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1 下列命题中，正确的有(
① 直角三角形的两个锐角相等；
② 直角三角形一条边上的中线等于这条边的一半；
③ 直角三角形斜边上的中线把这个三角形分成面积相等的两部分；
④ 直角三角形斜边上的高等于斜边的一半。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)。① 直角三角形的两个锐角相等；
② 直角三角形一条边上的中线等于这条边的一半；
③ 直角三角形斜边上的中线把这个三角形分成面积相等的两部分；
④ 直角三角形斜边上的高等于斜边的一半。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
【分析】
本题考查直角三角形相关性质的辨析，解题时需逐一判断每个命题是否符合直角三角形的性质，先回忆直角三角形的核心性质，再结合反例、三角形面积公式等验证每个说法的正误，最终统计正确命题的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个命题：
① 直角三角形的两个锐角和为90°，仅等腰直角三角形的两个锐角相等，普通直角三角形的两个锐角不一定相等，故①错误；
② 只有直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角边上的中线不满足“等于这条边的一半”，该命题未限定是斜边，表述不严谨，故②错误；
③ 直角三角形斜边上的中线将斜边分为长度相等的两段，分得的两个小三角形等底，且高均为原直角三角形斜边上的高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可知两个小三角形面积相等，故③正确；
④ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边上的高不等于斜边的一半（仅特殊直角三角形可能满足，不具有普遍性），故④错误。
综上，只有1个命题正确。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质；三角形面积计算；命题真假判断
【点评】
本题易错点是对直角三角形性质的适用条件记忆模糊，要注意区分斜边中线和直角边中线、斜边中线和斜边上的高的不同结论，判断命题时可通过举反例验证说法是否普遍成立。
【难度系数】
0.6
本题考查直角三角形相关性质的辨析，解题时需逐一判断每个命题是否符合直角三角形的性质，先回忆直角三角形的核心性质，再结合反例、三角形面积公式等验证每个说法的正误，最终统计正确命题的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个命题：
① 直角三角形的两个锐角和为90°，仅等腰直角三角形的两个锐角相等，普通直角三角形的两个锐角不一定相等，故①错误；
② 只有直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角边上的中线不满足“等于这条边的一半”，该命题未限定是斜边，表述不严谨，故②错误；
③ 直角三角形斜边上的中线将斜边分为长度相等的两段，分得的两个小三角形等底，且高均为原直角三角形斜边上的高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可知两个小三角形面积相等，故③正确；
④ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边上的高不等于斜边的一半（仅特殊直角三角形可能满足，不具有普遍性），故④错误。
综上，只有1个命题正确。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质；三角形面积计算；命题真假判断
【点评】
本题易错点是对直角三角形性质的适用条件记忆模糊，要注意区分斜边中线和直角边中线、斜边中线和斜边上的高的不同结论，判断命题时可通过举反例验证说法是否普遍成立。
【难度系数】
0.6
2 如图,在△ABC中,∠ABC=45°,BE平分∠ABC,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G,BE与CD交于点F。有下列结论:①AE= $\frac{1}{2}$BF;②∠A=67.5°;③△DGF是等腰三角形;④$S_{四边形ADGE}=S_{四边形GHCE}$。其中正确的是(
A.①②④
B.①②③
C.②③
D.①④
B
)。A.①②④
B.①②③
C.②③
D.①④
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知的特殊角、垂直、角平分线、中点这些条件入手，先推导基础的全等三角形、等腰三角形结论，再逐个验证4个结论是否成立：1. 先由CD⊥AB、∠ABC=45°得△BDC是等腰直角三角形，BD=CD；2. 由BE平分∠ABC且BE⊥AC，得△ABC是等腰三角形，AB=BC，AE=CE；3. 结合全等三角形、角度计算分别判断4个结论的正误。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 验证结论②：
∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
又
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB=BC，∠A=∠ACB，
∵∠ABC=45°，
∴∠A=(180°-45°)÷2=67.5°，故②正确。
2. 验证结论①：
∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，BD=CD。
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠DBF+∠BFD=90°，∠DCA+∠CFE=90°，
又
∵∠BFD=∠CFE（对顶角相等），
∴∠DBF=∠DCA。
在△BDF和△CDA中：
∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∠DBF=∠DCA，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC，
由△ABE≌△CBE得AC=2AE，
∴AE=1/2AC=1/2BF，故①正确。
3. 验证结论③：
∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵△BDC是等腰直角三角形，H是BC中点，
∴DH⊥BC，∠BDH=∠ABC=45°（等腰直角三角形斜边上的中线平分顶角），
∠DGF是△BDG的外角，
∴∠DGF=∠DBG+∠BDG=22.5°+45°=67.5°，
在Rt△BDF中，∠DFG=90°-∠DBF=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG，
∴DG=DF，△DGF是等腰三角形，故③正确。
4. 验证结论④：
由△ABE≌△CBE得S△ABE=S△CBE，
但S四边形ADGE = S△ABE - S△BDF + S△DGF，S四边形GHCE = S△CBE - S△BGH - S△CEF，
没有条件能证明S△BDF - S△DGF = S△BGH + S△CEF，故两四边形面积不一定相等，④错误。
综上，①②③正确。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形判定与性质；等腰三角形判定与性质；直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了三角形的全等、等腰及直角三角形的性质，解题关键是先从已知的特殊角和垂直关系推导出基础的边、角相等关系，再逐个推导结论。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知的特殊角、垂直、角平分线、中点这些条件入手，先推导基础的全等三角形、等腰三角形结论，再逐个验证4个结论是否成立：1. 先由CD⊥AB、∠ABC=45°得△BDC是等腰直角三角形，BD=CD；2. 由BE平分∠ABC且BE⊥AC，得△ABC是等腰三角形，AB=BC，AE=CE；3. 结合全等三角形、角度计算分别判断4个结论的正误。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 验证结论②：
∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
又
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB=BC，∠A=∠ACB，
∵∠ABC=45°，
∴∠A=(180°-45°)÷2=67.5°，故②正确。
2. 验证结论①：
∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，BD=CD。
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠DBF+∠BFD=90°，∠DCA+∠CFE=90°，
又
∵∠BFD=∠CFE（对顶角相等），
∴∠DBF=∠DCA。
在△BDF和△CDA中：
∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∠DBF=∠DCA，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC，
由△ABE≌△CBE得AC=2AE，
∴AE=1/2AC=1/2BF，故①正确。
3. 验证结论③：
∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵△BDC是等腰直角三角形，H是BC中点，
∴DH⊥BC，∠BDH=∠ABC=45°（等腰直角三角形斜边上的中线平分顶角），
∠DGF是△BDG的外角，
∴∠DGF=∠DBG+∠BDG=22.5°+45°=67.5°，
在Rt△BDF中，∠DFG=90°-∠DBF=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG，
∴DG=DF，△DGF是等腰三角形，故③正确。
4. 验证结论④：
由△ABE≌△CBE得S△ABE=S△CBE，
但S四边形ADGE = S△ABE - S△BDF + S△DGF，S四边形GHCE = S△CBE - S△BGH - S△CEF，
没有条件能证明S△BDF - S△DGF = S△BGH + S△CEF，故两四边形面积不一定相等，④错误。
综上，①②③正确。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形判定与性质；等腰三角形判定与性质；直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了三角形的全等、等腰及直角三角形的性质，解题关键是先从已知的特殊角和垂直关系推导出基础的边、角相等关系，再逐个推导结论。
【难度系数】
0.65
3 如图,在四边形ABCD中,∠BCD=∠BAD=90°,AC、BD相交于点E,G、H分别是AC、BD的中点,如果∠BEC=80°,那么∠GHE等于(
A.$5°$
B.$10°$
C.$20°$
D.$30°$
B
)。A.$5°$
B.$10°$
C.$20°$
D.$30°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察题设条件：存在两个直角三角形且共斜边BD，H是斜边BD的中点，因此优先考虑直角三角形斜边中线的性质，通过连接AH、CH构造等腰三角形；再结合G是AC中点，利用等腰三角形三线合一得到HG与AC的垂直关系；最后结合对顶角相等和直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠GHE的度数。
【解析】
解：连接AH、CH。
∵ ∠BAD=90°，H是BD的中点，
∴ 在Rt△ABD中，$AH=\frac{1}{2}BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
同理，
∵ ∠BCD=90°，H是BD的中点，
∴ 在Rt△BCD中，$CH=\frac{1}{2}BD$，
∴ AH=CH，即△AHC为等腰三角形。
又
∵ G是AC的中点，
∴ HG⊥AC（等腰三角形三线合一），即∠HGE=90°。
∵ ∠GEH与∠BEC是对顶角，
∴ ∠GEH=∠BEC=80°。
在Rt△GEH中，∠GHE+∠GEH=90°，
∴ ∠GHE=90°-80°=10°。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何性质综合应用题，解题关键是根据直角和斜边中点的特征作辅助线构造等腰三角形，再结合等腰三角形、直角三角形的角度关系求解，能有效考查对几何基本性质的掌握程度和辅助线的运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察题设条件：存在两个直角三角形且共斜边BD，H是斜边BD的中点，因此优先考虑直角三角形斜边中线的性质，通过连接AH、CH构造等腰三角形；再结合G是AC中点，利用等腰三角形三线合一得到HG与AC的垂直关系；最后结合对顶角相等和直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠GHE的度数。
【解析】
解：连接AH、CH。
∵ ∠BAD=90°，H是BD的中点，
∴ 在Rt△ABD中，$AH=\frac{1}{2}BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
同理，
∵ ∠BCD=90°，H是BD的中点，
∴ 在Rt△BCD中，$CH=\frac{1}{2}BD$，
∴ AH=CH，即△AHC为等腰三角形。
又
∵ G是AC的中点，
∴ HG⊥AC（等腰三角形三线合一），即∠HGE=90°。
∵ ∠GEH与∠BEC是对顶角，
∴ ∠GEH=∠BEC=80°。
在Rt△GEH中，∠GHE+∠GEH=90°，
∴ ∠GHE=90°-80°=10°。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何性质综合应用题，解题关键是根据直角和斜边中点的特征作辅助线构造等腰三角形，再结合等腰三角形、直角三角形的角度关系求解，能有效考查对几何基本性质的掌握程度和辅助线的运用能力。
【难度系数】
0.6
④ 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，若$∠ A:∠ B = 1:4$，则$∠ A$的度数为
18°
。答案
18°
解析
【分析】
首先，已知△ABC是直角三角形且∠C=90°，根据三角形内角和为180°，可推出∠A与∠B的和为90°；再结合∠A:∠B=1:4的比例关系，我们可以通过设未知数的方式，把两个角的度数用含同一个未知数的式子表示，再根据两角和为90°列方程求解，即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，三角形内角和为180°
∴ ∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°
又
∵ ∠A:∠B = 1:4
∴ 设∠A = x，则∠B = 4x
代入得：x + 4x = 90°
即5x = 90°
解得x = 18°
∴ ∠A = 18°
【答案】
18°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；按比例计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形的角度性质，结合比例关系计算锐角角度，只要熟练掌握直角三角形两锐角互余的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
首先，已知△ABC是直角三角形且∠C=90°，根据三角形内角和为180°，可推出∠A与∠B的和为90°；再结合∠A:∠B=1:4的比例关系，我们可以通过设未知数的方式，把两个角的度数用含同一个未知数的式子表示，再根据两角和为90°列方程求解，即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，三角形内角和为180°
∴ ∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°
又
∵ ∠A:∠B = 1:4
∴ 设∠A = x，则∠B = 4x
代入得：x + 4x = 90°
即5x = 90°
解得x = 18°
∴ ∠A = 18°
【答案】
18°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；按比例计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直角三角形的角度性质，结合比例关系计算锐角角度，只要熟练掌握直角三角形两锐角互余的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
5 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=15$,AD平分$∠ BAC$,点E为AC的中点,连接DE。若$△ CDE$的周长为21,则$BC=$
12
。答案
12
解析
【分析】
首先根据等腰三角形AB=AC且AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一的性质，可得出AD⊥BC、D为BC中点，即△ADC为直角三角形；再结合E是AC中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可求出DE、CE的长度；最后根据△CDE的周长求出CD的长度，再结合D是BC中点即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得AD⊥BC，D为BC的中点，即∠ADC=90°，BC=2CD。
∵E为AC的中点，在Rt△ADC中，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴DE=CE=½AC，
已知AC=15，
∴DE=CE=½×15=7.5，
∵△CDE的周长为21，即DE+CE+CD=21，
∴7.5+7.5+CD=21，
解得CD=6，
∴BC=2CD=2×6=12。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线定理；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线的性质推导线段关系，这类题型是三角形性质应用的常见考法，需牢固掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
首先根据等腰三角形AB=AC且AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一的性质，可得出AD⊥BC、D为BC中点，即△ADC为直角三角形；再结合E是AC中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可求出DE、CE的长度；最后根据△CDE的周长求出CD的长度，再结合D是BC中点即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得AD⊥BC，D为BC的中点，即∠ADC=90°，BC=2CD。
∵E为AC的中点，在Rt△ADC中，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴DE=CE=½AC，
已知AC=15，
∴DE=CE=½×15=7.5，
∵△CDE的周长为21，即DE+CE+CD=21，
∴7.5+7.5+CD=21，
解得CD=6，
∴BC=2CD=2×6=12。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线定理；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线的性质推导线段关系，这类题型是三角形性质应用的常见考法，需牢固掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
⑥ 如图，将一个直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD=
40°
。答案
40°
解析
【分析】
解题时我们可以从三角形内角和定理入手：首先已知△ABC中∠A的度数，可先求出∠ABC与∠ACB的和；再根据直角三角板的直角∠D=90°，求出△DBC中∠DBC与∠DCB的和；最后观察所求的∠ABD+∠ACD，可转化为(∠ABC+∠ACB)减去(∠DBC+∠DCB)，代入数值即可算出结果，不需要单独求每个小角的度数，用整体代换的思路更简便。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$
∵△DEF是直角三角板，$∠ D=90°$，在△DBC中：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ D = 180° - 90° = 90°$
又
∵$∠ ABD = ∠ ABC - ∠ DBC$，$∠ ACD = ∠ ACB - ∠ DCB$
∴$∠ ABD + ∠ ACD = (∠ ABC - ∠ DBC) + (∠ ACB - ∠ DCB)$
$= (∠ ABC + ∠ ACB) - (∠ DBC + ∠ DCB)$
$= 130° - 90° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，核心是运用整体代换的思想，无需单独求解各个未知小角的度数，通过两组内角和的差值即可得到结果，熟练掌握三角形内角和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以从三角形内角和定理入手：首先已知△ABC中∠A的度数，可先求出∠ABC与∠ACB的和；再根据直角三角板的直角∠D=90°，求出△DBC中∠DBC与∠DCB的和；最后观察所求的∠ABD+∠ACD，可转化为(∠ABC+∠ACB)减去(∠DBC+∠DCB)，代入数值即可算出结果，不需要单独求每个小角的度数，用整体代换的思路更简便。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$
∵△DEF是直角三角板，$∠ D=90°$，在△DBC中：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ D = 180° - 90° = 90°$
又
∵$∠ ABD = ∠ ABC - ∠ DBC$，$∠ ACD = ∠ ACB - ∠ DCB$
∴$∠ ABD + ∠ ACD = (∠ ABC - ∠ DBC) + (∠ ACB - ∠ DCB)$
$= (∠ ABC + ∠ ACB) - (∠ DBC + ∠ DCB)$
$= 130° - 90° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，核心是运用整体代换的思想，无需单独求解各个未知小角的度数，通过两组内角和的差值即可得到结果，熟练掌握三角形内角和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
