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7 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC = BC$，$AE$是$BC$边上的中线，$CF ⊥ AE$，垂足为点$F$，$BD ⊥ BC$交$CF$的延长线于点$D$。若$AC = 10\ \mathrm{cm}$，则$BD =\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
答案
5
解析
【分析】
解题时先结合已知条件找角的等量关系：题中有多组垂直关系，可利用同角的余角相等推出∠CAE=∠BCD；再结合AC=BC、∠ACE=∠CBD=90°，证明△ACE和△CBD全等；最后利用中线的性质求出CE的长度，根据全等三角形对应边相等即可得到BD的长度。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CF⊥AE
∴∠CAE+∠AEC=90°，∠BCD+∠AEC=90°
∴∠CAE=∠BCD（同角的余角相等）
∵BD⊥BC，
∴∠CBD=90°=∠ACE
在△ACE和△CBD中：
$\{\begin{array}{l}∠CAE=∠BCD \\AC=CB \\∠ACE=∠CBD\end{array} $
∴△ACE≌△CBD（ASA）
∴BD=CE
∵AC=BC=10cm，AE是BC边上的中线
∴$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$
∴BD=5cm
【答案】
5
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是通过角度互余关系找到全等的判定条件，熟练掌握全等三角形的判定定理和等腰直角三角形、中线的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件找角的等量关系：题中有多组垂直关系，可利用同角的余角相等推出∠CAE=∠BCD；再结合AC=BC、∠ACE=∠CBD=90°，证明△ACE和△CBD全等；最后利用中线的性质求出CE的长度，根据全等三角形对应边相等即可得到BD的长度。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CF⊥AE
∴∠CAE+∠AEC=90°，∠BCD+∠AEC=90°
∴∠CAE=∠BCD（同角的余角相等）
∵BD⊥BC，
∴∠CBD=90°=∠ACE
在△ACE和△CBD中：
$\{\begin{array}{l}∠CAE=∠BCD \\AC=CB \\∠ACE=∠CBD\end{array} $
∴△ACE≌△CBD（ASA）
∴BD=CE
∵AC=BC=10cm，AE是BC边上的中线
∴$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$
∴BD=5cm
【答案】
5
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是通过角度互余关系找到全等的判定条件，熟练掌握全等三角形的判定定理和等腰直角三角形、中线的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
⑧ 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是$28°$，则顶角的度数是
62°或118°
。答案
62°或118°
解析
【分析】
首先等腰三角形按顶角大小可分为锐角等腰三角形、钝角等腰三角形、直角等腰三角形三类，其中直角等腰三角形一腰上的高与另一腰重合，夹角为0°，不符合题意，因此仅需分两种情况讨论：①顶角为锐角时，一腰上的高落在三角形内部，可借助直角三角形两锐角互余的性质计算顶角；②顶角为钝角时，一腰上的高落在三角形外部，需先求出顶角的邻补角，再计算顶角度数，最后综合两种情况得到结果。
【解析】
本题分两种情况求解：
1. 当等腰三角形顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部：
高与腰垂直，夹角为90°，已知高与另一腰的夹角为28°，在高和另一腰构成的直角三角形中，两锐角互余，因此顶角 = 90° - 28° = 62°。
2. 当等腰三角形顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部：
此时高与另一腰的夹角为28°，在高和另一腰的延长线构成的直角三角形中，可得顶角的邻补角 = 90° - 28° = 62°，因此顶角 = 180° - 62° = 118°。
两种情况均符合题意，因此顶角的度数为62°或118°。
【答案】
62°或118°
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时需结合三角形形状判断高的位置，分情况讨论才能得到完整答案。
【难度系数】
0.6
首先等腰三角形按顶角大小可分为锐角等腰三角形、钝角等腰三角形、直角等腰三角形三类，其中直角等腰三角形一腰上的高与另一腰重合，夹角为0°，不符合题意，因此仅需分两种情况讨论：①顶角为锐角时，一腰上的高落在三角形内部，可借助直角三角形两锐角互余的性质计算顶角；②顶角为钝角时，一腰上的高落在三角形外部，需先求出顶角的邻补角，再计算顶角度数，最后综合两种情况得到结果。
【解析】
本题分两种情况求解：
1. 当等腰三角形顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部：
高与腰垂直，夹角为90°，已知高与另一腰的夹角为28°，在高和另一腰构成的直角三角形中，两锐角互余，因此顶角 = 90° - 28° = 62°。
2. 当等腰三角形顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部：
此时高与另一腰的夹角为28°，在高和另一腰的延长线构成的直角三角形中，可得顶角的邻补角 = 90° - 28° = 62°，因此顶角 = 180° - 62° = 118°。
两种情况均符合题意，因此顶角的度数为62°或118°。
【答案】
62°或118°
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时需结合三角形形状判断高的位置，分情况讨论才能得到完整答案。
【难度系数】
0.6
9 在$△ ABC$中，$AB=12$，$AC=10$，$BC=9$，$AD$是$BC$边上的高。将$△ ABC$按如图所示的方式折叠，使点$A$与点$D$重合，折痕为$EF$，则$DE=$
6
，$DF=$5
。答案
6，5
解析
【分析】
解题时先从折叠的性质入手：折叠后点A与点D重合，说明折痕EF是AD的垂直平分线，可推出EF⊥AD，结合AD是BC边上的高（AD⊥BC），可得EF//BC。再结合EF平分AD，可推导出E、F分别是AB、AC的中点。最后利用直角三角形斜边中线的性质，即可直接求出DE和DF的长度。
【解析】
解：由折叠的性质可知，折痕EF垂直平分线段AD，
∴ $AE=DE$，$AF=DF$，且$EF⊥ AD$，
∵ AD是BC边上的高，
∴ $AD⊥ BC$，
∴ $EF// BC$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
设AD与EF交于点G，则$AG=GD$，
由$EF// BC$，根据平行线分线段成比例，得$AE:EB = AG:GD = 1:1$，
∴ E是AB的中点，同理可得F是AC的中点，
在$Rt△ ABD$中，E是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×12 = 6$，
同理，在$Rt△ ACD$中，F是斜边AC的中点，
∴ $DF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×10 = 5$。
【答案】
6，5
【知识点】
折叠的性质，直角三角形斜边中线性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过折叠性质推导得出E、F为AB、AC的中点，再结合直角三角形的性质求解，能有效考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从折叠的性质入手：折叠后点A与点D重合，说明折痕EF是AD的垂直平分线，可推出EF⊥AD，结合AD是BC边上的高（AD⊥BC），可得EF//BC。再结合EF平分AD，可推导出E、F分别是AB、AC的中点。最后利用直角三角形斜边中线的性质，即可直接求出DE和DF的长度。
【解析】
解：由折叠的性质可知，折痕EF垂直平分线段AD，
∴ $AE=DE$，$AF=DF$，且$EF⊥ AD$，
∵ AD是BC边上的高，
∴ $AD⊥ BC$，
∴ $EF// BC$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
设AD与EF交于点G，则$AG=GD$，
由$EF// BC$，根据平行线分线段成比例，得$AE:EB = AG:GD = 1:1$，
∴ E是AB的中点，同理可得F是AC的中点，
在$Rt△ ABD$中，E是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×12 = 6$，
同理，在$Rt△ ACD$中，F是斜边AC的中点，
∴ $DF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×10 = 5$。
【答案】
6，5
【知识点】
折叠的性质，直角三角形斜边中线性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过折叠性质推导得出E、F为AB、AC的中点，再结合直角三角形的性质求解，能有效考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
⑩ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=20°$，点$D$在边$BC$上，以$AD$为折痕将$△ ADB$折叠，得到$△ ADB'$，$AB'$与边$BC$交于点$E$。若$△ DEB'$为直角三角形，则$∠ BAD$的大小是
25°或35°
。答案
25°或35° [提示:如图①，当∠B'DE=90°时，由翻折的性质可知∠EAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠EAB，∠B'=∠B=20°,所以∠DEB'=180°−∠B'−∠B'DE=70°,又因为∠DEB'=∠B+∠EAB,所以∠EAB=∠DEB'−∠B=50°,所以∠BAD=$\frac{1}{2}$∠EAB=25°。如图②，当∠DEB'=90°时，∠EAB=180°−∠ACB−∠B=70°,所以∠BAD=$\frac{1}{2}$∠EAB=35°。综上所述，∠BAD的大小为25°或35°。]
第10题图①
第10题图②解析
【分析】
本题是折叠变换结合直角三角形角度计算的问题，解题思路如下：首先，△DEB'为直角三角形，但未指明直角顶点，结合折叠后∠B'=∠B=20°，可判断直角只能是∠B'DE或∠DEB'，因此需分两种情况讨论；其次，利用折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和定理、三角形外角的性质求出∠EAB的度数，再由∠BAD是∠EAB的一半即可得到结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 如图①，当$∠ B'DE=90°$时：
由折叠的性质可得：$∠ B'=∠ B=20°$，$∠ BAD=∠ B'AD$。
在$△ DEB'$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ DEB'=180°-∠ B'DE-∠ B'=180°-90°-20°=70°$。
∵$∠ DEB'$是$△ ABE$的外角，
∴$∠ DEB'=∠ B+∠ EAB$，
则$∠ EAB=∠ DEB'-∠ B=70°-20°=50°$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ EAB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
2. 如图②，当$∠ DEB'=90°$时：
此时$∠ AEB=∠ DEB'=90°$，
在$△ ABE$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ EAB=180°-∠ AEB-∠ B=180°-90°-20°=70°$，
由折叠的性质得$∠ BAD=∠ B'AD$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ EAB=\frac{1}{2}×70°=35°$。
综上，$∠ BAD$的大小为$25°$或$35°$。
【答案】
$25°$或$35°$
第10题图①
第10题图②
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何计算中的应用，解题时需注意未明确直角顶点的直角三角形要分情况讨论，结合折叠性质和三角形角度计算相关定理求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是折叠变换结合直角三角形角度计算的问题，解题思路如下：首先，△DEB'为直角三角形，但未指明直角顶点，结合折叠后∠B'=∠B=20°，可判断直角只能是∠B'DE或∠DEB'，因此需分两种情况讨论；其次，利用折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和定理、三角形外角的性质求出∠EAB的度数，再由∠BAD是∠EAB的一半即可得到结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 如图①，当$∠ B'DE=90°$时：
由折叠的性质可得：$∠ B'=∠ B=20°$，$∠ BAD=∠ B'AD$。
在$△ DEB'$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ DEB'=180°-∠ B'DE-∠ B'=180°-90°-20°=70°$。
∵$∠ DEB'$是$△ ABE$的外角，
∴$∠ DEB'=∠ B+∠ EAB$，
则$∠ EAB=∠ DEB'-∠ B=70°-20°=50°$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ EAB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
2. 如图②，当$∠ DEB'=90°$时：
此时$∠ AEB=∠ DEB'=90°$，
在$△ ABE$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ EAB=180°-∠ AEB-∠ B=180°-90°-20°=70°$，
由折叠的性质得$∠ BAD=∠ B'AD$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ EAB=\frac{1}{2}×70°=35°$。
综上，$∠ BAD$的大小为$25°$或$35°$。
【答案】
$25°$或$35°$
第10题图①第10题图②【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何计算中的应用，解题时需注意未明确直角顶点的直角三角形要分情况讨论，结合折叠性质和三角形角度计算相关定理求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$D$、$E$分别在边$AC$、$AB$上。
（1）如图①，若$∠ ADE=∠ B$，证明：$△ ADE$是直角三角形。
（2）如图②，连接$BD$，若$BD$平分$∠ ABC$，$∠ A=40°$，求$∠ ADB$的度数。
（1）如图①，若$∠ ADE=∠ B$，证明：$△ ADE$是直角三角形。
（2）如图②，连接$BD$，若$BD$平分$∠ ABC$，$∠ A=40°$，求$∠ ADB$的度数。
答案
(1) 因为∠C=90°,所以∠A+∠B=90°。因为∠ADE=∠B,所以∠A+∠ADE=90°,所以∠AED=90°,所以△ADE是直角三角形。
(2) 115°
(2) 115°
解析
【分析】
(1) 要证明△ADE是直角三角形，只需证明该三角形存在90°内角或两个锐角之和为90°。首先利用直角三角形两锐角互余的性质，得到Rt△ABC中∠A+∠B=90°，再结合已知∠ADE=∠B，通过等量代换即可得到△ADE中两个锐角的和为90°，进而完成证明。
(2) 求∠ADB的度数时，先在Rt△ABC中利用两锐角互余求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义算出∠CBD的度数，最后利用三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，即可求出∠ADB的数值。
【解析】
(1) 证明：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A+∠ B=90°$
已知$∠ ADE=∠ B$，将$∠ B$替换为$∠ ADE$，可得：
$∠ A+∠ ADE=90°$
在$△ADE$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ AED=180°-(∠ A+∠ ADE)=90°$，因此$△ADE$是直角三角形。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=40°$，因此：
$∠ ABC=90°-∠ A=90°-40°=50°$
$\because BD$平分$∠ ABC$，根据角平分线的定义可得：
$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×50°=25°$
$\because ∠ ADB$是$△BCD$的外角，根据三角形外角的性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此：
$∠ ADB=∠ C+∠ CBD=90°+25°=115°$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $115°$
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，侧重考察基础性质的综合应用，解题时只需理清角度之间的等量关系，按步骤推导即可，有助于巩固三角形相关的基础计算知识。
【难度系数】
0.85
(1) 要证明△ADE是直角三角形，只需证明该三角形存在90°内角或两个锐角之和为90°。首先利用直角三角形两锐角互余的性质，得到Rt△ABC中∠A+∠B=90°，再结合已知∠ADE=∠B，通过等量代换即可得到△ADE中两个锐角的和为90°，进而完成证明。
(2) 求∠ADB的度数时，先在Rt△ABC中利用两锐角互余求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义算出∠CBD的度数，最后利用三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，即可求出∠ADB的数值。
【解析】
(1) 证明：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A+∠ B=90°$
已知$∠ ADE=∠ B$，将$∠ B$替换为$∠ ADE$，可得：
$∠ A+∠ ADE=90°$
在$△ADE$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ AED=180°-(∠ A+∠ ADE)=90°$，因此$△ADE$是直角三角形。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=40°$，因此：
$∠ ABC=90°-∠ A=90°-40°=50°$
$\because BD$平分$∠ ABC$，根据角平分线的定义可得：
$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×50°=25°$
$\because ∠ ADB$是$△BCD$的外角，根据三角形外角的性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此：
$∠ ADB=∠ C+∠ CBD=90°+25°=115°$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $115°$
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，侧重考察基础性质的综合应用，解题时只需理清角度之间的等量关系，按步骤推导即可，有助于巩固三角形相关的基础计算知识。
【难度系数】
0.85
