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1 为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树。由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前5天完成任务，问：原计划每天种多少棵树？
答案
设原计划每天种x棵树。根据题意得：$\frac{1000}{x}-\frac{1000}{x+10}=5$,解得$x=40$,另负值不合题意,舍去,即原计划每天种40棵树。
解析
【分析】
本题属于工作类实际应用题，解题思路如下：首先明确工作总量、工作效率、工作时间三者的核心关系：工作时间=工作总量÷工作效率，本题中工作总量是固定的1000棵树。接着提取题目中的关键等量关系：原计划完成任务的天数 - 实际完成任务的天数 = 5天。我们设原计划每天种x棵树，就可以用含x的式子分别表示原计划和实际的工作时间，代入等量关系即可列出分式方程，求解后要完成双重检验：一是检验解是否为分式方程的增根，二是检验解是否符合种树棵数为正数的实际意义。
【解析】
解：设原计划每天种$x$棵树，则实际每天种$(x+10)$棵树。
根据题意，原计划完成任务的时间为$\frac{1000}{x}$天，实际完成任务的时间为$\frac{1000}{x+10}$天，由提前5天完成可列方程：
$\frac{1000}{x}-\frac{1000}{x+10}=5$
方程两边同乘$x(x+10)$去分母，得：
$1000(x+10) - 1000x = 5x(x+10)$
展开整理得：
$10000 = 5x^2 + 50x$
两边同时除以5化简为：
$x^2 +10x -2000 = 0$
因式分解得：
$(x-40)(x+50)=0$
解得$x_1=40$，$x_2=-50$。
检验：当$x=40$时，$x(x+10)=40×50=2000≠0$，是原分式方程的根；当$x=-50$时，虽然也满足原分式方程，但每天种树棵数不能为负数，不符合实际意义，故舍去。
【答案】
原计划每天种40棵树。
【知识点】
分式方程应用；工程问题等量关系；分式方程检验
【点评】
本题是分式方程实际应用的常考题型，核心是找准时间差的等量关系列方程，易错点是容易忽略对解的实际意义的检验，养成解分式方程后双重检验的习惯即可避免失误。
【难度系数】
0.7
本题属于工作类实际应用题，解题思路如下：首先明确工作总量、工作效率、工作时间三者的核心关系：工作时间=工作总量÷工作效率，本题中工作总量是固定的1000棵树。接着提取题目中的关键等量关系：原计划完成任务的天数 - 实际完成任务的天数 = 5天。我们设原计划每天种x棵树，就可以用含x的式子分别表示原计划和实际的工作时间，代入等量关系即可列出分式方程，求解后要完成双重检验：一是检验解是否为分式方程的增根，二是检验解是否符合种树棵数为正数的实际意义。
【解析】
解：设原计划每天种$x$棵树，则实际每天种$(x+10)$棵树。
根据题意，原计划完成任务的时间为$\frac{1000}{x}$天，实际完成任务的时间为$\frac{1000}{x+10}$天，由提前5天完成可列方程：
$\frac{1000}{x}-\frac{1000}{x+10}=5$
方程两边同乘$x(x+10)$去分母，得：
$1000(x+10) - 1000x = 5x(x+10)$
展开整理得：
$10000 = 5x^2 + 50x$
两边同时除以5化简为：
$x^2 +10x -2000 = 0$
因式分解得：
$(x-40)(x+50)=0$
解得$x_1=40$，$x_2=-50$。
检验：当$x=40$时，$x(x+10)=40×50=2000≠0$，是原分式方程的根；当$x=-50$时，虽然也满足原分式方程，但每天种树棵数不能为负数，不符合实际意义，故舍去。
【答案】
原计划每天种40棵树。
【知识点】
分式方程应用；工程问题等量关系；分式方程检验
【点评】
本题是分式方程实际应用的常考题型，核心是找准时间差的等量关系列方程，易错点是容易忽略对解的实际意义的检验，养成解分式方程后双重检验的习惯即可避免失误。
【难度系数】
0.7
2 某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产。若乙车间每天生产的电子元件比甲车间每天生产的电子元件多30个，结果用33天完成任务，问：甲车间每天生产电子元件多少个？
答案
设甲车间每天生产的电子元件为x个。根据题意得$\frac{2300}{x}+\frac{2300}{x+x+30}=33$,解得$x=100$,另负值不合题意,舍去,即甲车间每天生产的电子元件为100个。
解析
【分析】
这是一道工程类的实际应用题，解题时可按以下思路推导：第一步，明确总工作量为4600个，甲先独立完成一半即2300个，剩余2300个由甲乙合作完成；第二步，设甲每天生产x个，可得乙每天生产(x+30)个，甲单独生产的时间为$\frac{2300}{x}$天，甲乙合作的效率为(x+x+30)个/天，合作生产的时间为$\frac{2300}{2x+30}$天；第三步，根据“总用时33天”这一等量关系，将两段时间相加即可列出分式方程，最后求解方程并检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
设甲车间每天生产的电子元件为x个，则乙车间每天生产(x+30)个。
根据总用时为33天，可列方程：
$\frac{2300}{x}+\frac{2300}{x+x+30}=33$
整理得：$\frac{2300}{x}+\frac{2300}{2x+30}=33$
方程两边同时乘以最简公分母$x(2x+30)$消去分母，得：
$2300(2x+30) + 2300x = 33x(2x+30)$
展开并化简：
$4600x + 69000 + 2300x = 66x² + 990x$
$66x² - 5910x - 69000 = 0$
求解整式方程得：$x_1=100$，$x_2$为负值（不符合生产实际，舍去）
检验：当$x=100$时，$x(2x+30)=100×230=23000≠0$，因此$x=100$是原分式方程的解，且符合题意。
【答案】
甲车间每天生产电子元件100个。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；分式方程求解
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用问题，核心是找准“工作时间=工作量÷工作效率”的等量关系，求解后需注意两步检验：一是检验是否为分式方程的增根，二是检验解是否符合实际生产的意义，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
这是一道工程类的实际应用题，解题时可按以下思路推导：第一步，明确总工作量为4600个，甲先独立完成一半即2300个，剩余2300个由甲乙合作完成；第二步，设甲每天生产x个，可得乙每天生产(x+30)个，甲单独生产的时间为$\frac{2300}{x}$天，甲乙合作的效率为(x+x+30)个/天，合作生产的时间为$\frac{2300}{2x+30}$天；第三步，根据“总用时33天”这一等量关系，将两段时间相加即可列出分式方程，最后求解方程并检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
设甲车间每天生产的电子元件为x个，则乙车间每天生产(x+30)个。
根据总用时为33天，可列方程：
$\frac{2300}{x}+\frac{2300}{x+x+30}=33$
整理得：$\frac{2300}{x}+\frac{2300}{2x+30}=33$
方程两边同时乘以最简公分母$x(2x+30)$消去分母，得：
$2300(2x+30) + 2300x = 33x(2x+30)$
展开并化简：
$4600x + 69000 + 2300x = 66x² + 990x$
$66x² - 5910x - 69000 = 0$
求解整式方程得：$x_1=100$，$x_2$为负值（不符合生产实际，舍去）
检验：当$x=100$时，$x(2x+30)=100×230=23000≠0$，因此$x=100$是原分式方程的解，且符合题意。
【答案】
甲车间每天生产电子元件100个。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；分式方程求解
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用问题，核心是找准“工作时间=工作量÷工作效率”的等量关系，求解后需注意两步检验：一是检验是否为分式方程的增根，二是检验解是否符合实际生产的意义，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
3 甲、乙两艘旅游客轮同时从A市出发到B市。甲沿直航线航行180海里到达B市；乙沿原来航线绕道C市后到达B市，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达B市。已知乙的速度比甲的速度快6海里/时，求甲客轮的速度（两客轮速度都大于16海里/时）。
答案
设甲客轮的速度为x海里/时。根据题意得$\frac{180}{x}+20=\frac{720}{x+6}$,解得$x_1=18$,$x_2=3$(不合题意,舍去),即甲客轮的速度为18海里/时。
解析
【分析】
本题属于行程类分式方程应用题，解题思路如下：首先回忆行程问题核心公式：$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$；其次找等量关系：由“乙比甲晚20小时到达”可得，甲的航行时间+20小时=乙的航行时间；接着设甲的速度为x海里/时，即可表示出乙的速度为$(x+6)$海里/时，再分别表示出甲、乙的航行时间代入等量关系列方程；最后解方程后要做双重检验：一是检验解是否为分式方程的增根，二是检验解是否符合“两客轮速度都大于16海里/时”的限制条件，舍去不合理解。
【解析】
设甲客轮的速度为x海里/时，则乙客轮的速度为$(x+6)$海里/时。
根据题意列方程：
$\frac{180}{x} + 20 = \frac{720}{x+6}$
方程两边同时乘以最简公分母$x(x+6)$（$x≠0$且$x≠-6$）去分母得：
$180(x+6) + 20x(x+6) = 720x$
展开并整理得：
$x^2 -21x +54 = 0$
因式分解得：
$(x-18)(x-3)=0$
解得$x_1=18$，$x_2=3$。
检验：当$x=18$时，$x(x+6)=18×24≠0$，是原方程的解，且$18＞16$，符合题意；当$x=3$时，虽然是原方程的解，但$3＜16$，不符合速度限制条件，故舍去。
【答案】
18海里/时
【知识点】
分式方程的应用、行程问题公式、分式方程检验
【点评】
本题是分式方程解决实际问题的典型题型，解题关键是准确抓住时间的等量关系建立方程，易错点是容易忽略题目给出的速度限制条件，忘记舍去不符合实际意义的解，解答实际问题时要注意解必须满足所有限定要求。
【难度系数】
0.7
本题属于行程类分式方程应用题，解题思路如下：首先回忆行程问题核心公式：$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$；其次找等量关系：由“乙比甲晚20小时到达”可得，甲的航行时间+20小时=乙的航行时间；接着设甲的速度为x海里/时，即可表示出乙的速度为$(x+6)$海里/时，再分别表示出甲、乙的航行时间代入等量关系列方程；最后解方程后要做双重检验：一是检验解是否为分式方程的增根，二是检验解是否符合“两客轮速度都大于16海里/时”的限制条件，舍去不合理解。
【解析】
设甲客轮的速度为x海里/时，则乙客轮的速度为$(x+6)$海里/时。
根据题意列方程：
$\frac{180}{x} + 20 = \frac{720}{x+6}$
方程两边同时乘以最简公分母$x(x+6)$（$x≠0$且$x≠-6$）去分母得：
$180(x+6) + 20x(x+6) = 720x$
展开并整理得：
$x^2 -21x +54 = 0$
因式分解得：
$(x-18)(x-3)=0$
解得$x_1=18$，$x_2=3$。
检验：当$x=18$时，$x(x+6)=18×24≠0$，是原方程的解，且$18＞16$，符合题意；当$x=3$时，虽然是原方程的解，但$3＜16$，不符合速度限制条件，故舍去。
【答案】
18海里/时
【知识点】
分式方程的应用、行程问题公式、分式方程检验
【点评】
本题是分式方程解决实际问题的典型题型，解题关键是准确抓住时间的等量关系建立方程，易错点是容易忽略题目给出的速度限制条件，忘记舍去不符合实际意义的解，解答实际问题时要注意解必须满足所有限定要求。
【难度系数】
0.7
④ A、B两地相距50km，甲骑自行车从A地前往B地，1h 30min后乙骑摩托车也从A地出发前往B地，结果乙比甲先到1h。已知乙的速度是甲的2.5倍，求甲、乙两人的速度。
答案
设自行车速度为x km/h,摩托车速度为2.5x km/h。根据题意得$\frac{50}{2.5x}=\frac{50}{x}-1\frac{30}{60}-1$,解得$x=12$,即甲的速度为12 km/h,乙的速度为30 km/h。
解析
【分析】
这是行程类实际应用题，解题思路如下：1. 明确行程问题基本公式：时间=路程÷速度，本题中A、B两地路程固定为50km；2. 已知乙的速度是甲的2.5倍，可设甲的速度为x km/h，方便表示乙的速度为2.5x km/h；3. 梳理时间关系：甲比乙早出发1.5h，还比乙晚到1h，说明走完全程甲比乙一共多用$1.5+1=2.5$h，以此为等量关系即可列分式方程求解，最后注意分式方程要验根，且结果要符合实际意义。
【解析】
解：设甲的速度为x km/h，则乙的速度为2.5x km/h，$1h30min=1.5h$。
根据走完全程甲比乙多用2.5h，列方程得：
$\frac{50}{x}-\frac{50}{2.5x}=1.5+1$
化简方程左边：$\frac{50}{x}-\frac{20}{x}=\frac{30}{x}$
方程右边为2.5，因此：
$\frac{30}{x}=2.5$
解得$x=30÷2.5=12$
检验：当$x=12$时，分母$x≠0$，$2.5x=30≠0$，所以$x=12$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙的速度为$2.5×12=30$（km/h）
【答案】
甲的速度为12 km/h，乙的速度为30 km/h
【知识点】
分式方程的应用、行程问题公式、分式方程验根
【点评】
本题是典型的行程类分式方程应用题，解题核心是准确梳理两人的时间差作为等量关系列方程，求解后要注意检验分式方程的根是否有意义，同时要验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.6
这是行程类实际应用题，解题思路如下：1. 明确行程问题基本公式：时间=路程÷速度，本题中A、B两地路程固定为50km；2. 已知乙的速度是甲的2.5倍，可设甲的速度为x km/h，方便表示乙的速度为2.5x km/h；3. 梳理时间关系：甲比乙早出发1.5h，还比乙晚到1h，说明走完全程甲比乙一共多用$1.5+1=2.5$h，以此为等量关系即可列分式方程求解，最后注意分式方程要验根，且结果要符合实际意义。
【解析】
解：设甲的速度为x km/h，则乙的速度为2.5x km/h，$1h30min=1.5h$。
根据走完全程甲比乙多用2.5h，列方程得：
$\frac{50}{x}-\frac{50}{2.5x}=1.5+1$
化简方程左边：$\frac{50}{x}-\frac{20}{x}=\frac{30}{x}$
方程右边为2.5，因此：
$\frac{30}{x}=2.5$
解得$x=30÷2.5=12$
检验：当$x=12$时，分母$x≠0$，$2.5x=30≠0$，所以$x=12$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙的速度为$2.5×12=30$（km/h）
【答案】
甲的速度为12 km/h，乙的速度为30 km/h
【知识点】
分式方程的应用、行程问题公式、分式方程验根
【点评】
本题是典型的行程类分式方程应用题，解题核心是准确梳理两人的时间差作为等量关系列方程，求解后要注意检验分式方程的根是否有意义，同时要验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.6
5 某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶。在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价。
答案
设每盒茶叶的进价为x元。根据题意得$(1+20\%)x·50+(\frac{2400}{x}-50)(x-5)=2400+350$,解得$x=40$,另负值不合题意,舍去,即每盒茶叶的进价为40元。
解析
【分析】
本题属于销售盈利类应用题，解题核心是明确总售价、总成本、总利润三者的等量关系：总售价=总成本+总盈利。思考步骤如下：第一步设每盒茶叶的进价为x元，先分别表示两段时间的销售额：第一个月每盒售价为进价的(1+20%)，售出50盒，可直接写出第一个月的销售额；总进货量为总进价除以单盒进价，减去第一个月售出的50盒就是第二个月的销售量，结合第二个月单盒售价(x-5)元，即可写出第二个月的销售额。第二步将两段销售额相加等于总售价（总成本+总盈利），列分式方程求解，最后检验根是否符合实际意义，排除不合题意的根即可。
【解析】
解：设每盒茶叶的进价为x元。
根据题意列方程：
$50×(1+20\%)x + (\frac{2400}{x}-50)(x-5) = 2400 + 350$
整理得：
$60x + 2400 - \frac{12000}{x} - 50x + 250 = 2750$
$10x - \frac{12000}{x} - 100 = 0$
方程两边同乘$x(x≠0)$去分母得：
$10x^2 - 100x - 12000 = 0$
化简为：
$x^2 - 10x - 1200 = 0$
因式分解得：
$(x-40)(x+30)=0$
解得$x_1=40$，$x_2=-30$
经检验，$x=-30$不符合实际意义（进价不能为负），舍去；$x=40$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
每盒茶叶的进价为40元。
【知识点】
分式方程的应用、销售利润计算、分式方程求解
【点评】
本题是典型的实际应用类分式方程问题，解题关键是理清各段销售额的构成，找准等量关系列方程，求解后要注意双重检验：既要保证根是原分式方程的解，又要符合实际情境要求。
【难度系数】
0.7
本题属于销售盈利类应用题，解题核心是明确总售价、总成本、总利润三者的等量关系：总售价=总成本+总盈利。思考步骤如下：第一步设每盒茶叶的进价为x元，先分别表示两段时间的销售额：第一个月每盒售价为进价的(1+20%)，售出50盒，可直接写出第一个月的销售额；总进货量为总进价除以单盒进价，减去第一个月售出的50盒就是第二个月的销售量，结合第二个月单盒售价(x-5)元，即可写出第二个月的销售额。第二步将两段销售额相加等于总售价（总成本+总盈利），列分式方程求解，最后检验根是否符合实际意义，排除不合题意的根即可。
【解析】
解：设每盒茶叶的进价为x元。
根据题意列方程：
$50×(1+20\%)x + (\frac{2400}{x}-50)(x-5) = 2400 + 350$
整理得：
$60x + 2400 - \frac{12000}{x} - 50x + 250 = 2750$
$10x - \frac{12000}{x} - 100 = 0$
方程两边同乘$x(x≠0)$去分母得：
$10x^2 - 100x - 12000 = 0$
化简为：
$x^2 - 10x - 1200 = 0$
因式分解得：
$(x-40)(x+30)=0$
解得$x_1=40$，$x_2=-30$
经检验，$x=-30$不符合实际意义（进价不能为负），舍去；$x=40$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
每盒茶叶的进价为40元。
【知识点】
分式方程的应用、销售利润计算、分式方程求解
【点评】
本题是典型的实际应用类分式方程问题，解题关键是理清各段销售额的构成，找准等量关系列方程，求解后要注意双重检验：既要保证根是原分式方程的解，又要符合实际情境要求。
【难度系数】
0.7
