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10. [2026安庆期中]如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形一定是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.直角三角形或锐角三角形
D.钝角三角形
D
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.直角三角形或锐角三角形
D.钝角三角形
答案
10 D 因为三角形的一个外角小于和它相邻的内角,所以该外角小于90度,即与它相邻的内角大于90度,所以这个三角形为钝角三角形.
解析
【分析】
拿到本题首先明确已知条件：三角形的一个外角小于和它相邻的内角。首先回忆三角形外角与相邻内角的关系：二者互为邻补角，和为180°。接下来根据两个角的大小关系，可推导出相邻内角的取值范围，最后结合三角形按角分类的标准，即可判断三角形的类型。
【解析】
∵ 三角形的一个外角和与它相邻的内角互为邻补角，
∴ 该外角 + 相邻内角 = 180°，
由题知该外角 ＜ 相邻内角，
代入得：180° - 相邻内角 ＜ 相邻内角，
解得：相邻内角 ＞ 90°，即这个三角形有一个内角为钝角，
根据三角形分类的规则，有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质；三角形的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对三角形外角和相邻内角关系的掌握，只要熟练掌握邻补角的性质以及三角形按角分类的标准，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先明确已知条件：三角形的一个外角小于和它相邻的内角。首先回忆三角形外角与相邻内角的关系：二者互为邻补角，和为180°。接下来根据两个角的大小关系，可推导出相邻内角的取值范围，最后结合三角形按角分类的标准，即可判断三角形的类型。
【解析】
∵ 三角形的一个外角和与它相邻的内角互为邻补角，
∴ 该外角 + 相邻内角 = 180°，
由题知该外角 ＜ 相邻内角，
代入得：180° - 相邻内角 ＜ 相邻内角，
解得：相邻内角 ＞ 90°，即这个三角形有一个内角为钝角，
根据三角形分类的规则，有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质；三角形的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对三角形外角和相邻内角关系的掌握，只要熟练掌握邻补角的性质以及三角形按角分类的标准，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
11. [2026阜阳期中]如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，若∠A=80°，则∠P的度数是（
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
D
）A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
答案
11 D
∵ BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角的平分线,
∴ ∠ABC = 2∠PBC,∠ACM = 2∠PCM.
∵ ∠ACM = ∠A + 2∠PBC,∠PCM = ∠P + ∠PBC,
∴ ∠A + 2∠PBC = 2∠P + 2∠PBC,
∴ ∠A = 2∠P. 又
∵ ∠A = 80°,
∴ ∠P = 40°.
∵ BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角的平分线,
∴ ∠ABC = 2∠PBC,∠ACM = 2∠PCM.
∵ ∠ACM = ∠A + 2∠PBC,∠PCM = ∠P + ∠PBC,
∴ ∠A + 2∠PBC = 2∠P + 2∠PBC,
∴ ∠A = 2∠P. 又
∵ ∠A = 80°,
∴ ∠P = 40°.
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路推导：首先根据角平分线的定义，得到角平分线拆分出的小角与原角的倍数关系；再利用三角形外角的性质，分别表示出△ABC的外角∠ACM和△PBC的外角∠PCM；最后将角平分线的倍数关系代入外角的等式中，消去公共的中间角，就能推导出∠P和已知角∠A的数量关系，代入∠A的度数即可求出∠P的大小。
【解析】
∵ BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，
∴ ∠ABC = 2∠PBC，∠ACM = 2∠PCM。
根据三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）可得：
∠ACM = ∠A + ∠ABC = ∠A + 2∠PBC，
∠PCM = ∠P + ∠PBC。
将∠ACM=2∠PCM代入上述两个式子，可得：
∠A + 2∠PBC = 2(∠P + ∠PBC)，
展开化简得：∠A + 2∠PBC = 2∠P + 2∠PBC，
消去等式两边相同的2∠PBC，得∠A = 2∠P。
已知∠A = 80°，
∴ ∠P = ½∠A = ½×80° = 40°。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义、三角形外角的性质、角度运算
【点评】
本题是三角形双角平分线的典型模型题，核心是结合角平分线性质和三角形外角性质，建立已知角与未知角的联系，消去中间角即可快速得到结果，熟练掌握该模型可提升同类角度计算问题的解题效率。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按以下思路推导：首先根据角平分线的定义，得到角平分线拆分出的小角与原角的倍数关系；再利用三角形外角的性质，分别表示出△ABC的外角∠ACM和△PBC的外角∠PCM；最后将角平分线的倍数关系代入外角的等式中，消去公共的中间角，就能推导出∠P和已知角∠A的数量关系，代入∠A的度数即可求出∠P的大小。
【解析】
∵ BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，
∴ ∠ABC = 2∠PBC，∠ACM = 2∠PCM。
根据三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）可得：
∠ACM = ∠A + ∠ABC = ∠A + 2∠PBC，
∠PCM = ∠P + ∠PBC。
将∠ACM=2∠PCM代入上述两个式子，可得：
∠A + 2∠PBC = 2(∠P + ∠PBC)，
展开化简得：∠A + 2∠PBC = 2∠P + 2∠PBC，
消去等式两边相同的2∠PBC，得∠A = 2∠P。
已知∠A = 80°，
∴ ∠P = ½∠A = ½×80° = 40°。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义、三角形外角的性质、角度运算
【点评】
本题是三角形双角平分线的典型模型题，核心是结合角平分线性质和三角形外角性质，建立已知角与未知角的联系，消去中间角即可快速得到结果，熟练掌握该模型可提升同类角度计算问题的解题效率。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在$△ ABC$中,$E,F$分别是$AB,AC$上的点,且$EF// BC$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,分别交$EF,BC$于点$H,D$,则$∠ 1,∠ 2$和$∠ 3$之间的数量关系为（
A.$∠ 1=∠ 2+∠ 3$
B.$∠ 1=2∠ 2+∠ 3$
C.$∠ 1-∠ 2=∠ 2-∠ 3$
D.$∠ 1+∠ 2=2∠ 3$
C
）A.$∠ 1=∠ 2+∠ 3$
B.$∠ 1=2∠ 2+∠ 3$
C.$∠ 1-∠ 2=∠ 2-∠ 3$
D.$∠ 1+∠ 2=2∠ 3$
答案
12 C
∵ EF//BC,
∴ ∠B = ∠3.
∵ ∠1,∠2分别是△ABC和△ABD的外角,AD平分∠BAC,
∴ ∠1 = ∠BAC + ∠B = 2∠BAD + ∠3,∠2 = ∠BAD + ∠B = ∠BAD + ∠3,
∴ ∠1 = 2(∠2 - ∠3) + ∠3(消去∠BAD),整理,得∠1 = 2∠2 - ∠3,即∠1 - ∠2 = ∠2 - ∠3.
∵ EF//BC,
∴ ∠B = ∠3.
∵ ∠1,∠2分别是△ABC和△ABD的外角,AD平分∠BAC,
∴ ∠1 = ∠BAC + ∠B = 2∠BAD + ∠3,∠2 = ∠BAD + ∠B = ∠BAD + ∠3,
∴ ∠1 = 2(∠2 - ∠3) + ∠3(消去∠BAD),整理,得∠1 = 2∠2 - ∠3,即∠1 - ∠2 = ∠2 - ∠3.
解析
【分析】
解题时首先结合已知的平行条件，利用平行线的同位角相等得到∠3和∠B的等量关系；再结合角平分线的定义，得到∠BAC和∠BAD的倍数关系；接下来利用三角形外角的性质，分别将∠1和∠2用∠BAD、∠B表示，消去中间量∠BAD后即可推导得到三个角的数量关系。
【解析】
解：
∵ $EF//BC$，
∴ $∠B = ∠3$（两直线平行，同位角相等）。
∵ AD是$∠BAC$的平分线，
∴ $∠BAC = 2∠BAD$。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
可得$∠1$是$△ ABC$的外角，故$∠1 = ∠B + ∠BAC$，
$∠2$是$△ ABD$的外角，故$∠2 = ∠B + ∠BAD$。
将$∠B=∠3$、$∠BAC=2∠BAD$代入上述两式，得：
$∠1 = ∠3 + 2∠BAD$ ①，
$∠2 = ∠3 + ∠BAD$ ②。
由②得$∠BAD = ∠2 - ∠3$，代入①：
$∠1 = ∠3 + 2(∠2 - ∠3)$，
整理得$∠1 = 2∠2 - ∠3$，
移项可得$∠1 - ∠2 = ∠2 - ∠3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形相关性质的综合应用题，解题的核心是通过中间量建立三个待研究角的联系，消去中间量后即可得到角的数量关系，要求熟练掌握相关基础性质并灵活转化。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知的平行条件，利用平行线的同位角相等得到∠3和∠B的等量关系；再结合角平分线的定义，得到∠BAC和∠BAD的倍数关系；接下来利用三角形外角的性质，分别将∠1和∠2用∠BAD、∠B表示，消去中间量∠BAD后即可推导得到三个角的数量关系。
【解析】
解：
∵ $EF//BC$，
∴ $∠B = ∠3$（两直线平行，同位角相等）。
∵ AD是$∠BAC$的平分线，
∴ $∠BAC = 2∠BAD$。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
可得$∠1$是$△ ABC$的外角，故$∠1 = ∠B + ∠BAC$，
$∠2$是$△ ABD$的外角，故$∠2 = ∠B + ∠BAD$。
将$∠B=∠3$、$∠BAC=2∠BAD$代入上述两式，得：
$∠1 = ∠3 + 2∠BAD$ ①，
$∠2 = ∠3 + ∠BAD$ ②。
由②得$∠BAD = ∠2 - ∠3$，代入①：
$∠1 = ∠3 + 2(∠2 - ∠3)$，
整理得$∠1 = 2∠2 - ∠3$，
移项可得$∠1 - ∠2 = ∠2 - ∠3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形相关性质的综合应用题，解题的核心是通过中间量建立三个待研究角的联系，消去中间量后即可得到角的数量关系，要求熟练掌握相关基础性质并灵活转化。
【难度系数】
0.7
13. 如图，D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点，则∠D + ∠E + ∠F + ∠1 + ∠2 + ∠3 =
180
°。答案
13 180
∵ ∠D + ∠3 = ∠CAB,∠E + ∠1 = ∠ABC,∠F + ∠2 = ∠ACB,
∴ ∠D + ∠E + ∠F + ∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°.
∵ ∠D + ∠3 = ∠CAB,∠E + ∠1 = ∠ABC,∠F + ∠2 = ∠ACB,
∴ ∠D + ∠E + ∠F + ∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°.
解析
【分析】
我们可以利用三角形外角的性质将所求角的和进行转化：首先观察图形，△ABC的三个内角分别是相邻的三个小三角形的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可以把∠D+∠3、∠E+∠1、∠F+∠2分别对应转化为△ABC的三个内角，再结合三角形内角和定理即可求出最终的和。
【解析】
根据三角形外角的性质：
∠D + ∠3 = ∠CAB，
∠E + ∠1 = ∠ABC，
∠F + ∠2 = ∠ACB，
将三个等式左右两边同时相加，可得：
∠D + ∠E + ∠F + ∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠CAB + ∠ABC + ∠ACB，
由三角形内角和定理可知，△ABC的内角和为180°，即∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
因此∠D + ∠E + ∠F + ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°。
【答案】
180
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用转化思想，将分散的多个角的和转化为同一个三角形的内角和进行求解，熟练掌握三角形外角性质和内角和定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
我们可以利用三角形外角的性质将所求角的和进行转化：首先观察图形，△ABC的三个内角分别是相邻的三个小三角形的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可以把∠D+∠3、∠E+∠1、∠F+∠2分别对应转化为△ABC的三个内角，再结合三角形内角和定理即可求出最终的和。
【解析】
根据三角形外角的性质：
∠D + ∠3 = ∠CAB，
∠E + ∠1 = ∠ABC，
∠F + ∠2 = ∠ACB，
将三个等式左右两边同时相加，可得：
∠D + ∠E + ∠F + ∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠CAB + ∠ABC + ∠ACB，
由三角形内角和定理可知，△ABC的内角和为180°，即∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
因此∠D + ∠E + ∠F + ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°。
【答案】
180
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用转化思想，将分散的多个角的和转化为同一个三角形的内角和进行求解，熟练掌握三角形外角性质和内角和定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
14. [2025安庆大观区期中]如图,已知$△ ABC$,点$D,F$分别在边$AB,AC$上运动,$E$为平面上的一个动点.当$∠ DEF = ∠ A$且点$E$恰好在$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线的交点处时,$∠ 1 + ∠ 2 = 130°$,则$∠ BEC$的度数为
122.5°
.答案
14 122.5° 如图,连接AE,则∠1 = ∠DAE + ∠DEA,∠2 = ∠FAE + ∠FEA. 因为∠1 + ∠2 = 130°,所以∠DAE + ∠DEA + ∠FAE + ∠FEA = 130°,即∠DEF + ∠DAF = 130°. 因为∠DEF = ∠DAF,所以∠DEF = ∠DAF = 65°. 因为BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,所以∠EBC = 1/2∠ABC,∠ECB = 1/2∠ACB,所以∠BEC = 180° - (∠EBC + ∠ECB) = 180° - 1/2(∠ABC + ∠ACB) = 180° - 1/2(180° - ∠DAF) = 180° - 1/2×(180° - 65°) = 122.5°。
解析
【分析】
解题时首先观察到∠1、∠2分别为△ADE和△AEF的外角，可考虑利用三角形外角的性质，通过连接AE将∠1、∠2拆分为两个内角的和，结合已知∠1+∠2=130°与∠DEF=∠A，先求出∠A的度数；再根据E是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求出∠BEC的度数。
【解析】
如图，连接AE。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
∠1 = ∠DAE + ∠DEA，∠2 = ∠FAE + ∠FEA。
∵∠1 + ∠2 = 130°，
∴∠DAE + ∠DEA + ∠FAE + ∠FEA = 130°，
整理得：(∠DAE + ∠FAE) + (∠DEA + ∠FEA) = 130°，即∠BAC + ∠DEF = 130°。
又
∵∠DEF = ∠BAC，
∴2∠BAC = 130°，解得∠BAC = 65°。
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△BEC中，由三角形内角和为180°得：
∠BEC = 180° - (∠EBC + ∠ECB)
= 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC，代入上式得：
∠BEC = 180° - $\frac{1}{2}$(180° - 65°)
= 180° - $\frac{1}{2}$×115°
= 180° - 57.5°
= 122.5°
【答案】
122.5°
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了三角形角度相关的核心性质，解题的突破口是添加辅助线AE，将已知的∠1+∠2的条件转化为∠A与∠DEF的和，进而求出∠A的度数，再结合角平分线的性质推导∠BEC的度数，需要学生熟练掌握各性质并能灵活运用辅助线转化角度关系。
【难度系数】
0.65
解题时首先观察到∠1、∠2分别为△ADE和△AEF的外角，可考虑利用三角形外角的性质，通过连接AE将∠1、∠2拆分为两个内角的和，结合已知∠1+∠2=130°与∠DEF=∠A，先求出∠A的度数；再根据E是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求出∠BEC的度数。
【解析】
如图，连接AE。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
∠1 = ∠DAE + ∠DEA，∠2 = ∠FAE + ∠FEA。
∵∠1 + ∠2 = 130°，
∴∠DAE + ∠DEA + ∠FAE + ∠FEA = 130°，
整理得：(∠DAE + ∠FAE) + (∠DEA + ∠FEA) = 130°，即∠BAC + ∠DEF = 130°。
又
∵∠DEF = ∠BAC，
∴2∠BAC = 130°，解得∠BAC = 65°。
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△BEC中，由三角形内角和为180°得：
∠BEC = 180° - (∠EBC + ∠ECB)
= 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC，代入上式得：
∠BEC = 180° - $\frac{1}{2}$(180° - 65°)
= 180° - $\frac{1}{2}$×115°
= 180° - 57.5°
= 122.5°
【答案】
122.5°
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了三角形角度相关的核心性质，解题的突破口是添加辅助线AE，将已知的∠1+∠2的条件转化为∠A与∠DEF的和，进而求出∠A的度数，再结合角平分线的性质推导∠BEC的度数，需要学生熟练掌握各性质并能灵活运用辅助线转化角度关系。
【难度系数】
0.65
15. [2026合肥五十中期中] 如图，CE是$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)若$∠ B=35°,∠ E=25°$,求$∠ BAC$的度数；
(2)求证:$∠ BAC=∠ B+2∠ E$.
(1)若$∠ B=35°,∠ E=25°$,求$∠ BAC$的度数；
(2)求证:$∠ BAC=∠ B+2∠ E$.
答案
15 (1)解:
∵ ∠B = 35°,∠E = 25°,
∴ ∠ECD = ∠B + ∠E = 60°.
∵ CE平分∠ACD,
∴ ∠ACE = ∠ECD = 60°,
∴ ∠BAC = ∠ACE + ∠E = 85°.
(2)证明:
∵ CE平分∠ACD,
∴ ∠ECD = ∠ACE.
∵ ∠BAC = ∠E + ∠ACE,
∴ ∠BAC = ∠E + ∠ECD.
∵ ∠ECD = ∠B + ∠E,
∴ ∠BAC = ∠E + ∠B + ∠E,
∴ ∠BAC = ∠B + 2∠E.
∵ ∠B = 35°,∠E = 25°,
∴ ∠ECD = ∠B + ∠E = 60°.
∵ CE平分∠ACD,
∴ ∠ACE = ∠ECD = 60°,
∴ ∠BAC = ∠ACE + ∠E = 85°.
(2)证明:
∵ CE平分∠ACD,
∴ ∠ECD = ∠ACE.
∵ ∠BAC = ∠E + ∠ACE,
∴ ∠BAC = ∠E + ∠ECD.
∵ ∠ECD = ∠B + ∠E,
∴ ∠BAC = ∠E + ∠B + ∠E,
∴ ∠BAC = ∠B + 2∠E.
解析
【分析】
(1) 求解∠BAC的度数时，首先利用三角形外角的性质，计算出△BCE的外角∠ECD的度数；再结合CE是∠ACD的平分线，得到∠ACE与∠ECD相等；最后再次利用三角形外角的性质，计算△ACE的外角∠BAC的度数即可。
(2) 证明结论时，先根据角平分线的定义得到∠ACE=∠ECD，再结合三角形外角性质，分别将∠BAC用∠E和∠ACE表示、将∠ECD用∠B和∠E表示，通过等量代换即可推导出待证结论。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠B = 35°，∠E = 25°，∠ECD是△BCE的外角，
∴ ∠ECD = ∠B + ∠E = 35° + 25° = 60°，
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ACE = ∠ECD = 60°，
又
∵ ∠BAC是△ACE的外角，
∴ ∠BAC = ∠ACE + ∠E = 60° + 25° = 85°。
(2) 证明：
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ECD = ∠ACE，
∵ ∠BAC是△ACE的外角，
∴ ∠BAC = ∠E + ∠ACE，
∴ ∠BAC = ∠E + ∠ECD，
又
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ ∠ECD = ∠B + ∠E，
∴ ∠BAC = ∠E + ∠B + ∠E，
即∠BAC = ∠B + 2∠E。
【答案】
(1) $\boxed{85°}$；
(2) 证明成立，$\boxed{∠BAC=∠B+2∠E}$。
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算与证明的基础题，核心考查三角形外角性质和角平分线定义的综合应用，解题关键是准确识别外角对应的不相邻内角，通过等量代换完成角度的计算和推导。
【难度系数】
0.8
(1) 求解∠BAC的度数时，首先利用三角形外角的性质，计算出△BCE的外角∠ECD的度数；再结合CE是∠ACD的平分线，得到∠ACE与∠ECD相等；最后再次利用三角形外角的性质，计算△ACE的外角∠BAC的度数即可。
(2) 证明结论时，先根据角平分线的定义得到∠ACE=∠ECD，再结合三角形外角性质，分别将∠BAC用∠E和∠ACE表示、将∠ECD用∠B和∠E表示，通过等量代换即可推导出待证结论。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠B = 35°，∠E = 25°，∠ECD是△BCE的外角，
∴ ∠ECD = ∠B + ∠E = 35° + 25° = 60°，
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ACE = ∠ECD = 60°，
又
∵ ∠BAC是△ACE的外角，
∴ ∠BAC = ∠ACE + ∠E = 60° + 25° = 85°。
(2) 证明：
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ECD = ∠ACE，
∵ ∠BAC是△ACE的外角，
∴ ∠BAC = ∠E + ∠ACE，
∴ ∠BAC = ∠E + ∠ECD，
又
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ ∠ECD = ∠B + ∠E，
∴ ∠BAC = ∠E + ∠B + ∠E，
即∠BAC = ∠B + 2∠E。
【答案】
(1) $\boxed{85°}$；
(2) 证明成立，$\boxed{∠BAC=∠B+2∠E}$。
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算与证明的基础题，核心考查三角形外角性质和角平分线定义的综合应用，解题关键是准确识别外角对应的不相邻内角，通过等量代换完成角度的计算和推导。
【难度系数】
0.8
16. 推理能力 如图，将△ABC折叠，使点C落在点C'处，折痕为EF。
(1)如图1，若∠1=40°,∠2=20°,求∠C的度数；
(2)如图1，探究∠1,∠2与∠C之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，当点C'落在四边形ABFE的外部时，探究∠1,∠2与∠C之间的数量关系，并说明理由。
(1)如图1，若∠1=40°,∠2=20°,求∠C的度数；
(2)如图1，探究∠1,∠2与∠C之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，当点C'落在四边形ABFE的外部时，探究∠1,∠2与∠C之间的数量关系，并说明理由。
答案
16 解:(1)
∵ ∠1 = 40°,∠2 = 20°,
∴ ∠CEC' = 180° - ∠1 = 140°,∠CFC' = 180° - ∠2 = 160°.
由折叠的性质,得∠CEF = 1/2∠CEC' = 70°,∠CFE = 1/2∠CFC' = 80°.
在△CEF中,∠C = 180° - ∠CEF - ∠CFE = 30°.
(2)∠1 + ∠2 = 2∠C. 理由如下:
由题意知,∠CEC' = 180° - ∠1,∠CFC' = 180° - ∠2.
由折叠的性质,得∠CEF = 1/2∠CEC',∠CFE = 1/2∠CFC'.
在△CEF中,∠C = 180° - ∠CEF - ∠CFE = 1/2(∠1 + ∠2),
∴ ∠1 + ∠2 = 2∠C.
(3)∠1 - ∠2 = 2∠C. 理由如下:
根据折叠的性质知,∠3 = ∠4,∠C = ∠C'.
由三角形的外角性质知,∠CEF = ∠5 + ∠3 = ∠C' + ∠2 + ∠3.
在△CEF中,∠CEF = 180° - ∠4 - ∠C,
故180° - ∠4 - ∠C = ∠C' + ∠2 + ∠3,
即∠1 + ∠3 - ∠C = ∠C + ∠2 + ∠3,
∴ ∠1 - ∠2 = 2∠C.
∵ ∠1 = 40°,∠2 = 20°,
∴ ∠CEC' = 180° - ∠1 = 140°,∠CFC' = 180° - ∠2 = 160°.
由折叠的性质,得∠CEF = 1/2∠CEC' = 70°,∠CFE = 1/2∠CFC' = 80°.
在△CEF中,∠C = 180° - ∠CEF - ∠CFE = 30°.
(2)∠1 + ∠2 = 2∠C. 理由如下:
由题意知,∠CEC' = 180° - ∠1,∠CFC' = 180° - ∠2.
由折叠的性质,得∠CEF = 1/2∠CEC',∠CFE = 1/2∠CFC'.
在△CEF中,∠C = 180° - ∠CEF - ∠CFE = 1/2(∠1 + ∠2),
∴ ∠1 + ∠2 = 2∠C.
(3)∠1 - ∠2 = 2∠C. 理由如下:
根据折叠的性质知,∠3 = ∠4,∠C = ∠C'.
由三角形的外角性质知,∠CEF = ∠5 + ∠3 = ∠C' + ∠2 + ∠3.
在△CEF中,∠CEF = 180° - ∠4 - ∠C,
故180° - ∠4 - ∠C = ∠C' + ∠2 + ∠3,
即∠1 + ∠3 - ∠C = ∠C + ∠2 + ∠3,
∴ ∠1 - ∠2 = 2∠C.
解析
【分析】
(1) 首先根据平角的定义求出∠CEC'和∠CFC'的度数，再结合折叠的性质得到∠CEF和∠CFE的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出∠C的度数；
(2) 将(1)中的具体角度替换为通用的角，沿用(1)的推导逻辑，即可推导出∠1、∠2与∠C的一般数量关系；
(3) 当点C'落在四边形ABFE外部时，先利用折叠性质得到对应角相等，再结合三角形外角的性质和三角形内角和定理，通过等量代换化简即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1)
∵ ∠1 = 40°,∠2 = 20°,
∴ ∠CEC' = 180° - ∠1 = 140°,∠CFC' = 180° - ∠2 = 160°.
由折叠的性质,得∠CEF = $\frac{1}{2}$∠CEC' = 70°,∠CFE = $\frac{1}{2}$∠CFC' = 80°.
在△CEF中,∠C = 180° - ∠CEF - ∠CFE = 180° - 70° - 80° = 30°.
(2) ∠1 + ∠2 = 2∠C. 理由如下:
由题意知,∠CEC' = 180° - ∠1,∠CFC' = 180° - ∠2.
由折叠的性质,得∠CEF = $\frac{1}{2}$∠CEC',∠CFE = $\frac{1}{2}$∠CFC'.
在△CEF中,∠C = 180° - ∠CEF - ∠CFE = 180° - $\frac{1}{2}$(180°-∠1) - $\frac{1}{2}$(180°-∠2) = $\frac{1}{2}$(∠1 + ∠2),
∴ ∠1 + ∠2 = 2∠C.
(3) ∠1 - ∠2 = 2∠C. 理由如下:
根据折叠的性质知,∠3 = ∠4,∠C = ∠C'.
由三角形的外角性质知,∠5 = ∠C' + ∠2，因此∠CEF = ∠5 + ∠3 = ∠C' + ∠2 + ∠3.
在△CEF中,∠CEF = 180° - ∠4 - ∠C,
故180° - ∠4 - ∠C = ∠C' + ∠2 + ∠3,
又∠1 = 180° - ∠3 - ∠4，且∠C=∠C'，∠3=∠4，代入得∠1 + ∠3 - ∠C = ∠C + ∠2 + ∠3,
消去∠3，整理得∠1 - ∠2 = 2∠C.
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；
(2) $\boldsymbol{∠1 + ∠2 = 2∠C}$；
(3) $\boldsymbol{∠1 - ∠2 = 2∠C}$
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题围绕三角形折叠变换设置问题，侧重考查角的计算与数量关系推导，解题关键是牢牢把握折叠前后对应角相等的性质，结合三角形相关角的定理分情况分析，能有效提升几何推理和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据平角的定义求出∠CEC'和∠CFC'的度数，再结合折叠的性质得到∠CEF和∠CFE的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出∠C的度数；
(2) 将(1)中的具体角度替换为通用的角，沿用(1)的推导逻辑，即可推导出∠1、∠2与∠C的一般数量关系；
(3) 当点C'落在四边形ABFE外部时，先利用折叠性质得到对应角相等，再结合三角形外角的性质和三角形内角和定理，通过等量代换化简即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1)
∵ ∠1 = 40°,∠2 = 20°,
∴ ∠CEC' = 180° - ∠1 = 140°,∠CFC' = 180° - ∠2 = 160°.
由折叠的性质,得∠CEF = $\frac{1}{2}$∠CEC' = 70°,∠CFE = $\frac{1}{2}$∠CFC' = 80°.
在△CEF中,∠C = 180° - ∠CEF - ∠CFE = 180° - 70° - 80° = 30°.
(2) ∠1 + ∠2 = 2∠C. 理由如下:
由题意知,∠CEC' = 180° - ∠1,∠CFC' = 180° - ∠2.
由折叠的性质,得∠CEF = $\frac{1}{2}$∠CEC',∠CFE = $\frac{1}{2}$∠CFC'.
在△CEF中,∠C = 180° - ∠CEF - ∠CFE = 180° - $\frac{1}{2}$(180°-∠1) - $\frac{1}{2}$(180°-∠2) = $\frac{1}{2}$(∠1 + ∠2),
∴ ∠1 + ∠2 = 2∠C.
(3) ∠1 - ∠2 = 2∠C. 理由如下:
根据折叠的性质知,∠3 = ∠4,∠C = ∠C'.
由三角形的外角性质知,∠5 = ∠C' + ∠2，因此∠CEF = ∠5 + ∠3 = ∠C' + ∠2 + ∠3.
在△CEF中,∠CEF = 180° - ∠4 - ∠C,
故180° - ∠4 - ∠C = ∠C' + ∠2 + ∠3,
又∠1 = 180° - ∠3 - ∠4，且∠C=∠C'，∠3=∠4，代入得∠1 + ∠3 - ∠C = ∠C + ∠2 + ∠3,
消去∠3，整理得∠1 - ∠2 = 2∠C.
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；
(2) $\boldsymbol{∠1 + ∠2 = 2∠C}$；
(3) $\boldsymbol{∠1 - ∠2 = 2∠C}$
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题围绕三角形折叠变换设置问题，侧重考查角的计算与数量关系推导，解题关键是牢牢把握折叠前后对应角相等的性质，结合三角形相关角的定理分情况分析，能有效提升几何推理和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.6
