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13 如图,在长方形ABCD中,相邻边AB和BC的长为方程$x^2 -14x +48=0$的两个根,且$BC＜AB$。(单位:cm)
(1) 求AB、BC的长;
(2) 如果点Q、P分别从点C、A同时出发,点Q以1cm/s的速度沿CB向点B运动,点P以2cm/s的速度沿AB向点B运动,当其中一点到达B时,另一点也随之停止,设运动时间为t秒,求当t为何值时,$△ PBQ$的面积为$8\mathrm{cm}^2$。
(1) 求AB、BC的长;
(2) 如果点Q、P分别从点C、A同时出发,点Q以1cm/s的速度沿CB向点B运动,点P以2cm/s的速度沿AB向点B运动,当其中一点到达B时,另一点也随之停止,设运动时间为t秒,求当t为何值时,$△ PBQ$的面积为$8\mathrm{cm}^2$。
答案
(1) $AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$
(2) 当运动时间为$t\ \mathrm{s}$时,$PB=(8-2t)\ \mathrm{cm}$,$BQ=(6-t)\ \mathrm{cm}$。因为$PB＞0$,所以$8-2t＞0$,所以$t＜4$。要使$△ PBQ$的面积为$8\mathrm{cm}^2$,则$\frac{1}{2}PB· BQ=8$,所以$\frac{1}{2}(8-2t)(6-t)=8$,解得$t_1=8$(舍去),$t_2=2$。所以当$t=2$时,$△ PBQ$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 当运动时间为$t\ \mathrm{s}$时,$PB=(8-2t)\ \mathrm{cm}$,$BQ=(6-t)\ \mathrm{cm}$。因为$PB＞0$,所以$8-2t＞0$,所以$t＜4$。要使$△ PBQ$的面积为$8\mathrm{cm}^2$,则$\frac{1}{2}PB· BQ=8$,所以$\frac{1}{2}(8-2t)(6-t)=8$,解得$t_1=8$(舍去),$t_2=2$。所以当$t=2$时,$△ PBQ$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 先求解一元二次方程$x^2-14x+48=0$得到两个根，再结合题目给出的$BC＜AB$的条件，即可对应得到AB和BC的长度。
(2) 首先根据点P、Q的运动速度和方向，用含t的代数式分别表示出PB、BQ的长度，同时结合两点都未到达终点的要求确定t的取值范围；再利用直角三角形的面积公式列出关于t的一元二次方程，求解后舍去不符合取值范围的根，即可得到符合要求的t值。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -14x +48=0$，
因式分解得$(x-6)(x-8)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=8$，
因为$BC＜AB$，且AB、BC是方程的两个根，
所以$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意可知，点P从A到B的总时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，点Q从C到B的总时间为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，所以运动时间t的取值范围是$0≤ t≤4$。
运动t秒时，$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$CQ=t\ \mathrm{cm}$，
因此$PB=AB-AP=(8-2t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=BC-CQ=(6-t)\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ B=90°$，$△ PBQ$的面积为$8\mathrm{cm}^2$，根据直角三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}PB· BQ=8$，
代入得$\frac{1}{2}(8-2t)(6-t)=8$，
整理得$t^2-10t+16=0$，
解得$t_1=2$，$t_2=8$，
因为$t≤4$，所以$t=8$不符合题意，舍去，即$t=2$符合要求。
【答案】
(1) $AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$
(2) 当$t=2$时，$△ PBQ$的面积为$8\mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元二次方程求解，直角三角形面积计算，动点问题应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，既考查了一元二次方程的解法，又考查了动点问题中线段长度的表示及几何公式的应用，解题时要注意对求得的根进行合理性检验，舍去不符合实际情况的解。
【难度系数】
0.7
(1) 先求解一元二次方程$x^2-14x+48=0$得到两个根，再结合题目给出的$BC＜AB$的条件，即可对应得到AB和BC的长度。
(2) 首先根据点P、Q的运动速度和方向，用含t的代数式分别表示出PB、BQ的长度，同时结合两点都未到达终点的要求确定t的取值范围；再利用直角三角形的面积公式列出关于t的一元二次方程，求解后舍去不符合取值范围的根，即可得到符合要求的t值。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -14x +48=0$，
因式分解得$(x-6)(x-8)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=8$，
因为$BC＜AB$，且AB、BC是方程的两个根，
所以$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意可知，点P从A到B的总时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，点Q从C到B的总时间为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，所以运动时间t的取值范围是$0≤ t≤4$。
运动t秒时，$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$CQ=t\ \mathrm{cm}$，
因此$PB=AB-AP=(8-2t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=BC-CQ=(6-t)\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ B=90°$，$△ PBQ$的面积为$8\mathrm{cm}^2$，根据直角三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}PB· BQ=8$，
代入得$\frac{1}{2}(8-2t)(6-t)=8$，
整理得$t^2-10t+16=0$，
解得$t_1=2$，$t_2=8$，
因为$t≤4$，所以$t=8$不符合题意，舍去，即$t=2$符合要求。
【答案】
(1) $AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$
(2) 当$t=2$时，$△ PBQ$的面积为$8\mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元二次方程求解，直角三角形面积计算，动点问题应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，既考查了一元二次方程的解法，又考查了动点问题中线段长度的表示及几何公式的应用，解题时要注意对求得的根进行合理性检验，舍去不符合实际情况的解。
【难度系数】
0.7
14 为了迎接运动会，同学们参与一块长为 40 m，宽为 30 m 的长方形草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程。
活动一 请设计两条相同宽度的小路连接长方形草坪两组对边，小组内同学们设计的方案主要有甲、乙两种典型的方案。
甲:直径简洁型 乙:斜径笔直型
问题一 （1）判断小组设计出来的两种方案中小路面积的大小关系。
① 直观猜想:我认为
② 具体验证:假设小路的宽为 1 m，则甲、乙方案中小路的面积分别为
③ 一般验证:若小路的宽为 a m，则甲、乙方案中小路的面积分别为
活动二 为施工方便，学校选择甲设计方案，并要求除小路外草坪面积为 1064 m²。
问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动一 请设计两条相同宽度的小路连接长方形草坪两组对边，小组内同学们设计的方案主要有甲、乙两种典型的方案。
甲:直径简洁型 乙:斜径笔直型问题一 （1）判断小组设计出来的两种方案中小路面积的大小关系。
① 直观猜想:我认为
两种方案小路面积的大小相等
；(请用简洁的语言或代数式表达你的猜想)② 具体验证:假设小路的宽为 1 m，则甲、乙方案中小路的面积分别为
69
m²和69
m²；③ 一般验证:若小路的宽为 a m，则甲、乙方案中小路的面积分别为
$(-a^2+70a)$
m²和$(-a^2+70a)$
m²(用含 a 的代数式表示)。活动二 为施工方便，学校选择甲设计方案，并要求除小路外草坪面积为 1064 m²。
问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
答案
(1) ① 两种方案小路面积的大小相等
② 69，69
③ $(-a^2+70a)$，$(-a^2+70a)$
(2) 设小路的宽为$x\ \mathrm{m}$,则$(40-x)(30-x)=1064$,解得$x=2$或$x=68$(不符合题意,舍去),所以小路的宽为2 m。
② 69，69
③ $(-a^2+70a)$，$(-a^2+70a)$
(2) 设小路的宽为$x\ \mathrm{m}$,则$(40-x)(30-x)=1064$,解得$x=2$或$x=68$(不符合题意,舍去),所以小路的宽为2 m。
解析
【分析】
（1）判断小路面积关系时，甲方案的横竖小路面积需用两个矩形面积和减去重叠的正方形面积，避免重复计算；乙方案的斜向小路是平行四边形，平行四边形面积=底×高，底为小路宽度，高分别对应长方形的长和宽，同样需减去重叠部分面积，由此可猜想两者面积相等，再分别代入具体数值和字母验证即可。（2）计算小路宽度时，甲方案可将四块草坪平移拼接为新的长方形，新长方形的长为原长减小路宽、宽为原宽减小路宽，结合草坪面积列一元二次方程求解，舍去不符合实际的根即可得到结果。
【解析】
(1) ① 对比两个方案的小路构造：甲方案小路面积=纵向矩形面积+横向矩形面积-重叠正方形面积；乙方案两个斜向小路为平行四边形，面积分别为路宽×长方形长、路宽×长方形宽，同样减去重叠部分面积，因此猜想两种方案小路面积的大小相等。
② 当小路宽为1m时：
甲方案小路面积：$40×1 + 30×1 - 1×1 = 69(\mathrm{m^2})$
乙方案两个平行四边形面积和减去重叠部分：$40×1 + 30×1 - 1×1 = 69(\mathrm{m^2})$
③ 当小路宽为a m时：
甲方案小路面积：$40a + 30a - a^2 = -a^2 +70a(\mathrm{m^2})$
乙方案小路面积：$40a + 30a - a^2 = -a^2 +70a(\mathrm{m^2})$
(2) 设小路的宽为$x\ \mathrm{m}$，将草坪平移后得到的新长方形长为$(40-x)\mathrm{m}$，宽为$(30-x)\mathrm{m}$，根据草坪面积列方程：
$(40-x)(30-x)=1064$
展开整理得$x^2 -70x +136=0$，解得$x_1=2$，$x_2=68$。
因为$x=68$大于草坪的长和宽，不符合实际，舍去，因此小路宽为2m。
【答案】
(1) ① 两种方案小路面积的大小相等；② 69，69；③ $-a^2+70a$，$-a^2+70a$
(2) 2 m
【知识点】
一元二次方程的应用，平行四边形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题结合生活设计场景，考查了图形面积计算与方程的实际应用，解题核心是通过平移、割补转化图形面积，同时要注意检验方程的根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
（1）判断小路面积关系时，甲方案的横竖小路面积需用两个矩形面积和减去重叠的正方形面积，避免重复计算；乙方案的斜向小路是平行四边形，平行四边形面积=底×高，底为小路宽度，高分别对应长方形的长和宽，同样需减去重叠部分面积，由此可猜想两者面积相等，再分别代入具体数值和字母验证即可。（2）计算小路宽度时，甲方案可将四块草坪平移拼接为新的长方形，新长方形的长为原长减小路宽、宽为原宽减小路宽，结合草坪面积列一元二次方程求解，舍去不符合实际的根即可得到结果。
【解析】
(1) ① 对比两个方案的小路构造：甲方案小路面积=纵向矩形面积+横向矩形面积-重叠正方形面积；乙方案两个斜向小路为平行四边形，面积分别为路宽×长方形长、路宽×长方形宽，同样减去重叠部分面积，因此猜想两种方案小路面积的大小相等。
② 当小路宽为1m时：
甲方案小路面积：$40×1 + 30×1 - 1×1 = 69(\mathrm{m^2})$
乙方案两个平行四边形面积和减去重叠部分：$40×1 + 30×1 - 1×1 = 69(\mathrm{m^2})$
③ 当小路宽为a m时：
甲方案小路面积：$40a + 30a - a^2 = -a^2 +70a(\mathrm{m^2})$
乙方案小路面积：$40a + 30a - a^2 = -a^2 +70a(\mathrm{m^2})$
(2) 设小路的宽为$x\ \mathrm{m}$，将草坪平移后得到的新长方形长为$(40-x)\mathrm{m}$，宽为$(30-x)\mathrm{m}$，根据草坪面积列方程：
$(40-x)(30-x)=1064$
展开整理得$x^2 -70x +136=0$，解得$x_1=2$，$x_2=68$。
因为$x=68$大于草坪的长和宽，不符合实际，舍去，因此小路宽为2m。
【答案】
(1) ① 两种方案小路面积的大小相等；② 69，69；③ $-a^2+70a$，$-a^2+70a$
(2) 2 m
【知识点】
一元二次方程的应用，平行四边形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题结合生活设计场景，考查了图形面积计算与方程的实际应用，解题核心是通过平移、割补转化图形面积，同时要注意检验方程的根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
