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6 甲、乙两个城市间的铁路路程为1600 km，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20 km/h，列车从甲城到乙城行驶时间减少了4 h，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140 km/h。请你用学过的数学知识说明：在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速吗？
答案
设提速前速度为每小时x km。根据题意得$\frac{1600}{x}-\frac{1600}{x+20}=4$,解得$x=80$,另负值不合题意,舍去,$80+20＜140$,所以可以再次提速。
解析
【分析】
这是行程类分式方程应用题，解题核心是抓住“提速前行驶时间 - 提速后行驶时间 = 4h”的等量关系。首先设提速前列车速度为未知数，根据“时间=路程÷速度”分别表示出提速前后的行驶时间，代入等量关系列分式方程，求解后验证根是否符合实际意义，再将提速后的速度和安全限速140km/h比较，即可判断是否可以再次提速。
【解析】
解：设提速前列车的速度为$x$ km/h，则提速后列车的速度为$(x+20)$ km/h。
根据行驶时间差为4小时列方程：
$\frac{1600}{x} - \frac{1600}{x+20} = 4$
方程两边同乘$x(x+20)$去分母得：
$1600(x+20) - 1600x = 4x(x+20)$
整理得：$x^2 + 20x - 8000 = 0$
因式分解得：$(x-80)(x+100)=0$
解得$x_1=80$，$x_2=-100$
经检验，$x_1=80$、$x_2=-100$均为原方程的解，但速度为负不符合实际，舍去$x_2=-100$。
提速后列车速度为$80+20=100$ km/h，因为$100＜140$，低于安全限速，所以可以再次提速。
【答案】在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速。
【知识点】
分式方程的应用；行程问题公式；分式方程验根
【点评】
本题结合实际场景考查分式方程的应用，解题时要找准等量关系列方程，注意分式方程求解后既要检验是否为增根，也要判断根是否符合实际意义，最后结合题目给出的限制条件得出结论。
【难度系数】
0.7
这是行程类分式方程应用题，解题核心是抓住“提速前行驶时间 - 提速后行驶时间 = 4h”的等量关系。首先设提速前列车速度为未知数，根据“时间=路程÷速度”分别表示出提速前后的行驶时间，代入等量关系列分式方程，求解后验证根是否符合实际意义，再将提速后的速度和安全限速140km/h比较，即可判断是否可以再次提速。
【解析】
解：设提速前列车的速度为$x$ km/h，则提速后列车的速度为$(x+20)$ km/h。
根据行驶时间差为4小时列方程：
$\frac{1600}{x} - \frac{1600}{x+20} = 4$
方程两边同乘$x(x+20)$去分母得：
$1600(x+20) - 1600x = 4x(x+20)$
整理得：$x^2 + 20x - 8000 = 0$
因式分解得：$(x-80)(x+100)=0$
解得$x_1=80$，$x_2=-100$
经检验，$x_1=80$、$x_2=-100$均为原方程的解，但速度为负不符合实际，舍去$x_2=-100$。
提速后列车速度为$80+20=100$ km/h，因为$100＜140$，低于安全限速，所以可以再次提速。
【答案】在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速。
【知识点】
分式方程的应用；行程问题公式；分式方程验根
【点评】
本题结合实际场景考查分式方程的应用，解题时要找准等量关系列方程，注意分式方程求解后既要检验是否为增根，也要判断根是否符合实际意义，最后结合题目给出的限制条件得出结论。
【难度系数】
0.7
7 一辆汽车匀速行驶一段路程，若每小时少行驶8km，则行驶完这段路程多用4h；若每小时多行驶8km，则行驶完这段路程可少用2h，问：这段路程多少千米？汽车原来的速度是多少？
答案
设这段路程为x km,汽车原来的速度为y km/h,根据题意得$\begin{cases}\frac{x}{y-8}-\frac{x}{y}=4,\\\frac{x}{y}-\frac{x}{y+8}=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=192,\\y=24。\end{cases}$所以这段路程为192 km,汽车原来的速度为24 km/h。
解析
【分析】
这是行程类应用题，核心等量关系为“时间=路程÷速度”。题目给出了速度变化后对应的两个时间差条件，因此可以采用设双未知数的方法求解：设路程为x km，原来的速度为y km/h，分别根据“减速后用时比原用时多4h”“加速后用时比原用时少2h”列两个分式方程，组成方程组后化简为整式方程组求解，最后注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
【解析】
设这段路程为x km，汽车原来的速度为y km/h。
根据“每小时少行驶8km，行驶完这段路程多用4h”，可列方程：
$\frac{x}{y-8} - \frac{x}{y} = 4$ ①
根据“每小时多行驶8km，行驶完这段路程可少用2h”，可列方程：
$\frac{x}{y} - \frac{x}{y+8} = 2$ ②
将方程①通分化简：
左边通分得$\frac{xy - x(y-8)}{y(y-8)} = \frac{8x}{y(y-8)} = 4$，整理得$2x = y(y-8)$ ③
将方程②通分化简：
左边通分得$\frac{x(y+8) - xy}{y(y+8)} = \frac{8x}{y(y+8)} = 2$，整理得$4x = y(y+8)$ ④
将③代入④：把$x=\frac{y(y-8)}{2}$代入④，得$4×\frac{y(y-8)}{2}=y(y+8)$，
化简得$2y(y-8)=y(y+8)$，
展开得$2y^2 -16y = y^2 +8y$，
移项合并同类项得$y^2 -24y = 0$，即$y(y-24)=0$，
解得$y=24$或$y=0$，速度不能为0，故舍去$y=0$。
把$y=24$代入③，得$2x=24×(24-8)=384$，解得$x=192$。
检验：将$x=192,y=24$代入原方程组的分母，$y-8=16≠0$，$y=24≠0$，$y+8=32≠0$，且等式两边相等，同时速度、路程均符合实际意义，因此是原方程组的解。
【答案】
这段路程为192 km，汽车原来的速度是24 km/h。
【知识点】
分式方程的应用；二元方程组的解法；行程问题等量关系
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用问题，解题的核心是找准时间差作为等量关系列方程，求解后要注意对分式方程的根进行双重检验，既要保证分母不为0，也要符合实际场景的要求，能有效考察学生的方程建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.6
这是行程类应用题，核心等量关系为“时间=路程÷速度”。题目给出了速度变化后对应的两个时间差条件，因此可以采用设双未知数的方法求解：设路程为x km，原来的速度为y km/h，分别根据“减速后用时比原用时多4h”“加速后用时比原用时少2h”列两个分式方程，组成方程组后化简为整式方程组求解，最后注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
【解析】
设这段路程为x km，汽车原来的速度为y km/h。
根据“每小时少行驶8km，行驶完这段路程多用4h”，可列方程：
$\frac{x}{y-8} - \frac{x}{y} = 4$ ①
根据“每小时多行驶8km，行驶完这段路程可少用2h”，可列方程：
$\frac{x}{y} - \frac{x}{y+8} = 2$ ②
将方程①通分化简：
左边通分得$\frac{xy - x(y-8)}{y(y-8)} = \frac{8x}{y(y-8)} = 4$，整理得$2x = y(y-8)$ ③
将方程②通分化简：
左边通分得$\frac{x(y+8) - xy}{y(y+8)} = \frac{8x}{y(y+8)} = 2$，整理得$4x = y(y+8)$ ④
将③代入④：把$x=\frac{y(y-8)}{2}$代入④，得$4×\frac{y(y-8)}{2}=y(y+8)$，
化简得$2y(y-8)=y(y+8)$，
展开得$2y^2 -16y = y^2 +8y$，
移项合并同类项得$y^2 -24y = 0$，即$y(y-24)=0$，
解得$y=24$或$y=0$，速度不能为0，故舍去$y=0$。
把$y=24$代入③，得$2x=24×(24-8)=384$，解得$x=192$。
检验：将$x=192,y=24$代入原方程组的分母，$y-8=16≠0$，$y=24≠0$，$y+8=32≠0$，且等式两边相等，同时速度、路程均符合实际意义，因此是原方程组的解。
【答案】
这段路程为192 km，汽车原来的速度是24 km/h。
【知识点】
分式方程的应用；二元方程组的解法；行程问题等量关系
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用问题，解题的核心是找准时间差作为等量关系列方程，求解后要注意对分式方程的根进行双重检验，既要保证分母不为0，也要符合实际场景的要求，能有效考察学生的方程建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.6
8 已知A、B两地间的道路，有一部分是上坡路，其余都是下坡路。骑自行车走下坡路比走上坡路每小时多行6 km，已知自行车从A地到B地需要2 h 40 min，而从B地到A地可以少用20 min。如果A、B两地距离为36 km，分别求骑自行车上坡和下坡时的速度，以及从A地到B地过程中上坡路、下坡路的长。
答案
设上坡速度为x km/h。根据题意得$\frac{36}{x}+\frac{36}{x+6}=5$,解得$x=12$。设上坡路为s km。根据题意得,$\frac{s}{12}+\frac{36-s}{18}=\frac{8}{3}$,解得$s=24$。所以骑车上坡速度为12 km/h,下坡速度为18 km/h,上坡路程为24 km,下坡路程为12 km。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AB两地总距离36km，下坡速度比上坡快6km/h，A到B用时2小时40分，B到A少用20分钟。第一步先找往返行程的特点：去程的上坡就是返程的下坡，去程的下坡就是返程的上坡，因此往返全程中上坡总路程、下坡总路程都是36km，先利用往返总时间列分式方程求出上下坡的速度。第二步求出速度后，再设A到B的上坡路程为s，下坡路程就是36-s，结合A到B的总用时列一元一次方程，就能求出两段路的长度。
【解析】
首先统一时间单位：
2小时40分钟=$2+\frac{40}{60}=\frac{8}{3}$h，B到A用时$\frac{8}{3}-\frac{20}{60}=\frac{7}{3}$h，往返总用时为$\frac{8}{3}+\frac{7}{3}=5$h。
1. 求上下坡速度：
设上坡速度为$x$ km/h，则下坡速度为$(x+6)$ km/h。
根据往返总路程中上坡、下坡各36km，总时间为5h列方程：
$\frac{36}{x}+\frac{36}{x+6}=5$
方程两边同乘$x(x+6)$去分母得：$36(x+6)+36x=5x(x+6)$
整理得：$5x^2-42x-216=0$
解得$x_1=12$，$x_2=-\frac{18}{5}$（速度为正数，舍去）
经检验，$x=12$是原分式方程的解，符合实际意义。
因此下坡速度为$12+6=18$ km/h。
2. 求A到B的上下坡路程：
设A到B的上坡路长为$s$ km，则下坡路长为$(36-s)$ km。
根据A到B总用时为$\frac{8}{3}$h列方程：
$\frac{s}{12}+\frac{36-s}{18}=\frac{8}{3}$
方程两边同乘36去分母得：$3s+2(36-s)=96$
解得$s=24$，则下坡路长为$36-24=12$ km。
【答案】
骑车上坡速度为12 km/h，下坡速度为18 km/h，从A地到B地的上坡路程为24 km，下坡路程为12 km。
【知识点】
分式方程应用，行程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题是典型的往返行程类方程应用题，解题核心是抓住往返全程上坡总路程、下坡总路程均等于两地总距离的特点，先求速度再求路段长度，解分式方程时需注意验根，结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.6
解题时先梳理已知条件：AB两地总距离36km，下坡速度比上坡快6km/h，A到B用时2小时40分，B到A少用20分钟。第一步先找往返行程的特点：去程的上坡就是返程的下坡，去程的下坡就是返程的上坡，因此往返全程中上坡总路程、下坡总路程都是36km，先利用往返总时间列分式方程求出上下坡的速度。第二步求出速度后，再设A到B的上坡路程为s，下坡路程就是36-s，结合A到B的总用时列一元一次方程，就能求出两段路的长度。
【解析】
首先统一时间单位：
2小时40分钟=$2+\frac{40}{60}=\frac{8}{3}$h，B到A用时$\frac{8}{3}-\frac{20}{60}=\frac{7}{3}$h，往返总用时为$\frac{8}{3}+\frac{7}{3}=5$h。
1. 求上下坡速度：
设上坡速度为$x$ km/h，则下坡速度为$(x+6)$ km/h。
根据往返总路程中上坡、下坡各36km，总时间为5h列方程：
$\frac{36}{x}+\frac{36}{x+6}=5$
方程两边同乘$x(x+6)$去分母得：$36(x+6)+36x=5x(x+6)$
整理得：$5x^2-42x-216=0$
解得$x_1=12$，$x_2=-\frac{18}{5}$（速度为正数，舍去）
经检验，$x=12$是原分式方程的解，符合实际意义。
因此下坡速度为$12+6=18$ km/h。
2. 求A到B的上下坡路程：
设A到B的上坡路长为$s$ km，则下坡路长为$(36-s)$ km。
根据A到B总用时为$\frac{8}{3}$h列方程：
$\frac{s}{12}+\frac{36-s}{18}=\frac{8}{3}$
方程两边同乘36去分母得：$3s+2(36-s)=96$
解得$s=24$，则下坡路长为$36-24=12$ km。
【答案】
骑车上坡速度为12 km/h，下坡速度为18 km/h，从A地到B地的上坡路程为24 km，下坡路程为12 km。
【知识点】
分式方程应用，行程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题是典型的往返行程类方程应用题，解题核心是抓住往返全程上坡总路程、下坡总路程均等于两地总距离的特点，先求速度再求路段长度，解分式方程时需注意验根，结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.6
