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11 解下列关于$x$的分式方程。
(1) $\frac{x+1}{x-1} - \frac{4}{x^2 -1} =1$；
(2) $1 - \frac{x^2 -1}{9} = \frac{1}{x^2}$；
(3) $x^2 +x +1 = \frac{2}{x^2 +x}$；
(4) $2x^2 + \frac{2}{x^2} -7x + \frac{7}{x} +2 =0$。
(1) $\frac{x+1}{x-1} - \frac{4}{x^2 -1} =1$；
(2) $1 - \frac{x^2 -1}{9} = \frac{1}{x^2}$；
(3) $x^2 +x +1 = \frac{2}{x^2 +x}$；
(4) $2x^2 + \frac{2}{x^2} -7x + \frac{7}{x} +2 =0$。
答案
(1) 无解
(2) $x_1=1,x_2=-1,x_3=3,x_4=-3$
(3) $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
(4) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2},x_3=2,x_4=-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=1,x_2=-1,x_3=3,x_4=-3$
(3) $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
(4) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2},x_3=2,x_4=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①确定分母不为0的取值范围，找最简公分母；②去分母化为整式方程；③解整式方程；④验根（去分母可能产生增根，代入最简公分母，若为0则是增根需舍去，不为0才是原方程的根）。若方程中出现重复的代数式，可使用换元法简化计算：
(1) 分母可因式分解为$(x-1)(x+1)$，直接乘最简公分母$x^2-1$去分母即可；
(2) 两边乘最简公分母$9x^2$去分母后得到双二次方程，换元为二次方程求解；
(3) 重复出现$x^2+x$，设$y=x^2+x$换元简化；
(4) 利用$x^2+\frac{1}{x^2}=(x-\frac{1}{x})^2+2$变形，设$y=x-\frac{1}{x}$换元求解。
【解析】
(1) 分母不为0的条件：$x^2-1≠0$，即$x≠\pm1$。
方程两边同乘最简公分母$x^2-1$得：$(x+1)^2 - 4 = x^2 - 1$
展开整理：$x^2+2x+1-4=x^2-1$，移项合并得$2x=2$，解得$x=1$。
检验：将$x=1$代入$x^2-1$得$0$，故$x=1$是增根，原方程无解。
(2) 分母不为0的条件：$x≠0$。
方程两边同乘最简公分母$9x^2$得：$9x^2 - x^2(x^2-1)=9$
整理得双二次方程：$x^4-10x^2+9=0$，设$y=x^2(y≥0)$，方程变为$y^2-10y+9=0$
因式分解得$(y-1)(y-9)=0$，解得$y_1=1,y_2=9$。
当$y=1$时，$x^2=1$，得$x=\pm1$；当$y=9$时，$x^2=9$，得$x=\pm3$。
检验：4个根代入$9x^2$均不为0，均为原方程的根。
(3) 分母不为0的条件：$x^2+x≠0$，即$x≠0$且$x≠-1$。
设$y=x^2+x$，原方程变为$y+1=\frac{2}{y}$，两边乘$y$得$y^2+y-2=0$
因式分解得$(y+2)(y-1)=0$，解得$y_1=-2,y_2=1$。
当$y=-2$时，$x^2+x=-2$，即$x^2+x+2=0$，判别式$\Delta=1-8=-7＜0$，无实根；
当$y=1$时，$x^2+x=1$，即$x^2+x-1=0$，由求根公式得$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
检验：两个根代入$x^2+x$均不为0，均为原方程的根。
(4) 分母不为0的条件：$x≠0$。
原方程整理为$2(x^2+\frac{1}{x^2})-7(x-\frac{1}{x})+2=0$，代入$x^2+\frac{1}{x^2}=(x-\frac{1}{x})^2+2$得：
$2[(x-\frac{1}{x})^2+2]-7(x-\frac{1}{x})+2=0$，整理得$2(x-\frac{1}{x})^2-7(x-\frac{1}{x})+6=0$。
设$y=x-\frac{1}{x}$，方程变为$2y^2-7y+6=0$，因式分解得$(2y-3)(y-2)=0$，解得$y_1=2,y_2=\frac{3}{2}$。
当$y=2$时，$x-\frac{1}{x}=2$，乘$x$得$x^2-2x-1=0$，求根得$x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}$；
当$y=\frac{3}{2}$时，$x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}$，乘$2x$得$2x^2-3x-2=0$，因式分解得$(2x+1)(x-2)=0$，解得$x=2$或$x=-\frac{1}{2}$。
检验：4个根均不为0，均为原方程的根。
【答案】
(1) 无解
(2) $x_1=1,x_2=-1,x_3=3,x_4=-3$
(3) $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
(4) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2},x_3=2,x_4=-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程解法，换元法，增根检验
【点评】
本组题覆盖分式方程的常规解法和换元法的典型应用，需牢记分式方程必须验根，遇到含重复整体的方程时巧用换元法可简化计算，降低出错率。
【难度系数】
0.6
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①确定分母不为0的取值范围，找最简公分母；②去分母化为整式方程；③解整式方程；④验根（去分母可能产生增根，代入最简公分母，若为0则是增根需舍去，不为0才是原方程的根）。若方程中出现重复的代数式，可使用换元法简化计算：
(1) 分母可因式分解为$(x-1)(x+1)$，直接乘最简公分母$x^2-1$去分母即可；
(2) 两边乘最简公分母$9x^2$去分母后得到双二次方程，换元为二次方程求解；
(3) 重复出现$x^2+x$，设$y=x^2+x$换元简化；
(4) 利用$x^2+\frac{1}{x^2}=(x-\frac{1}{x})^2+2$变形，设$y=x-\frac{1}{x}$换元求解。
【解析】
(1) 分母不为0的条件：$x^2-1≠0$，即$x≠\pm1$。
方程两边同乘最简公分母$x^2-1$得：$(x+1)^2 - 4 = x^2 - 1$
展开整理：$x^2+2x+1-4=x^2-1$，移项合并得$2x=2$，解得$x=1$。
检验：将$x=1$代入$x^2-1$得$0$，故$x=1$是增根，原方程无解。
(2) 分母不为0的条件：$x≠0$。
方程两边同乘最简公分母$9x^2$得：$9x^2 - x^2(x^2-1)=9$
整理得双二次方程：$x^4-10x^2+9=0$，设$y=x^2(y≥0)$，方程变为$y^2-10y+9=0$
因式分解得$(y-1)(y-9)=0$，解得$y_1=1,y_2=9$。
当$y=1$时，$x^2=1$，得$x=\pm1$；当$y=9$时，$x^2=9$，得$x=\pm3$。
检验：4个根代入$9x^2$均不为0，均为原方程的根。
(3) 分母不为0的条件：$x^2+x≠0$，即$x≠0$且$x≠-1$。
设$y=x^2+x$，原方程变为$y+1=\frac{2}{y}$，两边乘$y$得$y^2+y-2=0$
因式分解得$(y+2)(y-1)=0$，解得$y_1=-2,y_2=1$。
当$y=-2$时，$x^2+x=-2$，即$x^2+x+2=0$，判别式$\Delta=1-8=-7＜0$，无实根；
当$y=1$时，$x^2+x=1$，即$x^2+x-1=0$，由求根公式得$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
检验：两个根代入$x^2+x$均不为0，均为原方程的根。
(4) 分母不为0的条件：$x≠0$。
原方程整理为$2(x^2+\frac{1}{x^2})-7(x-\frac{1}{x})+2=0$，代入$x^2+\frac{1}{x^2}=(x-\frac{1}{x})^2+2$得：
$2[(x-\frac{1}{x})^2+2]-7(x-\frac{1}{x})+2=0$，整理得$2(x-\frac{1}{x})^2-7(x-\frac{1}{x})+6=0$。
设$y=x-\frac{1}{x}$，方程变为$2y^2-7y+6=0$，因式分解得$(2y-3)(y-2)=0$，解得$y_1=2,y_2=\frac{3}{2}$。
当$y=2$时，$x-\frac{1}{x}=2$，乘$x$得$x^2-2x-1=0$，求根得$x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}$；
当$y=\frac{3}{2}$时，$x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}$，乘$2x$得$2x^2-3x-2=0$，因式分解得$(2x+1)(x-2)=0$，解得$x=2$或$x=-\frac{1}{2}$。
检验：4个根均不为0，均为原方程的根。
【答案】
(1) 无解
(2) $x_1=1,x_2=-1,x_3=3,x_4=-3$
(3) $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
(4) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2},x_3=2,x_4=-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程解法，换元法，增根检验
【点评】
本组题覆盖分式方程的常规解法和换元法的典型应用，需牢记分式方程必须验根，遇到含重复整体的方程时巧用换元法可简化计算，降低出错率。
【难度系数】
0.6
12 如图①,用30 m长的隔离网在一段15 m长的院墙边围成长方形养殖园,已知长方形的边CD靠院墙,AD和BC与院墙垂直。
(1) 当围成的长方形养殖园面积为$108\ \mathrm{m}^2$时,求BC的长;
(2) 如图②,张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽,需要在中间多加上两道隔离网。已知两道隔离网均与院墙垂直,此时养殖园的面积能否达到$100\ \mathrm{m}^2$? 若能,求出AB的长;若不能,请说明理由。
(1) 当围成的长方形养殖园面积为$108\ \mathrm{m}^2$时,求BC的长;
(2) 如图②,张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽,需要在中间多加上两道隔离网。已知两道隔离网均与院墙垂直,此时养殖园的面积能否达到$100\ \mathrm{m}^2$? 若能,求出AB的长;若不能,请说明理由。
答案
(1) 设$AB=x\ \mathrm{m}$,因为隔离网的总长为30m,所以$AD=\frac{30-x}{2}\ \mathrm{m}$。由题意得$x·\frac{30-x}{2}=108$,整理得$x^2-30x+216=0$,解得$x_1=12$,$x_2=18$(不符合题意,舍去)。所以$\frac{30-x}{2}=\frac{30-12}{2}=9$。所以$BC$的长为9 m。
(2) 养殖园的面积不能达到$100\ \mathrm{m}^2$,理由如下:设$AB=y\ \mathrm{m}$,因为隔离网的总长为30 m,所以$AD=\frac{30-y}{4}\ \mathrm{m}$。根据题意得$y·\frac{30-y}{4}=100$,整理得$y^2-30y+400=0$。因为$\Delta=(-30)^2-4×1×400=-700＜0$,所以该方程无实数根,所以养殖园的面积不能达到$100\ \mathrm{m}^2$。
(2) 养殖园的面积不能达到$100\ \mathrm{m}^2$,理由如下:设$AB=y\ \mathrm{m}$,因为隔离网的总长为30 m,所以$AD=\frac{30-y}{4}\ \mathrm{m}$。根据题意得$y·\frac{30-y}{4}=100$,整理得$y^2-30y+400=0$。因为$\Delta=(-30)^2-4×1×400=-700＜0$,所以该方程无实数根,所以养殖园的面积不能达到$100\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
（1）解题时首先明确已知条件：CD靠院墙无需隔离网，隔离网总长30m对应AB、AD、BC三边长度和，且CD=AB≤院墙长度15m。要求BC的长，可先设AB的长度为x m，即可用含x的代数式表示BC的长度，再结合长方形面积公式列一元二次方程求解，最后要检验解是否满足AB≤15m的限制，舍去不符合实际的解，即可求出BC的长。
（2）增加两道与院墙垂直的隔离网后，垂直于院墙的边共有4条，此时隔离网总长对应AB与4条垂直边的长度和。设AB的长度为y m，用含y的代数式表示垂直边的长度，结合面积为100m²列方程，通过计算一元二次方程根的判别式的符号，判断方程是否有实数根，即可确定面积能否达到100m²。
【解析】
(1) 设$AB=x\ \mathrm{m}$，由题意可知CD靠院墙，隔离网总长为30m，因此垂直于院墙的边$BC=AD=\frac{30-x}{2}\ \mathrm{m}$，且$AB=CD≤15\ \mathrm{m}$。
根据长方形面积为$108\ \mathrm{m}^2$列方程：
$x·\frac{30-x}{2}=108$
整理得：$x^2-30x+216=0$
解方程得$x_1=12$，$x_2=18$。
由于$x_2=18＞15$，不符合院墙长度限制，故舍去。
因此$BC=\frac{30-12}{2}=9\ \mathrm{m}$。
(2) 养殖园的面积不能达到$100\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
设$AB=y\ \mathrm{m}$，增加两道垂直隔离网后，垂直于院墙的边共有4条，因此$AD=\frac{30-y}{4}\ \mathrm{m}$。
若面积为$100\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$y·\frac{30-y}{4}=100$
整理得：$y^2-30y+400=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-30)^2-4×1×400=900-1600=-700＜0$
因此该一元二次方程无实数根，即养殖园的面积不能达到$100\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $BC$的长为$9\ \mathrm{m}$；
(2) 养殖园的面积不能达到$100\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活中的围栏围建场景考察一元二次方程的应用，解题时要注意实际场景对边长的限制，避免出现不符合实际的解；对于“能否达到某一数值”类的问题，可通过判断对应一元二次方程根的情况来求解，是这类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
（1）解题时首先明确已知条件：CD靠院墙无需隔离网，隔离网总长30m对应AB、AD、BC三边长度和，且CD=AB≤院墙长度15m。要求BC的长，可先设AB的长度为x m，即可用含x的代数式表示BC的长度，再结合长方形面积公式列一元二次方程求解，最后要检验解是否满足AB≤15m的限制，舍去不符合实际的解，即可求出BC的长。
（2）增加两道与院墙垂直的隔离网后，垂直于院墙的边共有4条，此时隔离网总长对应AB与4条垂直边的长度和。设AB的长度为y m，用含y的代数式表示垂直边的长度，结合面积为100m²列方程，通过计算一元二次方程根的判别式的符号，判断方程是否有实数根，即可确定面积能否达到100m²。
【解析】
(1) 设$AB=x\ \mathrm{m}$，由题意可知CD靠院墙，隔离网总长为30m，因此垂直于院墙的边$BC=AD=\frac{30-x}{2}\ \mathrm{m}$，且$AB=CD≤15\ \mathrm{m}$。
根据长方形面积为$108\ \mathrm{m}^2$列方程：
$x·\frac{30-x}{2}=108$
整理得：$x^2-30x+216=0$
解方程得$x_1=12$，$x_2=18$。
由于$x_2=18＞15$，不符合院墙长度限制，故舍去。
因此$BC=\frac{30-12}{2}=9\ \mathrm{m}$。
(2) 养殖园的面积不能达到$100\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
设$AB=y\ \mathrm{m}$，增加两道垂直隔离网后，垂直于院墙的边共有4条，因此$AD=\frac{30-y}{4}\ \mathrm{m}$。
若面积为$100\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$y·\frac{30-y}{4}=100$
整理得：$y^2-30y+400=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-30)^2-4×1×400=900-1600=-700＜0$
因此该一元二次方程无实数根，即养殖园的面积不能达到$100\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $BC$的长为$9\ \mathrm{m}$；
(2) 养殖园的面积不能达到$100\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活中的围栏围建场景考察一元二次方程的应用，解题时要注意实际场景对边长的限制，避免出现不符合实际的解；对于“能否达到某一数值”类的问题，可通过判断对应一元二次方程根的情况来求解，是这类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
