登录
16 有一块面积为1000平方米的长方形草地，它的长比宽多30米，那么这块草地的宽为
20
米。答案
16.20
解析
【分析】
这是一道结合长方形面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先回忆长方形面积公式为“面积=长×宽”，题目已知面积和长与宽的数量关系，我们可以设宽为未知数，用含未知数的式子表示长，再根据面积公式建立等量关系列出方程，求解方程后要结合长度为正数的实际意义舍去不合理的根，即可得到宽的长度。
【解析】
解：设这块草地的宽为$ x $米，则长为$ (x+30) $米。
根据长方形面积公式列方程得：
$ x(x+30)=1000 $
整理得：$ x^2 + 30x - 1000 = 0 $
因式分解得：$ (x+50)(x-20)=0 $
解得：$ x_1=-50 $，$ x_2=20 $
因为草地的宽度为正数，所以$ x=-50 $不符合实际意义，舍去，即$ x=20 $。
【答案】
20
【知识点】
长方形面积计算，一元二次方程的应用，一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心是结合几何图形的性质找到等量关系列方程求解，需要注意解出方程的根后要结合实际场景验根，排除不符合实际意义的解，主要考察学生列方程解应用题的能力。
【难度系数】
0.8
这是一道结合长方形面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先回忆长方形面积公式为“面积=长×宽”，题目已知面积和长与宽的数量关系，我们可以设宽为未知数，用含未知数的式子表示长，再根据面积公式建立等量关系列出方程，求解方程后要结合长度为正数的实际意义舍去不合理的根，即可得到宽的长度。
【解析】
解：设这块草地的宽为$ x $米，则长为$ (x+30) $米。
根据长方形面积公式列方程得：
$ x(x+30)=1000 $
整理得：$ x^2 + 30x - 1000 = 0 $
因式分解得：$ (x+50)(x-20)=0 $
解得：$ x_1=-50 $，$ x_2=20 $
因为草地的宽度为正数，所以$ x=-50 $不符合实际意义，舍去，即$ x=20 $。
【答案】
20
【知识点】
长方形面积计算，一元二次方程的应用，一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心是结合几何图形的性质找到等量关系列方程求解，需要注意解出方程的根后要结合实际场景验根，排除不符合实际意义的解，主要考察学生列方程解应用题的能力。
【难度系数】
0.8
17 若$\sqrt{a-4} + |b+2| + c^2 = 0$，则$ax^2 + bx + c = 0$的解为
$x_1=0, x_2=\frac{1}{2}$
。答案
17.$x_1=0, x_2=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先利用非负数的性质：算术平方根、绝对值、平方数均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，据此求出a、b、c的取值，再将参数代入一元二次方程，通过因式分解法求解方程即可得到结果。
【解析】
∵ $\sqrt{a-4} ≥ 0$，$|b+2| ≥ 0$，$c^2 ≥ 0$，且$\sqrt{a-4} + |b+2| + c^2 = 0$
∴ 每一项的值都为0，即：
$\begin{cases}a-4=0 \\b+2=0 \\c^2=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=4 \\b=-2 \\c=0\end{cases}$
将a、b、c代入方程$ax^2 + bx + c = 0$，得：
$4x^2 - 2x = 0$
提取公因式$2x$，得：$2x(2x - 1) = 0$
∴ $2x=0$ 或 $2x - 1 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=\frac{1}{2}$
【答案】
$x_1=0, x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
非负数的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数性质和一元二次方程求解结合考查，解题关键是先准确求出参数的值，解方程时注意不要漏掉x=0这个根。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用非负数的性质：算术平方根、绝对值、平方数均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，据此求出a、b、c的取值，再将参数代入一元二次方程，通过因式分解法求解方程即可得到结果。
【解析】
∵ $\sqrt{a-4} ≥ 0$，$|b+2| ≥ 0$，$c^2 ≥ 0$，且$\sqrt{a-4} + |b+2| + c^2 = 0$
∴ 每一项的值都为0，即：
$\begin{cases}a-4=0 \\b+2=0 \\c^2=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=4 \\b=-2 \\c=0\end{cases}$
将a、b、c代入方程$ax^2 + bx + c = 0$，得：
$4x^2 - 2x = 0$
提取公因式$2x$，得：$2x(2x - 1) = 0$
∴ $2x=0$ 或 $2x - 1 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=\frac{1}{2}$
【答案】
$x_1=0, x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
非负数的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数性质和一元二次方程求解结合考查，解题关键是先准确求出参数的值，解方程时注意不要漏掉x=0这个根。
【难度系数】
0.7
18 关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$有两个相等的实根，则符合条件的一组$m$、$n$的实数值可以是$m=$
2
，$n=$1
。答案
18.满足$m^2 = 4n$即可。
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。首先确定方程中各项的系数a、b、c，代入判别式公式得到m和n的数量关系，再任选满足该关系的一组实数即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=n$。
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
代入系数得：$m^2 - 4×1× n = 0$，即$m^2=4n$。
任选满足该等式的实数即可，例如取$m=2$，代入得$2^2=4n$，解得$n=1$。（答案不唯一）
【答案】
示例：$m=2$，$n=1$，满足$m^2=4n$即可。
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.等式的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，只要掌握“有两个相等实根等价于判别式为0”的结论就能快速求解，取值时优先选择简单的整数可提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。首先确定方程中各项的系数a、b、c，代入判别式公式得到m和n的数量关系，再任选满足该关系的一组实数即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=n$。
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
代入系数得：$m^2 - 4×1× n = 0$，即$m^2=4n$。
任选满足该等式的实数即可，例如取$m=2$，代入得$2^2=4n$，解得$n=1$。（答案不唯一）
【答案】
示例：$m=2$，$n=1$，满足$m^2=4n$即可。
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.等式的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，只要掌握“有两个相等实根等价于判别式为0”的结论就能快速求解，取值时优先选择简单的整数可提高解题效率。
【难度系数】
0.8
19 把$3x^2 + 12xy + 11y^2$在实数范围内进行因式分解。
答案
19.$3(x + \frac{6+\sqrt{3}}{3}y)(x - \frac{-6+\sqrt{3}}{3}y)$
解析
【分析】
我们可以将原式看作关于x的二次三项式，把y当作常数，用求根法完成实数范围内的因式分解：首先明确该二次三项式的二次项系数、一次项系数与常数项，再计算对应一元二次方程的判别式，确认存在实根后用求根公式求出两个根，最后套用二次三项式因式分解的公式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$（$x_1、x_2$为对应方程的根）即可，注意不要漏写二次项系数，计算时留意符号问题。
【解析】
将原式整理为关于x的二次三项式：$3x^2 + 12y· x + 11y^2$，
令$3x^2 + 12xy + 11y^2 = 0$，将y看作常数，该方程是关于x的一元二次方程，其中$a=3，b=12y，c=11y^2$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(12y)^2 - 4×3×11y^2=144y^2-132y^2=12y^2≥0$，
根据求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-12y\pm\sqrt{12y^2}}{2×3}=\frac{-12y\pm2\sqrt{3}y}{6}=\frac{-6y\pm\sqrt{3}y}{3}$，
即方程的两个根为：$x_1=\frac{-6+\sqrt{3}}{3}y$，$x_2=\frac{-6-\sqrt{3}}{3}y$，
代入因式分解公式得：
$3x^2+12xy+11y^2=3(x-x_1)(x-x_2)=3(x-\frac{-6+\sqrt{3}}{3}y)(x-\frac{-6-\sqrt{3}}{3}y)=3(x+\frac{6+\sqrt{3}}{3}y)(x-\frac{-6+\sqrt{3}}{3}y)$
【答案】
$3(x + \frac{6+\sqrt{3}}{3}y)(x - \frac{-6+\sqrt{3}}{3}y)$
【知识点】
求根法因式分解，一元二次方程求根公式，实数范围内因式分解
【点评】
本题重点考查二次三项式的因式分解，解题关键是将二元多项式转化为一元二次式，把其中一个字母当作常数处理，计算过程中要注意符号准确性，分解时不要遗漏二次项的系数。
【难度系数】
0.6
我们可以将原式看作关于x的二次三项式，把y当作常数，用求根法完成实数范围内的因式分解：首先明确该二次三项式的二次项系数、一次项系数与常数项，再计算对应一元二次方程的判别式，确认存在实根后用求根公式求出两个根，最后套用二次三项式因式分解的公式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$（$x_1、x_2$为对应方程的根）即可，注意不要漏写二次项系数，计算时留意符号问题。
【解析】
将原式整理为关于x的二次三项式：$3x^2 + 12y· x + 11y^2$，
令$3x^2 + 12xy + 11y^2 = 0$，将y看作常数，该方程是关于x的一元二次方程，其中$a=3，b=12y，c=11y^2$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(12y)^2 - 4×3×11y^2=144y^2-132y^2=12y^2≥0$，
根据求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-12y\pm\sqrt{12y^2}}{2×3}=\frac{-12y\pm2\sqrt{3}y}{6}=\frac{-6y\pm\sqrt{3}y}{3}$，
即方程的两个根为：$x_1=\frac{-6+\sqrt{3}}{3}y$，$x_2=\frac{-6-\sqrt{3}}{3}y$，
代入因式分解公式得：
$3x^2+12xy+11y^2=3(x-x_1)(x-x_2)=3(x-\frac{-6+\sqrt{3}}{3}y)(x-\frac{-6-\sqrt{3}}{3}y)=3(x+\frac{6+\sqrt{3}}{3}y)(x-\frac{-6+\sqrt{3}}{3}y)$
【答案】
$3(x + \frac{6+\sqrt{3}}{3}y)(x - \frac{-6+\sqrt{3}}{3}y)$
【知识点】
求根法因式分解，一元二次方程求根公式，实数范围内因式分解
【点评】
本题重点考查二次三项式的因式分解，解题关键是将二元多项式转化为一元二次式，把其中一个字母当作常数处理，计算过程中要注意符号准确性，分解时不要遗漏二次项的系数。
【难度系数】
0.6
20 用适当的方法解下列关于$x$的方程。
(1) $(3-x)^2 + x^2 = 5$；
(2) $\dfrac{2x}{x^2 - 4} - 1 = \dfrac{1}{x + 2}$；
(3) $x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 3(x + \dfrac{1}{x}) + 4 = 0$；
(4) $x^2 - 2x + 1 - k(x - 1) = 0$。
(1) $(3-x)^2 + x^2 = 5$；
(2) $\dfrac{2x}{x^2 - 4} - 1 = \dfrac{1}{x + 2}$；
(3) $x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 3(x + \dfrac{1}{x}) + 4 = 0$；
(4) $x^2 - 2x + 1 - k(x - 1) = 0$。
答案
20.(1) $x_1=1, x_2=2$ (2) $x=3$ (3) $x=1$ (4) $x_1=1, x_2=1+k$
解析
【分析】
(1) 本题为一元二次方程，先将方程左边展开、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解即可。
(2) 本题为分式方程，先确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边同乘最简公分母将其转化为整式方程求解，最后需检验根是否使原方程分母为0，舍去增根。
(3) 本题为具有倒数结构的分式方程，利用$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$的关系，用换元法设$y=x+\frac{1}{x}$，将原方程转化为关于$y$的一元二次方程求解，再代回求$x$并验根。
(4) 本题为含参数的一元二次方程，先将前三项整理为完全平方式，把$(x-1)$看作整体，提取公因式进行因式分解，即可快速求解。
【解析】
(1) 展开方程左边得：
$9-6x+x^2+x^2=5$
整理得：$2x^2-6x+4=0$，即$x^2-3x+2=0$
因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$
解得：$x_1=1,x_2=2$
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$（$x≠\pm2$）得：
$2x-(x^2-4)=x-2$
整理得：$x^2-x-6=0$
因式分解得：$(x-3)(x+2)=0$
解得$x=3$或$x=-2$
检验：$x=-2$时分母为0，是增根，舍去；$x=3$代入原方程分母不为0，成立。
故方程的解为$x=3$。
(3) 设$y=x+\frac{1}{x}$，则$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$，代入原方程得：
$y^2-2-3y+4=0$，即$y^2-3y+2=0$
解得$y_1=1,y_2=2$
当$y=1$时，$x+\frac{1}{x}=1$，去分母得$x^2-x+1=0$，$\Delta=1-4=-3＜0$，无实根；
当$y=2$时，$x+\frac{1}{x}=2$，去分母得$x^2-2x+1=0$，解得$x=1$，检验$x=1$时分母不为0，成立。
故方程的解为$x=1$。
(4) 整理原方程得：
$(x-1)^2-k(x-1)=0$
提取公因式$(x-1)$得：
$(x-1)(x-1-k)=0$
解得：$x_1=1,x_2=1+k$
【答案】
(1) $x_1=1, x_2=2$ (2) $x=3$ (3) $x=1$ (4) $x_1=1, x_2=1+k$
【知识点】
一元二次方程解法、分式方程求解、换元法应用
【点评】
这组题目考查不同类型方程的求解方法，需要熟练掌握因式分解、换元等解题技巧，求解分式方程时切记要验根，处理含参方程时可运用整体思想简化运算。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为一元二次方程，先将方程左边展开、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解即可。
(2) 本题为分式方程，先确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边同乘最简公分母将其转化为整式方程求解，最后需检验根是否使原方程分母为0，舍去增根。
(3) 本题为具有倒数结构的分式方程，利用$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$的关系，用换元法设$y=x+\frac{1}{x}$，将原方程转化为关于$y$的一元二次方程求解，再代回求$x$并验根。
(4) 本题为含参数的一元二次方程，先将前三项整理为完全平方式，把$(x-1)$看作整体，提取公因式进行因式分解，即可快速求解。
【解析】
(1) 展开方程左边得：
$9-6x+x^2+x^2=5$
整理得：$2x^2-6x+4=0$，即$x^2-3x+2=0$
因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$
解得：$x_1=1,x_2=2$
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$（$x≠\pm2$）得：
$2x-(x^2-4)=x-2$
整理得：$x^2-x-6=0$
因式分解得：$(x-3)(x+2)=0$
解得$x=3$或$x=-2$
检验：$x=-2$时分母为0，是增根，舍去；$x=3$代入原方程分母不为0，成立。
故方程的解为$x=3$。
(3) 设$y=x+\frac{1}{x}$，则$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$，代入原方程得：
$y^2-2-3y+4=0$，即$y^2-3y+2=0$
解得$y_1=1,y_2=2$
当$y=1$时，$x+\frac{1}{x}=1$，去分母得$x^2-x+1=0$，$\Delta=1-4=-3＜0$，无实根；
当$y=2$时，$x+\frac{1}{x}=2$，去分母得$x^2-2x+1=0$，解得$x=1$，检验$x=1$时分母不为0，成立。
故方程的解为$x=1$。
(4) 整理原方程得：
$(x-1)^2-k(x-1)=0$
提取公因式$(x-1)$得：
$(x-1)(x-1-k)=0$
解得：$x_1=1,x_2=1+k$
【答案】
(1) $x_1=1, x_2=2$ (2) $x=3$ (3) $x=1$ (4) $x_1=1, x_2=1+k$
【知识点】
一元二次方程解法、分式方程求解、换元法应用
【点评】
这组题目考查不同类型方程的求解方法，需要熟练掌握因式分解、换元等解题技巧，求解分式方程时切记要验根，处理含参方程时可运用整体思想简化运算。
【难度系数】
0.7
21 m为何值时,关于x的一元二次方程$(m^2 -1)x^2 +2(m-1)x +1=0$。(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根。
答案
21.(1) $m ＜ 1$且$m ≠ -1$ (2) 方程不可能有两个相等的实数根 (3) $m ≥ 1$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确题目给出的是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，得到m的初步限制条件；其次，一元二次方程根的个数由判别式Δ=b²-4ac的符号决定：Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。我们先计算出判别式的表达式，再结合三种情况分别列不等式或方程求解，最后结合限制条件得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 方程是关于x的一元二次方程，
∴ 二次项系数 $m^2 - 1 ≠ 0$，解得 $m ≠ \pm 1$。
计算根的判别式：
$\Delta = [2(m-1)]^2 - 4 × (m^2 - 1) × 1$
$= 4(m^2 - 2m + 1) - 4(m^2 - 1)$
$= 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 4$
$= -8m + 8$
(1) 方程有两个不相等的实数根，需满足$\Delta ＞ 0$且$m ≠ \pm 1$：
$-8m + 8 ＞ 0$，解得$m ＜ 1$，结合$m ≠ \pm 1$，得$m ＜ 1$且$m ≠ -1$。
(2) 方程有两个相等的实数根，需满足$\Delta = 0$且$m ≠ \pm 1$：
令$-8m + 8 = 0$，解得$m = 1$，与$m ≠ 1$矛盾，因此方程不可能有两个相等的实数根。
(3) 方程没有实数根：
当$\Delta ＜ 0$时，$-8m + 8 ＜ 0$，解得$m ＞ 1$；另外当$m=1$时，原方程变为$1=0$，也没有实数根，综合得$m ≥ 1$。
【答案】
(1) $m ＜ 1$且$m ≠ -1$；(2) 方程不可能有两个相等的实数根；(3) $m ≥ 1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义；2. 根的判别式的应用；3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型应用题型，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，需要结合分类讨论思想，对不同根的情况对应判别式的符号分别求解，最后验证结果是否符合限制条件。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确题目给出的是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，得到m的初步限制条件；其次，一元二次方程根的个数由判别式Δ=b²-4ac的符号决定：Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。我们先计算出判别式的表达式，再结合三种情况分别列不等式或方程求解，最后结合限制条件得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 方程是关于x的一元二次方程，
∴ 二次项系数 $m^2 - 1 ≠ 0$，解得 $m ≠ \pm 1$。
计算根的判别式：
$\Delta = [2(m-1)]^2 - 4 × (m^2 - 1) × 1$
$= 4(m^2 - 2m + 1) - 4(m^2 - 1)$
$= 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 4$
$= -8m + 8$
(1) 方程有两个不相等的实数根，需满足$\Delta ＞ 0$且$m ≠ \pm 1$：
$-8m + 8 ＞ 0$，解得$m ＜ 1$，结合$m ≠ \pm 1$，得$m ＜ 1$且$m ≠ -1$。
(2) 方程有两个相等的实数根，需满足$\Delta = 0$且$m ≠ \pm 1$：
令$-8m + 8 = 0$，解得$m = 1$，与$m ≠ 1$矛盾，因此方程不可能有两个相等的实数根。
(3) 方程没有实数根：
当$\Delta ＜ 0$时，$-8m + 8 ＜ 0$，解得$m ＞ 1$；另外当$m=1$时，原方程变为$1=0$，也没有实数根，综合得$m ≥ 1$。
【答案】
(1) $m ＜ 1$且$m ≠ -1$；(2) 方程不可能有两个相等的实数根；(3) $m ≥ 1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义；2. 根的判别式的应用；3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型应用题型，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，需要结合分类讨论思想，对不同根的情况对应判别式的符号分别求解，最后验证结果是否符合限制条件。
【难度系数】
0.6
