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1 下列方程是关于$x$的一元二次方程的是(
A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = 2$
C.$x^2 + 2x = x^2 - 1$
D.$3(x + 1)^2 = 2(x + 1)$
D
)。A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = 2$
C.$x^2 + 2x = x^2 - 1$
D.$3(x + 1)^2 = 2(x + 1)$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为关于x的一元二次方程，首先需明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有一个未知数x；③未知数x的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时先逐一对照条件排查每个选项，排除不符合要求的选项，最终确定正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的判定标准：同时满足整式方程、仅含一个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
A选项：$ax^2 + bx + c = 0$，未注明$a≠0$，若$a=0$，方程变为一元一次方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B选项：$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = 2$，分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，排除；
C选项：对$x^2 + 2x = x^2 - 1$移项合并同类项，得$2x + 1 = 0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除；
D选项：对$3(x + 1)^2 = 2(x + 1)$展开整理：
左边展开得$3(x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3$，
移项得$3x^2 + 6x + 3 - 2x - 2 = 0$，
合并同类项得$3x^2 + 4x + 1 = 0$，
满足一元二次方程的所有判定条件，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程识别、方程化简整理
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题型，易错点在于容易忽略A选项中二次项系数不为0的前提，以及未对C、D选项化简就直接判断是否含二次项，解题时需严格按照判定条件逐一验证，先化简再判断。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为关于x的一元二次方程，首先需明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有一个未知数x；③未知数x的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时先逐一对照条件排查每个选项，排除不符合要求的选项，最终确定正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的判定标准：同时满足整式方程、仅含一个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
A选项：$ax^2 + bx + c = 0$，未注明$a≠0$，若$a=0$，方程变为一元一次方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B选项：$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = 2$，分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，排除；
C选项：对$x^2 + 2x = x^2 - 1$移项合并同类项，得$2x + 1 = 0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除；
D选项：对$3(x + 1)^2 = 2(x + 1)$展开整理：
左边展开得$3(x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3$，
移项得$3x^2 + 6x + 3 - 2x - 2 = 0$，
合并同类项得$3x^2 + 4x + 1 = 0$，
满足一元二次方程的所有判定条件，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程识别、方程化简整理
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题型，易错点在于容易忽略A选项中二次项系数不为0的前提，以及未对C、D选项化简就直接判断是否含二次项，解题时需严格按照判定条件逐一验证，先化简再判断。
【难度系数】
0.8
② 以$1+\sqrt{7}$与$1-\sqrt{7}$为根的一元二次方程是(
A.$x^2 - 2x - 6 = 0$
B.$x^2 - 2x + 6 = 0$
C.$y^2 + 2y - 6 = 0$
D.$y^2 + 2y + 6 = 0$
A
)。A.$x^2 - 2x - 6 = 0$
B.$x^2 - 2x + 6 = 0$
C.$y^2 + 2y - 6 = 0$
D.$y^2 + 2y + 6 = 0$
答案
2.A
解析
【分析】
已知一元二次方程的两个根，我们可以利用根与系数的关系（韦达定理）构造方程。首先回忆规律：若二次项系数为1，一元二次方程可表示为$x^2 - (\mathrm{两根之和})x + \mathrm{两根之积}=0$。解题时第一步先计算两个根的和，第二步计算两个根的积，第三步代入上述公式得到方程，再对照选项选出答案即可。
【解析】
1. 计算两根之和：
$(1+\sqrt{7})+(1-\sqrt{7})=1+\sqrt{7}+1-\sqrt{7}=2$
2. 计算两根之积，利用平方差公式简化运算：
$(1+\sqrt{7})(1-\sqrt{7})=1^2-(\sqrt{7})^2=1-7=-6$
3. 代入二次项系数为1的一元二次方程构造公式，可得方程为：
$x^2-2x-6=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 平方差公式运算
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，掌握构造方程的规律即可快速求解，计算两根乘积时使用平方差公式能大幅简化运算过程。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程的两个根，我们可以利用根与系数的关系（韦达定理）构造方程。首先回忆规律：若二次项系数为1，一元二次方程可表示为$x^2 - (\mathrm{两根之和})x + \mathrm{两根之积}=0$。解题时第一步先计算两个根的和，第二步计算两个根的积，第三步代入上述公式得到方程，再对照选项选出答案即可。
【解析】
1. 计算两根之和：
$(1+\sqrt{7})+(1-\sqrt{7})=1+\sqrt{7}+1-\sqrt{7}=2$
2. 计算两根之积，利用平方差公式简化运算：
$(1+\sqrt{7})(1-\sqrt{7})=1^2-(\sqrt{7})^2=1-7=-6$
3. 代入二次项系数为1的一元二次方程构造公式，可得方程为：
$x^2-2x-6=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 平方差公式运算
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，掌握构造方程的规律即可快速求解，计算两根乘积时使用平方差公式能大幅简化运算过程。
【难度系数】
0.8
3 方程$x^2 + |x| - 6 = 0$的解为(
A.$x_1=-3, x_2=2$
B.$x_1=3, x_2=-2$
C.$x_1=3, x_2=-3$
D.$x_1=2, x_2=-2$
D
)。A.$x_1=-3, x_2=2$
B.$x_1=3, x_2=-2$
C.$x_1=3, x_2=-3$
D.$x_1=2, x_2=-2$
答案
3.D
解析
【分析】
首先观察方程特点，方程中同时含有$x^2$和$|x|$，因为$x^2=|x|^2$，所以可以把$|x|$看作一个整体，通过换元法将原含绝对值的方程转化为普通一元二次方程求解，也可以分$x≥0$和$x＜0$两种情况去绝对值后求解，最后结合绝对值的非负性检验解的合理性即可。
【解析】
方法一（换元法）：
∵ 对任意实数$x$，都有$x^2 = |x|^2$，
∴ 原方程可变形为：$|x|^2 + |x| - 6 = 0$，
设$t = |x|$，则$t ≥ 0$，方程转化为：$t^2 + t - 6 = 0$，
对左边因式分解得：$(t + 3)(t - 2) = 0$，
解得 $t_1 = -3$，$t_2 = 2$，
∵ $t = |x| ≥ 0$，
∴ $t = -3$不符合要求，舍去，
∴ $|x| = 2$，解得$x = 2$或$x = -2$，即$x_1=2$，$x_2=-2$。
方法二（分类讨论法）：
① 当$x ≥ 0$时，$|x|=x$，原方程变为$x^2 + x - 6 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，解得$x=-3$或$x=2$，
∵ $x≥0$，
∴ $x=-3$舍去，保留$x=2$；
② 当$x ＜ 0$时，$|x|=-x$，原方程变为$x^2 - x - 6 = 0$，
因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x=3$或$x=-2$，
∵ $x＜0$，
∴ $x=3$舍去，保留$x=-2$；
综上，方程的解为$x_1=2$，$x_2=-2$。
【答案】
D
【知识点】
含绝对值方程求解，一元二次方程解法，绝对值性质
【点评】
本题核心是利用整体换元或分类讨论的思路处理含绝对值的方程，求解后要注意根据绝对值的非负性排除不符合条件的增根，整体难度不大，是考察方程求解思路的基础题型。
【难度系数】
0.8
首先观察方程特点，方程中同时含有$x^2$和$|x|$，因为$x^2=|x|^2$，所以可以把$|x|$看作一个整体，通过换元法将原含绝对值的方程转化为普通一元二次方程求解，也可以分$x≥0$和$x＜0$两种情况去绝对值后求解，最后结合绝对值的非负性检验解的合理性即可。
【解析】
方法一（换元法）：
∵ 对任意实数$x$，都有$x^2 = |x|^2$，
∴ 原方程可变形为：$|x|^2 + |x| - 6 = 0$，
设$t = |x|$，则$t ≥ 0$，方程转化为：$t^2 + t - 6 = 0$，
对左边因式分解得：$(t + 3)(t - 2) = 0$，
解得 $t_1 = -3$，$t_2 = 2$，
∵ $t = |x| ≥ 0$，
∴ $t = -3$不符合要求，舍去，
∴ $|x| = 2$，解得$x = 2$或$x = -2$，即$x_1=2$，$x_2=-2$。
方法二（分类讨论法）：
① 当$x ≥ 0$时，$|x|=x$，原方程变为$x^2 + x - 6 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，解得$x=-3$或$x=2$，
∵ $x≥0$，
∴ $x=-3$舍去，保留$x=2$；
② 当$x ＜ 0$时，$|x|=-x$，原方程变为$x^2 - x - 6 = 0$，
因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x=3$或$x=-2$，
∵ $x＜0$，
∴ $x=3$舍去，保留$x=-2$；
综上，方程的解为$x_1=2$，$x_2=-2$。
【答案】
D
【知识点】
含绝对值方程求解，一元二次方程解法，绝对值性质
【点评】
本题核心是利用整体换元或分类讨论的思路处理含绝对值的方程，求解后要注意根据绝对值的非负性排除不符合条件的增根，整体难度不大，是考察方程求解思路的基础题型。
【难度系数】
0.8
④ 方程$(x+1)(x-3)=5$的解是(
A.$x_1=1, x_2=-3$
B.$x_1=4, x_2=-2$
C.$x_1=-1, x_2=3$
D.$x_1=-4, x_2=2$
B
)。A.$x_1=1, x_2=-3$
B.$x_1=4, x_2=-2$
C.$x_1=-1, x_2=3$
D.$x_1=-4, x_2=2$
答案
4.B
解析
【分析】
观察方程可知，左边是两个一次因式的乘积，但右边不等于0，不能直接令两个因式分别为0求解。解题思路为：先利用多项式乘多项式法则展开左边，再移项整理成一元二次方程的一般形式，再通过因式分解法求解方程，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：先展开方程左边：
$(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$
原方程可化为：
$x^2-2x-3=5$
移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2-2x-8=0$
对左边因式分解得：
$(x-4)(x+2)=0$
因此$x-4=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘法运算
一元二次方程求解
因式分解法解方程
【点评】
本题易错点是忽略方程右边不为0的前提，直接令两个因式分别为0求解。解题时需先将方程整理为一元二次方程的标准形式再求解，属于一元二次方程解法的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
观察方程可知，左边是两个一次因式的乘积，但右边不等于0，不能直接令两个因式分别为0求解。解题思路为：先利用多项式乘多项式法则展开左边，再移项整理成一元二次方程的一般形式，再通过因式分解法求解方程，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：先展开方程左边：
$(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$
原方程可化为：
$x^2-2x-3=5$
移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2-2x-8=0$
对左边因式分解得：
$(x-4)(x+2)=0$
因此$x-4=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘法运算
一元二次方程求解
因式分解法解方程
【点评】
本题易错点是忽略方程右边不为0的前提，直接令两个因式分别为0求解。解题时需先将方程整理为一元二次方程的标准形式再求解，属于一元二次方程解法的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
5 方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的根的情况是（
A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.不能确定
B
）。A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.不能确定
答案
5.B
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，可通过根的判别式求解，具体思路如下：第一步先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中带符号的各项系数$a、b、c$；第二步将系数代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算结果；第三步根据$\Delta$的正负判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。
【解析】
方程$x^2 + 2x - 3 = 0$符合一元二次方程一般形式，可得各项系数：$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
代入判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac=2^2-4×1×(-3)=4+12=16$
因为$\Delta=16＞0$，所以方程有两个不相等的实数根。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，核心考查根的判别式的应用，解题时需注意准确提取带符号的系数，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.85
要判断一元二次方程根的情况，可通过根的判别式求解，具体思路如下：第一步先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中带符号的各项系数$a、b、c$；第二步将系数代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算结果；第三步根据$\Delta$的正负判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。
【解析】
方程$x^2 + 2x - 3 = 0$符合一元二次方程一般形式，可得各项系数：$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
代入判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac=2^2-4×1×(-3)=4+12=16$
因为$\Delta=16＞0$，所以方程有两个不相等的实数根。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，核心考查根的判别式的应用，解题时需注意准确提取带符号的系数，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.85
⑥ 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（
A.$200(1+x)^2=1000$
B.$200 + 200×2x=1000$
C.$200 + 200×3x=1000$
D.$200[1+(1+x)+(1+x)^2]=1000$
D
）。A.$200(1+x)^2=1000$
B.$200 + 200×2x=1000$
C.$200 + 200×3x=1000$
D.$200[1+(1+x)+(1+x)^2]=1000$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先要明确第一季度包含1月、2月、3月三个月，总营业额是三个月营业额的和。我们可以先根据月平均增长率x依次表示出二月、三月的营业额，再将三个月的营业额相加等于总营业额1000万元，最后整理式子和选项对比即可。要注意避免两种常见错误：一是误将第一季度总营业额当成3月份单月的营业额，二是把复利增长当成单利增长计算每月营业额。
【解析】
第一步：确定各月营业额
① 一月份营业额已知为200万元；
② 平均每月增长率为x，因此二月份营业额 = 一月份营业额×(1+增长率) = $200(1+x)$ 万元；
③ 三月份营业额 = 二月份营业额×(1+增长率) = $200(1+x)·(1+x)=200(1+x)^2$ 万元。
第二步：根据第一季度总营业额列方程
第一季度总营业额为三个月营业额之和，等于1000万元，因此：
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1000$
提取公因式200后可得：
$200[1+(1+x)+(1+x)^2] = 1000$
与选项对比，D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类的典型基础题，解题核心是准确表示出每个时段的对应量，需注意总营业额是多个时段营业额的总和，不要和单一时段的营业额混淆，同时要明确复利增长的计算方式，避免错选其他干扰项。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确第一季度包含1月、2月、3月三个月，总营业额是三个月营业额的和。我们可以先根据月平均增长率x依次表示出二月、三月的营业额，再将三个月的营业额相加等于总营业额1000万元，最后整理式子和选项对比即可。要注意避免两种常见错误：一是误将第一季度总营业额当成3月份单月的营业额，二是把复利增长当成单利增长计算每月营业额。
【解析】
第一步：确定各月营业额
① 一月份营业额已知为200万元；
② 平均每月增长率为x，因此二月份营业额 = 一月份营业额×(1+增长率) = $200(1+x)$ 万元；
③ 三月份营业额 = 二月份营业额×(1+增长率) = $200(1+x)·(1+x)=200(1+x)^2$ 万元。
第二步：根据第一季度总营业额列方程
第一季度总营业额为三个月营业额之和，等于1000万元，因此：
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1000$
提取公因式200后可得：
$200[1+(1+x)+(1+x)^2] = 1000$
与选项对比，D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类的典型基础题，解题核心是准确表示出每个时段的对应量，需注意总营业额是多个时段营业额的总和，不要和单一时段的营业额混淆，同时要明确复利增长的计算方式，避免错选其他干扰项。
【难度系数】
0.75
7 当$m=$
-3
时，关于$x$的方程$(m-3)x^{m^2 -7} -x=5$是一元二次方程；当$m=$3或±2√2或±√7
时，此方程是一元一次方程。答案
7.-3，3或±2√2或±√7
解析
【分析】
要解决这道题，需紧扣一元二次方程、一元一次方程的定义分析：
1. 判定一元二次方程需同时满足两个核心条件：①未知数x的最高次数为2；②二次项系数不为0，联立两个条件即可求出对应m值。
2. 判定一元一次方程需分情况讨论：只要方程仅含x的一次项（或含x的非一次项的系数为0、次数不为1的项可转化为常数项），且一次项系数不为0即可，需全面梳理所有可能情况，避免漏解。
【解析】
求方程为一元二次方程时的m值
若方程$(m-3)x^{m^2 -7} -x=5$是一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 7 = 2 \quad \mathrm{（x的最高次数为2）} \\m - 3 ≠ 0 \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
解$m^2 -7=2$得$m^2=9$，即$m=\pm3$；结合$m≠3$，得$m=-3$。
求方程为一元一次方程时的m值
分三类情况讨论：
1. 二次项系数为0，即$m-3=0$，解得$m=3$，此时方程化简为$-x=5$，是一元一次方程，符合要求；
2. x的最高次数为1，即$m^2 -7=1$，解得$m^2=8$，即$m=\pm2\sqrt{2}$，此时原方程整理为$(m-4)x=5$，仅含x的一次项，是一元一次方程，符合要求；
3. x的最高次数为0，即$m^2 -7=0$，解得$m^2=7$，即$m=\pm\sqrt{7}$，此时$(m-3)x^0$是常数项，方程化简为常数$-x=5$，仅含x的一次项，是一元一次方程，符合要求。
综上，方程为一元一次方程时，$m=3$或$\pm2\sqrt{2}$或$\pm\sqrt{7}$。
【答案】
$-3$，$3$或$\pm2\sqrt{2}$或$\pm\sqrt{7}$
【知识点】
1. 一元二次方程定义
2. 一元一次方程定义
3. 分类讨论思想
【点评】
本题核心考查整式方程的分类判定，解题时需特别注意：一元二次方程必须保证二次项系数不为0，一元一次方程的判定要全面梳理所有可能的情况，避免遗漏次数为0、二次项系数为0的情形。
【难度系数】
0.55
要解决这道题，需紧扣一元二次方程、一元一次方程的定义分析：
1. 判定一元二次方程需同时满足两个核心条件：①未知数x的最高次数为2；②二次项系数不为0，联立两个条件即可求出对应m值。
2. 判定一元一次方程需分情况讨论：只要方程仅含x的一次项（或含x的非一次项的系数为0、次数不为1的项可转化为常数项），且一次项系数不为0即可，需全面梳理所有可能情况，避免漏解。
【解析】
求方程为一元二次方程时的m值
若方程$(m-3)x^{m^2 -7} -x=5$是一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 7 = 2 \quad \mathrm{（x的最高次数为2）} \\m - 3 ≠ 0 \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
解$m^2 -7=2$得$m^2=9$，即$m=\pm3$；结合$m≠3$，得$m=-3$。
求方程为一元一次方程时的m值
分三类情况讨论：
1. 二次项系数为0，即$m-3=0$，解得$m=3$，此时方程化简为$-x=5$，是一元一次方程，符合要求；
2. x的最高次数为1，即$m^2 -7=1$，解得$m^2=8$，即$m=\pm2\sqrt{2}$，此时原方程整理为$(m-4)x=5$，仅含x的一次项，是一元一次方程，符合要求；
3. x的最高次数为0，即$m^2 -7=0$，解得$m^2=7$，即$m=\pm\sqrt{7}$，此时$(m-3)x^0$是常数项，方程化简为常数$-x=5$，仅含x的一次项，是一元一次方程，符合要求。
综上，方程为一元一次方程时，$m=3$或$\pm2\sqrt{2}$或$\pm\sqrt{7}$。
【答案】
$-3$，$3$或$\pm2\sqrt{2}$或$\pm\sqrt{7}$
【知识点】
1. 一元二次方程定义
2. 一元一次方程定义
3. 分类讨论思想
【点评】
本题核心考查整式方程的分类判定，解题时需特别注意：一元二次方程必须保证二次项系数不为0，一元一次方程的判定要全面梳理所有可能的情况，避免遗漏次数为0、二次项系数为0的情形。
【难度系数】
0.55
⑧ 如果$x^2 + x -1 =0$，那么代数式$x^3 + 2x^2 -7$的值是
-6
。答案
8.-6
解析
【分析】
首先观察已知条件和所求代数式的特征：已知是二次等式，所求为三次多项式，若直接解方程求x的值代入计算步骤繁琐且易出错，因此采用降次+整体代入的思路：先从已知等式得出$x^2+x=1$，再将所求代数式的高次项拆分项，把$x^2+x$看作整体代入，逐步降次化简即可求出结果。
【解析】
已知$x^2 + x - 1 = 0$，整理可得$x^2 + x = 1$。
对所求代数式变形拆分：
$\begin{aligned}x^3 + 2x^2 - 7&=x^3 + x^2 + x^2 - 7\\&=x(x^2 + x) + x^2 - 7\end{aligned}$
将$x^2 + x=1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=x×1 + x^2 - 7\\&=x^2 + x - 7\end{aligned}$
再次将$x^2 + x=1$代入，得：
$原式=1 - 7 = -6$
【答案】
-6
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式运算
【点评】
本题是整式求值的典型题型，解题核心是避免直接求解未知数，利用已知等式对高次整式拆项后整体代入，实现降次化简，既能简化计算过程，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件和所求代数式的特征：已知是二次等式，所求为三次多项式，若直接解方程求x的值代入计算步骤繁琐且易出错，因此采用降次+整体代入的思路：先从已知等式得出$x^2+x=1$，再将所求代数式的高次项拆分项，把$x^2+x$看作整体代入，逐步降次化简即可求出结果。
【解析】
已知$x^2 + x - 1 = 0$，整理可得$x^2 + x = 1$。
对所求代数式变形拆分：
$\begin{aligned}x^3 + 2x^2 - 7&=x^3 + x^2 + x^2 - 7\\&=x(x^2 + x) + x^2 - 7\end{aligned}$
将$x^2 + x=1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=x×1 + x^2 - 7\\&=x^2 + x - 7\end{aligned}$
再次将$x^2 + x=1$代入，得：
$原式=1 - 7 = -6$
【答案】
-6
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式运算
【点评】
本题是整式求值的典型题型，解题核心是避免直接求解未知数，利用已知等式对高次整式拆项后整体代入，实现降次化简，既能简化计算过程，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
9 若一个等腰三角形的三边长均满足方程$x^2 -6x +8=0$，则此三角形的周长为
6或10或12
。答案
9.6或10或12
解析
【分析】
解题时首先求解一元二次方程得到两个根，再结合等腰三角形的性质分情况讨论三边长的组合：一是三边长度相等（等边三角形是特殊的等腰三角形），二是腰和底长度不相等；每种组合都要验证是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不符合的情况后计算对应周长即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -6x +8=0$
因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
第二步：分情况讨论等腰三角形的三边长：
1. 三边长全部相等（等边三角形，属于特殊等腰三角形）：
①三边长均为2：$2+2＞2$，满足三边关系，周长为$2+2+2=6$；
②三边长均为4：$4+4＞4$，满足三边关系，周长为$4+4+4=12$。
2. 腰长与底边长不相等：
①若腰长为2，底边长为4：$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况；
②若腰长为4，底边长为2：$4+4＞2$，$4+2＞4$，满足三边关系，周长为$4+4+2=10$。
综上，该三角形的周长为6或10或12。
【答案】
6或10或12
【知识点】
一元二次方程求解，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题需要结合方程求解和三角形性质作答，解题关键是要做到全面分类讨论，不要忽略等边三角形是特殊的等腰三角形，同时所有边长组合都要验证是否符合三角形三边关系，避免产生错解、漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先求解一元二次方程得到两个根，再结合等腰三角形的性质分情况讨论三边长的组合：一是三边长度相等（等边三角形是特殊的等腰三角形），二是腰和底长度不相等；每种组合都要验证是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不符合的情况后计算对应周长即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -6x +8=0$
因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
第二步：分情况讨论等腰三角形的三边长：
1. 三边长全部相等（等边三角形，属于特殊等腰三角形）：
①三边长均为2：$2+2＞2$，满足三边关系，周长为$2+2+2=6$；
②三边长均为4：$4+4＞4$，满足三边关系，周长为$4+4+4=12$。
2. 腰长与底边长不相等：
①若腰长为2，底边长为4：$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况；
②若腰长为4，底边长为2：$4+4＞2$，$4+2＞4$，满足三边关系，周长为$4+4+2=10$。
综上，该三角形的周长为6或10或12。
【答案】
6或10或12
【知识点】
一元二次方程求解，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题需要结合方程求解和三角形性质作答，解题关键是要做到全面分类讨论，不要忽略等边三角形是特殊的等腰三角形，同时所有边长组合都要验证是否符合三角形三边关系，避免产生错解、漏解。
【难度系数】
0.7
⑩若$n(n≠0)$是关于$x$的方程$x^2 + mx + 2n = 0$的根，$m + n =$
-2
。答案
10.-2
解析
【分析】
解题核心是利用一元二次方程根的定义推导关系式，具体思路如下：首先回忆方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此可将x=n直接代入原方程得到含m、n的等式；再对得到的等式提取公因式整理，结合题目给出的n≠0的条件，将等式两边同时除以n，即可直接求出m+n的值。
【解析】
∵n（n≠0）是方程$x^2 + mx + 2n = 0$的根
∴将$x=n$代入方程可得：
$n^2 + mn + 2n = 0$
对等式左边提取公因式n，得：
$n(m + n + 2) = 0$
∵$n≠0$
∴$m + n + 2 = 0$
移项得$m + n = -2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根的定义，提取公因式，等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查方程根的应用，解题时要注意利用题目给出的n≠0的限制条件完成化简，避免因忽略限制条件无法得到最终结果。
【难度系数】
0.8
解题核心是利用一元二次方程根的定义推导关系式，具体思路如下：首先回忆方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此可将x=n直接代入原方程得到含m、n的等式；再对得到的等式提取公因式整理，结合题目给出的n≠0的条件，将等式两边同时除以n，即可直接求出m+n的值。
【解析】
∵n（n≠0）是方程$x^2 + mx + 2n = 0$的根
∴将$x=n$代入方程可得：
$n^2 + mn + 2n = 0$
对等式左边提取公因式n，得：
$n(m + n + 2) = 0$
∵$n≠0$
∴$m + n + 2 = 0$
移项得$m + n = -2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根的定义，提取公因式，等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查方程根的应用，解题时要注意利用题目给出的n≠0的限制条件完成化简，避免因忽略限制条件无法得到最终结果。
【难度系数】
0.8
如果$2x^2 + 1$与$4x^2 - 2x -5$互为相反数，则$x$的值为1或$-\frac{2}{3}$
。12 在实数范围因式分解：$4x^2 -x -1=$
$4(x-\frac{1+\sqrt{17}}{8})(x-\frac{1-\sqrt{17}}{8})$
。答案
11.1或$-\frac{2}{3}$
12.$4(x-\frac{1+\sqrt{17}}{8})(x-\frac{1-\sqrt{17}}{8})$
12.$4(x-\frac{1+\sqrt{17}}{8})(x-\frac{1-\sqrt{17}}{8})$
解析
【分析】
第11题解题思路
首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0，据此先列出关于x的等式，再将等式整理为一元二次方程的标准形式，通过因式分解法求解方程即可得到x的值。
第12题解题思路
实数范围内因式分解二次三项式，先令二次三项式等于0，用一元二次方程求根公式计算出两个实数根，再套用二次三项式因式分解通式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$x_1、x_2$是对应方程的根）代入即可，注意不要遗漏二次项系数a。
【解析】
第11题
解：已知$2x^2 + 1$与$4x^2 - 2x -5$互为相反数，根据相反数性质得：
$\begin{aligned}2x^2+1+4x^2-2x-5&=0\\6x^2-2x-4&=0\\3x^2-x-2&=0\\(x-1)(3x+2)&=0\end{aligned}$
因此$x-1=0$或$3x+2=0$，解得$x=1$或$x=-\frac{2}{3}$。
第12题
解：令$4x^2 -x -1=0$，其中$a=4,b=-1,c=-1$，先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×4×(-1)=17＞0$
由求根公式得方程的两个根为：
$x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2×4}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{8}$
代入因式分解通式得：
$4x^2 -x -1=4(x-\frac{1+\sqrt{17}}{8})(x-\frac{1-\sqrt{17}}{8})$
【答案】
11. $1$或$-\frac{2}{3}$；12. $4(x-\frac{1+\sqrt{17}}{8})(x-\frac{1-\sqrt{17}}{8})$
【知识点】
1. 相反数的性质；2. 一元二次方程求解；3. 实数范围因式分解
【点评】
这两道题属于代数基础常考题，分别结合相反数性质考察一元二次方程的求解，以及二次三项式的实数范围因式分解，解题时要注意公式的正确应用，因式分解时不要漏写二次项系数，避免低级错误。
【难度系数】
0.7
第11题解题思路
首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0，据此先列出关于x的等式，再将等式整理为一元二次方程的标准形式，通过因式分解法求解方程即可得到x的值。
第12题解题思路
实数范围内因式分解二次三项式，先令二次三项式等于0，用一元二次方程求根公式计算出两个实数根，再套用二次三项式因式分解通式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$x_1、x_2$是对应方程的根）代入即可，注意不要遗漏二次项系数a。
【解析】
第11题
解：已知$2x^2 + 1$与$4x^2 - 2x -5$互为相反数，根据相反数性质得：
$\begin{aligned}2x^2+1+4x^2-2x-5&=0\\6x^2-2x-4&=0\\3x^2-x-2&=0\\(x-1)(3x+2)&=0\end{aligned}$
因此$x-1=0$或$3x+2=0$，解得$x=1$或$x=-\frac{2}{3}$。
第12题
解：令$4x^2 -x -1=0$，其中$a=4,b=-1,c=-1$，先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×4×(-1)=17＞0$
由求根公式得方程的两个根为：
$x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2×4}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{8}$
代入因式分解通式得：
$4x^2 -x -1=4(x-\frac{1+\sqrt{17}}{8})(x-\frac{1-\sqrt{17}}{8})$
【答案】
11. $1$或$-\frac{2}{3}$；12. $4(x-\frac{1+\sqrt{17}}{8})(x-\frac{1-\sqrt{17}}{8})$
【知识点】
1. 相反数的性质；2. 一元二次方程求解；3. 实数范围因式分解
【点评】
这两道题属于代数基础常考题，分别结合相反数性质考察一元二次方程的求解，以及二次三项式的实数范围因式分解，解题时要注意公式的正确应用，因式分解时不要漏写二次项系数，避免低级错误。
【难度系数】
0.7
13 已知方程$3ax^2 - bx - 1 = 0$和$ax^2 + 2bx - 5 = 0$，有公共的根$-1$，则$a =$
1
，$b =$-2
。答案
13.1，-2
解析
【分析】
两个方程有公共根-1，说明x=-1同时满足这两个方程，我们可以将x=-1分别代入两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组就能求出a和b的值。
【解析】
因为x=-1是两个方程的公共根，将x=-1代入方程$3ax^2 - bx - 1 = 0$，得：
$3a×(-1)^2 - b×(-1) -1 = 0$
化简得：$3a + b = 1$ ①
再将x=-1代入方程$ax^2 + 2bx - 5 = 0$，得：
$a×(-1)^2 + 2b×(-1) -5 = 0$
化简得：$a - 2b = 5$ ②
联立①②组成二元一次方程组，由①得：$b = 1 - 3a$，将其代入②：
$a - 2(1 - 3a) = 5$
展开计算：$a - 2 + 6a = 5$
合并同类项得：$7a = 7$，解得$a=1$
把$a=1$代入$b=1-3a$，得$b=1 - 3×1 = -2$
【答案】1，-2
【知识点】
方程根的定义，二元一次方程组的解法
【点评】
本题解题关键是理解公共根的含义，即公共根代入两个方程均成立，将问题转化为解二元一次方程组即可，解题难度不大，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
两个方程有公共根-1，说明x=-1同时满足这两个方程，我们可以将x=-1分别代入两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组就能求出a和b的值。
【解析】
因为x=-1是两个方程的公共根，将x=-1代入方程$3ax^2 - bx - 1 = 0$，得：
$3a×(-1)^2 - b×(-1) -1 = 0$
化简得：$3a + b = 1$ ①
再将x=-1代入方程$ax^2 + 2bx - 5 = 0$，得：
$a×(-1)^2 + 2b×(-1) -5 = 0$
化简得：$a - 2b = 5$ ②
联立①②组成二元一次方程组，由①得：$b = 1 - 3a$，将其代入②：
$a - 2(1 - 3a) = 5$
展开计算：$a - 2 + 6a = 5$
合并同类项得：$7a = 7$，解得$a=1$
把$a=1$代入$b=1-3a$，得$b=1 - 3×1 = -2$
【答案】1，-2
【知识点】
方程根的定义，二元一次方程组的解法
【点评】
本题解题关键是理解公共根的含义，即公共根代入两个方程均成立，将问题转化为解二元一次方程组即可，解题难度不大，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
⑭已知$3-\sqrt{2}$是方程$x^2 + mx + 7 = 0$的一个根，则$m=$
-6
，另一根为$3+\sqrt{2}$
。答案
14.-6，$3+\sqrt{2}$
解析
【分析】
这道题有两种解题思路，推荐用更简便的根与系数关系求解：一是根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程先求m，再解方程得另一根；二是利用韦达定理，先通过两根之积求出另一根，再通过两根之和求m，计算量更小，适合本题带无理根的情况。
【解析】
设方程的另一根为$x_2$，对于方程$x^2+mx+7=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=7$，根据根与系数的关系：
1. 求另一根：两根之积等于$\frac{c}{a}$，即$(3-\sqrt{2})x_2=7$
对等式变形分母有理化，分子分母同乘$3+\sqrt{2}$：
$x_2=\frac{7}{3-\sqrt{2}}=\frac{7(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}=\frac{7(3+\sqrt{2})}{9-2}=3+\sqrt{2}$
2. 求m的值：两根之和等于$-\frac{b}{a}$，即$(3-\sqrt{2})+(3+\sqrt{2})=-m$
化简左边得$6=-m$，解得$m=-6$
【答案】
$-6$，$3+\sqrt{2}$
【知识点】
根与系数的关系，分母有理化
【点评】
本题侧重考察一元二次方程性质的灵活运用，使用根与系数的关系解题可避免复杂的无理数乘方计算，同时需要熟练掌握二次根式分母有理化的运算方法。
【难度系数】
0.7
这道题有两种解题思路，推荐用更简便的根与系数关系求解：一是根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程先求m，再解方程得另一根；二是利用韦达定理，先通过两根之积求出另一根，再通过两根之和求m，计算量更小，适合本题带无理根的情况。
【解析】
设方程的另一根为$x_2$，对于方程$x^2+mx+7=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=7$，根据根与系数的关系：
1. 求另一根：两根之积等于$\frac{c}{a}$，即$(3-\sqrt{2})x_2=7$
对等式变形分母有理化，分子分母同乘$3+\sqrt{2}$：
$x_2=\frac{7}{3-\sqrt{2}}=\frac{7(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}=\frac{7(3+\sqrt{2})}{9-2}=3+\sqrt{2}$
2. 求m的值：两根之和等于$-\frac{b}{a}$，即$(3-\sqrt{2})+(3+\sqrt{2})=-m$
化简左边得$6=-m$，解得$m=-6$
【答案】
$-6$，$3+\sqrt{2}$
【知识点】
根与系数的关系，分母有理化
【点评】
本题侧重考察一元二次方程性质的灵活运用，使用根与系数的关系解题可避免复杂的无理数乘方计算，同时需要熟练掌握二次根式分母有理化的运算方法。
【难度系数】
0.7
15 已知方程$x^2 - mx + 3 = 0$有两个相等的实根，那么$m=$
±2√3
。答案
15.±2√3
解析
【分析】
我们首先回忆一元二次方程根的判别式的相关性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。本题已知方程有两个相等实根，因此我们先确定方程对应各项的系数$a、b、c$，代入$\Delta=0$得到关于$m$的方程，再求解即可，注意正数开平方有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
解：方程$x^2 - mx + 3 = 0$为一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-m$，常数项$c=3$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，代入系数得：
$(-m)^2 - 4×1×3=0$
化简得$m^2-12=0$，即$m^2=12$
开平方得$m=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt{3}$
【答案】
$\pm2\sqrt{3}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.平方根运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，解题时需准确识别方程各项系数，求解时注意不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
我们首先回忆一元二次方程根的判别式的相关性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。本题已知方程有两个相等实根，因此我们先确定方程对应各项的系数$a、b、c$，代入$\Delta=0$得到关于$m$的方程，再求解即可，注意正数开平方有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
解：方程$x^2 - mx + 3 = 0$为一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-m$，常数项$c=3$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，代入系数得：
$(-m)^2 - 4×1×3=0$
化简得$m^2-12=0$，即$m^2=12$
开平方得$m=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt{3}$
【答案】
$\pm2\sqrt{3}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.平方根运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，解题时需准确识别方程各项系数，求解时注意不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
