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1 “我市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务。”根据题意可得方程$\frac{4000}{x - 10} - \frac{4000}{x} = 20$，则方程中$x$表示（
A.实际每天铺设管道的长度
B.实际施工的天数
C.原计划每天铺设管道的长度
D.原计划施工的天数
A
）。A.实际每天铺设管道的长度
B.实际施工的天数
C.原计划每天铺设管道的长度
D.原计划施工的天数
答案
A
解析
【分析】
要判断方程中x的意义，首先结合工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率分析方程中各部分的含义。首先观察方程中两个分式的分子均为管道总长度4000米，因此分母对应的是每天铺设的长度，可先排除表示天数的选项；再结合“实际每天比原计划多铺设10米”“提前20天完成”两个条件，对应两个时间的大小关系，即可确定x的含义。
【解析】
工程问题基本等量关系：$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$。
1. 首先排除错误选项：方程中两个分式$\frac{4000}{x-10}$、$\frac{4000}{x}$的分子为管道总长度，因此分式的含义是施工天数，分母$x-10$、$x$代表每天铺设的长度，故排除B（实际施工天数）、D（原计划施工天数）。
2. 分析量的大小关系：题目中实际施工时每天比原计划多铺10米，因此实际每天铺设长度＞原计划每天铺设长度；且提前20天完成，说明$\mathrm{原计划施工天数}-\mathrm{实际施工天数}=20$，对应方程$\frac{4000}{x-10} - \frac{4000}{x} = 20$，可得$\frac{4000}{x-10}$是原计划天数，$\frac{4000}{x}$是实际天数，因此$x-10$是原计划每天铺设长度，$x$是实际每天铺设长度。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的实际应用；工程问题等量关系
【点评】
本题主要考查分式方程中未知数的实际意义，解题的关键是熟练掌握工程问题的基本公式，结合题干给出的效率差、时间差的条件，对应方程中各部分的含义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断方程中x的意义，首先结合工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率分析方程中各部分的含义。首先观察方程中两个分式的分子均为管道总长度4000米，因此分母对应的是每天铺设的长度，可先排除表示天数的选项；再结合“实际每天比原计划多铺设10米”“提前20天完成”两个条件，对应两个时间的大小关系，即可确定x的含义。
【解析】
工程问题基本等量关系：$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$。
1. 首先排除错误选项：方程中两个分式$\frac{4000}{x-10}$、$\frac{4000}{x}$的分子为管道总长度，因此分式的含义是施工天数，分母$x-10$、$x$代表每天铺设的长度，故排除B（实际施工天数）、D（原计划施工天数）。
2. 分析量的大小关系：题目中实际施工时每天比原计划多铺10米，因此实际每天铺设长度＞原计划每天铺设长度；且提前20天完成，说明$\mathrm{原计划施工天数}-\mathrm{实际施工天数}=20$，对应方程$\frac{4000}{x-10} - \frac{4000}{x} = 20$，可得$\frac{4000}{x-10}$是原计划天数，$\frac{4000}{x}$是实际天数，因此$x-10$是原计划每天铺设长度，$x$是实际每天铺设长度。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的实际应用；工程问题等量关系
【点评】
本题主要考查分式方程中未知数的实际意义，解题的关键是熟练掌握工程问题的基本公式，结合题干给出的效率差、时间差的条件，对应方程中各部分的含义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2 在实数范围内因式分解$2x^2 -8xy +5y^2$等于(
A.$2(x - \frac{4+\sqrt{6}}{2})(x - \frac{4-\sqrt{6}}{2})$
B.$(x - \frac{4+\sqrt{6}}{2}y)(x - \frac{4-\sqrt{6}}{2}y)$
C.$2(x - \frac{4+\sqrt{6}}{2}y)(x - \frac{4-\sqrt{6}}{2}y)$
D.$(2x -4y -\sqrt{6}y)(2x -4y +\sqrt{6}y)$
C
)。A.$2(x - \frac{4+\sqrt{6}}{2})(x - \frac{4-\sqrt{6}}{2})$
B.$(x - \frac{4+\sqrt{6}}{2}y)(x - \frac{4-\sqrt{6}}{2}y)$
C.$2(x - \frac{4+\sqrt{6}}{2}y)(x - \frac{4-\sqrt{6}}{2}y)$
D.$(2x -4y -\sqrt{6}y)(2x -4y +\sqrt{6}y)$
答案
C
解析
【分析】
本题是含两个未知数的二次三项式在实数范围内的因式分解问题，解题思路如下：① 把y当作常数，将原式看作关于x的二次三项式；② 利用“若一元二次方程$ax²+bx+c=0$的两个根为$x_1$、$x_2$，则$ax²+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$”的规律，先求方程$2x²-8xy+5y²=0$中x的根；③ 代入分解公式，对照选项判断即可，解题时要注意不要遗漏二次项系数，也不要漏写根里的y。
【解析】
将原式看作关于x的二次三项式，令$2x^2 - 8xy + 5y^2 = 0$，把y视为常数，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-8y$，常数项$c=5y^2$。
1. 计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-8y)^2 - 4×2×5y^2 = 64y^2 - 40y^2 = 24y^2$
2. 用求根公式求x的解：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8y\pm\sqrt{24y^2}}{2×2} = \frac{8y\pm2\sqrt{6}y}{4} = \frac{4y\pm\sqrt{6}y}{2}$
即两个根为$x_1 = \frac{4+\sqrt{6}}{2}y$，$x_2 = \frac{4-\sqrt{6}}{2}y$
3. 代入因式分解公式：
$2x^2 - 8xy + 5y^2 = 2(x - \frac{4+\sqrt{6}}{2}y)(x - \frac{4-\sqrt{6}}{2}y)$
也可通过排除法验证：A选项无字母y，错误；B选项缺二次项系数2，错误；D展开后为$4x^2-16xy+10y^2=2(2x^2-8xy+5y^2)$，是原式的2倍，错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 实数范围内因式分解
2. 求根公式法因式分解
3. 二次三项式因式分解
【点评】
本题解题的关键是将双变量二次三项式转化为关于单一变量的一元二次方程求解，需注意因式分解时不要遗漏二次项系数，根的表达式要带上另一个变量，避免因粗心选错选项。
【难度系数】
0.7
本题是含两个未知数的二次三项式在实数范围内的因式分解问题，解题思路如下：① 把y当作常数，将原式看作关于x的二次三项式；② 利用“若一元二次方程$ax²+bx+c=0$的两个根为$x_1$、$x_2$，则$ax²+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$”的规律，先求方程$2x²-8xy+5y²=0$中x的根；③ 代入分解公式，对照选项判断即可，解题时要注意不要遗漏二次项系数，也不要漏写根里的y。
【解析】
将原式看作关于x的二次三项式，令$2x^2 - 8xy + 5y^2 = 0$，把y视为常数，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-8y$，常数项$c=5y^2$。
1. 计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-8y)^2 - 4×2×5y^2 = 64y^2 - 40y^2 = 24y^2$
2. 用求根公式求x的解：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8y\pm\sqrt{24y^2}}{2×2} = \frac{8y\pm2\sqrt{6}y}{4} = \frac{4y\pm\sqrt{6}y}{2}$
即两个根为$x_1 = \frac{4+\sqrt{6}}{2}y$，$x_2 = \frac{4-\sqrt{6}}{2}y$
3. 代入因式分解公式：
$2x^2 - 8xy + 5y^2 = 2(x - \frac{4+\sqrt{6}}{2}y)(x - \frac{4-\sqrt{6}}{2}y)$
也可通过排除法验证：A选项无字母y，错误；B选项缺二次项系数2，错误；D展开后为$4x^2-16xy+10y^2=2(2x^2-8xy+5y^2)$，是原式的2倍，错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 实数范围内因式分解
2. 求根公式法因式分解
3. 二次三项式因式分解
【点评】
本题解题的关键是将双变量二次三项式转化为关于单一变量的一元二次方程求解，需注意因式分解时不要遗漏二次项系数，根的表达式要带上另一个变量，避免因粗心选错选项。
【难度系数】
0.7
3 已知关于$x$的分式方程$\frac{x+m}{x-3}-1=\frac{1}{x}$无解，则$m$的值是（
B.0或3
A
）。B.0或3
答案
A
解析
【分析】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解m的值即可。
【解析】首先明确原分式方程分母不为0的条件：$x≠0$且$x≠3$。
给原方程两边同时乘最简公分母$x(x-3)$去分母，得：
$x(x+m) - x(x-3) = x-3$
展开并整理：
$x^2 + mx - x^2 + 3x = x - 3$
合并同类项消去$x^2$项，得：
$(m+2)x = -3$
分两种情况讨论方程无解的情形：
1. 整式方程本身无解：当一次项系数为0时，方程无解，即$m+2=0$，解得$m=-2$，此时左边为$0· x=0$，右边为$-3$，等式不成立，整式方程无解，原分式方程也无解。
2. 整式方程的解是原分式方程的增根：增根只能是$x=0$或$x=3$。
将$x=0$代入$(m+2)x=-3$，得$0=-3$，等式不成立，故$x=0$不可能是整式方程的解；
将$x=3$代入$(m+2)x=-3$，得$3(m+2)=-3$，解得$m=-3$，此时整式方程的解为$x=3$，是原分式方程的增根，原分式方程无解。
综上，$m$的值对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式方程无解的条件,解分式方程,增根的定义
【点评】本题考查分式方程无解的相关应用，解题关键是不要遗漏整式方程本身无解的情况，同时要明确增根需满足是整式方程的解、且使原分式方程分母为0两个条件。
【难度系数】0.6
【解析】首先明确原分式方程分母不为0的条件：$x≠0$且$x≠3$。
给原方程两边同时乘最简公分母$x(x-3)$去分母，得：
$x(x+m) - x(x-3) = x-3$
展开并整理：
$x^2 + mx - x^2 + 3x = x - 3$
合并同类项消去$x^2$项，得：
$(m+2)x = -3$
分两种情况讨论方程无解的情形：
1. 整式方程本身无解：当一次项系数为0时，方程无解，即$m+2=0$，解得$m=-2$，此时左边为$0· x=0$，右边为$-3$，等式不成立，整式方程无解，原分式方程也无解。
2. 整式方程的解是原分式方程的增根：增根只能是$x=0$或$x=3$。
将$x=0$代入$(m+2)x=-3$，得$0=-3$，等式不成立，故$x=0$不可能是整式方程的解；
将$x=3$代入$(m+2)x=-3$，得$3(m+2)=-3$，解得$m=-3$，此时整式方程的解为$x=3$，是原分式方程的增根，原分式方程无解。
综上，$m$的值对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式方程无解的条件,解分式方程,增根的定义
【点评】本题考查分式方程无解的相关应用，解题关键是不要遗漏整式方程本身无解的情况，同时要明确增根需满足是整式方程的解、且使原分式方程分母为0两个条件。
【难度系数】0.6
4 如图是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如:8、14、15、16、17、24)。如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为
。
$x(x-16)=225$
。。
答案
$x(x-16)=225$
解析
【分析】
首先要明确月历表的数字排列规律：月历每行有7个数字，代表一周7天，因此同一列上下相邻的两个数字相差7。接下来观察图示圈出的6个相邻数的位置，可通过示例数验证最大数和最小数的差：示例中最小数是8，最大数是24，二者差为24-8=16，即最大数比最小数大16。题目已知最大数为x，那么最小数可表示为x-16，再结合“最大数与最小数的积为225”的等量关系，即可列出对应方程。
【解析】
1. 总结月历数字规律：月历中同一列上下相邻两数相差7，观察圈出的固定形状的6个数，可得最大数始终比最小数大16；
2. 题目设最大数为$ x $，则最小数为$ x-16 $；
3. 根据两数乘积为225的等量关系，列方程得$ x(x-16)=225 $。
【答案】
$ x(x-16)=225 $
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 月历数字规律
【点评】
本题结合生活中常见的月历设置问题，解题核心是找到固定形状圈出的数字中最大数和最小数的数量关系，只要掌握月历的基本排列规律，就能快速找到等量关系列出方程。
【难度系数】
0.7
首先要明确月历表的数字排列规律：月历每行有7个数字，代表一周7天，因此同一列上下相邻的两个数字相差7。接下来观察图示圈出的6个相邻数的位置，可通过示例数验证最大数和最小数的差：示例中最小数是8，最大数是24，二者差为24-8=16，即最大数比最小数大16。题目已知最大数为x，那么最小数可表示为x-16，再结合“最大数与最小数的积为225”的等量关系，即可列出对应方程。
【解析】
1. 总结月历数字规律：月历中同一列上下相邻两数相差7，观察圈出的固定形状的6个数，可得最大数始终比最小数大16；
2. 题目设最大数为$ x $，则最小数为$ x-16 $；
3. 根据两数乘积为225的等量关系，列方程得$ x(x-16)=225 $。
【答案】
$ x(x-16)=225 $
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 月历数字规律
【点评】
本题结合生活中常见的月历设置问题，解题核心是找到固定形状圈出的数字中最大数和最小数的数量关系，只要掌握月历的基本排列规律，就能快速找到等量关系列出方程。
【难度系数】
0.7
5 关于$x$的方程$\frac{2x}{x^2 + 3} - \frac{x^2 + 3}{6x} = 2$，如果设$y = \frac{2x}{x^2 + 3}$，那么原方程转化为关于$y$的整式方程为
26 27 28 29 30 31
$3y^2-6y-1=0$
。26 27 28 29 30 31
答案
$3y^2-6y-1=0$
解析
【分析】
本题为换元法转化分式方程的题型，解题思路如下：首先利用题目给出的换元设定$ y=\frac{2x}{x^2+3} $，通过倒数关系推导出原方程中另一个分式$ \frac{x^2+3}{6x} $关于y的表达式，再将两个表达式代入原方程，最后通过去分母将分式方程转化为整式方程即可。
【解析】
已知设$ y = \frac{2x}{x^2 + 3} $：
1. 推导$ \frac{x^2+3}{6x} $的含y表达式：
对$ y = \frac{2x}{x^2 + 3} $两边取倒数（y≠0，分式分母不为0），得$ \frac{1}{y} = \frac{x^2 + 3}{2x} $，则$ \frac{x^2 + 3}{6x} = \frac{1}{3} × \frac{x^2 + 3}{2x} = \frac{1}{3y} $。
2. 代入原方程：
将$ y = \frac{2x}{x^2 + 3} $、$ \frac{x^2 + 3}{6x} = \frac{1}{3y} $代入原方程，可得：$ y - \frac{1}{3y} = 2 $。
3. 去分母化为整式方程：
方程两边同时乘以3y（y≠0）消去分母，得$ 3y^2 - 1 = 6y $，移项整理得$ 3y^2 - 6y - 1 = 0 $。
【答案】
$ 3y^2-6y-1=0 $
【知识点】
换元法解分式方程，分式化简，去分母
【点评】
本题核心是利用换元法简化分式方程，解题的关键是通过倒数关系建立待替换分式和设定元的联系，去分母时注意不要漏乘常数项，同时要注意换元时分式的隐含取值范围。
【难度系数】
0.7
本题为换元法转化分式方程的题型，解题思路如下：首先利用题目给出的换元设定$ y=\frac{2x}{x^2+3} $，通过倒数关系推导出原方程中另一个分式$ \frac{x^2+3}{6x} $关于y的表达式，再将两个表达式代入原方程，最后通过去分母将分式方程转化为整式方程即可。
【解析】
已知设$ y = \frac{2x}{x^2 + 3} $：
1. 推导$ \frac{x^2+3}{6x} $的含y表达式：
对$ y = \frac{2x}{x^2 + 3} $两边取倒数（y≠0，分式分母不为0），得$ \frac{1}{y} = \frac{x^2 + 3}{2x} $，则$ \frac{x^2 + 3}{6x} = \frac{1}{3} × \frac{x^2 + 3}{2x} = \frac{1}{3y} $。
2. 代入原方程：
将$ y = \frac{2x}{x^2 + 3} $、$ \frac{x^2 + 3}{6x} = \frac{1}{3y} $代入原方程，可得：$ y - \frac{1}{3y} = 2 $。
3. 去分母化为整式方程：
方程两边同时乘以3y（y≠0）消去分母，得$ 3y^2 - 1 = 6y $，移项整理得$ 3y^2 - 6y - 1 = 0 $。
【答案】
$ 3y^2-6y-1=0 $
【知识点】
换元法解分式方程，分式化简，去分母
【点评】
本题核心是利用换元法简化分式方程，解题的关键是通过倒数关系建立待替换分式和设定元的联系，去分母时注意不要漏乘常数项，同时要注意换元时分式的隐含取值范围。
【难度系数】
0.7
6 分式方程 $\frac{1}{2-x}=x-\frac{x+1}{x-2}$ 的解为
$x_1=0,x_2=3$
。答案
$x_1=0,x_2=3$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根。观察本题两个分母2-x与x-2互为相反数，第一步可先统一分母，同时明确分母不为0的限制条件x≠2；再两边同乘最简公分母去掉分母，得到整式方程后求解，最后将求得的根代入最简公分母检验，排除增根即可得到原方程的解。
【解析】
解：原方程可变形为：
$-\frac{1}{x-2}=x-\frac{x+1}{x-2}$
由分母不为0可得：$x-2≠0$，即$x≠2$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$，去分母得：
$-1 = x(x-2) - (x+1)$
展开并整理得：
$-1 = x^2 - 3x - 1$
移项、合并同类项得：
$x^2 - 3x = 0$
因式分解得：
$x(x-3)=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=3$
检验：
当$x=0$时，$x-2=-2≠0$，是原方程的解；
当$x=3$时，$x-2=1≠0$，是原方程的解。
【答案】
$x_1=0,x_2=3$
【知识点】
分式方程解法；一元二次方程解法；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的常规考查题型，解题时需注意分母互为相反数时的符号变形，去分母时不要漏乘不含分母的项，最后切记要验根，避免把增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根。观察本题两个分母2-x与x-2互为相反数，第一步可先统一分母，同时明确分母不为0的限制条件x≠2；再两边同乘最简公分母去掉分母，得到整式方程后求解，最后将求得的根代入最简公分母检验，排除增根即可得到原方程的解。
【解析】
解：原方程可变形为：
$-\frac{1}{x-2}=x-\frac{x+1}{x-2}$
由分母不为0可得：$x-2≠0$，即$x≠2$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$，去分母得：
$-1 = x(x-2) - (x+1)$
展开并整理得：
$-1 = x^2 - 3x - 1$
移项、合并同类项得：
$x^2 - 3x = 0$
因式分解得：
$x(x-3)=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=3$
检验：
当$x=0$时，$x-2=-2≠0$，是原方程的解；
当$x=3$时，$x-2=1≠0$，是原方程的解。
【答案】
$x_1=0,x_2=3$
【知识点】
分式方程解法；一元二次方程解法；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的常规考查题型，解题时需注意分母互为相反数时的符号变形，去分母时不要漏乘不含分母的项，最后切记要验根，避免把增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
7 在实数范围内因式分解：$4x^2 + 8x - 1 =$
$4(x - \frac{-2+\sqrt{5}}{2})(x + \frac{2+\sqrt{5}}{2})$
。答案
$4(x - \frac{-2+\sqrt{5}}{2})(x + \frac{2+\sqrt{5}}{2})$
解析
【分析】
要对二次三项式$4x^2 + 8x - 1$在实数范围内因式分解，首先观察发现其无法直接用提公因式法、十字相乘法分解，因此采用求根法：先令该二次三项式等于0，得到对应的一元二次方程，用求根公式计算出方程的两个实数根$x_1$、$x_2$，再根据公式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$代入整理即可得到分解结果。
【解析】
解：令$4x^2 + 8x - 1 = 0$，
其中$a=4$，$b=8$，$c=-1$，
先计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4×4×(-1) = 64 + 16 = 80 ＞ 0$，
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8\pm\sqrt{80}}{2×4} = \frac{-8\pm4\sqrt{5}}{8} = \frac{-2\pm\sqrt{5}}{2}$，
即方程的两个根为$x_1 = \frac{-2+\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{-2-\sqrt{5}}{2} = -\frac{2+\sqrt{5}}{2}$，
代入二次三项式因式分解公式得：
$4x^2 + 8x -1 = 4(x - \frac{-2+\sqrt{5}}{2})(x - (-\frac{2+\sqrt{5}}{2})) = 4(x - \frac{-2+\sqrt{5}}{2})(x + \frac{2+\sqrt{5}}{2})$。
【答案】
$4(x - \frac{-2+\sqrt{5}}{2})(x + \frac{2+\sqrt{5}}{2})$
【知识点】
1. 求根法因式分解
2. 一元二次方程求根公式
3. 实数范围内因式分解
【点评】
本题是实数范围内二次三项式因式分解的典型题，解题关键是熟练掌握求根法的步骤，注意分解时不要遗漏二次项系数，求根过程中要准确计算判别式、化简根式，避免符号和计算错误。
【难度系数】
0.6
要对二次三项式$4x^2 + 8x - 1$在实数范围内因式分解，首先观察发现其无法直接用提公因式法、十字相乘法分解，因此采用求根法：先令该二次三项式等于0，得到对应的一元二次方程，用求根公式计算出方程的两个实数根$x_1$、$x_2$，再根据公式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$代入整理即可得到分解结果。
【解析】
解：令$4x^2 + 8x - 1 = 0$，
其中$a=4$，$b=8$，$c=-1$，
先计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4×4×(-1) = 64 + 16 = 80 ＞ 0$，
由一元二次方程求根公式得：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8\pm\sqrt{80}}{2×4} = \frac{-8\pm4\sqrt{5}}{8} = \frac{-2\pm\sqrt{5}}{2}$，
即方程的两个根为$x_1 = \frac{-2+\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{-2-\sqrt{5}}{2} = -\frac{2+\sqrt{5}}{2}$，
代入二次三项式因式分解公式得：
$4x^2 + 8x -1 = 4(x - \frac{-2+\sqrt{5}}{2})(x - (-\frac{2+\sqrt{5}}{2})) = 4(x - \frac{-2+\sqrt{5}}{2})(x + \frac{2+\sqrt{5}}{2})$。
【答案】
$4(x - \frac{-2+\sqrt{5}}{2})(x + \frac{2+\sqrt{5}}{2})$
【知识点】
1. 求根法因式分解
2. 一元二次方程求根公式
3. 实数范围内因式分解
【点评】
本题是实数范围内二次三项式因式分解的典型题，解题关键是熟练掌握求根法的步骤，注意分解时不要遗漏二次项系数，求根过程中要准确计算判别式、化简根式，避免符号和计算错误。
【难度系数】
0.6
8 某社区准备安装一批新能源汽车的充电桩，现有甲、乙两个工程队。若甲队单独完成此项工程，则刚好如期完工；若乙队单独完成此项工程，则要比规定工期多用6天；，剩下的工程由乙队单独做，则也正好如期完工。某同学设规定的工期为$x$天，根据题意列出了方程：$\frac{4}{x} + \frac{x}{x+6} = 1$，则题中横线部分的信息是
甲、乙合作了4天
。答案
甲、乙合作了4天
解析
【分析】
首先回忆工程问题的基本解题逻辑：通常将总工作量设为1，工作效率=1÷单独完成总工程的时间，总工作量=各部分工作量之和。第一步先根据题干已知条件推导甲、乙两队的工作效率：规定工期为x天，甲单独做如期完工，所以甲的效率为$\frac{1}{x}$；乙单独做要多用6天，所以乙的效率为$\frac{1}{x+6}$。第二步分析给出的方程中每一项的含义：$\frac{4}{x}$是甲的效率乘4，对应甲工作4天的工作量；$\frac{x}{x+6}$是乙的效率乘x，对应乙工作x天的工作量，刚好等于规定工期，符合“剩下的工程乙单独做正好如期完工”的描述。第三步推导缺失条件：乙全程参与了x天的施工，甲仅参与了前4天的施工，说明前4天两队是同时施工的，即可得出横线处的信息。
【解析】
设总工作量为1，规定工期为$x$天：
1. 推导两队工作效率：甲单独完成需$x$天，效率为$\frac{1}{x}$；乙单独完成需$(x+6)$天，效率为$\frac{1}{x+6}$。
2. 拆分方程各项含义：
$\frac{4}{x}=4×\frac{1}{x}$，表示甲队工作4天的工作量；
$\frac{x}{x+6}=x×\frac{1}{x+6}$，表示乙队全程工作$x$天的工作量，和“剩下的工程乙单独做正好如期完工”的条件吻合。
3. 推导缺失条件：甲仅参与前4天施工，且这4天乙也在同步施工，即甲、乙两队先合作了4天。
【答案】
甲、乙合作了4天
【知识点】
1. 工程问题
2. 分式方程的应用
【点评】
本题属于逆向考查分式方程实际应用的题型，要求学生熟练掌握工程问题中工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，通过拆解方程各项的实际意义反推题干条件，能很好地锻炼逻辑推理和逆向思维能力。
【难度系数】
0.7
首先回忆工程问题的基本解题逻辑：通常将总工作量设为1，工作效率=1÷单独完成总工程的时间，总工作量=各部分工作量之和。第一步先根据题干已知条件推导甲、乙两队的工作效率：规定工期为x天，甲单独做如期完工，所以甲的效率为$\frac{1}{x}$；乙单独做要多用6天，所以乙的效率为$\frac{1}{x+6}$。第二步分析给出的方程中每一项的含义：$\frac{4}{x}$是甲的效率乘4，对应甲工作4天的工作量；$\frac{x}{x+6}$是乙的效率乘x，对应乙工作x天的工作量，刚好等于规定工期，符合“剩下的工程乙单独做正好如期完工”的描述。第三步推导缺失条件：乙全程参与了x天的施工，甲仅参与了前4天的施工，说明前4天两队是同时施工的，即可得出横线处的信息。
【解析】
设总工作量为1，规定工期为$x$天：
1. 推导两队工作效率：甲单独完成需$x$天，效率为$\frac{1}{x}$；乙单独完成需$(x+6)$天，效率为$\frac{1}{x+6}$。
2. 拆分方程各项含义：
$\frac{4}{x}=4×\frac{1}{x}$，表示甲队工作4天的工作量；
$\frac{x}{x+6}=x×\frac{1}{x+6}$，表示乙队全程工作$x$天的工作量，和“剩下的工程乙单独做正好如期完工”的条件吻合。
3. 推导缺失条件：甲仅参与前4天施工，且这4天乙也在同步施工，即甲、乙两队先合作了4天。
【答案】
甲、乙合作了4天
【知识点】
1. 工程问题
2. 分式方程的应用
【点评】
本题属于逆向考查分式方程实际应用的题型，要求学生熟练掌握工程问题中工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，通过拆解方程各项的实际意义反推题干条件，能很好地锻炼逻辑推理和逆向思维能力。
【难度系数】
0.7
9 已知$x^2 -4x +1=0$，则$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值是
$14$
。答案
$14$
解析
【分析】
首先观察所求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的结构，它是x与x的倒数的平方和，可通过完全平方公式变形求解。首先从已知方程$x^2-4x+1=0$出发，先判断x不为0（若x=0，方程左边为1≠0，矛盾），因此可将方程两边同时除以x，得到$x+\frac{1}{x}$的值，再利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$代入计算即可。
【解析】
解：$\because x^2 -4x +1=0$，
若$x=0$，代入方程左边得$0-0+1=1≠0$，因此$x≠0$，
将方程两边同时除以$x$，得：
$x - 4 + \frac{1}{x}=0$，
移项得：$x + \frac{1}{x}=4$，
根据完全平方公式变形：
$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x + \frac{1}{x})^2 - 2· x· \frac{1}{x}$，
将$x + \frac{1}{x}=4$代入上式：
原式$=4^2 - 2=16-2=14$。
【答案】
$14$
【知识点】
完全平方公式，等式的基本性质，代数式求值
【点评】
本题的核心是灵活运用完全平方公式的变形，无需直接解出x的值代入计算，通过将已知等式变形得到x与它倒数的和，就能快速求出结果，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的结构，它是x与x的倒数的平方和，可通过完全平方公式变形求解。首先从已知方程$x^2-4x+1=0$出发，先判断x不为0（若x=0，方程左边为1≠0，矛盾），因此可将方程两边同时除以x，得到$x+\frac{1}{x}$的值，再利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$代入计算即可。
【解析】
解：$\because x^2 -4x +1=0$，
若$x=0$，代入方程左边得$0-0+1=1≠0$，因此$x≠0$，
将方程两边同时除以$x$，得：
$x - 4 + \frac{1}{x}=0$，
移项得：$x + \frac{1}{x}=4$，
根据完全平方公式变形：
$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x + \frac{1}{x})^2 - 2· x· \frac{1}{x}$，
将$x + \frac{1}{x}=4$代入上式：
原式$=4^2 - 2=16-2=14$。
【答案】
$14$
【知识点】
完全平方公式，等式的基本性质，代数式求值
【点评】
本题的核心是灵活运用完全平方公式的变形，无需直接解出x的值代入计算，通过将已知等式变形得到x与它倒数的和，就能快速求出结果，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
⑩ 已知三个数$x$、$y$、$z$满足$\frac{xy}{x+y}=-3$，$\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3}$，$\frac{zx}{z+x}=-\frac{4}{3}$，则$y$的值是
$\frac{12}{7}$
。答案
$\frac{12}{7}$
[提示:由$\frac{xy}{x+y}=-3$,可得$\frac{x+y}{xy}=-\frac{1}{3}$,即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{3}$。同理可得$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$,$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\frac{3}{4}$。所以$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=-\frac{1}{3}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}$,所以$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{6}$。所以$\frac{1}{y}=-\frac{1}{6}+\frac{3}{4}=\frac{7}{12}$,所以$y=\frac{12}{7}$。]
[提示:由$\frac{xy}{x+y}=-3$,可得$\frac{x+y}{xy}=-\frac{1}{3}$,即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{3}$。同理可得$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$,$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\frac{3}{4}$。所以$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=-\frac{1}{3}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}$,所以$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{6}$。所以$\frac{1}{y}=-\frac{1}{6}+\frac{3}{4}=\frac{7}{12}$,所以$y=\frac{12}{7}$。]
解析
【分析】
观察已知的三个等式，均为两数乘积除以两数之和的结构，我们可以利用分式的基本性质对等式两边同时取倒数，将其拆分为两个数的倒数之和的形式，把原分式方程组转化为关于$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$、$\frac{1}{z}$的三元一次方程组，再通过加减消元法求出$\frac{1}{y}$的值，最后取倒数即可得到$y$的值。
【解析】
已知$\frac{xy}{x+y}=-3$，$\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3}$，$\frac{zx}{z+x}=-\frac{4}{3}$，由分式有意义可知$x$、$y$、$z$均不为0，且$x+y$、$y+z$、$z+x$均不为0，可对三个等式同时取倒数：
1. 对$\frac{xy}{x+y}=-3$取倒数，得$\frac{x+y}{xy}=-\frac{1}{3}$，拆分可得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{3}$ ①
2. 对$\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3}$取倒数，得$\frac{y+z}{yz}=\frac{3}{4}$，拆分可得：$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$ ②
3. 对$\frac{zx}{z+x}=-\frac{4}{3}$取倒数，得$\frac{z+x}{zx}=-\frac{3}{4}$，拆分可得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\frac{3}{4}$ ③
将①+②+③，左边相加得$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$，右边相加得$-\frac{1}{3}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{3}$，因此：
$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=-\frac{1}{3}$，化简得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{6}$ ④
用④减去③，即可消去$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{z}$：
$\frac{1}{y}=(-\frac{1}{6})-(-\frac{3}{4})=-\frac{1}{6}+\frac{3}{4}=\frac{-2+9}{12}=\frac{7}{12}$
对$\frac{1}{y}=\frac{7}{12}$取倒数，得$y=\frac{12}{7}$。
【答案】
$\frac{12}{7}$
【知识点】
分式变形、三元一次方程组求解、倒数运算
【点评】
本题是分式运算的典型题型，解题核心是根据已知分式的结构特征，采用取倒数的方法将复杂的分式关系转化为熟悉的一次方程组求解，这种变形技巧在分式计算中应用广泛，解题时需注意取倒数的前提是原分式的分子、分母均不为0。
【难度系数】
0.6
观察已知的三个等式，均为两数乘积除以两数之和的结构，我们可以利用分式的基本性质对等式两边同时取倒数，将其拆分为两个数的倒数之和的形式，把原分式方程组转化为关于$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$、$\frac{1}{z}$的三元一次方程组，再通过加减消元法求出$\frac{1}{y}$的值，最后取倒数即可得到$y$的值。
【解析】
已知$\frac{xy}{x+y}=-3$，$\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3}$，$\frac{zx}{z+x}=-\frac{4}{3}$，由分式有意义可知$x$、$y$、$z$均不为0，且$x+y$、$y+z$、$z+x$均不为0，可对三个等式同时取倒数：
1. 对$\frac{xy}{x+y}=-3$取倒数，得$\frac{x+y}{xy}=-\frac{1}{3}$，拆分可得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{3}$ ①
2. 对$\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3}$取倒数，得$\frac{y+z}{yz}=\frac{3}{4}$，拆分可得：$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$ ②
3. 对$\frac{zx}{z+x}=-\frac{4}{3}$取倒数，得$\frac{z+x}{zx}=-\frac{3}{4}$，拆分可得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\frac{3}{4}$ ③
将①+②+③，左边相加得$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$，右边相加得$-\frac{1}{3}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{3}$，因此：
$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=-\frac{1}{3}$，化简得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{6}$ ④
用④减去③，即可消去$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{z}$：
$\frac{1}{y}=(-\frac{1}{6})-(-\frac{3}{4})=-\frac{1}{6}+\frac{3}{4}=\frac{-2+9}{12}=\frac{7}{12}$
对$\frac{1}{y}=\frac{7}{12}$取倒数，得$y=\frac{12}{7}$。
【答案】
$\frac{12}{7}$
【知识点】
分式变形、三元一次方程组求解、倒数运算
【点评】
本题是分式运算的典型题型，解题核心是根据已知分式的结构特征，采用取倒数的方法将复杂的分式关系转化为熟悉的一次方程组求解，这种变形技巧在分式计算中应用广泛，解题时需注意取倒数的前提是原分式的分子、分母均不为0。
【难度系数】
0.6
