1. 求三角形内角平分线的夹角 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=52°$,$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$D_1$,$∠ ABD_1$与$∠ ACD_1$的平分线交于点$D_2$,依次类推,$∠ ABD_4$与$∠ ACD_4$的平分线交于点$D_5$,则$∠ BD_5C$的度数是 ()


A.$60°$
B.$56°$
C.$94°$
D.$68°$

1 B

∵ ∠A = 52°,
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - 52° = 128°.又
∵ ∠ABC与∠ACB的平分线交于点D₁,
∴ ∠ABD₁ = ∠CBD₁ = 1/2∠ABC,∠ACD₁ = ∠BCD₁ = 1/2∠ACB,
∴ ∠BD₁C = 180° - 1/2(∠ABC + ∠ACB) = 180° - 64° = 116°. 同理得∠BD₂C = 180° - 3/4(∠ABC + ∠ACB) = 180° - 96° = 84°,依次类推,得∠BDₙC = 180° - (2ⁿ - 1)/2ⁿ (∠ABC + ∠ACB),
∴ ∠BD₅C = 180° - 31/32 × 128° = 56°.

【分析】
已知∠A的度数，首先根据三角形内角和为180°，可求出∠ABC+∠ACB的和；再结合角平分线的定义，依次计算前两个交点$D_1$、$D_2$对应的$∠BD_1C$、$∠BD_2C$的度数，归纳出$∠BD_nC$的通用规律公式，最后将n=5代入公式即可求出$∠BD_5C$的度数。
【解析】
解：
∵ $∠A = 52°$，
∴ $∠ABC + ∠ACB = 180° - 52° = 128°$。
∵ $∠ABC$与$∠ACB$的平分线交于点$D_1$，
∴ $∠ABD_1 = ∠CBD_1 = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠ACD_1 = ∠BCD_1 = \frac{1}{2}∠ACB$，
∴ $∠BD_1C = 180° - \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB) = 180° - \frac{1}{2}×128° = 116°$。
同理，$∠ABD_1$与$∠ACD_1$的平分线交于点$D_2$，可得：
$∠BD_2C = 180° - \frac{3}{4}(∠ABC + ∠ACB) = 180° - \frac{3}{4}×128° = 84°$。
依此类推，可总结规律：$∠BD_nC = 180° - \frac{2^n - 1}{2^n}×(∠ABC + ∠ACB)$。
当n=5时：
$∠BD_5C = 180° - \frac{2^5 - 1}{2^5}×128° = 180° - \frac{31}{32}×128° = 180° - 124° = 56°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；规律探究
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线的综合题，需要通过计算前几次的夹角归纳出通用规律，再代入数值求解，考查了学生的逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6

2. 求三角形内、外角平分线的夹角 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 96°$，延长$BC$至点$D$，$∠ ABC$与$∠ ACD$的平分线相交于点$A_1$，$∠ A_1BC$与$∠ A_1CD$的平分线相交于点$A_2$，依次类推，$∠ A_4BC$与$∠ A_4CD$的平分线相交于点$A_5$，则$∠ A_5$的度数为（）


A.$3°$
B.$6°$
C.$19.2°$
D.$24°$

2 A

∵ ∠A₁ + ∠A₁BC = ∠A₁CD,2∠A₁CD = ∠ACD = ∠A + ∠ABC,
∴ 2(∠A₁ + ∠A₁BC) = ∠A + ∠ABC,即2∠A₁ + 2∠A₁BC = ∠A + ∠ABC.
∵ 2∠A₁BC = ∠ABC,
∴ ∠A₁ = 1/2∠A. 同理得∠A₂ = 1/2∠A₁ = 1/2²∠A,∠A₃ = 1/2∠A₂ = 1/2³∠A,…,∠Aₙ = 1/2ⁿ∠A,
∴ ∠A₅ = 1/2⁵∠A = 3°.

【分析】
解题时首先利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合角平分线的定义，先推导出∠A₁与∠A的数量关系，再以此类推，归纳出∠Aₙ和∠A的通用规律，最后将n=5、∠A=96°代入规律式计算即可得到∠A₅的度数。
【解析】
解：根据三角形外角的性质可得：
$∠ A_1 + ∠ A_1BC = ∠ A_1CD$ ①
$2∠ A_1CD = ∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$ ②
将①代入②得：$2(∠ A_1 + ∠ A_1BC) = ∠ A + ∠ ABC$，
展开得$2∠ A_1 + 2∠ A_1BC = ∠ A + ∠ ABC$，
∵$BA_1$是$∠ ABC$的平分线，
∴$2∠ A_1BC = ∠ ABC$，
代入上式化简得：$∠ A_1 = \frac{1}{2}∠ A$。
同理可得：$∠ A_2 = \frac{1}{2}∠ A_1 = \frac{1}{2^2}∠ A$，
$∠ A_3 = \frac{1}{2}∠ A_2 = \frac{1}{2^3}∠ A$，
……
由此归纳通用规律：$∠ A_n = \frac{1}{2^n}∠ A$。
当n=5时，$∠ A_5 = \frac{1}{2^5} × 96° = 3°$。
【答案】A
【知识点】
三角形外角性质，角平分线定义，规律探究
【点评】
本题需要结合三角形外角性质和角平分线的定义推导相邻两个角的数量关系，再归纳出一般规律求解，解题的核心是准确找到第一个衍生角与原三角形顶角的倍数关系，这类题型掌握规律后可快速求解。
【难度系数】
0.7

3. 求三角形（其中一个内角的大小在变化）外角平分线的夹角 如图1，BP，CP分别是$△ ABC$的外角$∠ CBD$，$∠ BCE$的平分线，$BQ$，$CQ$分别是$∠ PBC$，$∠ PCB$的平分线，$BM$，$CN$分别是$∠ PBD$，$∠ PCE$的平分线，$∠ BAC = α$.
(1)当$α = 40°$时，$∠ BPC =$$°$，$∠ BQC =$$°$；
(2)如图2，当$α = 120°$时，$BM$，$CN$所在直线交于点$O$，求$∠ BOC$的度数；
(3)在$α ＞ 60°$的条件下，直接写出$∠ BPC$，$∠ BQC$，$∠ BOC$之间的数量关系：.

3 解:(1)70 125
∵ BP平分∠CBD,CP平分∠BCE,
∴ ∠CBP = 1/2∠CBD,∠BCP = 1/2∠BCE,
∴ ∠BPC = 180° - ∠CBP - ∠BCP = 180° - 1/2(∠CBD + ∠BCE) = 180° - 1/2(∠BAC + ∠ACB + ∠BAC + ∠ABC) = 180° - 1/2(180° + α) = 70°.
∵ BQ平分∠PBC,CQ平分∠PCB,
∴ ∠CBQ = 1/2∠CBP,∠BCQ = 1/2∠BCP,
∴ ∠BQC = 180° - ∠CBQ - ∠BCQ = 180° - 1/2(∠CBP + ∠BCP) = 180° - 1/2(180° - ∠BPC) = 125°.
(2)由题意,得∠MBC = 3/4∠DBC,∠NCB = 3/4∠BCE.
∵ α = 120°,
∴ ∠MBC + ∠NCB = 3/4(∠DBC + ∠BCE) = 3/4(∠ACB + α + ∠ABC + α) = 3/4(180° + α) = 225°,
∴ ∠BOC = 225° - 180° = 45°.
(3)∠BPC + ∠BQC + ∠BOC = 180°

【分析】
解题思路如下：
(1) 求∠BPC：首先利用三角形外角性质，可得△ABC的两个外角∠CBD、∠BCE的和等于$180°+∠ BAC$，再结合角平分线定义，得到$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ CBD+∠ BCE)$，最后用三角形内角和$180°$减去这两个角的和即可算出∠BPC；求∠BQC同理，BQ、CQ是∠PBC、∠PCB的平分线，先计算$∠ QBC+∠ QCB=\frac{1}{2}(∠ PBC+∠ PCB)$，再用内角和公式计算∠BQC。
(2) 求∠BOC：先根据角平分线的等分关系，推出$∠ MBC=\frac{3}{4}∠ CBD$，$∠ NCB=\frac{3}{4}∠ BCE$，算出两角之和后，再利用三角形内角和即可得到∠BOC的度数。
(3) 推导数量关系：先分别用含$α$的表达式表示∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加化简，即可得到三个角的数量关系。
【解析】
(1) $\because$ BP平分$∠ CBD$，CP平分$∠ BCE$，
$\therefore ∠ CBP = \frac{1}{2}∠ CBD$，$∠ BCP = \frac{1}{2}∠ BCE$，
$\because ∠ CBD=∠ BAC+∠ ACB$，$∠ BCE=∠ BAC+∠ ABC$，$∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC=180°$，
$\therefore ∠ CBD+∠ BCE=∠ BAC+∠ ACB+∠ BAC+∠ ABC=180°+α$，
$\therefore ∠ BPC = 180° - ∠ CBP - ∠ BCP = 180° - \frac{1}{2}(∠ CBD + ∠ BCE) = 180° - \frac{1}{2}(180° + α)$，
当$α=40°$时，$∠ BPC=180°-\frac{1}{2}×(180°+40°)=70°$；
$\because$ BQ平分$∠ PBC$，CQ平分$∠ PCB$，
$\therefore ∠ CBQ = \frac{1}{2}∠ CBP$，$∠ BCQ = \frac{1}{2}∠ BCP$，
$\therefore ∠ CBQ+∠ BCQ=\frac{1}{2}(∠ CBP+∠ BCP)=\frac{1}{2}×(180°-∠ BPC)=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$，
$\therefore ∠ BQC = 180° - (∠ CBQ + ∠ BCQ) = 180°-55°=125°$。
(2) $\because$ BM是$∠ PBD$的平分线，BP平分$∠ CBD$，
$\therefore ∠ PBM=\frac{1}{2}∠ PBD=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}∠ CBD)=\frac{1}{4}∠ CBD$，
$\therefore ∠ MBC=∠ CBD - ∠ DBM=∠ CBD - \frac{1}{4}∠ CBD=\frac{3}{4}∠ CBD$，
同理可得$∠ NCB=\frac{3}{4}∠ BCE$，
当$α=120°$时，$∠ CBD+∠ BCE=180°+α=180°+120°=300°$，
$\therefore ∠ MBC + ∠ NCB = \frac{3}{4}(∠ DBC + ∠ BCE) = \frac{3}{4}×300°=225°$，
在$△ OBC$中，$∠ BOC=∠ MBC+∠ NCB - 180°=225°-180°=45°$。
(3) 由上述推导可得：
$∠ BPC=90°-\frac{α}{2}$，$∠ BQC=135°-\frac{α}{4}$，$∠ BOC=\frac{3α}{4} -45°$，
$\therefore ∠ BPC+∠ BQC+∠ BOC=(90°-\frac{α}{2})+(135°-\frac{α}{4})+(\frac{3α}{4} -45°)=180°$。
【答案】
(1) $\boxed{70}$，$\boxed{125}$；(2) $\boxed{45°}$；(3) $\boxed{∠ BPC + ∠ BQC + ∠ BOC = 180°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查角度相关计算，核心是结合角平分线的性质和三角形内外角的关系推导通用角度表达式，再代入数值或化简得到结论，有助于锻炼角度推导和逻辑运算能力。
【难度系数】
0.6