形中的“飞镖”几何模型，直接利用飞镖模型的角度关系，先求出△ABC中∠A的度数，再代入模型关系快速计算。
【解析】
通解：
如图，连接EF
，在△ABC中，根据三角形内角和定理：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
在△AEF中，根据三角形内角和定理：$∠ A + ∠ AEF + ∠ AFE = 180°$，
因此可得$∠ AEF + ∠ AFE = ∠ B + ∠ C = 64°$。
在△DEF中，$∠ D + ∠ DEF + ∠ DFE = 180°$，
其中$∠ DEF = ∠ 1 + ∠ AEF$，$∠ DFE = ∠ 2 + ∠ AFE$，代入得：
$∠ D + ∠ 1 + ∠ AEF + ∠ 2 + ∠ AFE = 180°$，
已知$∠ D=70°$，将$∠ AEF+∠ AFE=64°$代入：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 70° - 64° = 46°$。
秒解：
根据“飞镖”型几何模型的结论：凹四边形的凹角度数等于另外三个内角的度数和，因此$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ D = ∠ A$。
先在△ABC中计算$∠ A$：$∠ A = 180° - (∠ B + ∠ C) = 180° - 64° = 116°$，
代入模型关系得：$∠ 1 + ∠ 2 = ∠ A - ∠ D = 116° - 70° = 46°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角度和差计算；飞镖模型
【点评】
本题考查三角形中角度的求解，既可以通过添加辅助线、利用基础的三角形内角和定理逐步推导，也可以借助常见的几何模型快速得出结果，平时学习过程中既要夯实基础定理的应用，也要注意积累常见几何模型的结论，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
6. 探究与发现:如图1所示的图形,像我们常见的飞镖,我们不妨把这样的图形叫作“飞镖图”.
(1)如图1,求证:$∠ BDC = ∠ A + ∠ B + ∠ C$.
(2)如图2,已知$DE$平分$∠ ADB$, $CE$平分$∠ ACB$, $∠ A = 24°$, $∠ B = 66°$, 求$∠ E$的度数.
(3)如图3,已知$∠ ABC = 100°$, $∠ DEF = 130°$, 求$∠ A + ∠ C + ∠ D + ∠ F$的度数.
(1)如图1,求证:$∠ BDC = ∠ A + ∠ B + ∠ C$.
(2)如图2,已知$DE$平分$∠ ADB$, $CE$平分$∠ ACB$, $∠ A = 24°$, $∠ B = 66°$, 求$∠ E$的度数.
(3)如图3,已知$∠ ABC = 100°$, $∠ DEF = 130°$, 求$∠ A + ∠ C + ∠ D + ∠ F$的度数.
答案
(1)证明:如图1,连接AD并延长至点F.
∵ ∠FDC = ∠DAC + ∠C, ∠BDF = ∠B + ∠BAD,
∴ ∠FDC + ∠BDF = ∠DAC + ∠BAD + ∠C + ∠B,
即∠BDC = ∠BAC + ∠B + ∠C.
(2)解:由(1)中结论,得∠ADB = ∠A + ∠B + ∠ACB, ∠ADE = ∠A + ∠E + ∠ACE.
∵ DE平分∠ADB, CE平分∠ACB,
∴ ∠ADB = 2∠ADE, ∠ACB = 2∠ACE,
∴ ∠ADB = 2∠A + 2∠E + ∠ACB,
∴ ∠A + ∠B + ∠ACB = 2∠A + 2∠E + ∠ACB,
∴ ∠E = 1/2(∠B - ∠A) = 21°.
(3)解:如图2,连接AD.
由(1)中结论,得∠DEF = ∠F + ∠FAD + ∠ADE, ∠ABC = ∠BAD + ∠ADC + ∠C,
∴ ∠F + ∠FAD + ∠ADE + ∠BAD + ∠ADC + ∠C = ∠DEF + ∠ABC = 230°,
即∠BAF + ∠C + ∠CDE + ∠F = 230°.
解析
【分析】
(1) 要证明∠BDC与∠A、∠B、∠C的等量关系，可利用三角形外角的性质，通过作辅助线将∠BDC拆分为两个三角形的外角，分别对应两组内角和，相加即可推导得到结论。
(2) 直接使用第(1)问得到的“飞镖模型”结论，分别写出∠ADB、∠ADE的角度表达式，结合角平分线的性质进行等量代换，消去未知的公共角，即可推导得到∠E与已知角∠A、∠B的关系，代入数值计算即可。
(3) 需通过作辅助线构造“飞镖模型”，连接AD后得到两个符合飞镖模型的图形，将两个模型的角度结论相加，即可合并得到要求的∠A+∠C+∠D+∠F的和，代入已知角度计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接AD并延长至点F。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠FDC = ∠DAC + ∠C，∠BDF = ∠B + ∠BAD。
将两式相加得：∠FDC + ∠BDF = ∠DAC + ∠BAD + ∠C + ∠B，
即∠BDC = ∠BAC + ∠B + ∠C。
(2) 解：由(1)的飞镖模型结论可得：∠ADB = ∠A + ∠B + ∠ACB，∠ADE = ∠A + ∠E + ∠ACE。
∵ DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，
∴ ∠ADB = 2∠ADE，∠ACB = 2∠ACE。
将∠ADE代入∠ADB的表达式：∠ADB = 2(∠A + ∠E + ∠ACE) = 2∠A + 2∠E + ∠ACB，
结合∠ADB = ∠A + ∠B + ∠ACB，可得：
∠A + ∠B + ∠ACB = 2∠A + 2∠E + ∠ACB，
两边消去∠ACB，整理得：∠E = $\frac{1}{2}$(∠B - ∠A)，
代入∠A=24°，∠B=66°，得∠E=$\frac{1}{2}$×(66°-24°)=21°。
(3) 解：如图2，连接AD。
由(1)的飞镖模型结论可得：∠DEF = ∠F + ∠FAD + ∠ADE，∠ABC = ∠BAD + ∠ADC + ∠C。
将两式相加得：∠DEF + ∠ABC = ∠F + ∠FAD + ∠ADE + ∠BAD + ∠ADC + ∠C，
其中∠FAD + ∠BAD = ∠BAF，∠ADE + ∠ADC = ∠CDE，
因此∠BAF + ∠C + ∠CDE + ∠F = ∠DEF + ∠ABC = 130° + 100° = 230°。
【答案】
(1) 证明:如图1,连接AD并延长至点F.
∵ ∠FDC = ∠DAC + ∠C, ∠BDF = ∠B + ∠BAD,
∴ ∠FDC + ∠BDF = ∠DAC + ∠BAD + ∠C + ∠B,
即∠BDC = ∠BAC + ∠B + ∠C.
(2) ∠E=21°
(3) ∠A + ∠C + ∠D + ∠F=230°
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；飞镖角度模型
【点评】
本题围绕三角形角度计算的典型模型展开，从模型证明到拓展应用梯度清晰，解题的关键是熟练掌握三角形外角性质，学会通过添加辅助线构造熟悉的几何模型，将复杂的角度关系转化为已知模型的结论，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明∠BDC与∠A、∠B、∠C的等量关系，可利用三角形外角的性质，通过作辅助线将∠BDC拆分为两个三角形的外角，分别对应两组内角和，相加即可推导得到结论。
(2) 直接使用第(1)问得到的“飞镖模型”结论，分别写出∠ADB、∠ADE的角度表达式，结合角平分线的性质进行等量代换，消去未知的公共角，即可推导得到∠E与已知角∠A、∠B的关系，代入数值计算即可。
(3) 需通过作辅助线构造“飞镖模型”，连接AD后得到两个符合飞镖模型的图形，将两个模型的角度结论相加，即可合并得到要求的∠A+∠C+∠D+∠F的和，代入已知角度计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接AD并延长至点F。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠FDC = ∠DAC + ∠C，∠BDF = ∠B + ∠BAD。
将两式相加得：∠FDC + ∠BDF = ∠DAC + ∠BAD + ∠C + ∠B，
即∠BDC = ∠BAC + ∠B + ∠C。
(2) 解：由(1)的飞镖模型结论可得：∠ADB = ∠A + ∠B + ∠ACB，∠ADE = ∠A + ∠E + ∠ACE。
∵ DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，
∴ ∠ADB = 2∠ADE，∠ACB = 2∠ACE。
将∠ADE代入∠ADB的表达式：∠ADB = 2(∠A + ∠E + ∠ACE) = 2∠A + 2∠E + ∠ACB，
结合∠ADB = ∠A + ∠B + ∠ACB，可得：
∠A + ∠B + ∠ACB = 2∠A + 2∠E + ∠ACB，
两边消去∠ACB，整理得：∠E = $\frac{1}{2}$(∠B - ∠A)，
代入∠A=24°，∠B=66°，得∠E=$\frac{1}{2}$×(66°-24°)=21°。
(3) 解：如图2，连接AD。
由(1)的飞镖模型结论可得：∠DEF = ∠F + ∠FAD + ∠ADE，∠ABC = ∠BAD + ∠ADC + ∠C。
将两式相加得：∠DEF + ∠ABC = ∠F + ∠FAD + ∠ADE + ∠BAD + ∠ADC + ∠C，
其中∠FAD + ∠BAD = ∠BAF，∠ADE + ∠ADC = ∠CDE，
因此∠BAF + ∠C + ∠CDE + ∠F = ∠DEF + ∠ABC = 130° + 100° = 230°。
【答案】
(1) 证明:如图1,连接AD并延长至点F.
∵ ∠FDC = ∠DAC + ∠C, ∠BDF = ∠B + ∠BAD,
∴ ∠FDC + ∠BDF = ∠DAC + ∠BAD + ∠C + ∠B,
即∠BDC = ∠BAC + ∠B + ∠C.
(2) ∠E=21°
(3) ∠A + ∠C + ∠D + ∠F=230°
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；飞镖角度模型
【点评】
本题围绕三角形角度计算的典型模型展开，从模型证明到拓展应用梯度清晰，解题的关键是熟练掌握三角形外角性质，学会通过添加辅助线构造熟悉的几何模型，将复杂的角度关系转化为已知模型的结论，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
7. (1)探究:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若∠B=30°,则∠ACD的度数是
(2)拓展:如图2,∠MCN=90°,射线CP在∠MCN的内部,点A,B分别在CM,CN上,分别过点A,B作AD⊥CP,BE⊥CP于点D,E.若∠CBE=70°,求∠CAD的度数.
(3)应用:如图3,点A,B分别在∠MCN的边CM,CN上,射线CP在∠MCN的内部,点D,E在射线CP上,连接AD,BE.若∠ADP=∠BEP=60°,求∠CAD + ∠CBE + ∠ACB的度数.
30°
.(2)拓展:如图2,∠MCN=90°,射线CP在∠MCN的内部,点A,B分别在CM,CN上,分别过点A,B作AD⊥CP,BE⊥CP于点D,E.若∠CBE=70°,求∠CAD的度数.
(3)应用:如图3,点A,B分别在∠MCN的边CM,CN上,射线CP在∠MCN的内部,点D,E在射线CP上,连接AD,BE.若∠ADP=∠BEP=60°,求∠CAD + ∠CBE + ∠ACB的度数.
答案
解:(1)30°
在△ABC中,∠ACB = 90°, ∠B = 30°,所以∠A = 60°,因为CD⊥AB,所以∠ADC = 90°,所以∠ACD = 90° - ∠A = 30°.
(2)因为BE⊥CP,所以∠BEC = 90°,
因为∠CBE = 70°,所以∠BCE = 90° - ∠CBE = 20°,
因为∠ACB = 90°,所以∠ACD = 90° - ∠BCE = 70°,
因为AD⊥CP,所以∠CAD = 90° - ∠ACD = 20°.
(3)因为∠ADP是△ACD的外角,
所以∠ADP = ∠ACD + ∠CAD = 60°,
同理,∠BEP = ∠BCE + ∠CBE = 60°,
所以∠CAD + ∠CBE + ∠ACB = ∠CAD + ∠CBE + ∠ACD + ∠BCE = (∠CAD + ∠ACD) + (∠CBE + ∠BCE) = 120°.
在△ABC中,∠ACB = 90°, ∠B = 30°,所以∠A = 60°,因为CD⊥AB,所以∠ADC = 90°,所以∠ACD = 90° - ∠A = 30°.
(2)因为BE⊥CP,所以∠BEC = 90°,
因为∠CBE = 70°,所以∠BCE = 90° - ∠CBE = 20°,
因为∠ACB = 90°,所以∠ACD = 90° - ∠BCE = 70°,
因为AD⊥CP,所以∠CAD = 90° - ∠ACD = 20°.
(3)因为∠ADP是△ACD的外角,
所以∠ADP = ∠ACD + ∠CAD = 60°,
同理,∠BEP = ∠BCE + ∠CBE = 60°,
所以∠CAD + ∠CBE + ∠ACB = ∠CAD + ∠CBE + ∠ACD + ∠BCE = (∠CAD + ∠ACD) + (∠CBE + ∠BCE) = 120°.
解析
【分析】
(1) 先根据直角三角形两锐角互余，结合△ABC中∠ACB=90°、∠B=30°求出∠A的度数，再由CD⊥AB得到△ACD为直角三角形，再次利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ACD的度数。
(2) 先由BE⊥CP得到△BEC是直角三角形，结合∠CBE的度数求出∠BCE的度数，再根据∠MCN=90°求出∠ACD的度数，最后由AD⊥CP得到△ADC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAD的度数。
(3) 利用三角形外角的性质，将∠ADP转化为∠CAD与∠ACD的和，∠BEP转化为∠CBE与∠BCE的和，再将∠ACB拆分为∠ACD与∠BCE的和，整体代入后即可求出所求角度的和。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，所以∠A = 180°-90°-30°=60°，因为CD⊥AB，所以∠ADC = 90°，所以∠ACD = 90° - ∠A = 90°-60°=30°。
(2) 因为BE⊥CP，所以∠BEC = 90°，因为∠CBE = 70°，所以∠BCE = 90° - ∠CBE = 90°-70°=20°，因为∠MCN = 90°，所以∠ACD = 90° - ∠BCE = 90°-20°=70°，因为AD⊥CP，所以∠ADC=90°，所以∠CAD = 90° - ∠ACD = 90°-70°=20°。
(3) 因为∠ADP是△ACD的外角，所以∠ADP = ∠ACD + ∠CAD = 60°，同理，∠BEP是△BCE的外角，所以∠BEP = ∠BCE + ∠CBE = 60°，所以∠CAD + ∠CBE + ∠ACB = ∠CAD + ∠CBE + ∠ACD + ∠BCE = (∠CAD + ∠ACD) + (∠CBE + ∠BCE) = 60°+60°=120°。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) $\boxed{20°}$；(3) $\boxed{120°}$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 三角形外角的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题梯度设置合理，从基础探究到拓展应用，全面考查三角形角度计算的核心方法，解题时需要灵活运用性质定理，通过转化思想建立已知和未知角度的关联，能有效提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据直角三角形两锐角互余，结合△ABC中∠ACB=90°、∠B=30°求出∠A的度数，再由CD⊥AB得到△ACD为直角三角形，再次利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ACD的度数。
(2) 先由BE⊥CP得到△BEC是直角三角形，结合∠CBE的度数求出∠BCE的度数，再根据∠MCN=90°求出∠ACD的度数，最后由AD⊥CP得到△ADC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAD的度数。
(3) 利用三角形外角的性质，将∠ADP转化为∠CAD与∠ACD的和，∠BEP转化为∠CBE与∠BCE的和，再将∠ACB拆分为∠ACD与∠BCE的和，整体代入后即可求出所求角度的和。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，所以∠A = 180°-90°-30°=60°，因为CD⊥AB，所以∠ADC = 90°，所以∠ACD = 90° - ∠A = 90°-60°=30°。
(2) 因为BE⊥CP，所以∠BEC = 90°，因为∠CBE = 70°，所以∠BCE = 90° - ∠CBE = 90°-70°=20°，因为∠MCN = 90°，所以∠ACD = 90° - ∠BCE = 90°-20°=70°，因为AD⊥CP，所以∠ADC=90°，所以∠CAD = 90° - ∠ACD = 90°-70°=20°。
(3) 因为∠ADP是△ACD的外角，所以∠ADP = ∠ACD + ∠CAD = 60°，同理，∠BEP是△BCE的外角，所以∠BEP = ∠BCE + ∠CBE = 60°，所以∠CAD + ∠CBE + ∠ACB = ∠CAD + ∠CBE + ∠ACD + ∠BCE = (∠CAD + ∠ACD) + (∠CBE + ∠BCE) = 60°+60°=120°。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) $\boxed{20°}$；(3) $\boxed{120°}$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 三角形外角的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题梯度设置合理，从基础探究到拓展应用，全面考查三角形角度计算的核心方法，解题时需要灵活运用性质定理，通过转化思想建立已知和未知角度的关联，能有效提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
