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1. ▶一题多解 [2025芜湖期中]如图,在$△ ABC$中,沿图中虚线剪去$∠ C$,若$∠ 1 + ∠ 2 = 260°$,则$∠ C$的度数为
80°
. 答案
∵ ∠1 = ∠C + ∠DEC, ∠2 = ∠C + ∠EDC,
∴ ∠1 + ∠2 = ∠C + ∠DEC + ∠EDC + ∠C.
∵ ∠C + ∠DEC + ∠EDC = 180°,
∴ ∠1 + ∠2 = ∠C + 180°,
∴ ∠C = 260° - 180° = 80°.
秒解 由“A”字型,可知∠1 + ∠2 = 180° + ∠C,所以∠C = ∠1 + ∠2 - 180° = 260° - 180° = 80°.
解析
【分析】
要求∠C的度数，已知∠1+∠2=260°，可先结合三角形外角性质分析∠1、∠2与△CDE内角的关系：∠1、∠2都是△CDE的外角，外角等于不相邻两个内角的和，由此可写出∠1、∠2的表达式；再结合三角形内角和为180°，就能建立∠1+∠2与∠C的等量关系，代入数值即可求出∠C，也可直接用“A”字型角度模型快速计算。
【解析】
方法一：
∵ ∠1是△CDE的外角，
∴ ∠1 = ∠C + ∠DEC，
同理∠2是△CDE的外角，
∴ ∠2 = ∠C + ∠EDC，
两式相加得：∠1 + ∠2 = ∠C + ∠DEC + ∠EDC + ∠C，
∵ 在△CDE中，∠C + ∠DEC + ∠EDC = 180°（三角形内角和为180°），
∴ ∠1 + ∠2 = ∠C + 180°，
代入∠1 + ∠2 = 260°，得∠C = 260° - 180° = 80°。
方法二：
由三角形“A”字型角度模型可知：∠1 + ∠2 = 180° + ∠C，
代入∠1 + ∠2 = 260°，得∠C = 260° - 180° = 80°。
【答案】80°
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，A字模型
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，既可以通过基础定理逐步推导，也可以借助常用几何模型快速求解，熟练掌握基础定理和常见几何模型能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要求∠C的度数，已知∠1+∠2=260°，可先结合三角形外角性质分析∠1、∠2与△CDE内角的关系：∠1、∠2都是△CDE的外角，外角等于不相邻两个内角的和，由此可写出∠1、∠2的表达式；再结合三角形内角和为180°，就能建立∠1+∠2与∠C的等量关系，代入数值即可求出∠C，也可直接用“A”字型角度模型快速计算。
【解析】
方法一：
∵ ∠1是△CDE的外角，
∴ ∠1 = ∠C + ∠DEC，
同理∠2是△CDE的外角，
∴ ∠2 = ∠C + ∠EDC，
两式相加得：∠1 + ∠2 = ∠C + ∠DEC + ∠EDC + ∠C，
∵ 在△CDE中，∠C + ∠DEC + ∠EDC = 180°（三角形内角和为180°），
∴ ∠1 + ∠2 = ∠C + 180°，
代入∠1 + ∠2 = 260°，得∠C = 260° - 180° = 80°。
方法二：
由三角形“A”字型角度模型可知：∠1 + ∠2 = 180° + ∠C，
代入∠1 + ∠2 = 260°，得∠C = 260° - 180° = 80°。
【答案】80°
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，A字模型
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，既可以通过基础定理逐步推导，也可以借助常用几何模型快速求解，熟练掌握基础定理和常见几何模型能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
2. [2026长春一模]如图,在$△ ABC$中,点D,E分别在边AB,AC上.若$∠ A = 40°$,则$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4$等于
280°
.答案
因为∠A + ∠1 + ∠2 = 180°①, ∠A + ∠3 + ∠4 = 180°②,① + ②,得2∠A + ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°,所以∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360° - 2∠A = 280°.
解析
【分析】
观察图形可发现图中有两个均包含∠A的三角形：△AED和△ABC。我们可以利用三角形内角和为180°的性质，分别在两个三角形中列出内角和等式，再将两个等式合并，代入已知的∠A的度数，就能求出∠1+∠2+∠3+∠4的总和。
【解析】
根据三角形内角和定理：
在$△ AED$中，$∠ A + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$ ①
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ 3 + ∠ 4 = 180°$ ②
将①+②，可得：$2∠ A + ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 360°$
已知$∠ A=40°$，代入式子计算：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 360° - 2×40° = 280°$
【答案】
$280°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题核心是找到含公共角的两个三角形，借助三角形内角和定理建立角度关系即可求解，解题逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
观察图形可发现图中有两个均包含∠A的三角形：△AED和△ABC。我们可以利用三角形内角和为180°的性质，分别在两个三角形中列出内角和等式，再将两个等式合并，代入已知的∠A的度数，就能求出∠1+∠2+∠3+∠4的总和。
【解析】
根据三角形内角和定理：
在$△ AED$中，$∠ A + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$ ①
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ 3 + ∠ 4 = 180°$ ②
将①+②，可得：$2∠ A + ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 360°$
已知$∠ A=40°$，代入式子计算：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 360° - 2×40° = 280°$
【答案】
$280°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题核心是找到含公共角的两个三角形，借助三角形内角和定理建立角度关系即可求解，解题逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
3. ▶一题多解 如图是由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形,若∠D=28°,则∠A + ∠B + ∠C + ∠F的度数为
208°
。答案
通解
∵ ∠BED = ∠F + ∠B = ∠D + ∠EGD,
∴ ∠EGD = ∠F + ∠B - ∠D,又
∵ ∠CGE = ∠C + ∠A, ∠CGE + ∠EGD = 180°,
∴ ∠C + ∠A + ∠F + ∠B - ∠D = 180°,
∴ ∠A + ∠B + ∠C + ∠F = 180° + 28° = 208°.
另解 由“8”字型可知,∠F + ∠B = ∠D + ∠EGD, ∠A + ∠C = ∠D + ∠GED,
∴ ∠A + ∠B + ∠C + ∠F = ∠D + (∠EGD + ∠D + ∠GED) = 28° + 180° = 208°.
∵ ∠BED = ∠F + ∠B = ∠D + ∠EGD,
∴ ∠EGD = ∠F + ∠B - ∠D,又
∵ ∠CGE = ∠C + ∠A, ∠CGE + ∠EGD = 180°,
∴ ∠C + ∠A + ∠F + ∠B - ∠D = 180°,
∴ ∠A + ∠B + ∠C + ∠F = 180° + 28° = 208°.
另解 由“8”字型可知,∠F + ∠B = ∠D + ∠EGD, ∠A + ∠C = ∠D + ∠GED,
∴ ∠A + ∠B + ∠C + ∠F = ∠D + (∠EGD + ∠D + ∠GED) = 28° + 180° = 208°.
解析
【分析】
要求∠A+∠B+∠C+∠F的度数，观察图形可知这四个角分散在不同的三角形中，我们可以利用三角形外角的性质，将分散的角转化为存在数量关系的角。首先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，再结合邻补角和为180°的性质，将已知的∠D代入，即可求出四个角的和。
【解析】
解：根据三角形外角的性质：
∵ ∠BED是△BEF的外角，
∴ ∠BED = ∠B + ∠F；
同时∠BED也是△DEG的外角，
∴ ∠BED = ∠D + ∠EGD；
∴ 可得∠B + ∠F = ∠D + ∠EGD，即∠EGD = ∠B + ∠F - ∠D。
又
∵ ∠CGE是△ACG的外角，
∴ ∠CGE = ∠A + ∠C。
∵ ∠CGE与∠EGD互为邻补角，
∴ ∠CGE + ∠EGD = 180°。
将上面两个式子代入得：∠A + ∠C + ∠B + ∠F - ∠D = 180°。
已知∠D=28°，代入得：
∠A + ∠B + ∠C + ∠F = 180° + ∠D = 180° + 28° = 208°。
【答案】
208°
【知识点】
1.三角形外角的性质 2.邻补角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题核心是利用三角形外角的性质将分散的待求角集中，再结合邻补角的和为180°建立等量关系，也可通过“8字型”角度模型快速转化角度，整体方法灵活，侧重对角度转化能力的考查。
【难度系数】
0.65
要求∠A+∠B+∠C+∠F的度数，观察图形可知这四个角分散在不同的三角形中，我们可以利用三角形外角的性质，将分散的角转化为存在数量关系的角。首先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，再结合邻补角和为180°的性质，将已知的∠D代入，即可求出四个角的和。
【解析】
解：根据三角形外角的性质：
∵ ∠BED是△BEF的外角，
∴ ∠BED = ∠B + ∠F；
同时∠BED也是△DEG的外角，
∴ ∠BED = ∠D + ∠EGD；
∴ 可得∠B + ∠F = ∠D + ∠EGD，即∠EGD = ∠B + ∠F - ∠D。
又
∵ ∠CGE是△ACG的外角，
∴ ∠CGE = ∠A + ∠C。
∵ ∠CGE与∠EGD互为邻补角，
∴ ∠CGE + ∠EGD = 180°。
将上面两个式子代入得：∠A + ∠C + ∠B + ∠F - ∠D = 180°。
已知∠D=28°，代入得：
∠A + ∠B + ∠C + ∠F = 180° + ∠D = 180° + 28° = 208°。
【答案】
208°
【知识点】
1.三角形外角的性质 2.邻补角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题核心是利用三角形外角的性质将分散的待求角集中，再结合邻补角的和为180°建立等量关系，也可通过“8字型”角度模型快速转化角度，整体方法灵活，侧重对角度转化能力的考查。
【难度系数】
0.65
4. [2026 蚌埠六中期中] 如图1,已知线段AB,CD相交于点O,连接AD,CB,我们把形如图1的图形称为“8”字形.试解答下列问题:
(1)在图1中,直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系.
(2)如图2,在(1)的结论下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD,AB分别相交于点M,N.
①仔细观察,在图2中有
②若∠D = 40°, ∠B = 36°, 试求∠P的度数；
③∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试直接写出∠P与∠D,∠B之间的数量关系,不需说明理由.
(1)在图1中,直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系.
(2)如图2,在(1)的结论下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD,AB分别相交于点M,N.
①仔细观察,在图2中有
3
个以线段AD为边的“8”字形；②若∠D = 40°, ∠B = 36°, 试求∠P的度数；
③∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试直接写出∠P与∠D,∠B之间的数量关系,不需说明理由.
答案
(1)∠A + ∠D = ∠B + ∠C.
∵ ∠A + ∠D + ∠AOD = 180°, ∠C + ∠B + ∠BOC = 180°, ∠AOD = ∠BOC,
∴ ∠A + ∠D = ∠B + ∠C.
(2)①3
②如图,
∵ ∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,
∴ ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.
∵ ∠1 + ∠D = ∠3 + ∠P, ∠2 + ∠P = ∠4 + ∠B,
∴ ∠D - ∠P = ∠P - ∠B,
即∠P = 1/2(∠D + ∠B).
∵ ∠D = 40°, ∠B = 36°,
∴ ∠P = 1/2 × (40° + 36°) = 38°.
③∠P = 1/2(∠D + ∠B).
解析
【分析】
(1) 观察到∠A、∠D在△AOD中，∠B、∠C在△BOC中，根据三角形内角和为180°，结合两个三角形的对顶角∠AOD=∠BOC，消去相等的角即可得到四个角的数量关系。
(2) ①先明确“8”字形的结构：两条线段相交，形成含公共对顶角的两个三角形，按定义逐一排查以AD为边的“8”字形即可计数。
②首先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再利用(1)中“8”字形的角度关系，分别在含∠D、∠P和含∠P、∠B的“8”字形中列等式，联立消去相等的角即可得到∠P与∠D、∠B的关系，代入已知角度计算即可。
③由②的推导过程，去掉具体角度取值，即可得到任意∠D、∠B下的通用数量关系。
【解析】
(1) 在△AOD中，$∠ A + ∠ D + ∠ AOD = 180°$，在△BOC中，$∠ C + ∠ B + ∠ BOC = 180°$，
∵ ∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴ $∠ AOD = ∠ BOC$，
∴ $∠ A + ∠ D = ∠ B + ∠ C$。
(2) ① 根据“8”字形的定义，以AD为边的“8”字形共有3个。
② 如图，
∵ ∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴ $∠ 1 = ∠ 2$，$∠ 3 = ∠ 4$。
根据(1)的“8”字形角度关系：
交点为M的“8”字形中，$∠ 1 + ∠ D = ∠ 3 + ∠ P$，
交点为N的“8”字形中，$∠ 2 + ∠ P = ∠ 4 + ∠ B$，
两式相减，代入$∠ 1=∠ 2$、$∠ 3=∠ 4$，可得$∠ D - ∠ P = ∠ P - ∠ B$，
即$∠ P = \frac{1}{2}(∠ D + ∠ B)$。
将$∠ D=40°$，$∠ B=36°$代入得：$∠ P = \frac{1}{2} × (40° + 36°) = 38°$。
③ 由②的推导可得通用关系：$∠ P = \frac{1}{2}(∠ D + ∠ B)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ A + ∠ D = ∠ B + ∠ C}$
(2) ① $\boldsymbol{3}$
② $\boldsymbol{38°}$
③ $\boldsymbol{∠ P = \dfrac{1}{2}(∠ D + ∠ B)}$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义
【点评】
本题以“8”字形角度模型为载体，考查三角形相关性质的综合应用，解题核心是熟练掌握“8”字形的角度等量关系，通过联立等式推导未知角与已知角的联系，同时锻炼了从特殊到一般的规律归纳能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察到∠A、∠D在△AOD中，∠B、∠C在△BOC中，根据三角形内角和为180°，结合两个三角形的对顶角∠AOD=∠BOC，消去相等的角即可得到四个角的数量关系。
(2) ①先明确“8”字形的结构：两条线段相交，形成含公共对顶角的两个三角形，按定义逐一排查以AD为边的“8”字形即可计数。
②首先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再利用(1)中“8”字形的角度关系，分别在含∠D、∠P和含∠P、∠B的“8”字形中列等式，联立消去相等的角即可得到∠P与∠D、∠B的关系，代入已知角度计算即可。
③由②的推导过程，去掉具体角度取值，即可得到任意∠D、∠B下的通用数量关系。
【解析】
(1) 在△AOD中，$∠ A + ∠ D + ∠ AOD = 180°$，在△BOC中，$∠ C + ∠ B + ∠ BOC = 180°$，
∵ ∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴ $∠ AOD = ∠ BOC$，
∴ $∠ A + ∠ D = ∠ B + ∠ C$。
(2) ① 根据“8”字形的定义，以AD为边的“8”字形共有3个。
② 如图，
∵ ∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴ $∠ 1 = ∠ 2$，$∠ 3 = ∠ 4$。
根据(1)的“8”字形角度关系：
交点为M的“8”字形中，$∠ 1 + ∠ D = ∠ 3 + ∠ P$，
交点为N的“8”字形中，$∠ 2 + ∠ P = ∠ 4 + ∠ B$，
两式相减，代入$∠ 1=∠ 2$、$∠ 3=∠ 4$，可得$∠ D - ∠ P = ∠ P - ∠ B$，
即$∠ P = \frac{1}{2}(∠ D + ∠ B)$。
将$∠ D=40°$，$∠ B=36°$代入得：$∠ P = \frac{1}{2} × (40° + 36°) = 38°$。
③ 由②的推导可得通用关系：$∠ P = \frac{1}{2}(∠ D + ∠ B)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ A + ∠ D = ∠ B + ∠ C}$
(2) ① $\boldsymbol{3}$
② $\boldsymbol{38°}$
③ $\boldsymbol{∠ P = \dfrac{1}{2}(∠ D + ∠ B)}$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义
【点评】
本题以“8”字形角度模型为载体，考查三角形相关性质的综合应用，解题核心是熟练掌握“8”字形的角度等量关系，通过联立等式推导未知角与已知角的联系，同时锻炼了从特殊到一般的规律归纳能力。
【难度系数】
0.7
