12 如图,在等边三角形 ABC 中,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,且 DE // AB,过点 E 作 EF ⊥ DE,交 BC 的延长线于点 F。
(1) 求∠F 的度数;
(2) 若 CD=2,求 DF 的长。

(1) 30° (2) 4

【分析】
(1) 解题思路：首先利用等边三角形内角为60°的性质，结合平行线同位角相等得到∠EDC的度数，再根据EF⊥DE得到直角∠DEF，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠F的度数。
(2) 解题思路：先结合∠ACB和∠EDC均为60°，判定△DEC是等边三角形，得到DE与CD的等量关系，再根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，即可求出DF的长度。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°。
(2) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
又
∵∠EDC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE=CD=2，
∵在Rt△DEF中，∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=2×2=4。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
等边三角形的性质，平行线的性质，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将特殊三角形的性质和平行线的性质结合考查，解题的核心是准确识别出图中的等边三角形△DEC，再利用直角三角形的特殊边角关系计算，熟练掌握特殊几何图形的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7

13 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$D$是$AC$上一点，$DE ⊥ AB$，垂足为点$E$，连接$BD$、$CE$，$M$、$N$分别是$BD$、$CE$的中点，求证：$MN ⊥ CE$。

连接CM、ME。因为∠ACB=90°, ∠DEB=90°,点M是BD中点,所以CM=$\frac{1}{2}$BD，EM=$\frac{1}{2}$BD,所以CM=EM。因为点N是CE中点,所以MN ⊥ CE。

【分析】
要证明MN⊥CE，已知N是CE的中点，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此只需证明△CME是等腰三角形，即CM=EM即可。观察图形可知△BCD和△BED都是直角三角形，且M是公共斜边BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可推出CM=EM，进而可证得结论。
【解析】
证明：连接CM、ME。
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $△ BCD$是直角三角形，
又
∵ M是BD的中点，
∴ $CM=\frac{1}{2}BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵ $DE⊥ AB$，
∴ $∠ DEB=90°$，即$△ BED$是直角三角形，
又
∵ M是BD的中点，
∴ $EM=\frac{1}{2}BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∴ $CM=EM$，即$△ CME$为等腰三角形。
∵ N是CE的中点，
∴ $MN⊥ CE$（等腰三角形三线合一）。
【答案】
$MN ⊥ CE$，得证。
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是正确作出辅助线，利用直角三角形斜边中线的性质得到相等线段，再结合等腰三角形的性质完成证明，能够锻炼学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

14 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=100°$，点$D$在$BC$边上，$△ ABD$和$△ AFD$关于直线$AD$对称，$∠ FAC$的平分线交$BC$于点$G$，连接$FG$。
（1）求$∠ DFG$的度数；
（2）若$∠ BAD=θ$，回答下列问题：
① 当$θ$为何值时，$△ DFG$为等腰三角形；
② $△ DFG$有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应$θ$的值；若没有，请说明理由。

(1) 因为AB=AC, ∠BAC=100°,所以∠B=∠C=40°。因为△ABD和△AFD关于直线AD对称,所以△ADB ≅ △ADF,所以∠B=∠AFD=40°, AB=AF,因为AB=AC,所以AF=AC。因为AG平分∠FAC,所以∠FAG=∠CAG。在△AGF和△AGC中,因为$\begin{cases} AF=AC, \\ ∠FAG=∠CAG, \\ AG=AG, \end{cases}$所以△AGF ≅ △AGC(SAS),所以∠AFG=∠C=40°。所以∠DFG=∠AFD+∠AFG=40°+40°=80°。
(2) ① 当GD=GF时,∠GDF=∠GFD=80°。因为∠ADG=∠B+∠BAD=40°+θ,又因为∠DAF+∠ADF+∠DFA=180°,所以θ+40°+θ+80°+40°=180°,所以θ=10°。当DF=GF时,因为∠DFG=80°,所以∠FDG=∠FGD=50°。因为∠DAF+∠ADF+∠DFA=180°,所以θ+40°+θ+50°+40°=180°,所以θ=25°。当DF=DG时,∠DFG=∠DGF=80°,所以∠GDF=20°,因为∠DAF+∠ADF+∠DFA=180°,所以θ+40°+θ+20°+40°=180°,所以θ=40°。综上所述,当θ=10°或25°或40°时,△DFG为等腰三角形。
② 当∠GDF=90°时,因为∠DAF+∠ADF+∠DFA=180°,所以θ+40°+θ+90°+40°=180°,所以θ=5°。当∠DGF=90°时,因为∠DFG=80°,所以∠GDF=90°−∠DFG=10°,因为∠DAF+∠ADF+∠DFA=180°,所以θ+40°+θ+10°+40°=180°,所以θ=45°。综上所述,当θ=5°或45°时,△DFG为直角三角形。

【分析】
（1）先根据等腰△ABC的顶角求出底角∠B和∠C的度数，再利用轴对称的性质得到△ADB≌△ADF，推出对应角、对应边相等，结合AB=AC得到AF=AC；然后利用角平分线的定义和SAS证明△AGF≌△AGC，得到∠AFG的度数，最后将∠AFD和∠AFG相加即可得到∠DFG的度数。
（2）① △DFG为等腰三角形需分三种情况讨论：GD=GF、DF=GF、DF=DG，每种情况先根据等腰三角形的性质求出∠GDF的度数，再结合三角形内角和以及角的和差关系列出关于θ的方程，求解即可。
② △DFG为直角三角形需分两种情况讨论：∠GDF=90°、∠DGF=90°（∠DFG固定为80°，不可能为直角），每种情况先确定对应角的度数，再结合角的关系列方程求解θ。
【解析】
(1)
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=(180°-100°)÷2=40°。
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB ≌ △ADF，
∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF。
又
∵AB=AC，
∴AF=AC。
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG。
在△AGF和△AGC中：
$\begin{cases} AF=AC, \\ ∠FAG=∠CAG, \\ AG=AG, \end{cases}$
∴△AGF ≌ △AGC(SAS)，
∴∠AFG=∠C=40°。
∴∠DFG=∠AFD+∠AFG=40°+40°=80°。
(2) ① 分三种情况讨论：
情况1：当GD=GF时，∠GDF=∠GFD=80°。
在△ADF中，∠DAF+∠ADF+∠DFA=180°，即θ + (40°+θ+80°) + 40°=180°，
解得θ=10°。
情况2：当DF=GF时，
∵∠DFG=80°，
∴∠FDG=∠FGD=(180°-80°)÷2=50°。
同理在△ADF中，θ + (40°+θ+50°) + 40°=180°，
解得θ=25°。
情况3：当DF=DG时，∠DFG=∠DGF=80°，
∴∠GDF=180°-80°×2=20°。
同理在△ADF中，θ + (40°+θ+20°) + 40°=180°，
解得θ=40°。
综上，当θ=10°或25°或40°时，△DFG为等腰三角形。
② △DFG为直角三角形分两种情况讨论（∠DFG=80°，不可能为直角）：
情况1：当∠GDF=90°时，
在△ADF中，θ + (40°+θ+90°) + 40°=180°，
解得θ=5°。
情况2：当∠DGF=90°时，
∵∠DFG=80°，
∴∠GDF=90°-80°=10°，
在△ADF中，θ + (40°+θ+10°) + 40°=180°，
解得θ=45°。
综上，当θ=5°或45°时，△DFG为直角三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80°}$
(2) ① $\boldsymbol{10°}$或$\boldsymbol{25°}$或$\boldsymbol{40°}$；② 有，$\boldsymbol{5°}$或$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定与性质，轴对称的性质
【点评】
本题综合考查了几何图形的对称性、全等三角形的证明及等腰、直角三角形的分类讨论，解题时需注意分情况讨论时不要遗漏可能的情况，同时要熟练掌握三角形内角和与角的和差关系的应用，对逻辑思维的严谨性要求较高。
【难度系数】
0.4