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22 设$a$、$b$、$c$是$△ ABC$的三条边，关于$x$的方程$\frac{1}{2}x^2 + \sqrt{b}x + c - \frac{1}{2}a = 0$有两个相等的实数根，且方程$3cx + 2b = 2a$的根为$x=0$。
（1）试判断$△ ABC$的形状；
（2）若$a$、$b$为方程$x^2 + mx - 3m = 0$的两个根，求$m$的值。
（1）试判断$△ ABC$的形状；
（2）若$a$、$b$为方程$x^2 + mx - 3m = 0$的两个根，求$m$的值。
答案
22 因为$\frac{1}{2}x^2 + \sqrt{b}x + c - \frac{1}{2}a = 0$有两个相等的实数根，所以判别式$=(\sqrt{b})^2 - 4 × \frac{1}{2}(c - \frac{1}{2}a)=0$，整理得$a + b - 2c = 0$。又因为$3cx + 2b = 2a$的根为$x=0$，所以$a = b$，所以$a = b = c$，所以$△ ABC$为等边三角形。
（2）$a$、$b$是方程$x^2 + mx - 3m = 0$的两个根，所以$m^2 - 4 × (-3m) = 0$，即$m^2 + 12m = 0$，所以$m_1 = 0, m_2 = -12$。当$m=0$时，原方程的解为$x=0$(不符合题意，舍去)，所以$m=-12$。
（2）$a$、$b$是方程$x^2 + mx - 3m = 0$的两个根，所以$m^2 - 4 × (-3m) = 0$，即$m^2 + 12m = 0$，所以$m_1 = 0, m_2 = -12$。当$m=0$时，原方程的解为$x=0$(不符合题意，舍去)，所以$m=-12$。
解析
【分析】
（1）要判断△ABC的形状，需先推导三条边a、b、c的数量关系：首先根据第一个一元二次方程有两个相等实数根，利用根的判别式Δ=0列出关于a、b、c的等式；再将x=0代入第二个方程，得到a与b的关系；最后结合两个等式推导三边的等量关系即可判断形状。
（2）已知a、b是一元二次方程的两个根，结合第一问得出的a=b，可知该方程有两个相等的实数根，先由判别式Δ=0求出m的可能值，再根据三角形边长为正数的实际意义检验舍去不符合的解即可。
【解析】
（1）
∵ 关于x的方程$\frac{1}{2}x^2 + \sqrt{b}x + c - \frac{1}{2}a = 0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (\sqrt{b})^2 - 4 × \frac{1}{2} × (c - \frac{1}{2}a) = 0$，
整理得：$b - 2(c - \frac{1}{2}a) = 0$，即$a + b - 2c = 0$ ①。
又
∵ 方程$3cx + 2b = 2a$的根为$x=0$，将$x=0$代入方程得：
$3c × 0 + 2b = 2a$，化简得$a = b$ ②。
将②代入①得：$b + b - 2c = 0$，即$2b = 2c$，得$b = c$。
∴ $a = b = c$，即△ABC为等边三角形。
（2）
∵ a、b为方程$x^2 + mx - 3m = 0$的两个根，且由（1）知$a = b$，
∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = m^2 - 4 × 1 × (-3m) = 0$，
即$m^2 + 12m = 0$，因式分解得$m(m + 12) = 0$，
解得$m_1 = 0$，$m_2 = -12$。
当$m = 0$时，原方程为$x^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 0$，不符合三角形边长为正数的要求，舍去；
当$m = -12$时，原方程为$x^2 - 12x + 36 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 6$，符合题意。
综上，$m = -12$。
【答案】
（1）△ABC为等边三角形；（2）$m=-12$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，方程的根的定义，等边三角形判定
【点评】
本题综合考查了一元二次方程的性质与三角形形状的判定，解题核心是利用方程根的相关性质建立边的数量关系，注意求解参数后要结合边长为正的实际条件检验，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.7
（1）要判断△ABC的形状，需先推导三条边a、b、c的数量关系：首先根据第一个一元二次方程有两个相等实数根，利用根的判别式Δ=0列出关于a、b、c的等式；再将x=0代入第二个方程，得到a与b的关系；最后结合两个等式推导三边的等量关系即可判断形状。
（2）已知a、b是一元二次方程的两个根，结合第一问得出的a=b，可知该方程有两个相等的实数根，先由判别式Δ=0求出m的可能值，再根据三角形边长为正数的实际意义检验舍去不符合的解即可。
【解析】
（1）
∵ 关于x的方程$\frac{1}{2}x^2 + \sqrt{b}x + c - \frac{1}{2}a = 0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (\sqrt{b})^2 - 4 × \frac{1}{2} × (c - \frac{1}{2}a) = 0$，
整理得：$b - 2(c - \frac{1}{2}a) = 0$，即$a + b - 2c = 0$ ①。
又
∵ 方程$3cx + 2b = 2a$的根为$x=0$，将$x=0$代入方程得：
$3c × 0 + 2b = 2a$，化简得$a = b$ ②。
将②代入①得：$b + b - 2c = 0$，即$2b = 2c$，得$b = c$。
∴ $a = b = c$，即△ABC为等边三角形。
（2）
∵ a、b为方程$x^2 + mx - 3m = 0$的两个根，且由（1）知$a = b$，
∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = m^2 - 4 × 1 × (-3m) = 0$，
即$m^2 + 12m = 0$，因式分解得$m(m + 12) = 0$，
解得$m_1 = 0$，$m_2 = -12$。
当$m = 0$时，原方程为$x^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 0$，不符合三角形边长为正数的要求，舍去；
当$m = -12$时，原方程为$x^2 - 12x + 36 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 6$，符合题意。
综上，$m = -12$。
【答案】
（1）△ABC为等边三角形；（2）$m=-12$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，方程的根的定义，等边三角形判定
【点评】
本题综合考查了一元二次方程的性质与三角形形状的判定，解题核心是利用方程根的相关性质建立边的数量关系，注意求解参数后要结合边长为正的实际条件检验，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.7
23 已知关于$x$的方程$a^2x^2 + (2a - 1)x + 1 = 0$有两个不相等的实数根$x_1$、$x_2$。
（1）求$a$的取值范围；
（2）是否存在实数$a$，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出$a$的值；如果不存在，说明理由。
（1）求$a$的取值范围；
（2）是否存在实数$a$，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出$a$的值；如果不存在，说明理由。
答案
23 (1) 若方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，所以$a^2 ≠ 0$且满足$\Delta=(2a-1)^2 - 4a^2 ＞ 0$，所以$a ＜ \frac{1}{4}$且$a ≠ 0$。
（2）不存在，理由如下：因为$x_1 + x_2 = -\frac{2a - 1}{a^2} = 0$，所以$a = \frac{1}{2}$。因为$a ＜ \frac{1}{4}$且$a ≠ 0$，而$a = \frac{1}{2} ＞ \frac{1}{4}$(不符合题意)。所以不存在这样的$a$值，使方程的两个实数根互为相反数。
（2）不存在，理由如下：因为$x_1 + x_2 = -\frac{2a - 1}{a^2} = 0$，所以$a = \frac{1}{2}$。因为$a ＜ \frac{1}{4}$且$a ≠ 0$，而$a = \frac{1}{2} ＞ \frac{1}{4}$(不符合题意)。所以不存在这样的$a$值，使方程的两个实数根互为相反数。
解析
【分析】
（1）题目明确方程有两个不相等的实数根，首先可确定该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次一元二次方程有两个不相等实根的判定条件是判别式Δ＞0，联立两个限制条件即可求出a的取值范围。
（2）若两个实数根互为相反数，根据根与系数的关系可知两根之和为0，据此可求出对应的a值，再将求出的a值代入第（1）问的取值范围验证，若符合范围则存在，不符合则不存在。
【解析】
（1）
∵ 方程$a^2x^2 + (2a - 1)x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，即$a^2 ≠ 0$，解得$a ≠ 0$；
同时满足判别式$\Delta ＞ 0$，代入公式得：
$\Delta = (2a - 1)^2 - 4 × a^2 × 1 = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 = -4a + 1$
令$-4a + 1 ＞ 0$，解得$a ＜ \frac{1}{4}$。
综上，a的取值范围是$a ＜ \frac{1}{4}$且$a ≠ 0$。
（2）不存在这样的实数a，理由如下：
若方程的两个实数根$x_1$、$x_2$互为相反数，则$x_1 + x_2 = 0$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = -\frac{2a - 1}{a^2}$
令$-\frac{2a - 1}{a^2} = 0$，则分子为0且分母不为0，即$2a - 1 = 0$，解得$a = \frac{1}{2}$。
由（1）可知a的取值范围为$a ＜ \frac{1}{4}$且$a ≠ 0$，而$\frac{1}{2} ＞ \frac{1}{4}$，不符合取值范围，因此不存在这样的实数a。
【答案】
（1）$a＜\frac{1}{4}$且$a≠0$；
（2）不存在，因为求得的$a=\frac{1}{2}$不符合$a＜\frac{1}{4}$且$a≠0$的条件。
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，第二问求解a后要注意结合第一问的取值范围验证，避免出现增根，解题时要养成严谨的习惯。
【难度系数】
0.6
（1）题目明确方程有两个不相等的实数根，首先可确定该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次一元二次方程有两个不相等实根的判定条件是判别式Δ＞0，联立两个限制条件即可求出a的取值范围。
（2）若两个实数根互为相反数，根据根与系数的关系可知两根之和为0，据此可求出对应的a值，再将求出的a值代入第（1）问的取值范围验证，若符合范围则存在，不符合则不存在。
【解析】
（1）
∵ 方程$a^2x^2 + (2a - 1)x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，即$a^2 ≠ 0$，解得$a ≠ 0$；
同时满足判别式$\Delta ＞ 0$，代入公式得：
$\Delta = (2a - 1)^2 - 4 × a^2 × 1 = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 = -4a + 1$
令$-4a + 1 ＞ 0$，解得$a ＜ \frac{1}{4}$。
综上，a的取值范围是$a ＜ \frac{1}{4}$且$a ≠ 0$。
（2）不存在这样的实数a，理由如下：
若方程的两个实数根$x_1$、$x_2$互为相反数，则$x_1 + x_2 = 0$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = -\frac{2a - 1}{a^2}$
令$-\frac{2a - 1}{a^2} = 0$，则分子为0且分母不为0，即$2a - 1 = 0$，解得$a = \frac{1}{2}$。
由（1）可知a的取值范围为$a ＜ \frac{1}{4}$且$a ≠ 0$，而$\frac{1}{2} ＞ \frac{1}{4}$，不符合取值范围，因此不存在这样的实数a。
【答案】
（1）$a＜\frac{1}{4}$且$a≠0$；
（2）不存在，因为求得的$a=\frac{1}{2}$不符合$a＜\frac{1}{4}$且$a≠0$的条件。
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，第二问求解a后要注意结合第一问的取值范围验证，避免出现增根，解题时要养成严谨的习惯。
【难度系数】
0.6
24 为落实房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度。今年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计今、明、后三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同。
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求两年后共建设了多少万平方米廉租房。
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求两年后共建设了多少万平方米廉租房。
答案
24 (1) 设每年市政府投资的增长率为$x$，根据题意得$2 + 2(1 + x) + 2(1 + x)^2 = 9.5$，整理得$x^2 + 3x - 1.75 = 0$，解得$x_1 = 0.5$，$x_2 = -3.5$(舍去)，所以每年市政府投资的增长率为50%。
（2）两年后共建廉租房面积$= 9.5 ÷ \frac{2}{8} = 38$(万平方米)。
（2）两年后共建廉租房面积$= 9.5 ÷ \frac{2}{8} = 38$(万平方米)。
解析
【分析】
（1）第一问属于平均增长率问题，解题时先设每年投资的增长率为$x$，根据增长率公式：增长后量=增长前量×(1+增长率)，分别表示出明年、后年的投资额，再结合三年累计投资总额为9.5亿元列方程，求解后舍去不符合实际的负根即可得到增长率。
（2）第二问中建设成本不变，说明单位面积所需投资固定，先求出1亿元可建设的廉租房面积，再用总投资额乘单位投资对应的建设面积，即可求出总建设面积。
【解析】
（1）设每年市政府投资的增长率为$x$，根据题意得：
$2 + 2(1 + x) + 2(1 + x)^2 = 9.5$
整理方程：
展开得$2 + 2 + 2x + 2(1 + 2x + x^2) = 9.5$
合并同类项得$2x^2 + 6x - 3.5 = 0$，两边同除以2得$x^2 + 3x - 1.75 = 0$
解得：$x_1 = 0.5$，$x_2 = -3.5$
因为增长率不能为负数，所以舍去$x_2=-3.5$，即增长率为$0.5×100\%=50\%$。
（2）已知2亿元可建设8万平方米廉租房，因此每亿元投资对应的建设面积为$8÷2=4$（万平方米/亿元）
三年总投资为9.5亿元，因此总建设面积为：$9.5×4=38$（万平方米）
【答案】
（1）每年市政府投资的增长率为50%；
（2）两年后共建设了38万平方米廉租房。
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题，单位量与总量计算
【点评】
本题是典型的实际应用类数学题，紧密结合生活热点，既考查了一元二次方程的列解能力，也要求学生结合实际意义判断解的合理性，第二问理清成本、投资总额、建设面积的数量关系即可快速作答。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于平均增长率问题，解题时先设每年投资的增长率为$x$，根据增长率公式：增长后量=增长前量×(1+增长率)，分别表示出明年、后年的投资额，再结合三年累计投资总额为9.5亿元列方程，求解后舍去不符合实际的负根即可得到增长率。
（2）第二问中建设成本不变，说明单位面积所需投资固定，先求出1亿元可建设的廉租房面积，再用总投资额乘单位投资对应的建设面积，即可求出总建设面积。
【解析】
（1）设每年市政府投资的增长率为$x$，根据题意得：
$2 + 2(1 + x) + 2(1 + x)^2 = 9.5$
整理方程：
展开得$2 + 2 + 2x + 2(1 + 2x + x^2) = 9.5$
合并同类项得$2x^2 + 6x - 3.5 = 0$，两边同除以2得$x^2 + 3x - 1.75 = 0$
解得：$x_1 = 0.5$，$x_2 = -3.5$
因为增长率不能为负数，所以舍去$x_2=-3.5$，即增长率为$0.5×100\%=50\%$。
（2）已知2亿元可建设8万平方米廉租房，因此每亿元投资对应的建设面积为$8÷2=4$（万平方米/亿元）
三年总投资为9.5亿元，因此总建设面积为：$9.5×4=38$（万平方米）
【答案】
（1）每年市政府投资的增长率为50%；
（2）两年后共建设了38万平方米廉租房。
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题，单位量与总量计算
【点评】
本题是典型的实际应用类数学题，紧密结合生活热点，既考查了一元二次方程的列解能力，也要求学生结合实际意义判断解的合理性，第二问理清成本、投资总额、建设面积的数量关系即可快速作答。
【难度系数】
0.7
25 如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（当点P到达点B时，P、Q两点均停止运动）。如果P、Q两点同时出发，求经过几秒时：
（1）△PBQ的面积等于8平方厘米？
（2）五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？
（1）△PBQ的面积等于8平方厘米？
（2）五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？
答案
25 (1) 2秒或4秒 （2）设经过时间$x$秒，$S_{五边形APQCD}=6 × 12 - \frac{1}{2} × 2x(6 - x) = x^2 - 6x + 72 = (x - 3)^2 + 63$。当$x=3$时，五边形APQCD的面积最小，最小值为63。
解析
【分析】
本题是矩形中的动点问题，解题思路如下：
（1）要求△PBQ的面积等于8cm²的时间，先设运动时间为t秒，先根据点P、Q的运动速度分别表示出线段PB、BQ的长度，再结合△PBQ是直角三角形，利用直角三角形面积公式列一元二次方程求解，最后验证解是否符合运动时间的取值范围即可。
（2）五边形APQCD的面积等于长方形ABCD的面积减去△PBQ的面积，长方形面积是固定值，因此先将△PBQ的面积用含t的式子表示，再推导得到五边形面积关于t的二次函数，利用配方法求二次函数的最小值，即可得到结果。
【解析】
设P、Q两点的运动时间为t秒，由题意可知t的取值范围为$0\le t\le6$，其中$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，因此$PB=AB-AP=(6-t)\ \mathrm{cm}$。
（1）
∵四边形ABCD是长方形，
∴$∠ B=90°$，△PBQ是直角三角形
根据题意列方程：$\frac{1}{2} × PB × BQ = 8$
代入PB、BQ的表达式得：$\frac{1}{2} × (6-t) × 2t = 8$
化简得：$t(6-t)=8$，整理为标准一元二次方程形式：$t^2 -6t +8=0$
因式分解得：$(t-2)(t-4)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=4$
两个解均满足$0\le t\le6$，符合题意。
（2）长方形ABCD的面积为：$S_{ABCD}=AB × BC = 6 × 12 = 72\ \mathrm{cm}^2$
五边形APQCD的面积为长方形面积减去△PBQ的面积：
$S_{五边形APQCD}=S_{ABCD} - S_{△ PBQ} = 72 - \frac{1}{2} × (6-t) × 2t$
化简得：$S = 72 - (6t - t^2) = t^2 -6t +72$
对二次函数配方：$S = t^2 -6t +9 + 63 = (t-3)^2 +63$
∵二次项系数$1＞0$，
∴当$t=3$时，S取得最小值，最小值为63，且$t=3$满足$0\le t\le6$，符合要求。
【答案】
（1）经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米；
（2）经过3秒时，五边形APQCD的面积最小，最小值是63平方厘米。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的最值；矩形的性质
【点评】
本题属于动态几何与代数结合的综合题，解题的核心是用时间变量表示出相关线段的长度，再结合面积公式建立方程或函数关系求解，解题时要注意结合运动过程确定自变量的取值范围，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.65
本题是矩形中的动点问题，解题思路如下：
（1）要求△PBQ的面积等于8cm²的时间，先设运动时间为t秒，先根据点P、Q的运动速度分别表示出线段PB、BQ的长度，再结合△PBQ是直角三角形，利用直角三角形面积公式列一元二次方程求解，最后验证解是否符合运动时间的取值范围即可。
（2）五边形APQCD的面积等于长方形ABCD的面积减去△PBQ的面积，长方形面积是固定值，因此先将△PBQ的面积用含t的式子表示，再推导得到五边形面积关于t的二次函数，利用配方法求二次函数的最小值，即可得到结果。
【解析】
设P、Q两点的运动时间为t秒，由题意可知t的取值范围为$0\le t\le6$，其中$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，因此$PB=AB-AP=(6-t)\ \mathrm{cm}$。
（1）
∵四边形ABCD是长方形，
∴$∠ B=90°$，△PBQ是直角三角形
根据题意列方程：$\frac{1}{2} × PB × BQ = 8$
代入PB、BQ的表达式得：$\frac{1}{2} × (6-t) × 2t = 8$
化简得：$t(6-t)=8$，整理为标准一元二次方程形式：$t^2 -6t +8=0$
因式分解得：$(t-2)(t-4)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=4$
两个解均满足$0\le t\le6$，符合题意。
（2）长方形ABCD的面积为：$S_{ABCD}=AB × BC = 6 × 12 = 72\ \mathrm{cm}^2$
五边形APQCD的面积为长方形面积减去△PBQ的面积：
$S_{五边形APQCD}=S_{ABCD} - S_{△ PBQ} = 72 - \frac{1}{2} × (6-t) × 2t$
化简得：$S = 72 - (6t - t^2) = t^2 -6t +72$
对二次函数配方：$S = t^2 -6t +9 + 63 = (t-3)^2 +63$
∵二次项系数$1＞0$，
∴当$t=3$时，S取得最小值，最小值为63，且$t=3$满足$0\le t\le6$，符合要求。
【答案】
（1）经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米；
（2）经过3秒时，五边形APQCD的面积最小，最小值是63平方厘米。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的最值；矩形的性质
【点评】
本题属于动态几何与代数结合的综合题，解题的核心是用时间变量表示出相关线段的长度，再结合面积公式建立方程或函数关系求解，解题时要注意结合运动过程确定自变量的取值范围，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.65
